（预习篇）第十三讲 整式的加减（整式、合并同类项）暑假衔接培优讲义 -2026--2027学年苏科版数学小升初（六升七年级）

2026-2027学年苏科版新教材数学小升初（六升七年级）衔接金牌培优讲义 第十三讲 整式的加减（整式、合并同类项）「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•七年级上册（第3章 代数式）】 （思维导图+教材精讲+知识总结+十大考点讲练+难度分层练 共50题 原卷版） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材七年级上册内容为主，讲义包含思维导图指引，教材内容精讲，知识点总结技巧点拨，高频考点优选题讲练，难度分层练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 友情提醒：本套讲义新知学习内容建议结合知识卡片内容学习（卡片结合苏科版七年级上册新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 新知学习一：整式 【学习目标】 1. 通过具体实例了解单项式、多项式、整式及有关概念，并能够厘清概念之间的关系． 2.经历用整式表示具体情景中数量关系的过程，发展抽象能力. 3.经历从具体到抽象、从特殊到一般的过程，发展数感和符号意识，培养分析问题的能力． 【知识回顾】 1. 用代数式表示下列问题中的数量： (1) 正方体的棱长为a，正方体的体积和表面积分别是多少？ (2) 列车以300 km/h的速度行驶了t h，行驶了多少路程？ (3) 圆柱的底面半径和高分别为r，h，圆柱的底面面积和体积分别是多少？ 解：(1)正方体的体积是a³，表面积是6a²． (2)行驶了300t km． (3)圆柱的底面积是πr²，体积是πr²h． 【讨论交流】 这几个代数式都是由数与字母的积组成．a³，6a²，300t，πr²，πr²h 【概念引入】 由数与字母的积组成的代数式叫作单项式(monomial expression). 单独一个数或一个字母也是单项式．例如，－2，0，π，a，y等．单项式中的数字因数叫作单项式的系数． 单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 如果一个单项式不含字母，就称它的次数是0．例如，－2的次数为0． 【概念辨析】 【方法点拨】 1.单项式只含乘积运算，不含加减运算，单项式分母中不含字母． 2.单项式的系数包括它前面的符号， 单独一个字母的系数是1或－1； 3. 单项式的次数只与字母的指数有关，系数的指数不能当成字母的指数一同计算． 【知识精讲】 代数式ab＋πR²－πr²可以看作单项式ab，πR²，－πr²的和．像这样可以看作几个单项式的和的代数式叫作多项式(polynomial)． 多项式中，每个单项式叫作多项式的项；其中次数最高的项的次数叫作这个多项式的次数； 注意： 1.不能说多项式包含单项式，它们是两个不同的概念，没有从属关系. 2.最高次项不是唯一的. 不含字母的项叫作常数项．单项式和多项式统称整式 (integral expression)． 【方法点拨】 1.首先判断是否是整式，若分母中含字母，则一定不是整式，也不是单项式或多项式. 单项式与多项式的区别在于是否含有加减运算. 2.我们常把一个多项式各项的位置按照其中某一字母指数的大小顺序排列．这样会使式子更有条理、方便运算. 【新知讲解】 多项式的排列 若按照某个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做这个多项式按这个字母的降幂排列， 若按照某个字母的指数从小到大的顺序排列，叫作这个多项式按这个字母的升幂排列． 【课堂小结】 新知学习二：合并同类项 【学习目标】 1. 理解同类项的概念，能够识别同类项． 2.会合并同类项，知道合并同类项所依据的运算律，发展运算能力. 3.体会合并同类项在代数式求值计算中的应用． 【问题引入】 如图，某菜地的四个区域种植了四种蔬菜，试计算菜地的总占地面积 方法1：把菜地看成4个小长方形组成的，它的面积为80a＋160a＋190b＋50b. 方法2：把菜地看成上下两个2个大长方形组成的，它的面积为(80＋160)a＋(190＋50)b 两个代数式之间有何关系？ 【讨论交流】 你能从运算的角度说明这个等式成立吗？ 从单项式的定义看，80a和160a，190b和50b分别有什么共同特点？ 类似地，－9x²y³和5x²y³，ab²和－13ab²呢？你还能举出类似的例子吗？ 【概念引入】 一般地，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项 (like terms)． 同类项必须同时满足“两个相同”， 两者缺一不可. 【典例分析】 例1 指出下列各组中的两项是不是同类项，若不是，请说明理由． (1) 2xy²与y²； (2) －5与0； (3) 2a²b与3ab²； (4) xyz与2xy； (5) －ab与ba． 解：(1) (2) (5) 都符合同类项的定义，都是同类项； (3) 2a²b与3ab2虽然所含的字母相同，但相同字母的指数都不相同， 所以它们不是同类项； (4) xyz与2xy所含的字母不相同，故它们不是同类项． 【归纳总结】 同类项的判断方法： ①首先观察所含字母是否相同，其次观察相同字母的指数是否相同. ②常数项都是同类项.是不是同类项有“两个无关”： ①与系数无关； ②与字母的排列顺序无关. 【概念引入】 代数式中的字母表示的是数，因此数的运算律也适用于代数式． 根据运算律把多项式中的同类项合并成一项叫作合并同类项(unitelike terms)． 【新知归纳】 合并同类项法则 同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变． 记忆口诀：一相加，两不变． 【典例分析】 例2 化简：(1) －3x＋2y－5x－7y； 解：(1)　－3x＋2y－5x－7y 　　　＝－3x－5x＋2y－7y 　　　＝(－3－5)x＋(2－7)y 　　　＝－8x－5y； 方法点拨：合并同类项的一般步骤： (1)“找”： 找出同类项， 当项数较多时， 通常在同类项的下面做相同的标记； (2)“移”： 运用加法交换律将同类项移到一起（要连同每一项的符号一起移动）； (3)“合”： 合并同类项（系数相加，字母和字母指数不变）； (4)“写”： 写出合并后的结果. (2) 4a²＋3b²＋2ab－4a²－2b²－b²． 解：(2) 4a²＋3b²＋2ab－4a²－2b²－b² ＝ 4a²－4a²＋3b²－2b²－b²＋2ab ＝ (4－4)a²＋(3－2－1)b²＋2ab ＝ 2ab． 方法点拨： 1.没有同类项的项，在每一步运算中都要写出，不能漏掉； 2.系数互为相反数的同类项合并后结果为0，即该项没有了. 知识点一 单项式 1.单项式的概念：数与字母的乘积，叫作单项式；例如：等等。 技巧点拨 （1）单项式包括三种类型： 数与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；例如：等等。 单独的一个数；例如：等等。 单独的一个字母．例如：等等。 （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算． 例如：或也是单项式，但分母中含有字母的不可以，如不是单项式，因为它不能写成数字与字母的乘积形式． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，例如：的系数分别为． 技巧点拨 （1）圆周率π是常数．单项式中出现π时，算作系数； （2）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （3）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成． 3.单项式的次数：单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，例如： 它们的次数分别为：2次，3次，3次．这里切记此处的π是数，不是作为字母，因此这个单项式的次数计算时只能算r的三次。 技巧点拨 （1）没有写指数的字母，实际上指数是1，请勿遗漏； （2）计算单项式的次数时，数字上的指数不能算． 知识点二 多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式，例如：． 此例子中该多项式可以看成是，因此它是单项式的和。 多项式的概念中所说的和是包含减法的，因为所有的减法都可以转化成加法。 2.多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 这个多项式包含的项有三项： ，其中最后一项是，可不要当成1了！ （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式． 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 技巧点拨：多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数，不要与单项式的次数混淆． 知识点三 整式 单项式与多项式统称为整式．它们之间关系如下图： 技巧点拨 （1）整式包括单项式、多项式两种，也就是说一个式子如果时整式，那它要么是单项式，要么时多项式；如果一个式子是单项式，或是多项式，那它一定是整式． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式，更不可能是单项式或多项式． 知识点四 同类项的概念 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项． 技巧点拨： 1.正确理解同类项的概念，要深入理解“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：①与系数无关； ②与字母的顺序无关． 所有的常数项都是同类项． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 技巧点拨：合并同类项法则简记：系数相加减，其它都不变． 考点一 单项式的判断 【典例精讲】（25-26七年级上·上海·期中）在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练1】（25-26七年级上·福建福州·期末）下列说法正确的是（     ） A．是三次二项式 B．单项式的系数和次数分别是 C．0是单项式 D．一次项的系数为2 【变式训练2】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？分别填入下列所属框中． ，，0，，，，m． 单项式：{                        …}； 多项式：{                        …}； 整式：{                            …}． 考点二 单项式的系数、次数 【典例精讲】（24-25七年级上·山东聊城·期末）下列结论正确的是（     ） A．单项式的系数是 B．单项式的次数是6 C．单项式没有系数 D．多项式是二次三项式 【变式训练1】25-26七年级上·江苏扬州·期末）下列说法：多项式是二次三项式；单项式的系数是；5是单项式； 是多项式．其中正确的有（  ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26七年级上·甘肃张掖·期末）观察下面一组单项式：根据其中的规律，得出第7个单项式是_____． 考点三 写出满足某些特征的单项式 【典例精讲】（24-25七年级上·河南信阳·期末）写出一个单项式，使它与多项式的和为单项式：________________． 【变式训练1】（25-26七年级上·河北保定·期中）写出一个单项式，使得它与多项式的和为单项式：___________． 【变式训练2】（25-26七年级下·河南新乡·期末）阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 一个含有多个字母的式子中，当字母的取值均不相等，且都不为0时，任意交换两个字母的位置，式子的值恒不变，这样的式子叫做“对称式”．例如：式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，因为，所以是“对称式”；而式子中的字母a，b交换位置，得到式子，但是的值不恒等于的值，所以不是“对称式”． 任务： (1)下列式子中，是“对称式”的有__________；（填序号） ①    ②    ③ (2)写出一个系数为2，只含有字母x，y且次数为6的单项式，使该单项式是“对称式”； (3)已知，求，并判断所得结果是否是“对称式”． 考点四 多项式的判断 【典例精讲】按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第n个多项式是（     ） A． B． C． D． 【变式训练1】观察下列单项式：，，，，，按照此规律，第个式子是______． 【变式训练2】观察下列单项式：，，，，…，则第个单项式可表示为_____． 考点五 多项式的项、项数或次数 【典例精讲】（23-24七年级上·上海·阶段检测）在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 【变式训练1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．的系数是1 B．的次数是6 C．1是单项式 D．是二次多项式 【变式训练2】（25-26七年级上·河北邯郸·期中）代数式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． (1)请把上述代数式的序号分别填在相应的圆圈内： (2)其中次数最高的多项式是______次多项式； (3)其中次数最高的单项式的次数是______，系数是______． 考点六 多项式系数、指数中字母求值 【典例精讲】（23-24七年级上·上海·阶段检测）一个四次整式与一个五次整式相加，其结果是（     ） A．四次整式 B．五次整式 C．不高于四次的整式 D．不低于四次的整式 【变式训练1】（25-26七年级上·上海·阶段检测）整式是________次________项式． 【变式训练2】（25-26七年级上·广东茂名·期中）如图，在数轴上点A表示a，点B表示b，点C表示c，并且a是多项式的二次项系数，b是数轴上最小的正整数，单项式的次数为c． (1)由题意可得：______，______，______． (2)点A、B、C在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点A、B、C同时运动，运动时间为t秒． ①当时，分别求、的长度． ②在点A、B、C同时运动的过程中，的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，求出的值． 考点七 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【典例精讲】（23-24七年级上·上海·阶段检测）将多项式按字母降幂排列得_____________． 【变式训练1】将多项式按字母降幂排列为_____． 【变式训练2】（25-26七年级上·四川乐山·期末）关于多项式，下列说法错误的是（   ） A．这个多项式是五次四项式 B．常数项是1 C．它的次数最高项是 D．按x的降幂排列为 考点八 同类项的判断 【典例精讲】（25-26七年级上·福建厦门·期末）在下列式子中，与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．多项式是二次三项式 B．数字1的次数是1 C．的系数是 D．与是同类项 【变式训练2】（25-26七年级上·河南开封·期中）下列结论中正确的是（　　） A．是二次三项式 B．和不是同类项 C．单项式的系数是 D．在，，，，0中，整式有4个 考点九 已知同类项求指数中字母或代数式的值 【典例精讲】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若单项式与的和是一个单项式，则______． 【变式训练1】若单项式与单项式是同类项，则的值是（    ） A．2022 B． C．1 D．2 【变式训练2】（25-26七年级下·重庆·开学考试）先化简，再求值：，其中a，b的取值使得与是同类项． 考点十 整式的判断 【典例精讲】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：___________． 【变式训练2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）已知，，是有理数，它们在数轴上对应点，，的位置如图所示，则化简代数式的结果是_______． 【基础通关能力提升】 1．（23-24七年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A． 是多项式 B．和2不是同类项 C．单项式与单项式相加的结果一定是单项式 D．整式与整式相加的结果一定是整式 2．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）下列各对单项式是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．3与 3．若单项式与的和仍然是一个单项式，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 4．（25-26七年级下·北京房山·期中）若，，则________． 5．下列代数式①，②，③，④0，⑤中，单项式有_____．（填序号） 6．；；；；；；0；其中单项式有________个，多项式有________个． 7．（23-24七年级上·上海·阶段检测）的系数为_____________． 8．（25-26七年级上·广西崇左·周测）指出下列各题中哪两个单项式是同类项的，并说明理由． （1）与； （2）与； （3）与； （4）与． 9．（25-26七年级上·河南周口·期末）先化简，再求值：，其中，． 10．阅读下列材料，完成相应的任务： 对称式： 在一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式． 例如：式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，因，所以是对称式． 而交换式子中字母a、b的位置，得到式子，因为，所以不是对称式． (1)下列式子中，是对称式的是______（填序号）； ①；②；③；④ (2)写出一个只含有字母x、y的单项式，使该单项式是对称式，且次数为6； (3)已知，，直接写出的结果：______，所得结果______（填“是”或“不是”）对称式． 【思维拓展拔尖训练】 1．下列每组单项式中是同类项的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（25-26七年级上·山东临沂·期末）下列说法错误的是（    ） A．的系数是 B．单项式的次数是7 C．与是同类项 D．多项式是六次三项式 3．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）若单项式与能合并成一项，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）多项式是关于x，y的四次二项式，则k的值为_________． 5．（25-26七年级下·河南新乡·期末）我国古代的天元式可以用来表示多项式，在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂由与“元”的相对位置确定，高次幂在上，低次幂在下．如图1中的天元式表示多项式，则图2表示的多项式的一次项系数为__________． 6．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）已知多项式与多项式恒等（其中，，为常数），则的值为________． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）将式子填入相应的大括号中． 单项式：{              …}； 多项式：{              …}； 整式：{              …}． 8．已知 a ， b 为常数，且三个单项式相加得到的和仍然是单项式．那么 a 和b 的值可能是多少？说明你的理由． 9．阅读理解 已知，求的值． 解：因为．所以，所以． 小明根据上述解题思路，发现可利用“换元法”解答下面问题． 已知实数满足，试求的值．具体解法如下： 设，，则，， 所以． 类比探究： (1)若满足，求的值； (2)若满足，求的值． 拓展应用： (3)如图，正方形的边长为，，，四边形和都是正方形，长方形的面积是5，求图中阴影部分的面积． 10．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）阅读理解 如果一个多项式中只含有一个字母，那么就称它为一元多项式，对于两个含字母的一元多项式，当任取一个数时，如果这两个多项式的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式是恒等的． 例如：与 当任取一个数时，如，，，，这两个多项式的值都相等．因此，多项式与是恒等的． 要判断两个多项式是否恒等，可以通过去括号、合并同类项，判断能否把其中一个多项式转化为另一个多项式，或者能否把两个多项式都化简为相同的形式．例如，把，分别降幂排列，都能够化为 (1)判断多项式与是否恒等，并说明理由． (2)已知一元多项式（其中，为常数）与（其中，为常数）恒等，请直接写出，，，的值．___________ 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年苏科版新教材数学小升初（六升七年级）衔接金牌培优讲义 第十三讲 整式的加减（整式、合并同类项）「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•七年级上册（第3章 代数式）】 （思维导图+教材精讲+知识总结+十大考点讲练+难度分层练 共50题 解析版） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材七年级上册内容为主，讲义包含思维导图指引，教材内容精讲，知识点总结技巧点拨，高频考点优选题讲练，难度分层练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 友情提醒：本套讲义新知学习内容建议结合知识卡片内容学习（卡片结合苏科版七年级上册新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 新知学习一：整式 【学习目标】 1. 通过具体实例了解单项式、多项式、整式及有关概念，并能够厘清概念之间的关系． 2.经历用整式表示具体情景中数量关系的过程，发展抽象能力. 3.经历从具体到抽象、从特殊到一般的过程，发展数感和符号意识，培养分析问题的能力． 【知识回顾】 1. 用代数式表示下列问题中的数量： (1) 正方体的棱长为a，正方体的体积和表面积分别是多少？ (2) 列车以300 km/h的速度行驶了t h，行驶了多少路程？ (3) 圆柱的底面半径和高分别为r，h，圆柱的底面面积和体积分别是多少？ 解：(1)正方体的体积是a³，表面积是6a²． (2)行驶了300t km． (3)圆柱的底面积是πr²，体积是πr²h． 【讨论交流】 这几个代数式都是由数与字母的积组成．a³，6a²，300t，πr²，πr²h 【概念引入】 由数与字母的积组成的代数式叫作单项式(monomial expression). 单独一个数或一个字母也是单项式．例如，－2，0，π，a，y等．单项式中的数字因数叫作单项式的系数． 单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 如果一个单项式不含字母，就称它的次数是0．例如，－2的次数为0． 【概念辨析】 【方法点拨】 1.单项式只含乘积运算，不含加减运算，单项式分母中不含字母． 2.单项式的系数包括它前面的符号， 单独一个字母的系数是1或－1； 3. 单项式的次数只与字母的指数有关，系数的指数不能当成字母的指数一同计算． 【知识精讲】 代数式ab＋πR²－πr²可以看作单项式ab，πR²，－πr²的和．像这样可以看作几个单项式的和的代数式叫作多项式(polynomial)． 多项式中，每个单项式叫作多项式的项；其中次数最高的项的次数叫作这个多项式的次数； 注意： 1.不能说多项式包含单项式，它们是两个不同的概念，没有从属关系. 2.最高次项不是唯一的. 不含字母的项叫作常数项．单项式和多项式统称整式 (integral expression)． 【方法点拨】 1.首先判断是否是整式，若分母中含字母，则一定不是整式，也不是单项式或多项式. 单项式与多项式的区别在于是否含有加减运算. 2.我们常把一个多项式各项的位置按照其中某一字母指数的大小顺序排列．这样会使式子更有条理、方便运算. 【新知讲解】 多项式的排列 若按照某个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做这个多项式按这个字母的降幂排列， 若按照某个字母的指数从小到大的顺序排列，叫作这个多项式按这个字母的升幂排列． 【课堂小结】 新知学习二：合并同类项 【学习目标】 1. 理解同类项的概念，能够识别同类项． 2.会合并同类项，知道合并同类项所依据的运算律，发展运算能力. 3.体会合并同类项在代数式求值计算中的应用． 【问题引入】 如图，某菜地的四个区域种植了四种蔬菜，试计算菜地的总占地面积 方法1：把菜地看成4个小长方形组成的，它的面积为80a＋160a＋190b＋50b. 方法2：把菜地看成上下两个2个大长方形组成的，它的面积为(80＋160)a＋(190＋50)b 两个代数式之间有何关系？ 【讨论交流】 你能从运算的角度说明这个等式成立吗？ 从单项式的定义看，80a和160a，190b和50b分别有什么共同特点？ 类似地，－9x²y³和5x²y³，ab²和－13ab²呢？你还能举出类似的例子吗？ 【概念引入】 一般地，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项 (like terms)． 同类项必须同时满足“两个相同”， 两者缺一不可. 【典例分析】 例1 指出下列各组中的两项是不是同类项，若不是，请说明理由． (1) 2xy²与y²； (2) －5与0； (3) 2a²b与3ab²； (4) xyz与2xy； (5) －ab与ba． 解：(1) (2) (5) 都符合同类项的定义，都是同类项； (3) 2a²b与3ab2虽然所含的字母相同，但相同字母的指数都不相同， 所以它们不是同类项； (4) xyz与2xy所含的字母不相同，故它们不是同类项． 【归纳总结】 同类项的判断方法： ①首先观察所含字母是否相同，其次观察相同字母的指数是否相同. ②常数项都是同类项.是不是同类项有“两个无关”： ①与系数无关； ②与字母的排列顺序无关. 【概念引入】 代数式中的字母表示的是数，因此数的运算律也适用于代数式． 根据运算律把多项式中的同类项合并成一项叫作合并同类项(unitelike terms)． 【新知归纳】 合并同类项法则 同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变． 记忆口诀：一相加，两不变． 【典例分析】 例2 化简：(1) －3x＋2y－5x－7y； 解：(1)　－3x＋2y－5x－7y 　　　＝－3x－5x＋2y－7y 　　　＝(－3－5)x＋(2－7)y 　　　＝－8x－5y； 方法点拨：合并同类项的一般步骤： (1)“找”： 找出同类项， 当项数较多时， 通常在同类项的下面做相同的标记； (2)“移”： 运用加法交换律将同类项移到一起（要连同每一项的符号一起移动）； (3)“合”： 合并同类项（系数相加，字母和字母指数不变）； (4)“写”： 写出合并后的结果. (2) 4a²＋3b²＋2ab－4a²－2b²－b²． 解：(2) 4a²＋3b²＋2ab－4a²－2b²－b² ＝ 4a²－4a²＋3b²－2b²－b²＋2ab ＝ (4－4)a²＋(3－2－1)b²＋2ab ＝ 2ab． 方法点拨： 1.没有同类项的项，在每一步运算中都要写出，不能漏掉； 2.系数互为相反数的同类项合并后结果为0，即该项没有了. 知识点一 单项式 1.单项式的概念：数与字母的乘积，叫作单项式；例如：等等。 技巧点拨 （1）单项式包括三种类型： 数与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；例如：等等。 单独的一个数；例如：等等。 单独的一个字母．例如：等等。 （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算． 例如：或也是单项式，但分母中含有字母的不可以，如不是单项式，因为它不能写成数字与字母的乘积形式． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，例如：的系数分别为． 技巧点拨 （1）圆周率π是常数．单项式中出现π时，算作系数； （2）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （3）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成． 3.单项式的次数：单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，例如： 它们的次数分别为：2次，3次，3次．这里切记此处的π是数，不是作为字母，因此这个单项式的次数计算时只能算r的三次。 技巧点拨 （1）没有写指数的字母，实际上指数是1，请勿遗漏； （2）计算单项式的次数时，数字上的指数不能算． 知识点二 多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式，例如：． 此例子中该多项式可以看成是，因此它是单项式的和。 多项式的概念中所说的和是包含减法的，因为所有的减法都可以转化成加法。 2.多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 这个多项式包含的项有三项： ，其中最后一项是，可不要当成1了！ （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式． 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 技巧点拨：多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数，不要与单项式的次数混淆． 知识点三 整式 单项式与多项式统称为整式．它们之间关系如下图： 技巧点拨 （1）整式包括单项式、多项式两种，也就是说一个式子如果时整式，那它要么是单项式，要么时多项式；如果一个式子是单项式，或是多项式，那它一定是整式． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式，更不可能是单项式或多项式． 知识点四 同类项的概念 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项． 技巧点拨： 1.正确理解同类项的概念，要深入理解“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：①与系数无关； ②与字母的顺序无关． 所有的常数项都是同类项． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 技巧点拨：合并同类项法则简记：系数相加减，其它都不变． 考点一 单项式的判断 【典例精讲】（25-26七年级上·上海·期中）在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查单项式的定义，解题思路为根据单项式定义逐个判断题干中的整式，统计单项式个数即可得到答案，单项式定义为：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，几个单项式的和为多项式． 【规范解答】解：∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵，是两个单项式的差，属于多项式，不是单项式 ∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵是单独的一个字母，是单项式 ∵是单项式和单项式的和，属于多项式，不是单项式 综上，单项式共有个，因此选C． 【变式训练1】（25-26七年级上·福建福州·期末）下列说法正确的是（     ） A．是三次二项式 B．单项式的系数和次数分别是 C．0是单项式 D．一次项的系数为2 【答案】C 【规范解答】解：选项A，中最高次项的次数为2，共有2个单项式，因此它是二次二项式，A错误； 选项B，单项式中，是常数，因此系数为，次数为，B错误； 选项C，单独的一个数是单项式，因此0是单项式，C正确； 选项D，的一次项为，因此一次项的系数为，D错误． 【变式训练2】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？分别填入下列所属框中． ，，0，，，，m． 单项式：{                        …}； 多项式：{                        …}； 整式：{                            …}． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了单项式、多项式和整式的判断，解题的关键是熟练掌握定义． 利用单项式、多项式和整式的定义进行分类即可． 【规范解答】解：单项式：{，，0，，m，…}； 多项式：{，，…}； 整式：{，，0，，，，m，…}． 考点二 单项式的系数、次数 【典例精讲】（24-25七年级上·山东聊城·期末）下列结论正确的是（     ） A．单项式的系数是 B．单项式的次数是6 C．单项式没有系数 D．多项式是二次三项式 【答案】D 【思路引导】根据单项式系数为单项式的数字因数，单项式次数为所有字母的指数和，注意是常数不是字母，多项式的次数为最高次项的次数，项数为单项式的个数，逐一判断选项即可． 【规范解答】解：A、单项式的系数是，不是，结论错误； B、单项式中字母的指数是，的指数是，总次数为，不是，结论错误； C、单项式的系数是，不是没有系数，结论错误； D、多项式 有、、共三项，最高次项的次数是，是二次三项式，结论正确． 【变式训练1】25-26七年级上·江苏扬州·期末）下列说法：多项式是二次三项式；单项式的系数是；5是单项式； 是多项式．其中正确的有（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查单项式与多项式的相关概念，只需根据相关定义逐一判断每个说法即可． 【规范解答】解：多项式是三次三项式，原说法错误； 单项式的系数是，说法正确； 5是单项式，说法正确； 是多项式，说法正确． 综上，正确的是②③④，故选C． 【变式训练2】（25-26七年级上·甘肃张掖·期末）观察下面一组单项式：根据其中的规律，得出第7个单项式是_____． 【答案】 【思路引导】本题考查了单项式的规律探究，观察单项式得到变化规律是解题关键． 观察单项式的符号、系数、指数变化规律，得到第n个单项式为，代入即可． 【规范解答】解：由单项式可知，第n个单项式为， 代入得， 即第7个单项式为． 故答案为：． 考点三 写出满足某些特征的单项式 【典例精讲】（24-25七年级上·河南信阳·期末）写出一个单项式，使它与多项式的和为单项式：________________． 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 根据整式加减的运算，结合单项式的定义，即可得到结果． 【规范解答】解：， ， ， 运算结果为单项式， 写出的这个单项式为， 故答案为：． 【变式训练1】（25-26七年级上·河北保定·期中）写出一个单项式，使得它与多项式的和为单项式：___________． 【答案】（或） 【思路引导】本题考查整式的加减运算，利用合并同类项法则，通过添加一个与多项式中的项互为相反数的单项式，使和为单项式， 【规范解答】解：设添加的单项式为 ，则 应为单项式， 若 与是同类项，即（ 为常数），则和为 ， 当 时，，和为 ，是单项式， 因此，添加的单项式为 ， 若 与是同类项，即（ 为常数），则和为 ， 当 时，，和为 ，是单项式， 因此，添加的单项式为 ， 故答案为：或. 【变式训练2】（25-26七年级下·河南新乡·期末）阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 一个含有多个字母的式子中，当字母的取值均不相等，且都不为0时，任意交换两个字母的位置，式子的值恒不变，这样的式子叫做“对称式”．例如：式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，因为，所以是“对称式”；而式子中的字母a，b交换位置，得到式子，但是的值不恒等于的值，所以不是“对称式”． 任务： (1)下列式子中，是“对称式”的有__________；（填序号） ①    ②    ③ (2)写出一个系数为2，只含有字母x，y且次数为6的单项式，使该单项式是“对称式”； (3)已知，求，并判断所得结果是否是“对称式”． 【答案】(1)①③ (2) (3)，是 【思路引导】本题考查整式的加减，正确理解对称式的定义，并进行正确判断是解题的关键； （1）根据对称式的定义即可求解； （2）根据对称式的定义可得的指数都为； （3）先去括号，然后合并同类项，再根据对称式的定义即可求解． 【规范解答】（1）解：①∵， ∴是“对称式”，故①符合题意； ②∵， ∴不是“对称式”，故②不符合题意； ③∵， ∴是“对称式”，故③符合题意； 故答案为：①③； （2）解：根据“对称式”的定义可得，字母x，y的指数相同． ∵单项式的次数为6， 的指数都为， 又∵系数为2， ∴该单项式为； （3）解： ， ， 是“对称式”． 考点四 多项式的判断 【典例精讲】按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第n个多项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题为规律探究题，将多项式拆分为含x的项和含y的项，分别找出两项指数随n变化的规律，即可得到第n个多项式． 【规范解答】解：∵第1个多项式中，x的指数为，第2个多项式中，x的指数为，第3个多项式中，x的指数为…… ∴第个多项式中，x的指数为，即含x的项为． ∵第1个多项式中，y的指数为，第2个多项式中，y的指数为，第3个多项式中，y的指数为…… ∴第个多项式中，y的指数为，即含y的项为． 综上，第n个多项式为． 【变式训练1】观察下列单项式：，，，，，按照此规律，第个式子是______． 【答案】 【思路引导】分别从符号，的次数，分母三个部分总结规律，得到第个单项式，再代入求解即可． 【规范解答】解：观察已知单项式可得： 第个式子：； 第个式子：； 第个式子：； 第个式子：； ； 由此可得第个式子为； 将代入得， ∴第个式子是． 【变式训练2】观察下列单项式：，，，，…，则第个单项式可表示为_____． 【答案】 【思路引导】先分别求出第1,2,3,4个单项式，结合系数的分子和分母，及字母的指数的变化规律解答即可． 【规范解答】解：第1个单项式为； 第2个单项式为； 第3个单项式为； 第4个单项式为， 第n个单项式为． 考点五 多项式的项、项数或次数 【典例精讲】（23-24七年级上·上海·阶段检测）在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 【答案】B 【思路引导】根据定义逐个判断各代数式的类型，再对比选项得到正确结论． 【规范解答】①是数与字母的积，是单项式，属于整式； ②是两个单项式的差，是多项式，属于整式； ③分母含有字母a，是分式，不是单项式； ④分母含有字母，是分式，不是多项式； ⑤中分母是常数，属于单项式，因此原式是三个单项式的和，是多项式， ∴A选项中③不是单项式，错误； B选项中②⑤都是多项式，正确； C选项中④不是多项式，错误； D选项中③④是分式，不是整式，错误． 【变式训练1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．的系数是1 B．的次数是6 C．1是单项式 D．是二次多项式 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了单项式的定义，单项式的次数、系数的定义，多项式的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数． 【规范解答】解：A、的系数是，原说法错误，不符合题意； B、的次数是4，原说法错误，不符合题意； C、1是单项式，原说法正确，符合题意； D、是三次多项式，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 【变式训练2】（25-26七年级上·河北邯郸·期中）代数式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． (1)请把上述代数式的序号分别填在相应的圆圈内： (2)其中次数最高的多项式是______次多项式； (3)其中次数最高的单项式的次数是______，系数是______． 【答案】(1)见解析 (2)二 (3)4， 【思路引导】此题主要考查了多项式以及单项式的相关定义，正确把握相关定义是解题关键． （1）直接利用多项式以及单项式定义分析即可； （2）直接利用多项式的次数的定义分析得出答案； （3）直接利用单项式的次数与系数的定义分析即可． 【规范解答】（1）解：根据多项式以及单项式定义可得： （2）解：多项式的次数为：2， 多项式的次数为：1， 多项式的次数为：1， 故次数最高的多项式是二次多项式； （3）解：单项式的次数为1次，系数为， 单项式的次数为0次，系数为， 单项式的次数为4次，系数为， 故次数最高的单项式的次数是4，系数为． 考点六 多项式系数、指数中字母求值 【典例精讲】（23-24七年级上·上海·阶段检测）一个四次整式与一个五次整式相加，其结果是（     ） A．四次整式 B．五次整式 C．不高于四次的整式 D．不低于四次的整式 【答案】B 【思路引导】依据多项式次数的定义，即多项式中次数最高项的次数为多项式的次数，只需判断相加后最高次项是否存在即可． 【规范解答】解：∵五次整式的定义是最高次项为五次项，且五次项系数不为， 又∵四次整式最高次为四次，不含五次项， ∴两个整式相加后，结果中五次项系数仍不为，最高次仍为五次， ∴结果是五次整式． 【变式训练1】（25-26七年级上·上海·阶段检测）整式是________次________项式． 【答案】 三 三 【思路引导】根据多项式中单项式的个数为项数，最高次项的次数为多项式的次数分析求解即可． 【规范解答】解：整式包含三个单项式，分别为，，，其中的次数为，的次数为，的次数为，可得最高次项的次数为，项数为，因此该整式是三次三项式． 【变式训练2】（25-26七年级上·广东茂名·期中）如图，在数轴上点A表示a，点B表示b，点C表示c，并且a是多项式的二次项系数，b是数轴上最小的正整数，单项式的次数为c． (1)由题意可得：______，______，______． (2)点A、B、C在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点A、B、C同时运动，运动时间为t秒． ①当时，分别求、的长度． ②在点A、B、C同时运动的过程中，的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，求出的值． 【答案】(1)，1，8 (2)①，；②不改变，恒为13 【思路引导】（1）根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，再结合数轴可得答案； （2）①根据题意得，，再代入即可求解； ②根据，，表示出，再根据整式加减求解即可． 【规范解答】（1）解：多项式的二次项系数是，则， 数轴上最小的正整数是1，则， 单项式的次数为8，则． （2）解：①∵，， ∴当时，，； ②不改变，理由如下： ∵，， ∴． ∴的值不随着时间的变化而变化，值为． 考点七 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【典例精讲】（23-24七年级上·上海·阶段检测）将多项式按字母降幂排列得_____________． 【答案】 【规范解答】解：将多项式按字母降幂排列得． 【变式训练1】将多项式按字母降幂排列为_____． 【答案】 【思路引导】按字母的降幂排列，是指将多项式的各项按照的指数从大到小的顺序排列，不改变各项本身的符号 【规范解答】解：先确定多项式各项中字母的次数：中的次数为，中的次数为，中的次数为，中的次数为， 按照的指数从大到小排列可得： 【变式训练2】（25-26七年级上·四川乐山·期末）关于多项式，下列说法错误的是（   ） A．这个多项式是五次四项式 B．常数项是1 C．它的次数最高项是 D．按x的降幂排列为 【答案】B 【思路引导】本题考查多项式的相关定义，包括多项式的次数、项数、常数项及降幂排列． 根据多项式的次数、项数、常数项的定义及降幂排列方法逐一分析各选项即可． 【规范解答】解：∵多项式各项的次数分别为3、5、4、0，且共有四项， ∴该多项式是五次四项式， ∴选项A说法正确，不符合题意； ∵常数项是不含字母的项，此多项式的常数项为， ∴选项B说法错误，符合题意； ∵次数最高的项是次数为5的， ∴选项C说法正确，不符合题意； ∵按x的降幂排列是根据x的次数从高到低排列，各项x的次数依次为3、2、1、0， ∴排列结果为， ∴选项D说法正确，不符合题意； 故选：B． 考点八 同类项的判断 【典例精讲】（25-26七年级上·福建厦门·期末）在下列式子中，与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查同类项的定义，需根据“所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项是同类项”这一概念对各选项进行判断． 【规范解答】解：A选项：所含字母为a，与题干的x不同，不是同类项； B选项：所含字母为x，且x的指数为3，与题干的字母和对应指数都相同，是同类项； C选项：x的指数为2，与题干中x的指数3不同，不是同类项； D选项：x的指数为2，与题干中x的指数3不同，不是同类项． 故选：B． 【变式训练1】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．多项式是二次三项式 B．数字1的次数是1 C．的系数是 D．与是同类项 【答案】A 【思路引导】本题考查了多项式的项数与次数、单项式的系数与次数、同类项，理解其定义是解题的关键． 根据相关定义逐项判断即可． 【规范解答】解：A：多项式的最高次项次数为2，且包含3个单项式， ∴它是二次三项式，故该选项符合题意； B：常数项的次数为0，数字1是常数项，故该选项不合题意； C：单项式的系数是，故该选项不合题意； D：同类项要求所含字母相同且相同字母的指数也相同， ∴与不是同类项，故该选项不合题意． 故选：A． 【变式训练2】（25-26七年级上·河南开封·期中）下列结论中正确的是（　　） A．是二次三项式 B．和不是同类项 C．单项式的系数是 D．在，，，，0中，整式有4个 【答案】D 【思路引导】本题考查多项式次数、同类项、单项式系数和整式的定义，熟记基本概念是解题关键． 根据多项式次数定义判断A；根据同类项定义判断B；根据单项式系数定义判断C；根据整式定义判断D． 【规范解答】解：∵选项A中，多项式的最高次项的次数为4，是四次三项式，不是二次三项式， ∴A错误； ∵选项B中，和的字母相同且对应指数相同（x均为2次，y均为3次），是同类项， ∴B错误； ∵选项C中，单项式的系数是，不是， ∴C错误； ∵选项D中，分母含字母，不是整式；、、（分母为常数）、0均为整式，共4个， ∴D正确． 故选：D． 考点九 已知同类项求指数中字母或代数式的值 【典例精讲】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若单项式与的和是一个单项式，则______． 【答案】13 【思路引导】两个单项式的和仍是单项式，说明这两个单项式是同类项，根据同类项的定义求出、的值，再代入代数式计算． 【规范解答】解：单项式与的和是单项式． 与是同类项． ，， ． 【变式训练1】若单项式与单项式是同类项，则的值是（    ） A．2022 B． C．1 D．2 【答案】C 【思路引导】根据同类项的定义求出a、b的值，据此求出的值即可． 【规范解答】解：由于单项式与单项式是同类项， 则 解得 因此，． 【变式训练2】（25-26七年级下·重庆·开学考试）先化简，再求值：，其中a，b的取值使得与是同类项． 【答案】， 【思路引导】把所给多项式先去括号，然后合并同类项化简，再由同类项的定义求出a、b的值，最后代入求值即可． 【规范解答】解： ， ∵与是同类项， ∴， ∴， ∴原式． 考点十 整式的判断 【典例精讲】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【规范解答】解：选项A中，与不是同类项，不能合并，∴A错误； 选项B中，根据合并同类项法则，，运算正确，∴B正确； 选项C中，根据去括号法则，，∴C错误； 选项D中，根据去括号法则，，∴D错误. 【变式训练1】（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：___________． 【答案】/ 【思路引导】利用合并同类项法则求解即可． 【规范解答】解：． 【变式训练2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）已知，，是有理数，它们在数轴上对应点，，的位置如图所示，则化简代数式的结果是_______． 【答案】 【思路引导】本题考查了绝对值，整式的加减，数轴的应用是解题关键． 根据数轴得出各部分的取值，再利用绝对值的性质化简，最后合并同类项即可． 【规范解答】解：由图得，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【基础通关能力提升】 1．（23-24七年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A． 是多项式 B．和2不是同类项 C．单项式与单项式相加的结果一定是单项式 D．整式与整式相加的结果一定是整式 【答案】D 【思路引导】逐一根据整式，多项式，单项式，同类项的基本概念判断各选项即可得到结果． 【规范解答】解：∵多项式是几个单项式的和，单项式属于整式，而分母含有字母，是分式不是单项式 ， ∴ 不是多项式，A错误． ∵所有常数项都是同类项， 和都是常数， ∴ 和是同类项，B错误． ∵反例：单项式与单项式相加，结果为 ，是多项式不是单项式 ， ∴单项式与单项式相加的结果不一定是单项式，C错误． ∵整式包括单项式和多项式，整式相加合并同类项后，结果仍然是整式 ， ∴整式与整式相加的结果一定是整式， ∴D正确． 2．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）下列各对单项式是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．3与 【答案】C 【规范解答】解：选项A中，与所含字母相同，但相同字母的指数不同，∴不是同类项，不符合题意； 选项B中，与所含字母不同，∴不是同类项，不符合题意； 选项C中，与所含字母相同，且相同字母的指数也相同，∴是同类项，符合题意； 选项D中，是常数项，含有字母，所含字母不同，∴不是同类项，不符合题意． 3．若单项式与的和仍然是一个单项式，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【规范解答】解：∵单项式与的和仍然是一个单项式， ∴两个单项式是同类项，相同字母的指数相等， 可得 ，， 解得 ，， ∴ ． 4．（25-26七年级下·北京房山·期中）若，，则________． 【答案】/ 【规范解答】解： ． 5．下列代数式①，②，③，④0，⑤中，单项式有_____．（填序号） 【答案】 ①③④⑤ 【思路引导】明确是常数. 利用单项式的定义逐一判断即可. 【规范解答】解：由单项式的定义可知，数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式. ①是数与字母的积，属于单项式； ②可化为，是多项式，不属于单项式； ③是与的积，属于单项式； ④0是单独的一个数，属于单项式； ⑤是常数，不是字母，因此是与的积，属于单项式. 6．；；；；；；0；其中单项式有________个，多项式有________个． 【答案】 4 3 【思路引导】由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式． 【规范解答】解：其中单项式有，，，0，共4个； 多项式有，，，共3个． 7．（23-24七年级上·上海·阶段检测）的系数为_____________． 【答案】 【思路引导】找出单项式中的数字因数即可得到结果，注是常数，不属于字母因数. 【规范解答】解：的系数为. 8．（25-26七年级上·广西崇左·周测）指出下列各题中哪两个单项式是同类项的，并说明理由． （1）与； （2）与； （3）与； （4）与． 【答案】与，与是同类项，理由见解析． 【思路引导】本题考查同类项的定义，掌握同类项的定义是解题关键． 依据同类项的定义，对每一组单项式进行验证． 【规范解答】解：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项，几个常数项也属于同类项． （1）与：所含字母相同，但相同字母的指数不相同，它们不是同类项； （2）与：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，它们是同类项； （3）与：所含字母不相同，它们不是同类项； （4）与：所有常数项都是同类项，它们是同类项． 9．（25-26七年级上·河南周口·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【思路引导】先去括号，再合并同类项即可得到化简结果，再将，代入计算即可得到答案． 【规范解答】解： ， 当，时，原式． 10．阅读下列材料，完成相应的任务： 对称式： 在一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式． 例如：式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，因，所以是对称式． 而交换式子中字母a、b的位置，得到式子，因为，所以不是对称式． (1)下列式子中，是对称式的是______（填序号）； ①；②；③；④ (2)写出一个只含有字母x、y的单项式，使该单项式是对称式，且次数为6； (3)已知，，直接写出的结果：______，所得结果______（填“是”或“不是”）对称式． 【答案】(1)①② (2)； (3)，是． 【思路引导】本题考查新定义下的整式问题，理解题意是关键． （1）根据对称式的定义即可判断； （2）等只写一个即可； （3）求得判断即可． 【规范解答】（1）解：由定义可知：①②是对称式， 故答案为：①②； （2）解：满足条件的单项式为：； （3）解：， ， 是对称式． 故答案为：，是． 【思维拓展拔尖训练】 1．下列每组单项式中是同类项的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【规范解答】解：A、与所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，所以是同类项，故选项A符合题意； B、与，字母的指数不同，字母的指数也不同，所以不是同类项，故选项B不符合题意； C、与所含字母不相同，所以不是同类项，故选项C不符合题意； D、与所含字母不相同，所以不是同类项，故选项D不符合题意 2．（25-26七年级上·山东临沂·期末）下列说法错误的是（    ） A．的系数是 B．单项式的次数是7 C．与是同类项 D．多项式是六次三项式 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了整式、单项式、多项式及同类项的概念，只含有加、减、乘、乘方的代数式叫做整式；其中不含有加减运算的整式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；含有加减运算的整式叫做多项式． 同类项的定义是所含字母相同， 并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项． 根据单项式、多项式、整式及同类项的概念逐项判断即可解答． 【规范解答】解：A．的数字部分是，即系数是，故正确，不符合题意； B．单项式中，是常数，变量部分为、、，指数和为，即 次数是4而非7，故错误，符合题意； C．和的变量均为、、，指数相同，是同类项，故正确，不符合题意； D． 多项式有三项，最高次项的次数为，是六次三项式，故正确，不符合题意． 故选B． 3．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）若单项式与能合并成一项，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键． 根据题意可知这两个单项式是同类项，则两个单项式中x的指数和y的指数分别相等，列式求出a和b的值，即可求解． 【规范解答】解：单项式与能合并成一项， 这两个单项式是同类项， ， 解得， ． 故选：A． 4．（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）多项式是关于x，y的四次二项式，则k的值为_________． 【答案】2 【思路引导】本题考查多项式的次数与项数的定义，利用多项式定义求参数的值，掌握多项式的相关定义是解题关键，根据四次二项式的定义，得到最高次项的次数为，且项的系数为，据此列方程求解即可． 【规范解答】解：多项式是关于，的四次二项式， 最高次项的次数为，可得： ， 解得，即或， 又多项式为二项式， 项的系数为，可得： ， 解得， 验证得符合四次二项式的要求． 5．（25-26七年级下·河南新乡·期末）我国古代的天元式可以用来表示多项式，在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂由与“元”的相对位置确定，高次幂在上，低次幂在下．如图1中的天元式表示多项式，则图2表示的多项式的一次项系数为__________． 【答案】248 【思路引导】本题考查数学常识．据此解答即可． 【规范解答】解：根据“天元式”规定的意义，图2表示的多项式是：， ∴一次项系数为248， 故答案为：248． 6．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）已知多项式与多项式恒等（其中，，为常数），则的值为________． 【答案】1 【思路引导】本题考查了多项式恒等的性质，解题的关键是根据对应项的系数相等建立方程求解． 先对多项式进行合并同类项；再根据恒等条件，让对应项的系数分别相等，求出、、的值；最后代入计算的值． 【规范解答】解： ∵ 该多项式与恒等 ∴ ，解得 ∴ ，解得 ∴ ，即， ． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）将式子填入相应的大括号中． 单项式：{              …}； 多项式：{              …}； 整式：{              …}． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查单项式与多项式的概念，熟练掌握多项式和单项式的概念，能进行正确的分类是解题的关键． 由数与字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；多项式是由若干个单项式的和组成的代数式；单项式和多项式统称整式． 【规范解答】解：单项式：； 多项式：； 整式：． 8．已知 a ， b 为常数，且三个单项式相加得到的和仍然是单项式．那么 a 和b 的值可能是多少？说明你的理由． 【答案】或，理由见解析 【思路引导】根据题意，三个单项式的和仍是单项式，可知其中必有两个是同类项，且这两个同类项的和为0，剩下第三个单项式，据此分情况讨论求出的值即可。． 【规范解答】解：或， 理由：∵单项式，，相加得到的和仍然是单项式， ∴其中必有两个单项式是同类项，且这两个同类项的和为0， ∴，是同类项相加等于零或，是同类项相加等于零， ∴或． 9．阅读理解 已知，求的值． 解：因为．所以，所以． 小明根据上述解题思路，发现可利用“换元法”解答下面问题． 已知实数满足，试求的值．具体解法如下： 设，，则，， 所以． 类比探究： (1)若满足，求的值； (2)若满足，求的值． 拓展应用： (3)如图，正方形的边长为，，，四边形和都是正方形，长方形的面积是5，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)12 (2)25 (3)21 【思路引导】（1）根据例题的解题思路，进行计算即可解答； （2）设，推导出，再根据例题的解题思路，进行计算即可解答； （3）设，则，得到，，，根据图中阴影部分的面积为，再根据例题的解题思路，进行计算即可解答． 【规范解答】（1）解：设，则 ， ∴ ； （2）解：设，则， ∵，， ∴， 即， ∴， ， 解得， ∴； （3）解：∵正方形的边长为x， 四边形和都是正方形， ， ∴， 设，则， ∴，， ∵长方形的面积是5， ∴， 即 ∴，即， ∴图中阴影部分的面积为 ， ∴图中阴影部分的面积为21． 10．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）阅读理解 如果一个多项式中只含有一个字母，那么就称它为一元多项式，对于两个含字母的一元多项式，当任取一个数时，如果这两个多项式的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式是恒等的． 例如：与 当任取一个数时，如，，，，这两个多项式的值都相等．因此，多项式与是恒等的． 要判断两个多项式是否恒等，可以通过去括号、合并同类项，判断能否把其中一个多项式转化为另一个多项式，或者能否把两个多项式都化简为相同的形式．例如，把，分别降幂排列，都能够化为 (1)判断多项式与是否恒等，并说明理由． (2)已知一元多项式（其中，为常数）与（其中，为常数）恒等，请直接写出，，，的值．___________ 【答案】(1)恒等，理由见解析 (2)，，， 【思路引导】本题主要考查了去括号、合并同类项，解决本题的关键是根据去括号、合并同类项把多项式化简，再根据多项式相等即多项式中的同类项分别相等，求出系数． (1)根据去括号法则去括号可知两个多项式恒等； (2)根据多项式相等即多项式中的同类项相等，得到各项系数的值． 【规范解答】（1）解：多项式与恒等， 理由如下： ， ， 与恒等； （2）解：多项式与恒等， ， ，，，． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull