1-4 平面任意力系（课件）《机械基础》上好课（高教版·第三版）

《机械基础》（高教版)第三版 上好课—中职专业课 模块一 构件的静力分析 1-4 平面任意力系 教学目标 知识目标 1.记住平面任意力系的平衡条件和平衡方程的基本形式（一式），明确三个方程各自的意义。 2.记住平面任意力系平衡方程的二力矩式和三力矩式及其使用条件。 3.记住平面平行力系的平衡方程及其使用条件。 能力目标 1.能根据工程实际问题正确选取研究对象，进行受力分析，画出受力图。 2.能针对平面任意力系问题建立平衡方程并求解未知力。 3.能正确判断计算结果的正负号含义，确定未知力的实际方向。 情感目标 1.认识平面任意力系在机械工程中的重要地位和实用价值。 2.培养严谨规范的计算习惯和受力分析作图习惯。 3.养成联系工程实际分析力学问题的思维习惯。 1.7.2013 ‹#› 教学引入 实验场景还原 展示：将木棒一端用细绳拴在铁架台（模拟拉杆），另一端固定在木板底座（模拟固定铰链），中间悬挂重物（模拟载荷）。此时木棒在自身重力与外力作用下保持静止。 思考：这根木棒受到了哪些力的作用而保持平衡？这些力的作用线有什么特点？与我们之前学习的“平面汇交力系”相比，存在哪些本质上的不同？ 1.7.2013 同学们请看大屏幕，这就是我们今天要学习的主角——牛头刨床。大家可以看到，它正在对一个工件进行加工。请大家思考一下，这种加工方式和我们之前学的车削有什么区别？它主要用来加工什么样的表面呢？带着这些问题，我们正式进入今天的课程。 ‹#› 知识讲授：平面任意力系定义 01. 核心定义：三要素解析 各力作用线都在同一平面内，既不汇交于一点，也不全部平行，这样的力系称为平面任意力系。它是工程力学中最一般、应用最广泛的力系形式。 02. 工程实例：横梁受力分析 如图1-34所示的水平横梁，在考虑其自身重量时，所受到的主动力（如载荷、自重）与约束力（如铰支座和辊轴支座的反力），它们的作用线均在同一平面内，且既不汇交于一点，也不完全平行，完全符合平面任意力系的特征。 知识讲授：平面任意力系 知识讲授：平衡条件 01. 典型受力场景解析 以水平梁AB为研究对象，其受到载荷G、支座约束力F、A点的水平分力F_Ax、竖直分力F_Ay以及绳索拉力F_T的共同作用，各力相互制约，使梁处于静止的平衡状态。 02. 平面任意力系平衡的充要条件 物体既不能沿x轴、y轴发生平动（合力为零），也不能绕任意点发生转动（合力矩为零）。这两个条件同时满足，是平面任意力系平衡的充分且必要条件。 知识讲授：平衡方程基本形式 (一式) ∑Fₓ = 0 所有力在x轴上投影的代数和为零，即力系中各力在选定的x坐标轴上的投影相互抵消，物体在x方向上保持静止或匀速直线运动状态。 ∑Fᵧ = 0 所有力在y轴上投影的代数和为零，即力系中各力在选定的y坐标轴上的投影相互平衡，确保物体在垂直方向上也不会发生加速运动。 ∑M_A(F) = 0 且 相互独立 所有力对任意点A的力矩代数和为零，保证物体不发生转动。这三个方程彼此独立，共同构成了求解平面任意力系问题的核心工具，可解三个未知量。 工程实例：小型细碎颚式破碎机在运行过程中，其机身与内部构件的受力需严格满足平面任意力系的平衡条件，是该方程的典型应用场景。 知识讲授：平衡方程二力矩式 01. 二力矩式方程 (1-16) 将平面任意力系平衡方程中的一个投影方程替换为力矩方程，得到更实用的二力矩形式： ∑Fₓ = 0，∑M_A(F) = 0，∑M_B(F) = 0 关键使用条件警示 应用此方程时，矩心 A、B 两点的连线不能与 x 轴垂直。若不满足此条件，三个方程将不相互独立，无法唯一确定力系的平衡状态。 图示为工程中常见的汽车起重机，其吊臂的受力分析、支腿的平衡计算，均可通过二力矩式方程进行高效求解，简化运算步骤。 知识讲授：平衡方程三力矩式 工程实例：徐工XCA4000轮式起重机，作为超大吨位工程机械，其复杂的吊装平衡问题，正是力矩平衡方程的典型应用场景。 三力矩式平衡方程：对于平面任意力系，若取三个不共线的点为矩心，可得到三个独立的力矩平衡方程：∑Mₐ(F) = 0， ∑Mᵦ(F) = 0， ∑M_c(F) = 0 核心使用条件：矩心A、B、C 三点不能共线。若三点共线，则第三个方程不独立，无法解出全部未知量。合理选择矩心可消去未知力，简化计算。 知识讲授： 解题步骤 01. 取研究对象 明确分析目标，确定研究对象是解题的起点。只有选定了具体的物体或物体系，后续的受力分析才能有的放矢。 02. 受力分析 按重力、弹力、摩擦力的顺序，画出研究对象的完整受力图，这是整个解题过程中最关键、最容易出错的核心环节。 03. 列平衡方程 根据力系类型和求解方便，灵活选择投影轴和矩心，列出最简便的平衡方程形式，减少未知量，简化计算过程。 04. 求解与验证 解方程组求出未知力，注意结果的正负号含义：正号表示假设方向与实际一致，负号则相反，最后检查结果是否合理。 知识讲授：例题讲解 (一) 01 / 题目描述：平面任意力系的平衡应用 如图所示起重机水平梁AB，A端为铰链固定，B端由拉杆BC拉住。已知梁的自重G=20kN，载荷F=30kN，相关尺寸如图a。试求拉杆BC的拉力，以及铰链A处的约束力（不计拉杆自重）。 02 / 解题第一步：确定研究对象 取水平梁AB作为研究对象。梁AB在主动力G、F，以及约束力F_BC（拉杆拉力）和铰链A的约束力F_A（分解为F_Ax、F_Ay）作用下处于平衡状态。 知识讲授：例题讲解 (二) 03.核心步骤：受力分析 梁体受到的作用力主要包含：自重G（竖直向下，作用于梁中点）、载荷F（竖直向下，作用于梁端）；铰链A处的约束力可正交分解为水平分量F_Ax与竖直分量F_Ay；拉杆BC为二力杆，其拉力F_T方向严格沿BC杆轴线方向。 绘图关键提示：准确绘制受力图是解决平面任意力系平衡问题的基础。需明确每个力的作用点、方向和符号，特别注意二力杆的受力特点，确保受力分析不遗漏、不虚构。 知识讲授：例题讲解 (三) 04. 建立投影平衡方程 (选A为矩心简化计算) 水平方向 (∑Fₓ = 0)：F_T · cosθ - F_Ax = 0，由此可直接关联拉力与A点水平支反力。 竖直方向 (∑Fᵧ = 0)：F_Ay + F_T · sinθ - G - F = 0，整合竖直方向所有外力平衡关系。 05. 建立对A点的力矩平衡方程 (∑M_A(F) = 0) 方程：F_T · sinθ · l_AB - G · (l_AB/2) - F · l_AB = 0 解析：以A为矩心可消去F_Ax和F_Ay，直接求解F_T，是此类问题最简便的求解策略。 知识讲授：例题讲解 (四) 06.解方程，求出未知力 从建立好的力矩平衡方程中，可直接解出绳子拉力 FT；再将 FT 的值代入水平和竖直方向的投影方程，即可依次求出固定铰支座 A 处的水平反力 FAx 和竖直反力 FAy。 关键提示：结果中的“负号”含义 若计算结果为负数，并不代表力的大小为负，而是说明该力的实际作用方向与受力分析图中假设的方向恰好相反。 【例题1-6】翻斗车受力分析 01 / 题目条件与已知参数 车斗与混凝土总重G = 5kN；A点受水平锁住力F，几何尺寸：B到O水平距离b = 90mm，A到O垂直距离a = 450mm。需求解固定铰支座O点的约束力及锁住力F的大小。 02 / 核心第一步：确定研究对象 以翻斗车的车斗整体为研究对象。分析其受力：主动力为重力G和锁住力F；O点为固定铰支座，约束力为水平分力F₀ₓ和竖直分力F₀ᵧ，构成平面任意力系。 【例题1-6】翻斗车受力分析 03. 受力分析拆解 对车斗进行受力分析，其核心受力包含三个关键部分：竖直向下的重力G，水平向右的锁住力F，以及O点的约束力F_O（通常可正交分解为水平分量F_Ox与竖直分量F_Oy）。 04. 规范绘制受力图 明确研究对象，按“先主动力、后被动力”的顺序，清晰标注各力的作用点、方向与符号，确保约束力的分解符合实际约束类型，是后续列平衡方程的基础。 【例题1-6】翻斗车受力分析 05：列平衡方程，简化计算 选取铰支座O为矩心，约束反力F_Ox、F_Oy对O点力矩为零，可大幅简化求解。 水平方向 (∑F_x = 0)：F_Ox + F = 0 竖直方向 (∑F_y = 0)：F_Oy - G = 0 对O点取矩 (∑M_O(F) = 0)：G·b - F·a = 0 图注：图1-36b 翻斗车受力分析示意图，主动力有重力G和支持力F，约束反力为F_Ox、F_Oy。 【例题1-6】翻斗车受力分析 06：竖向力平衡与拉力求解 根据竖直方向力的平衡条件，解得支座竖向反力 F_Oy = G = 5kN；再通过对O点的力矩平衡方程，计算出绳索拉力 F = G·b/a = 1kN。 水平反力分析：负号的物理意义 由水平方向力的平衡得 F_Ox = -F = -1kN。结果中的负号说明，F_Ox 的实际方向与我们最初假设的向右方向相反，其真实方向为水平向左。 知识讲授：平面平行力系 (一) 01 / 核心定义 如果平面力系中各力的作用线互相平行，这种力系就称为平面平行力系。它是工程力学中常见的基本力系之一。 02 / 特殊性质与工程实例 平面平行力系是平面任意力系的一种特殊情况。例如起重机的起重杆、桥梁结构的受力分析，均可简化为平面平行力系来研究。 知识讲授：平面平行力系 (二) 01. 平衡方程的核心推导逻辑 若选取 x 轴与各平行力垂直，则所有力在 x 轴上的投影均为零，∑Fₓ=0 方程自然满足，不再具备约束作用。因此，平面平行力系独立的平衡方程数目由空间力系的三个缩减为两个。 02. 平面平行力系的基本平衡方程组 投影方程 (y轴)：∑Fᵧ = 0（所有力在 y 轴上的投影代数和为零） 力矩方程 (O点)：∑M₀(F) = 0（所有力对任意点 O 的矩的代数和为零） 知识讲授：平面平行力系 (三) 01. 二力矩式平衡方程 (1-19) 对矩心 A 取矩：∑Mₐ(F) = 0 对矩心 B 取矩：∑Mᵦ(F) = 0 02. 关键约束与求解限制 使用条件：矩心 A、B 两点的连线，不能与力系中的各力方向平行。 核心强调：平面平行力系仅有两个独立的平衡方程，因此在实际工程问题中，该力系最多只能求解两个未知量。 【例题1-7】塔式起重机 (一) 题目描述：求解临界平衡状态的配重 已知机架自重 G=800kN，最大起重量 G_w=300kN，最大悬臂长12m，轨距4m，平衡块 G_p 距中心线6m。任务是求出保证起重机在满载和空载时都不致翻倒的平衡块重量 G_p 的范围。 核心分析：平面平行力系的平衡条件 系统受竖直向下的重力 G、G_w、G_p，以及轨道 A、B 处的竖直约束力 F_A、F_B，构成平面平行力系。利用平面平行力系的平衡方程：合力为零 (ΣF_y=0) 及对任意点的合力矩为零 (ΣM=0) 进行求解。 图1-38 塔式起重机受力示意图：平面平行力系的典型工程应用实例。 【例题1-7】塔式起重机 (二) 满载时：不绕B点翻倒的临界条件 当起重机满载工作时，若A点轮子刚要离地，此时临界状态为支撑力F_A = 0。以前支点B为矩心列力矩平衡方程，即可求解出配重G_p的最小值，确保机身不向后翻倒。 空载时：不绕A点翻倒的临界条件 当起重机空载运行时，若B点轮子刚要离地，此时临界状态为支撑力F_B = 0。以后支点A为矩心列力矩平衡方程，即可求解出配重G_p的最大值，确保机身不向前翻倒。 【例题1-7】塔式起重机 (三) 01. 建立力矩平衡方程 (满载工况) 以B点为矩心，防止起重机向后翻倒，列出力矩平衡方程 ∑MB(F) = 0： Gp(min) × (6+2) - G × 2 - Gw × (12-2) = 0 02. 方程求解与关键结论 将已知载荷数值代入方程求解，最终得到防止起重机翻倒的最小平衡块重量为：Gp(min) = 450 kN 【例题1-7】塔式起重机 (四) 03. 求解空载时平衡块最大重量 Gp(max) 以点A为矩心，列出力矩平衡方程 ∑MA(F) = 0： Gp(max) × (6 - 2) - G × 2 = 0，代入已知条件 G = 800kN，计算得平衡块的最大临界重量。 04. 关键结论：安全作业的重量区间 计算解得Gp(max) = 400kN。为保证起重机不致翻倒，平衡块重量 Gp 必须控制在 400kN 到 450kN 的区间内，确保机械运行安全。 知识讲授：平面力偶系 (一) 01 / 基本概念回顾 作用在物体同一平面内的两个或两个以上的力偶，构成了平面力偶系。力偶对物体的作用效应是使物体产生纯转动，且力偶只能与力偶平衡。 02 / 平面力偶系的合成 平面力偶系可以合成为一个合力偶，其合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。即： M = M₁ + M₂ + … + Mₙ (式1-20) 知识讲授：平面力偶系 (二) 核心概念：力偶系的平衡条件 当物体所受的合力偶矩等于零时，物体将保持平衡状态（静止或匀速转动）。因此，平面力偶系的平衡条件可表述为：系统中各力偶矩的代数和等于零。 数学表达与应用限制 ∑M = 0 (式1-21) 这是平面力偶系唯一的独立平衡方程，这意味着在求解实际问题时，我们仅能通过此方程求解一个未知量。 知识讲授：平面力偶系 知识讲授：【例题1-8】多轴钻床 (一) 题目：力偶系的平衡应用场景 多轴钻床工作时，三个钻头对工件施加的切削力偶矩均为 M = 100 N·m；固定螺柱 A、B 之间的距离 l = 1500 mm。试求工件在平衡状态下，螺柱 A、B 所受的水平约束力。 分析：确定研究对象与受力体系 以工件为研究对象，工件受三个同向力偶矩作用，固定螺柱 A、B 对工件的约束力必然组成一个反向力偶，以抵消切削力偶的转动效应。 知识讲授：【例题1-8】多轴钻床 (二) 01. 核心原理：力偶的平衡特性 工件受到三个切削力偶作用，为使工件保持平衡，螺柱A、B的约束力F_A、F_B必须构成一个力偶。这直接体现了静力学中“力偶只能用力偶来平衡”的重要原理，即力偶不能与单个力平衡。 02. 方程求解：平面力偶系的平衡 根据平面力偶系的平衡条件 ∑M = 0，列出方程：F_A·l - 3M = 0。代入数据计算得 F_A = 200N。由于力偶的两个力大小相等、方向相反，故螺柱B的约束力 F_B = F_A =200N。 知识点背诵 一、平面任意力系平衡方程基本形式（一式）：∑F_x=0，∑F_y=0，∑M_A(F)=0（三个独立方程，求解三个未知数）。 二、平面平行力系平衡方程： ∑F_y=0，∑M_O(F)=0（两个独立方程，求解两个未知数）。 三、平面力偶系平衡条件： ∑M=0（一个独立方程，求解一个未知数）。 1.7.2013 好了，我们来总结一下今天的重点知识。刨床分牛头和龙门；刨削能加工各种平面和沟槽；刨刀有弯颈、直杆、偏刀和成型刀四种主要类型。这些都是必须掌握的核心内容。 ‹#› 师生互动 降低正弦量计算门槛，提升效率 问题 如图1-35所示的起重机水平梁，若将A端固定铰链改为活动铰链（只有一个竖直方向的约束力），则该结构属于什么力系？需要列几个方程？能求解几个未知数？ 结论 A端改为活动铰链后，A处只有竖直约束力，梁受竖直力G、F、F_Ay和斜杆拉力F_T（有水平分力），各力不汇交也不全部平行，仍属于平面任意力系，需列三个方程，能求解三个未知数。 1.7.2013 ‹#› 单项选择题 1. 平面任意力系的平衡方程基本形式中，包含几个独立的方程？（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 正确答案：C 平面任意力系平衡方程基本形式为∑F_x=0、∑F_y=0、∑M_A(F)=0，共三个独立方程，可求解三个未知数，故选C 课后练习 1.7.2013 现在我们来做几道练习题巩固一下。第一题，主要用于加工大型工件的刨床是什么？A还是B？对，是B，龙门刨床。 ‹#› 单项选择题 2.平面平行力系平衡方程的使用条件中，二力矩式A、B两点的连线不能与各力（ ）。 A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交 正确答案：B 平面平行力系二力矩式为∑M_A(F)=0、∑M_B(F)=0，使用条件为A、B两点连线不能与力系中的各力平行，否则两个力矩方程将不独立，故选B。 课后练习 1.7.2013 第二题，为了防止扎刀，精加工用哪种刨刀？没错，是弯颈刨刀，选B。 ‹#› 单项选择题 3.平面力偶系的平衡条件为（ ）。 A.∑F_x=0 B.∑F_y=0 C.∑M=0 D.∑F_x=0和∑F_y=0 正确答案：C 力偶在任一轴上的投影均为零，因此平面力偶系没有投影方程，只有各力偶矩的代数和等于零，即∑M=0，故选C。 课后练习 1.7.2013 ‹#› 简述平面任意力系、平面平行力系、平面力偶系三者的平衡方程有什么区别？分别有几个独立方程？能求解几个未知数？ 课后练习 （1）平面任意力系：平衡方程为∑F_x=0、∑F_y=0、∑M_A(F)=0，有3个独立方程，能求解3个未知数。 （2）平面平行力系：平衡方程为∑F_y=0、∑M_O(F)=0（一式）或∑M_A(F)=0、∑M_B(F)=0（二式），有2个独立方程，能求解2个未知数。 （3）平面力偶系：平衡条件为∑M=0，有1个独立方程，能求解1个未知数。 1.7.2013 最后是一道简答题，请大家简述刨削加工的工艺特点。大家可以从切削工况、成本、效率、应用和精度这几个方面来回答，把我们刚才总结的内容写出来就可以了。 ‹#› 课堂小结 1.背诵：一式、二力矩式、三力矩式、平面平行力系平衡方程、平面力偶系平衡条件的公式和文字表述，下节课默写。 2.计算：水平梁AB，A端固定铰链，B端由与水平成30°角斜杆支撑，梁中点受力F=8kN，梁长l=2m，梁重不计，求斜杆受力和A端约束力。 课后作业 1.7.2013 这是今天的课后作业。基础题帮助大家巩固记忆，巩固题要求大家对比两种刨床的核心区别，预习任务是为下节课做准备。请大家认真完成。 ‹#› 感谢观看 $