第43卷 平面向量的内积（一）-考点训练卷 2027年天津市（春季高考）《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦平面向量内积基础考点，通过三阶递进训练体系中的基础层设计，系统覆盖内积计算、垂直条件应用等核心考法，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题|内积基本计算、向量垂直判定|从内积定义到坐标运算的概念生成| |填空|6题|向量模与内积关系、几何背景应用|性质推导与简单应用的逻辑链条| |解答|4题|综合运算与参数求解|内积性质与方程思想的综合拓展|

编写说明：2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及最新的考试要求，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》 第43卷 平面向量的内积（一） 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．如果（    ） A． B．3 C． D．7 2．已知向量，，若，则（ ） A． B． C．1 D． 3．已知向量，且，则（    ） A．0 B． C．3 D． 4．已知点，向量，若，则实数的值是（   ） A． B． C．1 D．2 5．已知向量，，且，则（    ） A．2 B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，且，，则（   ）． A． B． C． D． 8．已知向量，若，则（ ） A． B． C． D．0 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9．已知向量， ，则 ________. 10．设向量，，若，则________． 11．，且两向量垂直，则_____. 12．已知向量，，若，则的值为_____________． 13．已知平面向量，，且，则_____． 14．已知正方形的边长为1，，，，则为_____________． 三、解答题:本大题共4小题，第15、16题每题10分，第17、18题每题12分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知是两个互相垂直的单位向量，且有. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 16．已知向量，. (1)求 ； (2)若，，求实数的值. 17．已知，，，求． 18．已知向量 ，. (1)求 ； (2)若 ，且 ，求的值； (3)若 ，且 ，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及最新的考试要求，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》 第43卷 平面向量的内积（一） 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．如果（    ） A． B．3 C． D．7 【答案】C 【分析】根据数量积的坐标运算即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 2．已知向量，，若，则（ ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由向量的坐标运算及模长公式求得，即可求解. ， 由题意：， 所以. 故选：C. 3．已知向量，且，则（    ） A．0 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求出的值，再由向量的内积的坐标运算求值即可. 【详解】已知向量， 由，得， 解得，则， 所以 则， 故选：B. 4．已知点，向量，若，则实数的值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据向量内积的坐标表示结合向量垂直的内积为求解即可. 【详解】因为点，向量，又， 所以，解得. 故选：B. 5．已知向量，，且，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量垂直的坐标表示求解. 【详解】已知，，且， 可得：，即， 可得，则， 故选：B. 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的内积公式即可求解. 【详解】由向量内积定义可知，， 又因为向量夹角的范围在到之间， 所以. 故选：C 7．已知，且，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合平面向量内积的定义求出，结合平面向量夹角的取值范围即可得解. 【详解】因为，，， 则，解得， 因为，所以， 故选：. 8．已知向量，若，则（ ） A． B． C． D．0 【答案】D 【详解】因为， 所以. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9．已知向量， ，则 ________. 【答案】5 【分析】由向量数量积的坐标运算求解即可. 【详解】因为向量， ， 则 . 故答案为：5. 10．设向量，，若，则________． 【答案】5 【分析】根据题意，结合向量内积的坐标表示，即可求解. 【详解】因为向量，， 所以，解得． 故答案为：5. 11．，且两向量垂直，则_____. 【答案】 【分析】根据向量内积的运算律求值即可. 【详解】已知两向量垂直，且，， 则，得 ， 故答案为：. 12．已知向量，，若，则的值为_____________． 【答案】2 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求解即可. 【详解】已知向量，， 由得，， 解得， 故答案为：2. 13．已知平面向量，，且，则_____． 【答案】 【分析】根据题意，结合向量线性运算的坐标表示，及向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】因为向量，， 所以， 又，所以， 解得. 故答案为：. 14．已知正方形的边长为1，，，，则为_____________． 【答案】 【分析】根据向量的加法法则和模长进行计算. . 故答案为： 三、解答题:本大题共4小题，第15、16题每题10分，第17、18题每题12分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知是两个互相垂直的单位向量，且有. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用向量平行的坐标表示可求； （2）利用向量垂直的坐标表示可求. 【详解】（1）用坐标表示向量，则， 因为，所以， 解得. （2）因为，所以， 解得. 16．已知向量，. (1)求 ； (2)若，，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的数量积公式求解即可； （2）根据向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】（1）∵，， ∴， . ∴. （2）∵，，， ∴. ∵， ∴，即，解得. 17．已知，，，求． 【答案】． 【分析】根据向量数量积的夹角公式即可解得. 【详解】因为，, 所以． 18．已知向量 ，. (1)求 ； (2)若 ，且 ，求的值； (3)若 ，且 ，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的线性运算的坐标表示可求解； （2）根据向量共线的坐标表示可求解； （3）根据向量垂直的坐标表示可求解； 【详解】（1）由题可得， ； （2）由题可得， ，解得； （3）由题可得， ，解得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $