第44卷 平面向量的内积（二）-考点训练卷 2027年天津市（春季高考）《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦平面向量内积核心考点，通过选择、填空、解答题系统覆盖内积计算、垂直性质及夹角应用，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|选择1-5题|内积基本运算|从内积定义出发，巩固坐标法计算| |性质应用|选择7题/填空11题|垂直条件与夹角计算|结合垂直性质（内积为0）及夹角公式推导| |综合应用|解答17-18题|模长与内积综合应用|构建“定义-性质-应用”逻辑链，提升综合推理能力|

编写说明：2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及最新的考试要求，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》 第44卷 平面向量的内积（二） 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．已知向量，且与垂直，则（    ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求解即可. 【详解】已知，且与垂直， 则有，即， 解得. 故选：D. 2．已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示列出方程即可得解. 【详解】因为，，， 所以，， 故选：C． 3．设向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的坐标运算和内积的坐标表示即可求出. 【详解】因为，得， 因为，所以， 且， 则. 故选：A. 4．已知，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合向量内积的概念，即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 5．若向量，，则的值为（    ） A．5 B． C．10 D．7 【答案】B 【分析】根据平面向量内积的坐标表示即可得解. 【详解】向量，， 则， 故选：. 6．已知向量 ，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的内积坐标求解即可. 【详解】因为向量 ，， 则. 故选：A. 7．已知向量，，则与的夹角为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的数量积运算夹角公式求解即可. 【详解】因为向量，， 所以. 因为，所以. 故选：B. 8．已知向量，向量，则的最大值和最小值分别是（    ） A．，0 B．4， C．16，0 D．4，0 【答案】D 【分析】先计算，再计算，根据三角函数的有界性求出最大值与最小值. 【详解】因为向量，向量， 所以 ， 因为，所以. 所以的最大值为4，最小值为0. 故选：D 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9．已知向量，若 ，则______________. 【答案】 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求解即可. 【详解】已知向量， 由得， 即，， 故答案为：. 10．若向量，，且，则实数的值是______． 【答案】 【分析】根据向量垂直的坐标表示可求解. 【详解】由题可知， ，解得 . 故答案为： 11．若，，与的夹角为，若，则m的值为______. 【答案】/ 【分析】由平面向量的内积公式和性质即可得解. 【详解】因为，，与的夹角为， 所以， 因为 所以， 即，解得. 故答案为：. 12．平面向量，满足：，，，则与的夹角的余弦值是__________. 【答案】/ 【分析】利用向量点积运算展开条件式，代入已知模长求出数量积，再通过数量积公式得到夹角余弦值. 【详解】 ， 解得. 故答案为：. 13．在中，M是的中点，，，则________． 【答案】5 【分析】利用向量的线性运算及向量内积的运算性质求解. 【详解】M是的中点，则，， ， 故答案为：5. 14．已知向量，满足，，，则__________. 【答案】 【详解】因为可得， 又，得． 因为，所以，即，解得． 三、解答题:本大题共4小题，第15、16题每题10分，第17、18题每题12分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知求. 【答案】 【分析】根据向量的线性运算的坐标表示和内积的坐标运算求值即可. 【详解】已知 ， ， 所以 . 16．已知向量，，，，且，求 (1)的值； (2)与的夹角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量内积的运算法则，结合模长的平方与已知条件即可得解； （2）因为与的内积为0，即可求得夹角. 【详解】（1）由两边平方得：， 又已知，， 代入可得， . （2）， 与的夹角为. 17．已知平面向量，的夹角为，且，.求： (1)的值； (2)的值. 【答案】(1)2 (2)4 【分析】（1）根据向量内积的运算律列方程求解即可. （2）根据向量内积的运算律计算即可. 【详解】（1）已知平面向量，的夹角为， ，， ，且， ，解得. （2） . 18．已知，，当与满足下列条件时，分别求与的数量积. (1)； (2)； (3)与的夹角为. 【答案】(1)12或 (2)0 (3)6 【分析】根据不同条件确定向量夹角的值，然后利用向量数量积公式求出结果. 【详解】（1）当时：两向量夹角有两种情况，即或. 当时，， 当时，. （2）当时：两向量的夹角， 所以. （3）当与的夹角为时：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及最新的考试要求，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》 第44卷 平面向量的内积（二） 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．已知向量，且与垂直，则（    ） A． B． C．6 D． 2．已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 3．设向量，，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，则为（   ） A． B． C． D． 5．若向量，，则的值为（    ） A．5 B． C．10 D．7 6．已知向量 ，，则 （    ） A． B． C． D． 7．已知向量，，则与的夹角为（      ） A． B． C． D． 8．已知向量，向量，则的最大值和最小值分别是（    ） A．，0 B．4， C．16，0 D．4，0 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9．已知向量，若 ，则______________. 10．若向量，，且，则实数的值是______． 11．若，，与的夹角为，若，则m的值为______. 12．平面向量，满足：，，，则与的夹角的余弦值是__________. 13．在中，M是的中点，，，则________． 14．已知向量，满足，，，则__________. 三、解答题:本大题共4小题，第15、16题每题10分，第17、18题每题12分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知求. 16．已知向量，，，，且，求 (1)的值； (2)与的夹角. 17．已知平面向量，的夹角为，且，.求： (1)的值； (2)的值. 18．已知，，当与满足下列条件时，分别求与的数量积. (1)； (2)； (3)与的夹角为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $