微专题14动态问题——2027届高三数学一轮复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦“立体几何动态问题”专题，依据高考评价体系梳理了轨迹长度计算、轨迹形状判定、空间位置关系转化三大考查要求，通过直四棱柱、二面角、正三棱柱等典型例题及对应训练，覆盖高考高频动态轨迹题型，明确其在立体几何模块约20%的考点权重，构建系统解题思路。 课件亮点在于“真题模拟+方法提炼+素养提升”的备考设计，如例2二面角轨迹问题用定义法结合球与圆锥交线分析，例3正三棱柱通过面面平行确定轨迹线段，培养学生空间观念与逻辑推理素养。提供几何法、坐标法等突破策略，帮助学生掌握动态问题转化技巧，教师可据此精准定位学情，实现高效复习。

第7章 立体几何与空间向量 微专题14：动态问题 2027届高考一轮复习数学 1 例1　在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∠ADC=，CD=AD=AA1=2，点Q在侧面DCC1D1内，且A1Q=，则点Q轨迹的长度为(　　) A. B. C. D. C [解析] 如图所示，过点A1作A1E⊥C1D1，过点E作EE1⊥CD于E1， 因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱，所以DD1⊥平面A1B1C1D1， 2 因为A1E⊂平面A1B1C1D1，所以DD1⊥A1E， 又因为A1E⊥C1D1，DD1∩C1D1=D1，DD1⊂平面DCC1D1，D1C1⊂平面DCC1D1， 所以A1E⊥平面DCC1D1，因为直线EQ⊂平面DCC1D1，所以A1E⊥EQ， 因为∠ADC=，CD=AD=AA1=2，所以A1E=2×=， 又因为A1Q=，所以EQ==2，因为点Q在侧面DCC1D1内， 3 所以在平面直角坐标系中来研究点Q轨迹的长度，如图所示: 点Q的运动轨迹为以点E为圆心、2为半径的圆在正方形CDD1C1内部的弧， 显然ED1=2×=1，OF=2，所以∠FOG=，所以=×2=.故选C. 4 例2　(2025·湖北襄阳·模拟预测)如图，二面角α-l-β的大小为，已知A，B是l上的两个定点，且AB=4，C∈α，D∈β，AB与平面BCD所成的角为，若点A在平面BCD内的射影H在△BCD的内部(包括边界)，则点H的轨迹的长度为(　　) A. B. C. D. D 5 [解析] 如图所示: 因为AB与平面BCD所成的角为，且点A在平面BCD上的射影为H，AB=4， 所以AH=AB·sin=2，BH=AB·cos=2，所以点H在以点B为球心，以2为半径的球面上，又点H在以AB为轴，以AH为母线的圆锥的侧面上， 6 所以点H的轨迹为以点B为球心，以2为半径的球与以AB为轴，母线AH与轴AB成的圆锥侧面交线的一部分， 即图中扇形EOF的弧EF，且扇形所在平面垂直于AB， 因为二面角α-l-β的平面角的大小为，所以∠EOF=， 又OH=BHsin=2×=，所以点H的轨迹的长度等于×=π. 7 例3　(2025·陕西商洛·模拟预测)如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是2，M为A1C1的中点，N是侧面BCC1B1内的动点，且MN∥平面ABC1，则点N的轨迹的长度为(　　) A. B.2 C. D.4 B 8 [解析] 如图， 取B1C1的中点D，取BB1的中点E，连接MD，DE，ME，则DE∥BC1， 又DE⊄面ABC1，BC1⊂面ABC1，所以DE∥平面ABC1， 又M为A1C1的中点，所以MD∥A1B1∥AB， 又MD⊄面ABC1，AB⊂面ABC1，所以MD∥平面ABC1， 9 又DE∩MD=D，DE⊂面DEM，MD⊂面DEM， 所以平面DEM∥平面ABC1， 又因为N是侧面BCC1B1上一点，且MN∥平面ABC1， 所以N的轨迹为线段DE，DE==2， 所以点N的轨迹的长度为2. 故选B. 10 [小结]1.解决空间位置关系的动点问题 (1)应用“位置关系定理”转化. (2)建立坐标系计算. 2.解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法 (1)几何法:根据平面的性质进行判定. (2)定义法:转化为平面轨迹问题,用圆锥曲线的定义判定,或用代替法进行计算. (3)特殊值法:根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除. 11 1.已知动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上运动，且PA=r(0<r<)，记点P的轨迹长度为f(r)，则f(1)+f()=　　　　.  3π [解析] 如图，当r=1时，点P在正方体表面上的轨迹分别是以A为圆心， 1为半径的三个面上的三段弧，分别为， 则f(1)=3××2π= . 当r=时，点P在正方体表面上的轨迹为在平面A1B1C1D1上 以A1为圆心，1为半径的， 在平面B1BCC1上为以B为圆心，1为半径的， 在平面DCC1D1上为以D为圆心，1为半径的， 则f()=3××2π=，所以f(1)+f()=+=3π. 对应训练 12 2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是2，点P是棱AD的中点，Q是正方体表面上的一动点，PQ⊥A1C，则动点Q的轨迹长度是(　　) A.3 B.5 C.3 D.6 D [解析] 如图所示，分别取DD1，C1D1，B1C1，BB1，AB的中点E，F，G，M，N， 连接PE，EF，FG，GM，MN，NP，AB1， 因为AD∥B1C1且AD=B1C1， 所以四边形AB1C1D是平行四边形， 所以DC1∥AB1， 因为E，F，M，N分别是DD1，C1D1，BB1，AB的中点， 所以EF∥C1D，MN∥AB1，所以MN∥EF，同理可得MG∥PE，FG∥NP， 13 所以E，F，G，M，N，P六点共面，且六边形EFGMNP为边长为的正六边形， 因为CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以CC1⊥BD， 又BD⊥AC，AC∩CC1=C，AC，CC1⊂平面ACA1，所以BD⊥平面ACA1， 因为N，P分别为AB，AD的中点，所以NP∥BD，所以NP⊥平面ACA1， 14 又A1C⊂平面ACA1，所以NP⊥A1C，同理可得MN⊥A1C， 又NP∩MN=N，NP，MN⊂平面EFGMNP，所以A1C⊥平面EFGMNP， 因为PQ⊥A1C，所以点Q的轨迹即为六边形EFGMNP，其轨迹长度为6.故选D. 15 3.(2025高三上·云南昆明·阶段考)如图，已知在△ABC中，AB=1，BC=3，AB⊥BC，D是BC边上一点，且BD=1，将△ABD沿AD进行翻折，使得点B与点P重合，若点P在平面ADC上的射影在△ADC内部及边界上，则在翻折过程中，动点P的轨迹长度为(　　) A.π B.π C.π D.π A 16 [解析] 如图(1)所示，过点B作BF⊥AD，分别交AD，AC于点E，F， 则动点P在平面ADC上的射影轨迹为线段EF， 设当P与P1重合时，有P1E⊥EF;当P与P2重合时，有P2F⊥EF， 则由PE=BE为定长，可知动点P的轨迹是以E为圆心，以BE为半径且圆心角为∠P1EP2的圆弧，如图(1)所示， 在△ABC所在平面建立如图(2)所示的平面直角坐标系， 17 则A(0，1)，D(1，0)，C(3，0)，E，直线BE:y=x，直线AC:y=-x+1， 联立方程组解得x=，y=，即F，则|EF|=， 又由|BE|=，可得cos∠P2EF==，所以∠P2EF=，∠P1EP2=， 所以动点P的轨迹长度为·=π.故选A. 18 4. (多选)(2026·江苏部分学校调研)六氟化硫(SF6)分子结构为正八面体(可看作是将两个棱长均相等的正四棱锥通过底面粘接在一起的几何体).如图,正八面体E－ABCD－F的棱长为a,下列说法中正确的有(　　) BD A.异面直线AE与BF所成的角为45° B.此八面体的外接球与内切球的体积比值为3 C.若点P为棱EB上的动点,则AP＋CP的最小值为2a D.若点O为四边形ABCD的中心,点Q为此八面体表面上动点, 且OQ＝,则动点Q的轨迹长度为aπ 索引 解析：对于A,由正八面体的结构特征可得,BF∥DE, 所以异面直线AE与BF所成的角为60°,故A错误; 对于B,连接AC,根据对称性易得正八面体外接球与内切球的球心为其中心, 所以r外＝AC＝a,取AD,BC的中点G,H,连接EG,EH,GH, 内切球切点在面的中线EG上,且在四边形EGFH中, 由等面积法可得r内＝a, 则＝3,故B正确; 索引 对于C,将平面AEB沿EB展开,与平面ECB共面, 则四边形AECB是菱形,且∠EAB＝60°,连接AC, 则AC的长为AP＋CP的最小值,为a, 故C错误; 对于D,因为O到各棱的距离都等于, 则点Q在各面的轨迹恰好为各个面的内切圆,设其半径为r, 因为△ADE为等边三角形,所以r＝×a×a, 所以在一个面的轨迹长度为2πr＝2π×a＝, 所以在八个面内的轨迹长度之和为aπ,故D正确. 索引 $