1-2 平面汇交力系（教案）《机械基础》上好课（高教版·第三版）

《机械基础》教案 详细教案 一、设计摘要 课程课题 1-2 平面汇交力系 授课教师 1 学时数 1 授课班级 人数 授课时间 教学地点 二、设计意图 学情分析 通过前期课程的学习以及1-1节静力学基础的学习，学生已掌握力的概念与三要素、静力学基本公理、约束与约束力等基本概念，熟悉常见约束类型的约束力特点，能够进行初步的受力分析和受力图绘制。学生具有一定的观察能力和动手意愿，日常生活中接触过各类机械装置（如起重机、挂钩、斜面等），对力学现象有感性认识基础，识图能力尚可。但学生对平面汇交力系的概念缺乏系统认知，对力的合成与分解的几何法和解析法理解不够深入，对平衡方程的建立和应用需要逐步引导和强化训练；容易混淆合力与分力的关系，对力在坐标轴上的投影计算容易出错。授课依托教材结构图、实物图片、动画演示和对比表格，用直观教学法和类比教学法突破认知难点。 背景分析 本节选自高等教育出版社《机械基础》。在学习了1-1节静力学基础（力的概念、静力学公理、约束与约束力、受力图）之后，本节进一步研究平面汇交力系的合成与平衡问题。平面汇交力系是力系中最基本、最简单的一种力系，其合成与平衡的几何法和解析法是后续学习平面一般力系的基础，也是解决工程力学问题的重要工具。本节内容不仅是连接静力学基础与复杂力系分析的桥梁，也是培养学生逻辑思维和计算能力的重要环节。 学习目标 设定 情感目标 知识目标 能力（技能）目标 1.激发学习兴趣和热情，认识平面汇交力系在机械工程中的重要性； 2.培养严谨细致的计算习惯和规范作图的职业素养； 3.养成按规范步骤进行力学问题分析的思维习惯。 1.说出平面汇交力系的定义，记住其合成方法； 2.记住合力投影定理的内容，掌握力在坐标轴上投影的计算方法； 3.记住平面汇交力系的平衡方程并能正确列写；4.记住平面汇交力系平衡的几何条件和解析条件。 1. 能用几何法（力多边形法）求平面汇交力系的合力； 2. 能用解析法计算力在坐标轴上的投影及合力的大小和方向；3. 能运用平衡方程求解两个独立的未知量。 学习任务 描述 1. 说出平面汇交力系的定义和特点，判断工程实例中哪些属于平面汇交力系； 2. 运用几何法（力多边形法）对2~3个汇交力进行合成，画出力多边形并求出合力； 3. 运用合力投影定理，计算平面汇交力系中各力在坐标轴上的投影，合成合力的大小和方向； 4. 运用平面汇交力系的平衡方程（∑Fₓ=0，∑Fᵧ=0），求解两个独立的未知量； 5. 按照规范的解题步骤，完成平面汇交力系平衡问题的求解。 教学资源 准备 教师准备：讨论主题、学生任务书； 学生准备：在线讨论、完成任务书。 教学重点 1. 平面汇交力系合成的几何法——力多边形法及作图规范； 2. 力在坐标轴上的投影计算（正负号的判断）； 3. 合力投影定理的内容与应用； 4. 平面汇交力系的平衡方程及其应用。 教学难点 1. 力多边形作图的规范性——首尾相连的顺序、合力方向（封闭边的方向）； 2. 力在坐标轴上投影的正负号判断（投影的正负与坐标轴正方向一致为正，反之为负）； 3. 合力方向的确定——根据Fₓ和Fᵧ的正负号判断合力所在的象限； 4. 平衡方程列写时各力投影正负号的正确代入。 教学难点突破方法 1. 图示分析法 2. 类比教学法 3. 分步引导法 4. 案例诊断法 三、教学策略 教法 讲授法、演示法、问答法； 学法 观察归纳法、练习巩固法、背诵记忆法。 四、教学资源 教材工具材料 《机械基础》，人力资源社会保障部教材办公室组织编写。 教学情景 创设 五、教学过程 教学环节 教学内容 教师活动 学生活动 设计意图 新课导入（2分钟） [引入主题]（2分钟） 教师用PPT展示图1-18起重机挂钩受力图片，图中挂钩受到三根绳索的拉力F_T1、F_T2、F_T3作用。教师引导学生观察：“三个力的作用线在同一平面内且汇交于一点，这就是我们今天要学习的平面汇交力系。”教师进一步提问：“在1-1节中我们学习了受力图的绘制，如果这个挂钩处于平衡状态，这三个力之间有什么关系？如何求出它们的合力？这就是本节要解决的问题。” 1. 展示图1-18起重机挂钩受力图片，提问：“同学们请看，图中的起重机挂钩受到几根绳索的拉力？这些力的作用线有什么特点？” 2. 板书课题“1-2 平面汇交力系”，简要说明本节学习内容。 3. 引导学生回顾1-1节所学，明确本节任务。 1. 观察图片，思考并回答：受到三个力的作用，三个力的作用线在同一平面内且汇交于一点。 2. 记录课题，明确本节学习目标。3. 回顾1-1节受力分析知识，明确本节将要学习的内容。 1. 利用生活实例创设情境，激活学生已有知识，自然过渡到平面汇交力系主题。 2. 通过回顾1-1节受力图知识，建立新旧知识联系，激发求知欲。 探索 新知（20分钟） 一、平面汇交力系的基本概念 1. 力系的分类：各力作用线均在同一平面内的力系称为平面力系。若平面力系中各力的作用线都汇交于一点，则称为平面汇交力系。 2. 举例说明：图1-18起重机挂钩受到F_T1、F_T2、F_T3三个力的作用，三个力的作用线在同一平面内且汇交于一点，即为平面汇交力系。 二、平面汇交力系合成的几何法 1. 连续应用力的三角形：如图1-19b所示，先将F₁和F₂合成为F_R12（应用力的三角形法则），再将F_R12与F₃合成为F_R，即为该力系的合力，合力的作用线通过A点。 2. 力多边形法：将已知力平移，使它们按一定顺序首尾相连（图1-19c、d），从第一个力的始点出发，将力多边形封闭的矢量（即从始点指向最后一个力的终点）即为该力系的合力F_R。封闭的多边形ABCD称为力多边形。 3. 小提示：连接力多边形的封闭边时，应从第一个力的始端指向最后一个力的末端。 4. 推广到n个力：平面汇交力系的合力等于各力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。矢量式：F_R = F₁ + F₂ + F₃ + … + F_n = ΣF （1-2） 5. 平面汇交力系平衡的几何条件：该力系的力多边形是自封闭的。即：F_R = F₁ + F₂ + … + F_n = 0 （1-3）想一想：如图1-21所示，重80N的球放在光滑斜面上，用与斜面平行的绳AB拉住，试用几何法求绳的拉力和球对斜面的压力。（此问题在后续解析法中详细解答） 三、力在坐标轴上的投影 1. 定义：力在坐标轴上的投影是力在坐标轴上对应线段的长度。如图1-22a所示，ab为力F在x轴上的投影F_x，a'b'为力F在y轴上的投影F_y。2. 正负号规定：当a到b（a'到b'）的指向与x轴（y轴）的正方向一致时，取正值，反之取负值。 3. 投影计算：图1-22a情况（力在第一象限）：F_x = F·cosα，F_y = F·sinα （1-4）图1-22b情况（力在第二象限）：F_x = -F·cosα，F_y = -F·sinα （1-5）4. 由投影求力：若已知力F在坐标轴上的投影F_x、F_y，则力F的大小和方向为：F = √(F_x² + F_y²)，tanα =｜Fy/Fx｜ 1. 讲授平面力系和平面汇交力系的定义，引导学生结合教材图1-18分析，强调关键词“同一平面内”“作用线汇交于一点”，板书定义。 2. 结合图1-19a讲授力的三角形合成，板书演示F₁和F₂合成F_R12、再与F₃合成F_R的过程。结合图1-19c讲授力多边形法：各力首尾相连，封闭边为合力。板书公式（1-2）：F_R=ΣF。结合图1-20讲授平衡的几何条件：力多边形自封闭。 3. 结合图1-22讲授力的投影定义及正负号规定。板书公式（1-4）：F_x=F·cosα，F_y=F·sinα；公式（1-5）：F_x=-F·cosα，F_y=-F·sinα。板书公式（1-6）：F=√(F_x²+F_y²)，tanα=|F_y/F_x|。结合图1-23说明力的分解与投影的区别。课堂练习：100N力与x轴成30°（第一象限）和60°（第二象限）时分别求投影。 1. 听讲并记录定义，在图1-18上标出汇交点，举例说明生活中的平面汇交力系。 2. 观察图1-19a，跟随教师绘制力的三角形合成图。观看动画演示，记录力多边形作图步骤和“封闭边从第一个力始端指向最后一个力末端”的要点。记录公式（1-2），结合图1-20理解自封闭力多边形。 3. 观察图1-22a理解投影几何意义，记录正负号规定。记录公式（1-4）（1-5）（1-6）。观察图1-23理解力的分解。口答练习：第一象限时F_x=86.6N、F_y=50N；第二象限时F_x=-50N、F_y=86.6N。 1. 建立清晰概念，明确平面汇交力系特征，通过举例加深理解。 2. 培养逐步合成和作图能力，动画演示突破“首尾相连”“封闭边”难点，强调易错点。 3. 建立投影几何概念，突破正负号难点，区分投影与分解，通过练习检测掌握情况。 学 习 新 知（20分钟） 一、合力投影定理与解析法合成 1. 合力投影定理：合力在任一坐标轴上的投影，等于所有分力在该轴上投影的代数和。 如图1-24b所示，在x轴上有：FRx = ad = ab + be + ed = F1x + F2x + F3x；同理，在y轴上有：FRy = F1y + F2y + F3y。 2. 将上述关系推广到由n个力组成的平面汇交力系，得出合力投影定理的一般表达式。 3. 平面汇交力系合成的解析法： 设有F1、F2、…、Fn组成的平面汇交力系，各力在x、y轴上的投影分别为F1x、F2x、…、Fnx及F1y、F2y、…、Fny，合力的投影分别为FRx、FRy，由合力投影定理可知： FRx = F1x + F2x + … + Fnx = ΣFx FRy = F1y + F2y + … +Fny=ΣFy（1-7） 4. 合力的大小和方向： FR = √(FRx² + FRy²) tanα =｜FRy/FRx｜ 二、平面汇交力系的平衡方程及应用 1. 平衡条件：平面汇交力系平衡的充分和必要条件是力系的合力等于零，即F_R=0。 2. 平衡方程：ΣF_x = 0，ΣF_y = 0 （1-10）3. 解析条件：力系中各力在两直角坐标轴上投影的代数和分别等于零。应用两个独立方程可解出两个独立的未知量。 【例题1-4】 重80N的球放在与水平面夹角为45°的光滑斜面上，并用与斜面平行的绳AB拉住，如图1-25a所示，试用解析法求绳AB受到的拉力及球对斜面的压力。 解： （1）取球为研究对象，画出受力图（图1-25b），球受重力G（铅垂向下）、绳的拉力F_T（沿斜面向上）、斜面的约束力F_N（垂直于斜面指向球心）。 （2）建立坐标系：取与斜面平行和垂直的方向分别为x、y轴（如图1-25b所示）。（3）列平衡方程并求解：∑F_x=0：F_T - G·sin45°=0，F_T=G·sin45°=80×√2/2=56.56N；∑F_y=0：F_N - G·cos45°=0，F_N=G·cos45°=80×√2/2=56.56N。 （4）结论：绳AB受到的拉力为56.56N，球对斜面的压力与F_N是作用力与反作用力关系，大小为56.56N，方向垂直斜面向下。 1. 结合图1-24a、b讲授合力投影定理，板书公式（1-7）：F_Rx=ΣF_x，F_Ry=ΣF_y。板书公式（1-8）：F_R=√(F_Rx²+F_Ry²)，tanα=|F_Ry/F_Rx|，强调合力指向由F_Rx和F_Ry的正负号决定。课堂练习：ΣF_x=40N，ΣF_y=30N，求合力大小及方向。 2. 讲授平衡条件：F_R=0，推出ΣF_x=0，ΣF_y=0，板书公式（1-10）。讲解例题1-4：取球为研究对象，画受力图，建坐标系，列平衡方程求解F_T=G·sin45°=56.56N，F_N=G·cos45°=56.56N。总结解析法解题四步：取对象→画受力图→建坐标系→列方程求解。 3.知识背诵： （1）平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力作用线通过汇交点。 （2）力在坐标轴上的投影：Fx = F·cosα，Fy = F·sinα，正负号与坐标轴正方向一致为正。 （3）平面汇交力系的平衡方程：ΣFx = 0，ΣFy = 0，可求解两个未知量。4.师生互动： 出示题目： 重G=100N的球用绳索AB悬挂并靠在光滑的铅直墙壁上，绳与墙面之间的夹角为30°。试求：（1）绳索AB对球的拉力FT；（2）墙壁对球的支持力FN。 说明： 球与墙面在B点接触，绳索一端系于球心A点（球心处简化为质点），另一端固定于墙上A点，绳从球心斜向上连至墙上A点，绳与墙面夹角30°。请同学们根据题意自行画出受力图后作答。教师总结： （1）取球为研究对象，画受力图。球受重力G（竖直向下）、绳索拉力FT（沿绳索方向，与墙面成30°角斜向上）、墙壁支持力FN（水平向右，垂直于墙面指向球心）。 （2）建立坐标系：取水平方向为x轴，竖直方向为y轴。 （3）将FT向x、y轴投影： • FTx = FT·sin30°（水平向右，为正） • FTy = FT·cos30°（竖直向上，为正） （4）列平衡方程： • ΣFx = 0：FN - FT·sin30° = 0 ……① • ΣFy = 0：FT·cos30° - G = 0 ……② （5）由②式：FT = G / cos30° = 100 / (√3/2) = 100 × 2/√3 = 115.47N 由①式：FN = FT·sin30° = 115.47 × 0.5 = 57.74N 即：绳索AB对球的拉力为115.47N，墙壁对球的支持力为57.74N。 1. 观察图1-24a、b，记录合力投影定理。记录公式（1-7）（1-8）及合力方向判断规则：F_Rx正向右、负向左；F_Ry正向上、负向下。计算练习：F_R=50N，α≈36.87°，合力在第一象限。 2. 记录平衡条件及公式（1-10）。跟随教师完成例题1-4，记录解析法解题四步。 3.合书默背，同桌互背。 4. 小组讨论，代表回答，其他人补充。 1. 建立合力投影定理核心概念，突破合力方向判断难点，通过练习巩固。 2. 建立平衡条件与方程的逻辑联系，通过典型例题规范解题步骤，培养良好习惯。 3.强化记忆。 4.帮助学生在课堂上掌握核心知识点。 课堂 总结（2分钟） 1. 平面汇交力系的概念： 各力作用线在同一平面内且汇交于一点。 2. 几何法（力多边形法）： 将各力按顺序首尾相连，从第一个力的始端指向最后一个力末端的封闭边即为合力。若力多边形自封闭，则力系平衡。 3. 解析法： （1）力的投影：Fx = F·cosα，Fy = F·sinα（与坐标轴正方向一致为正，反之为负）； （2）合力投影定理：FRx = ΣFx，FRy = ΣFy； （3）合力大小和方向：FR = √(FRx² + FRy²)，tanα = |FRy/FRx|（α为合力与x轴所夹锐角，指向由FRx、FRy正负号决定）。 4. 平衡方程： ΣFx = 0，ΣFy = 0，两个独立方程可求解两个未知量。 5. 解析法解题步骤： 取研究对象 → 画受力图 → 建坐标系 → 列平衡方程 → 解未知量。 布置下节课任务（1分钟） 布置下节课任务（1分钟） 预习下节课内容 布 置 作业（1分钟） 1. 简述平面汇交力系平衡的充分必要条件是什么？其几何条件和解析条件分别是什么？ 2.某平面汇交力系由四个力组成，其合力为零（力系平衡）。已知其中三个力在x、y轴上的投影分别为：F1x=30N、F1y=40N；F2x=-20N、F2y=50N；F3x=-10N、F3y=-80N。求第四个力F4的大小及与x轴正方向的夹角。 板书 设计 1-2 平面汇交力系 一、概念 平面汇交力系：各力作用线在同一平面内且汇交于一点。 二、几何法（力多边形法） 各力首尾相连 → 封闭边为合力F_R F_R = F₁ + F₂ + … + F_n = ΣF （1-2） 平衡的几何条件：力多边形自封闭 F_R=0 （1-3） 三、解析法 1.力在坐标轴上的投影 正负号：与坐标轴正方向一致为正 F_x = F·cosα F_y = F·sinα （1-4）（1-5） F = √(F_x²+F_y²) tanα = |F_y/F_x| （1-6） 2.合力投影定理 F_Rx = ΣF_x F_Ry = ΣF_y （1-7） F_R = √(F_Rx²+F_Ry²) tanα = |F_Ry/F_Rx| （1-8） 四、平衡方程 ΣF_x = 0 ΣF_y = 0 （1-10） 两个方程 → 解两个未知量 例题1-4 受力图 → 建坐标系 → 列平衡方程 → 求解 F_T = G·sin45° = 56.56N F_N = G·cos45° = 56.56N 六、教学评价 教学评价 七、教学反思 教学反思 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $