第九章 第46课时 带电粒子在电场中的偏转 讲义 -2027届高考物理一轮复习

该高中物理讲义聚焦带电粒子在电场中的偏转，覆盖匀强电场偏转和交变电场偏转两大高考核心考点，按运动规律、功能关系、交变电场的逻辑层次构建知识体系。通过考点梳理、方法指导（如类平抛模型、速度反向延长线规律）、真题讲解（2024-2025年江苏卷等）、分层练习，帮助学生突破难点，体现复习的系统性和针对性。 资料采用模型建构与科学推理策略，如匀强电场偏转中引导学生建立类平抛模型，推导偏移量公式培养科学思维。交变电场中结合v-t图像分段分析周期性运动，设置基础、提升、综合分层练习，配合即时反馈保障复习效果，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供指导。

第46课时　带电粒子在电场中的偏转 目标要求　1.能根据运动的合成和分解、动力学和能量观点分析带电粒子在电场中偏转问题。2.会分析带电粒子在交变电场中的偏转问题。 考点一　带电粒子在匀强电场中的偏转 1.运动规律 (1)沿初速度方向做匀速直线运动，t=(如图)。 (2)沿静电力方向做匀加速直线运动 ①加速度：a===； ②离开电场时沿电场方向的偏移量：y=at2=； ③离开电场时的偏转角：tan θ==。 2.功能关系 当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qUy=mv2-m，其中Uy=y，指初、末位置间的电势差。 3.粒子经电场偏转后射出时，速度的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子水平位移的中点。 例1　如图所示，喷墨打印机中的墨滴在进入偏转电场之前会被带上一定量的负电荷，在电场的作用下使电荷发生偏转到达纸上。已知两偏转极板长度为L1，极板右侧到纸张距离为L2，两极板间电场强度为E，质量为m、电荷量为q的墨滴在进入电场前的速度为v0，方向与两极板平行，O点为纸张与电场中线交点，不计空气阻力和墨滴重力，假设偏转电场只局限在平行极板内部，忽略边缘电场的影响。求： (1)墨滴通过偏转极板的时间； (2)墨滴射出偏转极板时在竖直方向上的位移y； (3)墨滴射出偏转极板时的动能； (4)墨滴射出偏转极板时的速度方向与原入射方向夹角的正切值； (5)墨滴打到纸上的点距O点的距离。 答案　(1)　(2)　(3)m+　(4)　(5) 解析　(1)墨滴进入偏转电场做类平抛运动，如图所示 在v0方向做匀速直线运动，有L1=v0t， 得t= (2)垂直于v0方向有y=at2，qE=ma 得y= (3)由动能定理qEy=Ek-m 得Ek=m+ (4)墨滴从偏转极板间的电场射出时垂直于v0方向的分速度vy=at= 设墨滴从偏转极板间的电场射出时速度方向与原入射方向夹角为θ，有tan θ== (5)方法一　从偏转电场射出到打在纸上的竖直距离y2=L2tan θ= 墨滴打在纸上的点距O点的距离为 Y=y+y2= 方法二　将墨滴从偏转极板间的电场射出时速度方向反向延长，交初速度v0延长线于处， 由三角形相似=， 解得Y=。 计算粒子打到屏上的位置离屏中心距离的方法 (1)Y=y+Dtan θ(D为屏到偏转电场右边界的水平距离)。 (2)Y=(+D)tan θ(L为极板长度)。 (3)根据三角形相似==。 (来自教材)让一价氢离子、一价氦离子和二价氦离子的混合物由静止开始经过同一加速电场加速，然后在同一偏转电场里偏转，它们是否会分离成三股粒子束？试通过计算说明。 答案　由qU0=m y=at2=··()2 tan θ== 得y=，tan θ=， y、θ均与m、q无关。所以它们的偏移量和偏转角总是相同的，轨迹是重合的。 故它们不会分离成三股粒子束。 例2　(2024·江苏南通市三模)如图甲所示，某示波器在XX'、YY'不加偏转电压时光斑位于屏幕中心，现给其加如图乙所示的偏转电压，则看到光屏上的图形是(　　) 答案　D 解析　XX'方向加逐渐增大的电压，则电子向X方向偏转。YY'方向加恒定电压，则电子向Y方向偏转，且偏转的距离相同，D正确。 例3　(2025·江苏卷·13)如图所示，在电场强度为E，方向竖直向下的匀强电场中，两个相同的带正电粒子a、b同时从O点以初速度v0射出，速度方向与水平方向夹角均为θ。已知粒子的质量为m，电荷量为q，不计重力及粒子间相互作用。求： (1)a运动到最高点的时间t； (2)a到达最高点时，a、b间的距离H。 答案　(1)　(2) 解析　(1)对粒子a根据牛顿第二定律有qE=ma a运动到最高点时，在竖直方向有v0sin θ=at 联立解得t= (2)方法一　根据题意可知，两粒子均在水平方向上做匀速直线运动，且水平方向上的初速度均为v0cos θ，则两粒子一直在同一竖直线上，a到达最高点时，a粒子竖直方向上运动的位移为 x1== b粒子竖直方向上运动位移为 x2=v0tsin θ+at2= 则粒子a到达最高点时与粒子b之间的距离 H=x1+x2= 方法二　两粒子均受到相同静电力，以粒子a为参考系，则粒子b以2v0sin θ的速度向下做匀速直线运动，a到达最高点时，a、b间的距离 H=2v0sin θ·t=。 例4　(2025·江苏泰州市检测)空间中存在水平向左的匀强电场，电场强度E的大小为。将质量为m、电荷量为+q的小球以初速度v0水平向右抛出，小球的运动轨迹如图所示。A、C两点在同一竖直线上，B点的速度方向竖直向下，不计空气阻力，已知重力加速度为g。求： (1)小球从A点运动到B点的时间； (2)小球从A点到C点运动过程中的最小速度。 答案　(1)　(2) 解析　(1)水平方向，由牛顿第二定律有ma=qE， 由运动学规律有t=， 联立解得t= (2)设静电力与重力的合力与水平方向的夹角为θ，tan θ==， 则θ=30°。建立如图所示直角坐标系，小球沿x方向做匀速直线运动，沿-y方向做匀减速直线运动，当vy=0，即速度与合力垂直时，速度最小为v=v0sin 30°， 解得v=。 考点二　带电粒子在交变电场中的偏转 1.当粒子垂直于交变电场方向射入时，沿初速度方向的分运动为匀速直线运动，沿电场方向的分运动具有周期性。 2.研究带电粒子在交变电场中的偏转运动，关键是根据电场变化的特点，利用牛顿第二定律正确地判断粒子的运动情况。根据电场的变化情况，分段求解带电粒子运动的末速度、位移等。 3.对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，若粒子穿过板间的时间极短，带电粒子穿过电场时可认为是在匀强电场中运动。 例5　如图a所示，水平放置的两正对、平行金属板A、B间加有如图b所示的交流电压UAB，现有一带电粒子从A板左端边缘以速度v0水平射入电场。粒子电荷量为+q，质量为m，不计粒子重力。 (1)若粒子能够射出电场，已知金属板长度为L，求粒子在电场中的运动时间t； (2)若粒子在t=0时刻射入电场，经过一段时间后从B板右侧边缘水平射出。 ①定性画出垂直板方向的速度vy(规定竖直向下为正方向)随时间变化的图像。 ②求出板长L和两板间距d分别满足的条件。 答案　(1)　(2)①见解析图　②见解析 解析　(1)根据题意可知，粒子在电场中水平方向上做匀速直线运动，若粒子能够射出电场，则粒子在电场中的运动时间为t= (2)①②由对称性可知，粒子可能在t1=nT(n=1，2，3…)，即vy=0时从B板右边缘水平射出， L=v0t1=nv0T(n=1，2，3…)， d=2n·a()2 由牛顿第二定律有a=， 联立得d=(n=1，2，3…)。 针对训练　(2026·江苏省南京师范大学附属中学一模)如图甲所示，质量为m、带电量为+q的初速度为零的带电粒子，经A、B间的电场加速后，沿水平放置的平行极板C、D的中心线OO'进入偏转电场。已知极板A、B间电压为U，极板C、D的板长为L，板间距离为d。C、D板间加上周期性变化的电压UCD，如图乙所示，T=L，U0=。粒子的重力忽略不计，两板间电场看作匀强电场。 (1)求粒子射入偏转电场时的速度大小v0； (2)若粒子在t=0时刻进入C、D间的偏转电场，求粒子离开偏转电场时沿垂直于极板方向的偏转距离y及速度偏转角θ的正切值； (3)若粒子在t=时刻进入C、D间的偏转电场，求粒子离开偏转电场时沿垂直于极板方向的偏转距离y'。 答案　(1)　(2)　　(3) 解析　(1)带电粒子经A、B间的电场加速，由动能定理有Uq=m-0 粒子射入偏转电场时的速度大小v0= (2)粒子在t=0时刻进入偏转电场，水平方向做匀速直线运动，L=v0t，t== 竖直方向做匀加速直线运动，由=ma， 可得加速度大小为a== 粒子离开偏转电场时沿垂直于极板方向的偏转距离y=at2= 粒子离开偏转电场时竖直速度大小为vy=at= 速度偏转角θ的正切值 tan θ==== (3)粒子在t=时刻进入偏转电场， 粒子离开偏转电场所用时间t==， ~时间内，竖直方向做匀加速直线运动 加速度大小为a=，位移大小为y1=a()2 ~时间内，竖直方向做匀减速直线运动 加速度大小为a'=， 位移大小为y2=(a·-a'()2 粒子离开偏转电场时沿垂直于极板方向的偏转距离y'=y1+y2=。 课时精练 [分值：46分] 　[1~4题，每题4分] 1.(2025·江苏南通市检测)喷墨打印机的简化模型如图所示，重力可忽略的墨汁微滴，经带电室带负电后，以速度v垂直匀强电场飞入极板间，最终打在纸上，则微滴在极板间电场中(　　) A.向负极板偏转 B.电势能逐渐增大 C.运动轨迹是抛物线 D.运动轨迹与带电荷量无关 答案　C 解析　由于墨汁微滴带负电，故向正极板偏转，A错误；由于静电力对墨汁微滴做正功，故电势能减少，B错误；由于微滴受竖直方向大小不变的静电力，故在电场中做类平抛运动，轨迹为抛物线，故C正确；微滴在垂直电场方向做匀速直线运动，有x=vt，沿电场方向做匀变速直线运动，有y=at2=)2，可知运动轨迹与带电荷量有关，D错误。 2.(2025·江苏扬州市模拟)示波管的内部结构如图甲所示，如果在偏转电极XX'、YY'之间都没有加电压，电子束将打在荧光屏的中心。如果在偏转电极XX'之间和YY'之间加上图丙所示的几种电压，荧光屏上可能会出现图乙中(a)、(b)所示的两种波形，则(　　) A.若XX'和YY'分别加电压(2)和(1)，荧光屏上可以出现图乙中(a)所示波形 B.若XX'和YY'分别加电压(4)和(1)，荧光屏上可以出现图乙中(a)所示波形 C.若XX'和YY'分别加电压(3)和(2)，荧光屏上可以出现图乙中(b)所示波形 D.若XX'和YY'分别加电压(4)和(2)，荧光屏上可以出现图乙中(b)所示波形 答案　C 解析　要显示一个周期的信号电压，XX'偏转电极要接入(3)的锯齿形电压。即若XX'和YY'分别加电压(3)和(1)，荧光屏上可以出现题图乙中(a)所示波形；若XX'和YY'分别加电压(3)和(2)，荧光屏上可以出现题图乙中(b)所示波形。故选C。 3.(2025·江苏扬州市模拟)一个已充电的平行板电容器，板长为L，现将一带电微粒(重力不计)从下极板的左边缘以v0射入电场中，速度方向与下极板的夹角为θ，结果带电微粒刚好从上极板的右边缘水平射出。板间可视为匀强电场，下列说法正确的是(　　) A.微粒在两板之间做变加速曲线运动 B.两板间距为Ltan θ C.微粒在极板间运动的时间为 D.加大两平行板之间的距离，微粒会打在上极板 答案　B 解析　微粒只受竖直向下的静电力作用，加速度向下且大小不变，可知微粒在两板之间做匀加速曲线运动，故A错误；水平方向L=v0cos θ·t，竖直方向t=d，解得两板间距为d=Ltan θ，微粒在极板间运动的时间为t=，故B正确，C错误；加大两平行板之间的距离，因极板带电量不变，根据E=，C=，C=，可得E=，则板间电场强度不变，微粒的加速度不变，因运动时间不变，则竖直位移也不变，则微粒不会打在上极板，故D错误。 4.(2025·重庆卷·5)某兴趣小组用人工智能模拟带电粒子在电场中的运动，如图所示的矩形区域OMPQ内分布有平行于OQ的匀强电场，N为QP的中点。模拟动画显示，带电粒子a、b分别从Q点和O点垂直于OQ同时进入电场，沿图中所示轨迹同时到达M、N点，K为轨迹交点。忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用，则可推断a、b(　　) A.具有不同比荷 B.电势能均随时间逐渐增大 C.到达M、N的速度大小相等 D.到达K所用时间之比为1∶2 答案　D 解析　根据题意可知，带电粒子在电场中做类平抛运动，带电粒子a、b分别从Q点和O点同时进入电场，沿题图中所示轨迹同时到达M、N点，可知，运动时间相等，由题图可知，沿初速度方向位移之比为2∶1，则初速度之比为2∶1，带电粒子a、b到达K的水平位移相等，由于带电粒子a、b初速度之比为2∶1，则所用时间之比为1∶2，故D正确；沿电场方向的位移大小相等，由y=at2可知，粒子运动的加速度大小相等，由牛顿第二定律有qE=ma，可得=，可知带电粒子具有相同比荷，故A错误；带电粒子运动过程中，静电力均做正功，电势能均随时间逐渐减小，故B错误；沿电场方向，由公式vy=at可知，到达M、N的竖直分速度大小相等，由于初速度之比为2∶1，则到达M、N的速度大小不相等，故C错误。 5.(8分)(2025·河南卷·13)流式细胞仪可对不同类型的细胞进行分类收集，其原理如图所示。仅含有一个A细胞或B细胞的小液滴从喷嘴喷出(另有一些液滴不含细胞)，液滴质量均为m=2.0×10-10 kg。当液滴穿过激光束、充电环时被分类充电，使含A、B细胞的液滴分别带上正、负电荷，电荷量均为q=1.0×10-13 C。随后，液滴以v=2.0 m/s的速度竖直进入长度为l=2.0×10-2 m的电极板间，板间电场均匀、方向水平向右，电场强度大小为E=2.0×105 N/C。含细胞的液滴最终被分别收集在极板下方h=0.1 m处的A、B收集管中。不计重力、空气阻力以及带电液滴间的作用。求： (1)(4分)含A细胞的液滴离开电场时偏转的距离； (2)(4分)A、B细胞收集管的间距。 答案　(1)5×10-3 m　(2)0.11 m 解析　(1)由题意可知含A细胞的液滴在电场中做类平抛运动，垂直于电场线方向有l=vt1 沿电场线方向有x1=a 由牛顿第二定律有qE=ma 解得含A细胞的液滴离开电场时偏转的距离为x1=5×10-3 m (2)含A细胞的液滴离开电场后做匀速直线运动，则h=vt2，x2=v1t2=at1t2 联立解得x2=0.05 m 由对称性可知A、B细胞收集管的间距Δx=2(x1+x2)=2×(0.005+0.05) m=0.11 m。 　[6题4分] 6.如图甲，一带电粒子沿平行板电容器中线MN以速度v平行于极板进入(记为t=0时刻)，同时在两板上加一按图乙变化的电压。已知粒子比荷为k，带电粒子只受静电力的作用且不与极板发生碰撞，经过一段时间，粒子以平行极板方向的速度射出。则下列说法中正确的是(　　) A.粒子射出时间可能为t=4 s B.粒子射出的速度大小为2v C.极板长度满足L=3vn(n=1，2，3，…) D.极板间最小距离为 答案　D 解析　粒子进入电容器后，在平行于极板方向做匀速直线运动，垂直极板方向的运动v-t图像如图所示， 因为粒子平行极板射出，可知粒子垂直极板的分速度为0，所以射出时刻可能为1.5 s、3 s、4.5 s…，满足t=1.5n(n=1，2，3，…)，粒子射出的速度大小必定为v，故A、B错误；极板长度L=v·1.5n(n=1，2，3，…)，故C错误；因为粒子不跟极板碰撞，则应满足≥vy×1.5 s，vy=a×1 s，a=，联立可得d≥，故D正确。 7.(14分)(2026·江苏南京市六校联合体调研)图甲为某粒子控制装置的内部结构图，A、B为两块相距很近的平行金属板，板中央有正对小孔O和O'，B板右侧靠近B板处有关于OO'连线对称放置的平行金属板M、N，长L=0.1 m，板间距离d=4×10-2 m，两板间加有恒定电压U2=16 V，其内部偏转电场视为匀强电场。在M、N板右侧相距为L处有一垂直OO'连线放置的粒子接收屏P(屏足够大)。一束带正电的粒子以相同的初动能E0=1×10-2 J源源不断地从小孔O垂直A板射向O'，粒子的带电量为q=1×10-4 C、质量为m=6×10-8 kg。现在A、B板间加上图乙所示的周期性变化的电压U1，其中A板电势低于B板时，U1为负值。若不计粒子穿过A、B板所用的时间，忽略粒子重力及粒子间的相互作用。求： (1)(4分)t=1.5 s时刻从小孔O射入的粒子，从O'射出时的速度； (2)(5分)t=3 s时刻从小孔O射入的粒子，在偏转电场中沿垂直极板方向的偏转量y； (3)(5分)接收屏P被粒子打中区域的长度l。 答案　(1)0　(2) cm　(3) cm 解析　(1)由题图乙可知，t=1.5 s时A、B板间的电压为U=-100 V，粒子带正电， 由动能定理得qU=Ek-E0 解得Ek=0 即t=1.5 s时刻从小孔O射入的粒子，从O'射出时的速度为0。 (2)粒子在t=3 s射入偏转电场时动能最大，在电场中的偏转量最小， 有Ekmax=E0+qU1=mv2=3×10-2 J 解得v=1 000 m/s 水平方向有x=L=vt 竖直方向有ymin=at2=· 解得ymin= cm 即t=3 s时刻从小孔O射入的粒子，在偏转电场中沿垂直极板方向的偏转量y= cm (3)如图所示 粒子进入M、N间速度越小，偏转位移越大，故只有部分粒子射出偏转电场打在接收屏上，最大偏移量应为紧贴极板右端射出的粒子打到P上产生的，即ymax==2 cm 设粒子打在接收屏上的最高点距水平轴线OO'的竖直距离为ypmax，由平抛推论得速度的反向延长线过此时水平位移的中点，根据三角形相似可得 ==，ypmax=2ymax 同理，ypmin=2ymin 故接收屏被粒子打中的区域长度为l=ypmax-ypmin= cm 　[4分] 8.(2025·江苏常州市模拟)在如图所示的xOy平面内有一圆形区域，圆心为O，半径为R，a、b、c、…k、l为圆上的12个等分点，空间存在平行于xOy平面的匀强电场。一不计重力、质量为m、电荷量为q的带负电粒子从g点以速度v0沿y轴正向射入圆形区域，恰从c点沿x轴正向射出。下列说法中正确的是(　　) A.电场强度的方向为从h点指向b点的方向 B.圆上各点中f点的电势最高 C.运动到c点的速度大小为v0 D.电场强度的大小为 答案　B 解析　由分析可知，粒子沿y轴正方向做匀减速直线运动，且当运动到c点时竖直方向速度恰好减为0；沿x轴正方向粒子由静止开始做匀加速直线运动，根据几何关系可得粒子沿y轴正方向y=R+Rsin 30° =R=ayt2，沿x轴正方向x=Rcos 30°=R=axt2，解得===，因为粒子只受静电力的作用，故水平方向qEx=max，竖直方向qEy=may，解得==，因为粒子沿y轴正方向做匀减速直线运动，粒子带负电，所以Ey竖直向上；同理可判断Ex水平向左。设合电场强度与x轴负方向夹角为θ，则有tan θ==，解得θ=60°，根据几何关系可得电场强度的方向为从f点指向l点的方向，故A错误；因为沿电场线方向电势降低，且过f点的等势线正好与圆弧相切，所以圆上各点中f点的电势最高，故B正确；在水平方向有vx=axt，在竖直方向有v0=ayt，所以==，解得vx=v0，即粒子运动到c点的速度大小为v0，故C错误；在竖直方向有-2ayy=0-，a=，联立解得Ey==，所以Ex=Ey=，根据勾股定理可得E合===，故D错误。 学科网（北京）股份有限公司 $