第39卷 数列的应用 -考点训练卷 2027年天津市（春季高考）《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦数列应用，以等差、等比实际问题为载体，通过古代名题与生活情境构建“概念-建模-求解”逻辑链，培养数学建模与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等差数列应用|4题（如座位、单词学习）|含增长量固定的实际问题|从等差定义到求和公式，体现“已知首项、公差求项数/和”的推导应用| |等比数列应用|6题（如塔灯、光圈F值）|涉及增长率、倍数关系问题|从等比定义到通项公式，构建“已知首项、公比求特定项”的逻辑链条| |综合应用|4题（如筑堤、两马相逢）|古代数学名题与生活综合情境|融合等差等比公式，培养从实际问题中抽象数列模型的数学思维|

编写说明：2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及最新的考试要求，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》 第39卷 数列的应用 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．某林场1999年造林200公顷，计划每年比上一年多造林，那么2010年应造林的公顷数为（    ）． A．239.02 B．243.80 C．248.67 D．253.65 2．我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位（年）所著．程少年时，读书极为广博，对书法和数学颇感兴趣.岁起便在长江中下游一带经商，因商业计算的需要，他随时留心数学，遍访名师，搜集很多数学书籍，刻苦钻研，时有心得，终于在他岁时，完成了《算法统宗》这本著作．该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”根据诗词的意思，可得塔的最底层共有灯（    ） A．盏 B．盏 C．3盏 D．1盏 3．某工厂2018年全年产值为万元. 因工厂进行了技术革新，从2019年起每年产值比上一年增加，则该工厂2024 年全年产值为（    ） A．万元 B． 万元 C．万元 D． 万元 4．已知数列的前项和为，且，，则满足的的最小值为 A． B． C． D． 5．某学校阶梯教室有22排座位，从第二排起，每一排比前一排多2个座位，最后一排有64个座位，则这个阶梯教室共有座位（    ） A．946个 B．964个 C．982个 D．1008个 6．如图是标准对数远视力表的一部分．最左边一列“五分记录”为标准对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为0.1；最右边一列“小数记录”为国际标准视力记录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为．已知标准对数视力5.0对应的国际标准视力准确值为1.0，则标准对数视力4.8对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为（    ）（参考数据：） A．0.57 B．0.59 C．0.61 D．0.63 7．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法正确的是（   ） A．相邻两个节气晷长减少或增加的均量为一尺 B．春分的晷长比秋分的晷长不相同 C．小雪的晷长为一丈五寸 D．立春的晷长比立秋的晷长短 8．1682年，英国天文学家哈雷发现一颗卫星的运行曲线和1531年、1607年的彗星惊人地相似，他大胆断定，这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再度回归．这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年．下列时间范围中，最有可能出现哈雷彗星的时间段是（   ）    A．2041～2042年 B．2051～2052年 C．2061～2062年 D．2081～2082年 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9．小王同学学习英语单词，第一天学会了8个，以后每一天都比前一天多学会3个，小王同学20天共学会_____________个英语单词． 10．光圈是一个用来控制光线透过镜头，进入机身内感光面的光量的装置.表达光圈的大小我们可以用光圈的F值表示，光圈的F值系列如下：F1，F1.4，F2，F2.8，F4，F5.6，F8，…，F64.光圈的F值越小，表示在同一单位时间内进光量越多，而且上一级的进光量是下一级的2倍，如光圈从F8调整到F5.6，进光量是原来的2倍.若光圈从F4调整到F1.4，则单位时间内的进光量为原来的_______倍. 11．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了________里. 12．已知二次函数,当时,其抛物线在轴上截得线段的长度依次为,,…,则的值是______. 13．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天种2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数为___________天． 14．朱载堉（1536-1611）是中国明代一位杰出的律学家、数学家和历法学家，他的著作《律学新说》中制作了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设第三个音的频率为，第七个音的频率为，则_____. 三、解答题:本大题共4小题，第15、16题每题10分，第17、18题每题12分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．某市2025年年底新建住房面积为400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，政府预计在今后若干年内，使该市每年新建住房面积比上一年增长8%．已知每年的新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米． (1)到哪一年年底，该市历年所建中低价房的累计面积（以2025年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？ (2)试比较该市2030年所建的中低价房的面积与该年所建的住房面积的比值与85%的大小．（参考数据：，，） 16．某村办企业在年度生产中，前三季度的利润逐季增长且成等差数列，后三季度的利润成等比数列.已知第二、第三季度利润之和是12万元，全年共盈利28万元，试问：该企业第四季度盈利多少万元？ 17．历史上伟大的数学家之一朱世杰曾著《四元玉鉴》，其“如像招数”五问中有如下问题：今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人.其大意为“官府陆续派人前往修筑堤坝，第一天派出人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.” (1)设每天派出的人数组成数列，求该数列的通项公式； (2)求该问题中的人全部派遣到位共需要的天数. 18．在我国古代著名的数学专著《张丘建算经》里有一段叙述：今有两马，一马发长安至齐，初日行一百二十八里，日减半；另一马发齐至长安、初日行九十七里，日减半里，两马8日相逢.问：齐离长安多少里？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及最新的考试要求，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》 第39卷 数列的应用 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．某林场1999年造林200公顷，计划每年比上一年多造林，那么2010年应造林的公顷数为（    ）． A．239.02 B．243.80 C．248.67 D．253.65 【答案】C 【分析】根据等比数列的性质，得到等比数列的通项公式，再求解. 【详解】设从1999年起，经过年，林场造林的面积为公顷. 令1999年造林数为，则 2000年造林数为，2001年造林数为，…，2010年造林数为. 由题意可知，，公比，. 故2010年应造林的公顷数为. 故选：C. 2．我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位（年）所著．程少年时，读书极为广博，对书法和数学颇感兴趣.岁起便在长江中下游一带经商，因商业计算的需要，他随时留心数学，遍访名师，搜集很多数学书籍，刻苦钻研，时有心得，终于在他岁时，完成了《算法统宗》这本著作．该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”根据诗词的意思，可得塔的最底层共有灯（    ） A．盏 B．盏 C．3盏 D．1盏 【答案】A 【分析】将每层塔的灯数看成等比数列，再由等比数列的前项和公式列方程求解出顶层的灯的数量，再由等比数列的通项公式求值即可. 【详解】由题意，设这个塔顶层有盏灯， 则每层塔的灯数为一个首项为，公比为2的等比数列， 且其前7项和为，所以， 解得，所以这个塔的最底层有（盏）． 故选：A. 3．某工厂2018年全年产值为万元. 因工厂进行了技术革新，从2019年起每年产值比上一年增加，则该工厂2024 年全年产值为（    ） A．万元 B． 万元 C．万元 D． 万元 【答案】D 【分析】利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】因为2018年全年产值为万元.，从2019年起每年产值比上一年增加， 则该工厂的年产值构成等比数列，且首项， 2018年为第一项，则2024年为数列的第七项， 所以该工厂2024 年全年产值为. 故选：D. 4．已知数列的前项和为，且，，则满足的的最小值为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：由得，即，又，所以 ，即，所以，即 ,,令，则，函数 的对称轴为，又的可能值为，所以 ，， ，这时，所以从第四项起以后各项均满足，故选A. 考点：1.与的关系；2.等比数列的定义与性质；3.数列与不等式. 【名师点睛】本题考查与的关系、等比数列的定义与性质、数列与不等式，属难题；数列与不等式恒成立问题，通常通过构造函数，通过函数的单调性、极值等解决问题；数列与不等式证明问题，要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等. 5．某学校阶梯教室有22排座位，从第二排起，每一排比前一排多2个座位，最后一排有64个座位，则这个阶梯教室共有座位（    ） A．946个 B．964个 C．982个 D．1008个 【答案】A 【分析】根据题意判断每排座位数构成等差数列，根据公差和末项先求首项，再根据等差数列求和公式易得答案. 【详解】根据题意可知每排座位数构成等差数列，不妨设为，公差为， 因为某学校阶梯教室有22排座位，每一排比前一排多2个座位，所以， 因为最后一排有64个座位，所以， 因为，即，解得， 所以这个阶梯教室共有座位. 故选：A. 6．如图是标准对数远视力表的一部分．最左边一列“五分记录”为标准对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为0.1；最右边一列“小数记录”为国际标准视力记录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为．已知标准对数视力5.0对应的国际标准视力准确值为1.0，则标准对数视力4.8对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为（    ）（参考数据：） A．0.57 B．0.59 C．0.61 D．0.63 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合等差数列与等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】依题意，设左侧数据从上至下构成等差数列，且公差， 右侧数据从上至下构成等比数列，且公比， 设5.0为数列中的第项，则1.0为数列中的第项，即， 故，其中且， 故标准对数视力4.8对应的国际标准视力为数列中的第项，即， 所以． 故选：D． 7．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法正确的是（   ） A．相邻两个节气晷长减少或增加的均量为一尺 B．春分的晷长比秋分的晷长不相同 C．小雪的晷长为一丈五寸 D．立春的晷长比立秋的晷长短 【答案】A 【分析】首先设由夏至到冬至的晷长构成等差数列，由冬至到夏至的晷长构成等差数列，再由等差数列的通项公式逐个计算即可. 【详解】现以寸为单位，由题意可知， 设由夏至到冬至的晷长构成等差数列， 其中，公差， 同理可得，由冬至到夏至的晷长构成等差数列， 其中，公差， 故相邻两个节气晷长减少或增加的量为寸，即一尺，故选项A正确， 因为春分的晷长为， 所以， 因为秋分的晷长为， 所以， 故春分和秋分两个节气的晷长相同，故选B错误， 因为小雪的晷长为，则， 即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，故选项C错误， 因为立春的晷长的和立秋的晷长分别为， ， 所以，故立春的晷长比立秋的晷长长，故选项D错误． 故选：A. 8．1682年，英国天文学家哈雷发现一颗卫星的运行曲线和1531年、1607年的彗星惊人地相似，他大胆断定，这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再度回归．这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年．下列时间范围中，最有可能出现哈雷彗星的时间段是（   ）    A．2041～2042年 B．2051～2052年 C．2061～2062年 D．2081～2082年 【答案】C 【分析】根据题意列出数列通项公式，再解不等式求出符合要求的，即可求出哈雷彗星在内的具体回归时间. 【详解】由题可得：哈雷彗星的后续回归时间可表示为：， 根据选项可得：当时，即， 且，所以， 则哈雷彗星在内的回归时间为：. 故选：C. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9．小王同学学习英语单词，第一天学会了8个，以后每一天都比前一天多学会3个，小王同学20天共学会_____________个英语单词． 【答案】 【分析】将实际数学问题转化成等差数列模型,利用等差数列前项求和公式易得答案. 【详解】由题意得第一天学会了8个,所以, 以后每一天都比前一天多学会3个,所以, 所以小王同学20天共学会的英语单词为. 故答案为:. 10．光圈是一个用来控制光线透过镜头，进入机身内感光面的光量的装置.表达光圈的大小我们可以用光圈的F值表示，光圈的F值系列如下：F1，F1.4，F2，F2.8，F4，F5.6，F8，…，F64.光圈的F值越小，表示在同一单位时间内进光量越多，而且上一级的进光量是下一级的2倍，如光圈从F8调整到F5.6，进光量是原来的2倍.若光圈从F4调整到F1.4，则单位时间内的进光量为原来的_______倍. 【答案】 【分析】根据已知条件求得正确答案. 【详解】依题意“上一级的进光量是下一级的2倍”， 从F4调整到F1.4，下调了级，所以进光量为原来的倍. 故答案为： 11．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了________里. 【答案】96 【分析】由题意可知，每天所走路程为等比数列，利用等比数列求和公式求得第一天走的路程，进而求出第二天走的路程即可. 【详解】由题意可知，每天所走路程形成等比数列， 由题意可设该等比数列首项为即第一天走的路程，公比， 由题意，一个人6天走了378里路， 由等比数列求和公式可得， 解得，则， 即第二天走了里. 故答案为：. 12．已知二次函数,当时,其抛物线在轴上截得线段的长度依次为,,…,则的值是______. 【答案】 【分析】由一元二次方程的求根公式及数列的求和公式即可得解. 【详解】二次函数与轴截得线段的长度为. 所以. 所以=. 故答案为:. 13．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天种2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数为___________天． 【答案】6 【分析】由题可知，每天植树的棵数构成等比数列，根据等比数列的求和公式，列不等式可求解. 【详解】设每天植树的棵数组成的数列为，由题意可得， 是以2为首项，2为公比的等比数列，则 , 所以. 由于，且， 所以，即n的最小值为6，需要的最少天数为6天. 故答案为： 14．朱载堉（1536-1611）是中国明代一位杰出的律学家、数学家和历法学家，他的著作《律学新说》中制作了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设第三个音的频率为，第七个音的频率为，则_____. 【答案】 【分析】根据题意可知每个音的频率看作等比数列，由等比数列的性质即可得解. 【详解】由题意知，可以将每个音的频率看作等比数列中的项，一共13项，且. 因为最后一个音是最初那个音的频率的2倍， 所以，即，可得， 所以，所以. 故答案为：. 三、解答题:本大题共4小题，第15、16题每题10分，第17、18题每题12分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．某市2025年年底新建住房面积为400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，政府预计在今后若干年内，使该市每年新建住房面积比上一年增长8%．已知每年的新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米． (1)到哪一年年底，该市历年所建中低价房的累计面积（以2025年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？ (2)试比较该市2030年所建的中低价房的面积与该年所建的住房面积的比值与85%的大小．（参考数据：，，） 【答案】(1)2034年年底 (2) 【分析】（1）根据等差数列的前项和公式，建立不等式进行求解即可. （2）根据等比数列以及等差数列的通项公式求解即可. 【详解】（1）设从2025年起，每年新建的中低价房面积形成数列， 由题意可知是等差数列，其中， 则， 令，即，可化为， 解得或， 又因为是正整数，所以， 以 2025 年为第一年，对应2034 年底， 因此，到 2034年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4750 万平方米. （2）设从2025年起，每年新建的住房面积形成数列， 由题意可知是等比数列，其中，则． 2030 年对应，2030年所建的中低价房的面积为. 该年所建的住房面积为. 进而比值为. 16．某村办企业在年度生产中，前三季度的利润逐季增长且成等差数列，后三季度的利润成等比数列.已知第二、第三季度利润之和是12万元，全年共盈利28万元，试问：该企业第四季度盈利多少万元？ 【答案】16万元 【分析】假设四季度的利润分别是，，，，然后得到，，计算即可. 【详解】设四季度的利润分别是，，，， 则①，②， 由①②得，，或，. 因利润逐季增长，所以，. 所以该企业第四季度盈利16万元 17．历史上伟大的数学家之一朱世杰曾著《四元玉鉴》，其“如像招数”五问中有如下问题：今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人.其大意为“官府陆续派人前往修筑堤坝，第一天派出人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.” (1)设每天派出的人数组成数列，求该数列的通项公式； (2)求该问题中的人全部派遣到位共需要的天数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式求值即可. （2）根据等差数列的前项和公式列方程求解即可. 【详解】（1）由题意可知， 数列是首项为的等差数列， ∴. （2）设需要天才能派出人， 则， 即， 解得或（舍去） 所以人全部派遣到位共需要天. 18．在我国古代著名的数学专著《张丘建算经》里有一段叙述：今有两马，一马发长安至齐，初日行一百二十八里，日减半；另一马发齐至长安、初日行九十七里，日减半里，两马8日相逢.问：齐离长安多少里？ 【答案】1017里. 【分析】根据题意结合等差数列及等比数列的求和公式即可得解. 【详解】由题意知一马每日行程构成等比数列，其中，公比， 则8日行程为. 另一马每日行程构成等差数列，其中，公差， 则8日行程为. 所以. 所以齐离长安1017里. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $