2-4 圆轴扭转（课件）《机械基础》上好课（高教版·第三版）

《机械基础》（高教版)第三版 上好课—中职专业课 模块二 直杆的基本变形 2-4 圆轴扭转 教学目标 知识目标 1.记住外力偶矩的计算公式M=9550P/n及其适用条件。 2.记住圆轴扭转时横截面上切应力的分布规律（与半径成正比，圆心为零，边缘最大）和计算公式τ=M_T/W。 3.记住扭转强度条件τ_max=M_Tmax/W≤[τ]及三类强度计算问题的应用方法。 能力目标 1.能正确计算传动轴的外力偶矩。 2.能绘制扭矩图，确定危险截面和最大扭矩值。 3.能计算实心轴和空心轴的抗扭截面系数W。 情感目标 1.激发学习兴趣和热情，认识圆轴扭转的重要地位和实用价值。 2.培养严谨规范的扭矩图绘制习惯和强度校核的完整书写习惯。 3.养成联系工程实际分析力学问题的思维习惯。 1.7.2013 ‹#› 教学引入 在汽车行驶的过程中，发动机产生的强大动力，正是通过这根看似普通的轴，源源不断地传递给驱动车轮，推动汽车前进。 在这个动力传输的过程中，这根轴始终处于复杂的受力状态。 当动力从一端输入、另一端输出时，这根轴的主要变形形式究竟是什么？ 1.7.2013 同学们请看大屏幕，这就是我们今天要学习的主角——牛头刨床。大家可以看到，它正在对一个工件进行加工。请大家思考一下，这种加工方式和我们之前学的车削有什么区别？它主要用来加工什么样的表面呢？带着这些问题，我们正式进入今天的课程。 ‹#› 教学引入 双手握住毛巾两端并向相反方向用力拧动，毛巾会立刻呈现出明显的形态改变。 观察其微观结构会发现，毛巾的各个横截面，正围绕着中心轴线发生相对的转动和错动，这是扭转最核心的运动特征。 这种由外力偶作用，使构件的各横截面绕轴线发生相对转动的变形形式，在材料力学中被正式定义为“扭转”。 1.7.2013 同学们请看大屏幕，这就是我们今天要学习的主角——牛头刨床。大家可以看到，它正在对一个工件进行加工。请大家思考一下，这种加工方式和我们之前学的车削有什么区别？它主要用来加工什么样的表面呢？带着这些问题，我们正式进入今天的课程。 ‹#› 知识讲授：无处不在的扭转 扭转是力学中一种极为普遍的变形形式，广泛存在于我们的日常生活与各类工程结构之中。它并非抽象的理论，而是时刻发生在我们身边、支撑着现代机械运转的基础物理现象。 • 驾驶汽车时，双手转动方向盘的力矩传递至下方的操纵杆，使其承受扭转作用，从而精准控制车轮转向。 • 日常开门时，钥匙插入锁孔并转动，钥匙杆身会承受扭转力，带动锁芯内部结构转动，实现锁具的开启与闭合。 知识讲授：扭转的概念 知识讲授：什么是圆轴扭转？ 力学行为的核心界定 当杆件受到垂直于轴线的外力偶作用时，杆件的各个横截面绕其轴线发生相对转动，这种变形形式称为扭转。在工程应用中，以扭转变形为主要变形形式的杆件，通常被专门称作轴。 知识讲授：扭转的受力特点 引起扭转变形的外力，必须是一对或多对“外力偶”。这种力偶作用在垂直于杆轴的平面内，使杆件的任意两横截面发生绕轴线的相对转动。 这些外力偶的作用面都必须垂直于杆件的轴线。这是判断构件是否发生扭转变形的核心力学依据，也是工程中分析传动轴、钻杆等构件的关键准则。 知识讲授：扭转的变形特点 扭转变形最核心的表现是：杆件的各个横截面绕轴线发生相对转动。这是扭转变形区别于轴向拉压、平面弯曲等基本变形的关键特征。 我们将任意两个横截面之间相对转过的角度，定义为扭转角。它是定量衡量和描述杆件扭转变形程度的重要物理量，通常用符号 φ 表示。 知识讲授：工程中的受扭构件 精密传动核心 机床主轴是典型的受扭构件，在旋转切削过程中，扭矩通过主轴传递给刀具，确保加工的稳定性与精度。 01. 机床主轴 作为机床的核心部件，它负责传递动力并带动刀具进行旋转切削，在高速运转中持续承受扭转力矩，是保证加工精度的关键。 02. 钻探机钻杆与搅拌机轴 地质钻探机的钻杆在旋转中向下钻进地层，搅拌机的搅拌轴则带动叶片旋转混合物料，二者均在旋转作业中承受复杂的扭转载荷。 知识讲授：如何计算外力偶矩？ 在工程实际中，作用在轴上的外力偶矩通常不会直接给出，需通过测量轴传递的功率(P)和轴的转速(n)间接推导。 核心物理关系：功率 P 等于外力偶矩 M 与角速度 ω 的乘积，即：P = M × ω 知识讲授：外力偶矩计算公式 由基础功率公式 P = Mω 推导，其中角速度 ω 可表示为转速 n 的函数：ω = 2πn/60（n 单位为 r/min）。 统一工程常用单位：功率 P 取千瓦(kW)，转速 n 取转/分钟(r/min)，最终求得的外力偶矩 M 单位为牛·米(N·m)。 经单位换算与推导，得到实用计算公式： M = 9550 × (P / n) 知识讲授：公式应用举例 生活中的问题：为什么汽车爬坡时，司机通常会主动换到低速挡行驶？ 核心原理基于公式：M = 9550P/n。在发动机功率P基本恒定的前提下，转速n与扭矩M成反比关系。 01. 高速挡的局限：转速n高，扭矩M小，驱动力不足，难以爬坡。 02. 低速挡的优势：转速n低，扭矩M大，驱动力更强，可顺利爬坡。 知识讲授：扭转时的内力——扭矩 当圆轴受到外力偶矩作用而发生扭转变形时，其内部各横截面之间会产生相互作用的内力，以此抵抗因外部载荷引起的变形。 这种由扭转变形引起的内力也是一个力偶，我们将其专门命名为“扭矩”，它是工程中分析轴类零件强度与刚度的核心物理量。 在力学计算中，扭矩通常用符号M_T来表示，其单位与力偶矩一致，常用牛·米（N·m）或千牛·米（kN·m）。 知识讲授：截面法：分析内力的利器 01. 切 — 假想截开 在需求扭矩的截面处，假想地将轴切开，将构件分为两部分。 02. 取 — 选取对象 取切开后的任意一段作为研究对象，保留其中较为简单的部分。 03. 代 — 内力代替 在截开的截面上，用未知的扭矩 M_T 代替弃去部分对保留部分的作用。 04. 平 — 平衡求解 对保留部分建立力矩平衡方程 (ΣM = 0)，求解扭矩 M_T 的大小。 知识讲授：如何判断扭矩的正负？ 工程力学中采用“右手螺旋法则”规定扭矩正负： 1. 四指转向一致 右手四指自然弯曲，与扭矩实际转向完全相同。 2. 扭矩为正 (+) 大拇指指向背离所研究的截面时，扭矩为正。 3. 扭矩为负 (-) 大拇指指向所研究的截面时，扭矩为负。 扭矩图：展示扭矩变化的地图 当轴上作用多个外力偶时，不同截面扭矩不同。扭矩图是分析轴受力的重要工具，可直观呈现扭矩沿轴线的变化，并定位最大扭矩的危险截面。 • 横坐标：代表轴的各截面位置，反映扭矩随轴线长度的分布。 • 纵坐标：代表对应截面的扭矩数值，量化扭矩大小关系。 • 绘制规则：正扭矩绘于横坐标上方，负扭矩绘于下方。 图示为扭矩特性曲线示例，可快速识别扭矩峰值与变化趋势，为轴的结构设计和强度校核提供关键依据。 知识讲授：如何绘制扭矩图？ 01. 合理分段 根据外力偶作用位置划分轴段，明确各段受力边界条件。 02. 截面计算 用截面法取单侧构件，计算各段截面扭矩的数值与符号。 03. 坐标绘图 以截面位置为横坐标、扭矩为纵坐标，描点连线绘制图形。 04. 结果标注 标注扭矩数值与正负，确定最大扭矩作为强度校核依据。 知识讲授：扭转实验与平面假设 01. 实验观察到的关键现象 在圆轴表面绘制圆周线与纵向线并使其扭转：圆周线的形状、大小和间距保持不变，仅绕轴线相对转动；而纵向线则倾斜了一个微小的角度。 02. 核心理论：平面假设的提出 基于实验现象可推知：圆轴扭转变形前的横截面，变形后依然保持为平面，且始终垂直于轴线，仅绕轴线转过了一个角度。这是分析扭转应力的重要基础。 知识讲授：横截面上的切应力分布 根据平面假设和变形几何关系，可推导出圆轴扭转时横截面上切应力的分布规律，核心特征如下： 1. 应力类型唯一：横截面上仅有切应力，无拉压正应力，这是扭转变形区别于轴向拉压的核心力学特征。 2. 方向垂直半径：切应力方向始终垂直于该点所在半径，与圆周切线方向一致，符合微元体剪切变形趋势。 3. 大小线性分布：切应力大小与该点到圆心的距离 r 成正比。圆心处 (r=0) 切应力为零，圆周边缘 (r=R) 切应力达到最大值，是抗扭设计的危险位置。 知识讲授：切应力计算公式 τ = M_T · r / I_p τ 与 M_T：τ为该点切应力(MPa)，M_T为横截面上的扭矩(N·m)，切应力大小与扭矩成正比。 r (半径距离)：r是该点到圆心的距离(mm)，同一横截面上，切应力随该点到圆心的距离增大而线性增大。 I_p (极惯性矩)：I_p 是仅与截面形状和尺寸有关的几何量(mm⁴)，反映截面抗扭能力，为常数。 知识讲授：最大切应力与抗扭截面系数 在构件扭转时，最大切应力发生在横截面的边缘处 (r = R)，此处的切应力值决定了构件是否会发生破坏，是工程设计的关键指标。 将 r = R 代入切应力通式，可得最大切应力表达式： τ_max = M_T · R / I_p 令抗扭截面系数 W_T = I_p / R，则公式简化为： τ_max = M_T / W_T W_T 综合反映了截面形状和尺寸对抵抗扭转能力的影响，单位为 mm³。W_T 越大，构件抗扭能力越强，最大切应力越小。 知识讲授：如何计算W_T？ 01. 实心圆轴的抗扭截面系数 公式：W_T = πD³ / 16 ≈ 0.2D³（D为轴的直径）。该公式表明，抗扭能力与轴直径的三次方成正比，增大直径是提升抗扭能力最直接有效的方式。 02. 空心圆轴的抗扭截面系数 引入内径外径比α = d/D，公式为：W_T ≈ 0.2D³(1-α⁴)。相比实心轴，空心结构在减轻重量的同时，通过材料向边缘分布，能更高效地利用材料强度。 知识讲授：如何保证轴不被扭坏？ 为保证圆轴扭转时安全工作，需使其最大工作切应力不超过材料许用切应力，由此推导出扭转强度条件。 τ_max = M_Tmax / W_T ≤ [τ] τ_max与M_Tmax：轴的最大工作切应力与最大扭矩。W_T与[τ]：轴的抗扭截面系数与材料许用切应力，是构件安全的临界指标。 知识讲授：强度条件的应用 01. 强度校核 已知轴的最大扭矩 M_Tmax、抗扭截面系数 W_T 和许用切应力 [τ]，验证 τ_max ≤ [τ] 是否成立，判断设计是否安全。 02. 设计截面尺寸 已知 M_Tmax 和 [τ]，由 W_T ≥ M_Tmax / [τ] 确定最小抗扭截面系数，进而求出轴的直径 D，完成截面设计。 03. 确定许用载荷 已知 W_T 和 [τ]，由 M_Tmax ≤ [τ]·W_T 计算轴所能承受的最大扭矩，以此确定设备允许的最大工作载荷。 知识讲授：强度计算 知识讲授：例题2-6 题目：某空心传动轴，外径D=90mm，内径d=85mm，传递的最大扭矩M_Tmax=1.5kN·m。材料的许用切应力[τ]=60MPa。试校核该轴的强度。 解题步骤： 1. 计算截面系数比 α：根据内外径比值计算 α = d/D，代入数值求解。 2. 计算抗扭截面系数 W_T：利用空心圆轴公式 W_T ≈ 0.2D³(1-α⁴) 求解。 3. 求最大切应力 τ_max：由 τ_max = M_Tmax / W_T 计算轴的最大切应力。 4. 强度条件校核：比较 τ_max 与 [τ]，若 τ_max ≤ [τ]，则轴满足强度要求。 知识讲授：例题2-6 01. 计算几何参数 α 由空心轴内外径比值公式得：α = d/D = 85/90 ≈ 0.944，确定截面几何特征。 02. 计算抗扭截面系数 W_T 代入公式 W_T ≈ 0.2D³(1-α⁴)，计算得 W_T ≈ 0.2×90³×(1-0.944⁴) ≈ 30016 mm³。 03. 计算最大切应力 τ_max 扭矩换算为 1.5×10⁶ N·mm，τ_max = M_Tmax/W_T ≈ 1.5×10⁶ / 30016 ≈ 50 MPa。 04. 强度校核结论 因 50 MPa < [τ] = 60 MPa，故该空心轴的扭转强度满足工程设计要求。 知识讲授：例题2-6 若采用与前述空心轴强度完全相同的实心轴，在满足抗扭截面系数相等的前提下，其设计直径应为多大？ 令实心轴抗扭截面系数 W_T' = 30016 mm³，由 W_T' ≈ 0.2D'³，解得 D' ≈ 53.1 mm。工程应用中，取国家标准直径 D' = 55 mm。 空心轴外径90mm vs 实心轴直径55mm。可见空心结构在大幅节省材料、减轻自重的同时，能保持优异的力学性能。 知识讲授：如何提高轴的抗扭强度？ 根据抗扭强度条件公式 τ_max = M_Tmax / W_T ≤ [τ]，要有效降低轴内的最大切应力，提升整体抗扭性能，主要可从调整公式中的分子与分母两个维度入手： 01. 增大抗扭截面系数 W_T 通过优化轴的截面形状（如采用空心圆轴）或增大轴的直径，直接提升轴自身的承载能力，是提高抗扭强度最直接的方法。 02. 降低最大扭矩 M_Tmax 合理布置轴上的传动零件位置，改善轴的受力状态，减少轴所承受的最大扭矩值，从源头上减轻轴的载荷负担。 知识点背诵 一、圆轴扭转的受力特点： 外力偶作用面垂直于轴线； 变形特点：横截面绕轴线相对转动。 二、切应力分布规律： 横截面上切应力与该点所在圆周的半径成正比，圆心处切应力为零，边缘处最大。 三、抗扭截面系数公式： 实心轴W≈0.2D³；空心轴W≈0.2D³(1-α³)，其中α=d/D。 1.7.2013 好了，我们来总结一下今天的重点知识。刨床分牛头和龙门；刨削能加工各种平面和沟槽；刨刀有弯颈、直杆、偏刀和成型刀四种主要类型。这些都是必须掌握的核心内容。 ‹#› 师生互动 降低正弦量计算门槛，提升效率 问题 某传动轴传递的最大扭矩M_T=1.8kN·m，材料许用切应力[τ]=55MPa，该轴采用空心轴，外径D=100mm，内径d=80mm。 （1）计算该空心轴的抗扭截面系数W。 （2）校核该轴的扭转强度是否满足要求。 （3）若该轴改用实心轴，在相同强度条件下，实心轴直径应为多少？取标准直径。 结论 （1）α=d/D=80/100=0.8 W=πD³/16(1-α³)=π×100³/16×(1-0.8³)=196250×0.488=95770mm³ （2）τ_max=M_Tmax/W=1.8×10⁶/95770=18.8MPa<[τ]=55MPa，满足强度要求。 （3）W=πD³/16≈0.2D³，D=³√(W/0.2)=³√(95770/0.2)=³√478850≈78.2mm，取标准直径80mm。 1.7.2013 ‹#› 单项选择题 1. 空心轴抗扭截面系数计算公式W=πD³/16(1-α³)中，α等于（ ） A．d/D B．D/d C．d²/D² D．D²/d² 正确答案：A 空心轴抗扭截面系数计算公式W=πD³/16(1-α³)中，α=d/D，其中d为内径，D为外径，故选A。 课后练习 1.7.2013 现在我们来做几道练习题巩固一下。第一题，主要用于加工大型工件的刨床是什么？A还是B？对，是B，龙门刨床。 ‹#› 单项选择题 2.右手螺旋法则判断扭矩正负号时，拇指指向（ ）截面时扭矩为正。 A．指向 B．背离 C．平行于 D．垂直于 正确答案：B 按右手螺旋法则规定，四指弯曲方向同扭矩的转向，大拇指指向背离截面时，扭矩为正，反之为负，故选B。 课后练习 1.7.2013 第二题，为了防止扎刀，精加工用哪种刨刀？没错，是弯颈刨刀，选B。 ‹#› 单项选择题 3.提高抗扭强度时，降低最大扭矩的合理措施是（ ） A．增大轴径 B．采用空心轴 C．合理安排轴上零件位置 D．减小轴的长度 正确答案：C 由强度条件τ_max=M_Tmax/W≤[τ]可知，降低最大扭矩可通过合理安排轴上零件位置实现，增大轴径和采用空心轴属于提高W值的方法，故选C。 课后练习 1.7.2013 ‹#› 简述提高圆轴抗扭强度的两种主要途径。 课后练习 由扭转强度条件τ_max=M_Tmax/W≤[τ]可知，提高圆轴抗扭强度主要有两种途径：（1）提高抗扭截面系数W：增大轴径效果最为显著，或采用空心轴，在相同截面积的前提下，可以大大提高轴的抗扭截面系数，有效提高轴的扭转强度。 （2）降低最大扭矩M_Tmax：合理安排轴上零件的位置，可有效降低轴的最大扭矩。 1.7.2013 最后是一道简答题，请大家简述刨削加工的工艺特点。大家可以从切削工况、成本、效率、应用和精度这几个方面来回答，把我们刚才总结的内容写出来就可以了。 ‹#› 课堂小结 1.背诵：圆轴扭转的基本概念、外力偶矩公式M=9550P/n、扭矩正负号规定、切应力分布规律、抗扭截面系数公式、扭转强度条件τ_max=M_Tmax/W≤[τ]。 2.计算：某传动轴传递的最大扭矩M_T=2kN·m，材料许用切应力[τ]=50MPa。试设计该轴的直径：（1）若采用实心轴，直径应为多少？（2）若采用空心轴，外径D=80mm，α=0.8，是否满足强度要求？ 课后作业 1.7.2013 这是今天的课后作业。基础题帮助大家巩固记忆，巩固题要求大家对比两种刨床的核心区别，预习任务是为下节课做准备。请大家认真完成。 ‹#› 感谢观看 $