第23卷 函数的应用-考点训练卷 2027年天津市（春季高考）《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦函数应用考点，以实际问题为载体，构建“问题情境→函数建模→性质应用”的知识逻辑链，强化模型意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分段函数应用|选择1/填空9/解答15|结合个税、票价等生活场景，考查分段求值与范围确定|从实际规则抽象分段函数，应用图像与性质解决问题| |二次函数最值|选择2/3/填空10|涉及租金、面积最优化，需建立二次函数模型|通过变量关系构建二次函数，利用顶点公式求最值| |指数函数模型|选择4/5/7/8/填空12/14|涵盖增长率、衰减、信噪比，结合对数运算|基于增长规律构建指数函数，通过对数求解参数与时间|

编写说明：2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及最新的考试要求，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》 第23卷 函数的应用 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资､薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过3000元的部分 超过3000元至12000元的部分 超过12000元至25000元的部分 有一智能公司员工十月份工资､薪金所得18000元，则该员工十月份应缴纳个税为（ ）元. A．990 B．1190 C．1490 D．2190 【答案】B 【分析】利用分段函数思想，来求每一段的税费，然后求和即可. 收入是18000元，根据缴纳个税规定分四段， 第一段5000元不缴税； 第二段3000元缴税为； 第三段9000元缴税为； 第四段1000元缴税为； 所以该职工10月份应缴纳个税为：元 故选：B. 2．某农家旅游公司有客房300间，每间房日租金为20元，每天都客满.公司欲提高客房档次，并提高租金.如果每间房日租金每增加2元，客房出租数就会减少10间，若不考虑其他因素，旅游公司将客房每间日租金提高（ ）元时，每天客房的租金总收入最高. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设客房日租金每间提高元，则每天客房出租数为，设客房租金总收入元，则有：化简求二次函数的最值即可 解：设客房日租金每间提高元，则每天客房出租数为，设客房租金总收入元，则有： 当时，有最大值为8000． 所以当每间客房日租金提高元时，客房租金总收入最高，为每天8000元． 故选：B. 3．用长为的材料，围成一个矩形场地，最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知条件建立矩形面积的函数表达式，再利用二次函数的性质求出面积的最大值. 【详解】设矩形的长为，宽为， 则，即，所以， 由且，得， 矩形的面积， 当时，， 所以当矩形的长、宽都为6时，面积最大，最大面积是. 故选：C. 4．某工厂的年产值从2020年开始每年比上一年增长8%，设2020年产值为 万元，则经过 年后的年产值 与 的函数关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数增长模型求解即可. 【详解】 已知2020年（初始年份）年产值为a万元，每年增长率为， 即每年产值是上一年的倍： 经过1年后的年产值：， 经过2年后的年产值：， 以此类推，经过年后的年产值满足：. 故选：A. 5．我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率的公式，其中是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中叫做信噪比”.根据此公式，在不改变的前提下，将信噪比从999提升至，使得增加了一半，则的值大约为（参考数据：）（   ） A．31599 B．31601 C．315999 D．316001 【答案】A 【分析】根据题意写出信噪比为999时的，再写出信噪比为时的，利用对数性质化简即可得解. 【详解】最大信息传送速率的公式， 当时，； 当时，， 则， 所以， 解得， 故选：. 6．以其强大的算法火爆全球，吸引了大量用户的关注与讨论，成为热门话题，统计学家发现热门话题的关注度达到峰值后，会出现下降趋势．假设一个热门话题的关注度与时间（单位：月）的关系式为，其中为关注度的峰值，为常数，若经过半年关注度下降到峰值的，则关注度下降到峰值的至少需要的时间为（    ）（参考数据：） A．个月 B．个月 C．个月 D．个月 【答案】C 【分析】根据题意列方程，再由对数的运算法则求解即可. 【详解】由题意得， 则，由， 则，所以， ， 即个月，根据题意“至少需要的时间”， 所以需要向上取整，则至少需要的时间为个月． 故选：C. 7．已知放射性物质的剩余质量占初始质量的比例与时间（单位：年）的关系为．若经过5年，剩余质量变为初始质量的，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意代入解析式，求解即可. 【详解】根据题意，将年、剩余质量比例代入关系式， ，即，可得. 故选：A. 8．某企业2022年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：，，）（    ） A．2024年 B．2025年 C．2026年 D．2027年 【答案】C 【分析】设经过年该企业全年投入的研发资金开始超过200万元，则，即可求解. 【详解】设经过年该企业全年投入的研发资金开始超过200万元， 则， 则， 所以的最小整数值为4，此时的年份是年. 故选：C. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9．某市“招手即停”城乡公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内（含5公里），票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按照5公里计算）. 小王乘坐公共汽车，去距离上车点公里处的公司办事，那么小王购买车票的票价为_____. 【答案】元 【分析】由，再由题意，即可求解. 因为，又，由题知5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按照5公里计算）， 所以小王购买车票的票价为元， 故答案为：元. 10．要建造一面靠墙、且面积相同的两间相邻的长方形居室，如图所示．如果已有材料可建成的围墙总长度为，那么当宽（单位：）为________时，才能使所建造的居室面积最大，居室的最大面积是________（单位：）． 【答案】 5 75 【分析】如图可得总面积与宽的关系，进而可得最值. 由题意，即， 设总面积为， 所以，所以， 所以当时，面积最大为， 故答案为：，. 11．为积极响应国家“双碳”战略，推动重点领域节能降碳，某地区对年碳排放量超过一定规模的企业实行“基准配额与超额阶梯购买”相结合的管理机制．根据该地区2025年碳排放权交易实施细则，某中型数据中心的年度碳排放配额及超额购买价格标准如下表所示： 年度碳排放量区间 收费标准 不超过24000吨 0元／吨（使用免费基准配额） 超过24000吨但不超过36000吨的部分 65元／吨（按市场均价购买） 超过36000吨的部分 90元／吨（惩罚性溢价） 若该数据中心受业务增长驱动，近期月均碳排放量稳定在2600吨，不考虑绿电使用抵扣及其他政策性减免，则该数据中心当年需支付的碳排放配额的购买费用为______元． 【答案】 【分析】算出年度碳排放量，然后结合收费标准计算即可. 由题知，该数据中心年度碳排放量为， 因为， 所以该数据中心当年需支付的碳排放配额的购买费用为元. 故答案为： 12．某科技公司研发的翻译系统，初始版本的翻译准确率为，后续每更新一个版本，准确率会在前一版本基础上提升（即变为前一版本的倍）．当准确率首次超过时，该系统已更新了_______个版本.（参考数据） 【答案】9 【分析】设更新个版本，则准确率为，根据题意列不等式为，解不等式即可求解. 【详解】设更新个版本，初始版本的翻译准确率为， 每个版本准确率会变为前一版本的倍， 则准确率为， 当准确率首次超过，则， 即，所以， 所以当准确率首次超过时，该系统已更新了9个版本． 故答案为：9. 13．某市居民家庭全年用气量划分为三档，气价实行超额累进加价． 第一档：年用气量不超过的部分，价格为元； 第二档：年用气量超过不超过的部分，价格为元； 第三档：年用气量超过的部分，价格为元． 若小亮家今年全年用气量为，他家需支出天然气费______元； 若小亮家今年支出的天然气费是1607元，则他家今年的用气量为______． 【答案】 【分析】根据题意，结合分段函数的应用，即可求解. 【详解】由题意，若小亮家今年全年用气量为，则需支出天然气费为元； 由题意，当用气量为时，应支出用气费为元， 又小亮家今年支出的天然气费是1607元，故他家今年的用气量超过， 设他家今年的用气量为，则， 解得，即他家今年的用气量为. 故答案为：；. 14．某理财产品的收益（单位：元）与投资时间（单位：月）满足函数，若投资个月后收益为1500元，则____________． 【答案】18 【分析】根据题意把代入函数中即可得解. 【详解】由题可知收益与投资时间满足函数， 所以当收益，代入函数中为， 整理为，即，解得. 故答案为：. 三、解答题:本大题共4小题，第15、16题每题10分，第17、18题每题12分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在家庭装修中，某种油漆的干燥时间（小时）与室内温度（）满足. (1)当室内温度为4时，求油漆的干燥时间. (2)若油漆干燥时间要控制在小时以内，求室内温度的范围. 【答案】(1)小时 (2) 【分析】（1）根据题意，结合对数的运算代数求解即可； （2）根据题意建立对数不等式，结合对数的性质，求解即可. 【详解】（1）因为油漆的干燥时间与室内温度满足， 当时，， 即当室内温度为4时，油漆的干燥时间小时. （2）当时，即， 可化为， 因为对数函数单调递增，且， 所以，解得， 即油漆干燥时间要控制在小时以内，室内温度的范围为. 16．某商品原价为 元，商场进行促销活动，第一次降价 ，第二次在第一次降价的基础上再降价 . (1)用含 的代数式表示促销后的价格； (2)若促销后价格为81元，求原价 . 【答案】(1) (2)100元 【分析】（1）根据题意，结合指数函数的应用，即可求解； （2）根据题意，结合促销后价格的表示，即可列式求解. 【详解】（1）第一次降价后价格是, 第二次降价后价格是； （2）由题意 ，解得 ， 故原价为100元. 17．一艘游船由西向正东方向行驶，从甲地到乙地，行驶速度V（千米/小时）与行驶时间t（小时）的函数关系图所示，是上一点，直线L过D点垂直于横轴，直线L左侧图形的面积为游船从开始行驶t小时所行驶的总路程.    (1)求速度V关于时间t的函数关系式； (2)求游船从开始行驶375千米用了多少时间. 【答案】(1) (2)小时 【分析】（1）根据函数图象的分段特征，利用待定系数法分别求出各段的解析式； （2）先计算前20小时行驶的路程，判断375千米对应的时间段，再利用梯形面积公式建立方程求解． 【详解】（1）当时，图象是过原点的直线，设． 将点代入，得，解得．所以 当时，图象是平行于轴的直线，且过点．所以 当时，图象是过点和的直线，设． 将两点坐标代入，得，解得．所以． 综上所述，速度V关于时间t的函数关系式为：． （2）根据题意，直线左侧图形的面积即为行驶的总路程． 当时，行驶路程（千米）． 当时，行驶路程（千米）． 当时，行驶路程（千米）． 因为，所以行驶375千米所用的时间满足． 此时，路程由三部分组成：0至10小时的三角形面积，10至20小时的矩形面积，以及20至小时的梯形面积． 前20小时已行驶300千米，故20至小时行驶的路程为（千米）． 在时间段内，速度函数为． 该时间段对应的图形为直角梯形，上底为时的速度20，下底为时刻的速度，高为． 由梯形面积公式可得：． 整理得：．即． 化简得：，即，解得． 因为，所以舍去，取． 所以游船从开始行驶375千米用了25小时． 18．某公司试销一种产品，每件按60元销售，可获利．公司在试销过程中发现，销量y件与每件的售价x元满足一次函数关系，且售价为40元时可卖出1200件，售价为80元时可卖出800件. (1)求每天销售利润（元）与每件的售价（元）之间的关系式； (2)当每件售价为多少元时，每天可获得的利润最大，最大利润是多少? 【答案】(1)， (2)当每件售价为100元时，每天可获得最大利润36000元 【分析】（1）先计算产品成本，再通过待定系数法求销量与售价的一次函数，结合利润计算公式得到利润与售价的函数关系式； （2）利用二次函数的性质求最大值． 【详解】（1）设产品每件成本为元， 由每件按60元销售可获利，可得，解得． 设销量与售价的一次函数为， 将及代入得：， 解得，，即． 由销量非负得，解得， 结合售价不低于成本得，故． 因为单件利润为元， 所以每天销售利润，． （2）函数是开口向下的二次函数，其对称轴为． 当时，因为， 所以当时，取得最大值，最大值为元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及最新的考试要求，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》 第23卷 函数的应用 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资､薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过3000元的部分 超过3000元至12000元的部分 超过12000元至25000元的部分 有一智能公司员工十月份工资､薪金所得18000元，则该员工十月份应缴纳个税为（ ）元. A．990 B．1190 C．1490 D．2190 2．某农家旅游公司有客房300间，每间房日租金为20元，每天都客满.公司欲提高客房档次，并提高租金.如果每间房日租金每增加2元，客房出租数就会减少10间，若不考虑其他因素，旅游公司将客房每间日租金提高（ ）元时，每天客房的租金总收入最高. A． B． C． D． 3．用长为的材料，围成一个矩形场地，最大面积是（   ） A． B． C． D． 4．某工厂的年产值从2020年开始每年比上一年增长8%，设2020年产值为 万元，则经过 年后的年产值 与 的函数关系为（　　） A． B． C． D． 5．我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率的公式，其中是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中叫做信噪比”.根据此公式，在不改变的前提下，将信噪比从999提升至，使得增加了一半，则的值大约为（参考数据：）（   ） A．31599 B．31601 C．315999 D．316001 6．以其强大的算法火爆全球，吸引了大量用户的关注与讨论，成为热门话题，统计学家发现热门话题的关注度达到峰值后，会出现下降趋势．假设一个热门话题的关注度与时间（单位：月）的关系式为，其中为关注度的峰值，为常数，若经过半年关注度下降到峰值的，则关注度下降到峰值的至少需要的时间为（    ）（参考数据：） A．个月 B．个月 C．个月 D．个月 7．已知放射性物质的剩余质量占初始质量的比例与时间（单位：年）的关系为．若经过5年，剩余质量变为初始质量的，则（   ） A． B． C． D． 8．某企业2022年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：，，）（    ） A．2024年 B．2025年 C．2026年 D．2027年 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9．某市“招手即停”城乡公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内（含5公里），票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按照5公里计算）. 小王乘坐公共汽车，去距离上车点公里处的公司办事，那么小王购买车票的票价为_____. 10．要建造一面靠墙、且面积相同的两间相邻的长方形居室，如图所示．如果已有材料可建成的围墙总长度为，那么当宽（单位：）为________时，才能使所建造的居室面积最大，居室的最大面积是________（单位：）． 11．为积极响应国家“双碳”战略，推动重点领域节能降碳，某地区对年碳排放量超过一定规模的企业实行“基准配额与超额阶梯购买”相结合的管理机制．根据该地区2025年碳排放权交易实施细则，某中型数据中心的年度碳排放配额及超额购买价格标准如下表所示： 年度碳排放量区间 收费标准 不超过24000吨 0元／吨（使用免费基准配额） 超过24000吨但不超过36000吨的部分 65元／吨（按市场均价购买） 超过36000吨的部分 90元／吨（惩罚性溢价） 若该数据中心受业务增长驱动，近期月均碳排放量稳定在2600吨，不考虑绿电使用抵扣及其他政策性减免，则该数据中心当年需支付的碳排放配额的购买费用为______元． 12．某科技公司研发的翻译系统，初始版本的翻译准确率为，后续每更新一个版本，准确率会在前一版本基础上提升（即变为前一版本的倍）．当准确率首次超过时，该系统已更新了_______个版本.（参考数据） 13．某市居民家庭全年用气量划分为三档，气价实行超额累进加价． 第一档：年用气量不超过的部分，价格为元； 第二档：年用气量超过不超过的部分，价格为元； 第三档：年用气量超过的部分，价格为元． 若小亮家今年全年用气量为，他家需支出天然气费______元； 若小亮家今年支出的天然气费是1607元，则他家今年的用气量为______． 14．某理财产品的收益（单位：元）与投资时间（单位：月）满足函数，若投资个月后收益为1500元，则____________． 三、解答题:本大题共4小题，第15、16题每题10分，第17、18题每题12分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在家庭装修中，某种油漆的干燥时间（小时）与室内温度（）满足. (1)当室内温度为4时，求油漆的干燥时间. (2)若油漆干燥时间要控制在小时以内，求室内温度的范围. 16．某商品原价为 元，商场进行促销活动，第一次降价 ，第二次在第一次降价的基础上再降价 . (1)用含 的代数式表示促销后的价格； (2)若促销后价格为81元，求原价 . 17．一艘游船由西向正东方向行驶，从甲地到乙地，行驶速度V（千米/小时）与行驶时间t（小时）的函数关系图所示，是上一点，直线L过D点垂直于横轴，直线L左侧图形的面积为游船从开始行驶t小时所行驶的总路程.    (1)求速度V关于时间t的函数关系式； (2)求游船从开始行驶375千米用了多少时间. 18．某公司试销一种产品，每件按60元销售，可获利．公司在试销过程中发现，销量y件与每件的售价x元满足一次函数关系，且售价为40元时可卖出1200件，售价为80元时可卖出800件. (1)求每天销售利润（元）与每件的售价（元）之间的关系式； (2)当每件售价为多少元时，每天可获得的利润最大，最大利润是多少? 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $