第48卷 空间点、线、面的位置关系（二）-考点训练卷 2027年天津市（春季高考）《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 基于三阶递进式训练体系，聚焦空间点线面位置关系，以考点微目标拆解为核心，强化空间观念与推理能力的系统性培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间位置关系判定|单选1-5、8（8题）|概念辨析与判定|从定义到判定定理的应用，构建线面、面面关系认知链条| |空间角与距离计算|填空10-12、14（4题）|几何量计算|从异面直线所成角到线面角的递进，强化空间几何直观| |体积与综合证明|解答15-18（4题）|综合证明与计算|以线面垂直为基础，推导体积公式，培养逻辑推理能力|

编写说明：2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及最新的考试要求，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》 第48卷 空间点、线、面的位置关系（二） 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面的关系为（    ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．无法确定 2．平面内的两条相交直线都平行于平面，则平面的关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．不确定 3．如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ） A． B． C． D． 4．若直线，且直线平面，则直线与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．在平面内 C．平行或在平面内 D．相交 5．若，，，则a和b的位置关系是（   ） A．平行 B．异面 C．平行或异面 D．相交 6．在中 ，，平面，，则点P到的距离是（    ） A． B． C． D． 7．已知正方体的平面展开图如图所示，则下列叙述正确的是（   ）    A． B．与是异面直线 C．与所成的角是 D．与互相垂直 8．若，是两个不同的直线，，，是三个不同的平面，已知命题：①若，，则，异面；②，，则；③，；④，.其中，正确的命题个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9．若直线平面，直线，则直线与直线的位置关系是_________________. 10．在平面内，，，则与所成的角为_____ 11．在棱长为1的正方体中，直线与平面之间的距离为________． 12．已知正方体的体积为，为的中点，则与平面所成角的正切值为______________. 13．如图所示，正三棱柱底面边长是2，侧棱长是，是中点，则三棱锥的体积为__________.    14．如图，在正方体中，为的中点，则与平面所成角的正切值为__________.    三、解答题:本大题共4小题，第15、16题每题10分，第17、18题每题12分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，．    (1)求证：； (2)求三棱锥的体积． 16．如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为．求的长． 17．在空间四边形ABCD中，，，E，F分别是AB，CD的中点，，求异面直线AD与BC所成的角的大小． 18．已知正四棱锥的各条棱长均为13，，分别是，上的点，且.    (1)求证：//平面； (2)求线段长. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及最新的考试要求，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年天津市春季高考《数学考纲百套卷》 第48卷 空间点、线、面的位置关系（二） 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面的关系为（    ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据面面垂直的判定理求解. 【详解】根据面面垂直的判定理可知：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直， 故选：A. 2．平面内的两条相交直线都平行于平面，则平面的关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．不确定 【答案】A 【分析】根据平面与平面平行的判定即可求解. 【详解】由面面平行的判定可得，平面内的两条相交直线都平行于平面，则平面. 故选：A. 3．如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据异面直线所成角的定义，结合正方体线线关系即可求解. 如图，连接 在正方体中，因为 所以四边形为平行四边形，所以 又在正方形中，，所以 则异面直线与所成角的大小为. 故选：D 4．若直线，且直线平面，则直线与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．在平面内 C．平行或在平面内 D．相交 【答案】C 【分析】根据直线与平面的位置关系判断. 【详解】若直线，且直线平面， 则直线与平面可能平行，也可能直线在平面内，不可能相交. 故选：C. 5．若，，，则a和b的位置关系是（   ） A．平行 B．异面 C．平行或异面 D．相交 【答案】C 【分析】根据线面平行推断直线与直线的位置关系即可解得. 【详解】因为平面平行于平面，直线a在平面内，直线b在平面内， 所以和没有公共点，它们可能平行，也可能异面， 不可能相交，因为分别在两个平行平面内的直线不会有交点. 故选：C. 6．在中 ，，平面，，则点P到的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等腰三角形三线合一性质与线面垂直的判定定理，确定点到的垂线段为，再通过两次勾股定理计算的长度 【详解】取的中点，连接， 因为，为的中点， 由等腰三角形三线合一性质可得， 因为平面，平面， 由线面垂直的性质可得，又， 平面，平面， 由线面垂直的判定定理可得平面， 因为平面，故， 即线段的长度为点到的距离, 在中，，，， 且，所以， 故选：D. 7．已知正方体的平面展开图如图所示，则下列叙述正确的是（   ）    A． B．与是异面直线 C．与所成的角是 D．与互相垂直 【答案】D 【分析】根据题意，结合正方体的结构特征，及异面直线所成角、线面垂直的判定定理和性质定理，即可判断求解. 【详解】    由题意，将正方体的平面展开图还原成正方体，如上图所示： 所以是异面直线，而不平行，故选项A错误； 所以，故选项B错误；    连接，则是等边三角形，故， 因为，所以与所成的角也是，故选项C错误；    连接，则， 又平面，平面，所以， 又平面，平面，， 所以平面，又平面， 所以，故选项D正确. 故选：D. 8．若，是两个不同的直线，，，是三个不同的平面，已知命题：①若，，则，异面；②，，则；③，；④，.其中，正确的命题个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系逐项分析即可. 【详解】若，， 则，可能异面，可能平行，可能相交，故①是假命题， 若，，则，故②是真命题； 若，，则或，故③是假命题， 若，，则与可能平行，可能相交，故④是假命题， 所以正确的命题个数为1个， 故选：A. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9．若直线平面，直线，则直线与直线的位置关系是_________________. 【答案】垂直 【分析】根据直线与平面垂直的性质求解即可. 【详解】由直线与平面垂直的定义，若，则与内任意直线垂直. 因为直线，所以. 故答案为：垂直. 10．在平面内，，，则与所成的角为_____ 【答案】 【分析】先由线面垂直得到线线垂直，再由线线垂直得到线面垂直平面，即可得到. 【详解】    因为在平面内，，所以， 又，，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为平面，所以， 即与所成的角为. 故答案为： 11．在棱长为1的正方体中，直线与平面之间的距离为________． 【答案】 【分析】由题意直线与平面平行，所以直线与平面之间的距离等于点到平面的距离，利用等体积法求解即可. 【详解】因为，所以为平行四边形，则， 因为平面，平面，所以直线与平面平行， 所以直线与平面之间的距离等于点到平面的距离. 由已知得平面，是边长为的正三角形， 设点到平面的距离为， 由，得， 则，解得， 即直线与平面之间的距离为. 故答案为：. 12．已知正方体的体积为，为的中点，则与平面所成角的正切值为______________. 【答案】 【分析】先根据正方体体积求出棱长，再找出直线在平面上的射影，最后根据线面角的定义求出其正切值. 【详解】设正方体的棱长为， 已知正方体体积为，则有，解得. 因为平面，则直线在平面上的射影为， 所以是直线与平面所成的角， 已知为的中点，，所以， 在中，根据勾股定理可得， 在中，，则， 故与平面所成角的正切值为. 故答案为：. 13．如图所示，正三棱柱底面边长是2，侧棱长是，是中点，则三棱锥的体积为__________.    【答案】1 【分析】根据线面垂直的判定定理以及三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】因为平面，所以. 因为，平面， 所以平面，为三棱锥的高，， 底面积，体积. 故答案为：1. 14．如图，在正方体中，为的中点，则与平面所成角的正切值为__________.    【答案】 【分析】找出直线在平面内的射影，从而确定直线与平面所成的角，再结合正方体的性质进行计算. 【详解】连接，    因为正方体中，平面， 则直线在平面内的射影为， 所以是与平面所成的角， 设正方体的棱长为， 因为，为的中点，则， 所以， 在中，，， 可得：， 故答案为：. 三、解答题:本大题共4小题，第15、16题每题10分，第17、18题每题12分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，．    (1)求证：； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明平面后可得证线线垂直. （2）由棱锥体积公式计算即可． 【详解】（1）∵底面，平面， ∴，又∵底面为正方形， ∴，又，，平面， ∴平面，又平面， ∴. （2）∵平面， ∴是三棱锥的高， ∵， ∴ . 16．如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为．求的长． 【答案】5 【分析】取中点，连接，，即可得到异面直线与所成的角，再由勾股定理计算可得. 取中点，连接，， 又因为，，，分别为，的中点， 所以且，且， 又因为异面直线与所成的角为，则为异面直线与所成的角（或补角）， 所以， 所以， 所以． 17．在空间四边形ABCD中，，，E，F分别是AB，CD的中点，，求异面直线AD与BC所成的角的大小． 【答案】 【分析】取BD的中点O，利用定义法求出异面直线AD与BC所成的角. 如图所示， 设BD的中点为O，连接EO，FO，则， 所以是异面直线AD与BC所成的角或其补角， 而，， 在中，由余弦定理，得， 而，因此， 所以异面直线AD与BC所成的角为． 18．已知正四棱锥的各条棱长均为13，，分别是，上的点，且.    (1)求证：//平面； (2)求线段长. 【答案】(1)证明见解析 (2)7 【分析】（1）连接并延长交于，通过已知条件中的比值关系来寻找平行的条件，得出，进而可得结论； （2）利用余弦定理，结合已知条件求的长度． 【详解】（1）连接并延长交于，连接，如图所示． ，， ， 又， ， 又平面平面， 平面．    （2）在等边中，， 在中，由余弦定理知 ， ． ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $