1-2 平面汇交力系（课件）《机械基础》上好课（高教版·第三版）

《机械基础》（高教版)第三版 上好课—中职专业课 模块一 构件的静力分析 1-2 平面汇交力系 教学目标 知识目标 1.说出平面汇交力系的定义，记住其合成方法； 2.记住合力投影定理的内容，掌握力在坐标轴上投影的计算方法； 3.记住平面汇交力系的平衡方程并能正确列写； 4.记住平面汇交力系平衡的几何条件和解析条件。 能力目标 1. 能用几何法（力多边形法）求平面汇交力系的合力； 2. 能用解析法计算力在坐标轴上的投影及合力的大小和方向； 3. 能运用平衡方程求解两个独立的未知量。 情感目标 1.激发学习兴趣和热情，认识平面汇交力系在机械工程中的重要性； 2.培养严谨细致的计算习惯和规范作图的职业素养； 3.养成按规范步骤进行力学问题分析的思维习惯。 1.7.2013 ‹#› 教学引入 挂钩受到的这三个力的作用线在同一平面内且汇交于一点。 如果这个挂钩处于平衡状态，这三个力之间有什么关系？ 如何求出它们的合力？ 1.7.2013 同学们请看大屏幕，这就是我们今天要学习的主角——牛头刨床。大家可以看到，它正在对一个工件进行加工。请大家思考一下，这种加工方式和我们之前学的车削有什么区别？它主要用来加工什么样的表面呢？带着这些问题，我们正式进入今天的课程。 ‹#› 知识讲授：平面汇交力系的定义 1. 力系的基础分类 各力作用线均在同一平面内的力系称为平面力系，是工程力学中常见且基础的力系类型。 2. 平面汇交力系的核心定义 若平面力系中各力的作用线都汇交于同一点，则称为平面汇交力系。需满足“同一平面”和“汇交于一点”两个条件。 3. 经典实例 起重机挂钩受三个力作用，这三个力在同一平面内且交汇于挂钩中心，是平面汇交力系的典型模型。 几何法合成：连续应用力的三角形法则 核心思路：迭代合成 对于由多个力组成的平面汇交力系，无需一次性处理所有力，而是以“力的三角形法则”为基础，通过“两两合成、逐步递进”的迭代方式，最终求得整个力系的合力。 几何法合成：连续应用力的三角形法则 1. 首次合成 选取力系中任意两个力（如F₁与F₂），应用三角形法则，将其合成为第一个阶段性合力F_R12。 2. 递次叠加 将上一步得到的合力F_R12，与第三个力F₃再次应用三角形法则，合成为新的合力，直至包含所有分力。 3. 确定最终合力 最终得到的合力F_R即为整个平面汇交力系的合力，其作用线必须通过原力系的汇交点A。 知识讲授：几何法 几何法合成：力多边形法（定义与作图） 核心定义 为简化作图过程，将各已知力平移，使它们按一定顺序首尾相连，构成一个不封闭的多边形，通过这种方式直观展示力的合成关系，避免了重复使用三角形法则的繁琐。 几何法合成：力多边形法（定义与作图） STEP 01 起始作图 在平面内任选一点作为起点，严格依据各力的大小和方向，准确画出第一个力矢量 F₁，以此确立力多边形的起始边。 STEP 02 依次连接 从 F₁ 的终点开始，依次首尾相连画出后续力矢量 F₂、F₃...Fn，直至所有力画完。最终形成的多边形即为“力多边形”，能直观呈现合力的趋势。 💡 关键点：各力矢量必须首尾相接，顺序可任意调整，不影响最终合成结果的准确性。 力多边形法：作图要点与合力方向 1. 合力的确定：“封口”矢量法则 在力多边形中，从第一个力的始点指向最后一个力终点的封闭矢量即为合力FR，其方向为合力方向，模长为合力大小。 2. 连接顺序 将各分力按顺序首尾相连，构成不封闭的折线，是构建力多边形的基础。 3. 矢量指向 合力方向始终从第一个力的始端指向最后一个力的末端，是判断方向的关键。 4. 作用线位置 合力的作用线必须通过原力系的汇交点，以保证力系等效替换。 知识讲授：几何法合成总结与公式 核心结论：矢量和的本质 平面汇交力系的合力等于各力的矢量和，且合力的作用线必通过各力的汇交点。这意味着力的合成不仅关注大小，更严格遵循方向的叠加规则。 数学表达：矢量叠加公式 FR= F₁ + F₂ + … + Fₙ = ΣF 公式中的加号代表矢量加法，而非简单的代数求和。它定量描述了合力与分力之间的线性关系，是工程力学分析的基础工具。 平衡的几何条件：力多边形自封闭 01. 平衡状态的物理本质 物体平衡时运动状态不变，所受外力矢量和（合力）为零，即 FR= 0，这是静力学平衡的核心前提。 02. 力多边形的几何特征 合力为零时，力多边形起点与终点重合，构成“自封闭”图形，这是平衡的充要几何条件。 03. 平衡条件的矢量表达式 FR= F₁ + F₂ + … + Fₙ = 0，该公式定量描述了分力的矢量抵消关系，是静力学问题的求解基础。 课堂思考：光滑斜面小球问题 问题呈现 如图1-21所示，重80N的球放在光滑斜面上，用与斜面平行的绳AB拉住，试用几何法求绳的拉力和球对斜面的压力。（此问题在后续解析法中详细解答） 力在坐标轴上的投影（定义与正负号） 01. 投影的定义：代数量的本质 力在坐标轴上的投影是一个代数量，其大小等于力的矢量在该轴上对应线段的长度。如图所示，线段 ab 为 F 在 x 轴上的投影 Fₓ，a'b' 为 F 在 y 轴上的投影 Fᵧ。 02. 正负号规定：方向的判定 当从起点到终点的指向与坐标轴正方向一致时，投影取正值；反之，若指向与坐标轴正方向相反，则投影取负值。 力的投影计算（公式与图示） 01. 第一象限情况（力与x轴正方向夹角为α） 当力的指向与坐标轴正方向一致时，投影取正值。公式：Fₓ = F·cosα，Fᵧ = F·sinα 02. 第二象限情况（力与x轴负方向夹角为α） 力在x轴的投影指向与x轴正方向相反取负值，y轴投影取正值。公式：Fₓ = -F·cosα，Fᵧ = F·sinα 核心法则：投影的正负完全由其指向与坐标轴正方向是否一致决定，切勿死记公式，要结合图示理解方向。 由投影求力的大小和方向 01. 由投影求力的大小 若已知力 F 在 x、y 轴上的投影分别为 Fₓ 和 Fᵧ，则根据勾股定理，可直接计算出力 F 的大小， 公式为：F = √(Fₓ² + Fᵧ²) 02. 由投影判断力的方向 力 F 与 x 轴所夹锐角 α 的正切值为 tanα = |Fᵧ / Fₓ|；而力的具体指向（所在象限），需由投影 Fₓ 和 Fᵧ 的正负号共同确定。 如果把力F沿x轴、y轴分解，则得到两个正交力FxF,,如图1-23所示。 由投影求力的大小和方向 如果把力F沿x轴、y轴分解，则得到两个正交力Fx、Fy,如图1-23所示。 合力投影定理（定义与推导） 01 / 定理核心定义 合力在任一坐标轴上的投影，等于所有分力在该轴上投影的代数和。这是连接“分力”与“合力”的关键桥梁，也是平面汇交力系解析法的理论基础。 02 / 投影关系推导（x轴示例） 在直角坐标系中，合力FR在x轴的投影FRx等于线段ad的长度。由图可知 ad = ab + be + ed，而ab、be、ed分别对应分力F₁、F₂、F₃在x轴的投影。 ∴ FRx = F₁ₓ+ F₂ₓ+ F₃ₓ； 同理可得 FRy = F₁ᵧ+ F₂ᵧ+ F₃ᵧ 知识讲授：解析法合成步骤与公式 一、合成核心三步法 1. 计算投影：将各分力向x、y轴投影，得到坐标轴上的分量。 2. 求和投影：利用合力投影定理，将同方向投影代数相加。 3. 求解合力：通过勾股定理求大小，三角函数定方向。 二、关键公式体系 1. 合力投影：FRx = ΣFx，FRy = ΣFy 2. 大小与方向：FR = √(FRx² + FRy²)，tanα = |FRy/FRx| 知识讲授：平衡的解析条件与平衡方程 01. 平衡的充分必要条件 平面汇交力系平衡的充分和必要条件是力系的合力等于零，矢量式为FR = 0，意味着力系中所有力构成的力多边形自行封闭。 02. 平衡方程的建立与应用 由合力的模FR = √(FRx² + FRy²) = 0可知，需水平与竖直方向合力投影均为零。根据合力投影定理，平衡方程为ΣFx = 0，ΣFy = 0，这是求解工程力学问题的核心工具。 知识讲授：平衡条件 例题1-4 【题目描述】 重80N的球放在与水平面夹角为45°的光滑斜面上，并用与斜面平行的绳AB拉住。 试通过解析法，求解绳AB受到的拉力大小，以及球对斜面产生的压力。 （1）：确定研究对象与受力图 STEP 01. 确定研究对象，绘制受力图 锁定研究对象：选取小球作为隔离体，单独分析其受到的所有外力作用，忽略次要因素。 受力三要素拆解：受铅垂向下的重力G(80N)；沿斜面向上的绳拉力FT(未知)；垂直斜面指向球心的支持力FN(未知)。构建沿斜面与垂直斜面的坐标系，为列平衡方程做准备。 图1-25 斜面上小球的受力分析示意图 （2）：建立坐标系 核心原则：让坐标轴与未知力重合 坐标系的选择直接决定了后续计算的繁简程度。为了最大限度简化投影运算，应优先将其中一个坐标轴设定为与未知力的方向完全重合。 具体方案：贴合斜面设定 x、y 轴 取平行于斜面为 x 轴，垂直于斜面为 y 轴。此时未知力 F_T 沿 x 轴，F_N 沿 y 轴，它们在另一轴上的投影为零，极大减少了计算步骤。 （3）：列平衡方程求解 01. 建立坐标系，列写平衡方程 ∑Fₓ = 0：F_T - G·sin45° = 0 （水平方向拉力与重力分力平衡） ∑Fᵧ = 0：F_N - G·cos45° = 0 （竖直方向支持力与重力分力平衡） 02. 代入已知数据，计算未知力 (G=80N) 拉力 F_T = 80 × (√2 / 2) ≈ 56.56 N 支持力 F_N = 80 × (√2 / 2) ≈ 56.56 N （4）：得出结论 01. 直接计算结果 通过正交分解与平衡方程计算，可得出绳子对球的拉力约为56.56 N；斜面对球的支持力约为56.56 N。 02. 最终答案与关键分析 绳AB受到的拉力：大小为56.56N。 球对斜面的压力：根据牛顿第三定律，它与斜面对球的支持力是一对作用力与反作用力，故大小为56.56N，方向垂直于斜面向下。 知识讲授：解析法解题步骤总结 01 取对象：明确具体研究对象，锁定分析主体，避免混淆。 02 画受力图：全面分析外力，规范清晰呈现，不遗漏不重复。 03 建坐标系：建立合适直角坐标系，简化后续投影计算过程。 04 列方程求解：依据平衡方程代入投影，解出未知物理量。 关键提醒：列方程时务必遵循投影正负号规定，确保计算正确。 知识点背诵 一、平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力作用线通过汇交点。 二、力在坐标轴上的投影： Fx = F·cosα，Fy = F·sinα， 正负号与坐标轴正方向一致为正。 三、平面汇交力系的平衡方程： ΣFx = 0，ΣFy = 0， 可求解两个未知量。 1.7.2013 好了，我们来总结一下今天的重点知识。刨床分牛头和龙门；刨削能加工各种平面和沟槽；刨刀有弯颈、直杆、偏刀和成型刀四种主要类型。这些都是必须掌握的核心内容。 ‹#› 师生互动 降低正弦量计算门槛，提升效率 问题 重G=100N的球用绳索AB悬挂并靠在光滑的铅直墙壁上，绳与墙面之间的夹角为30°。 试求：（1）绳索AB对球的拉力FT；（2）墙壁对球的支持力FN。 说明： 球与墙面在B点接触，绳索一端系于球心A点（球心处简化为质点），另一端固定于墙上A点，绳从球心斜向上连至墙上A点，绳与墙面夹角30°。请同学们根据题意自行画出受力图后作答。 结论 （4）列平衡方程： • ΣFx = 0：FN - FT·sin30° = 0 ……① • ΣFy = 0：FT·cos30° - G = 0 ……② （5）由②式：FT = G / cos30° = 100 / (√3/2) = 100 × 2/√3 = 115.47N 由①式：FN = FT·sin30° = 115.47 × 0.5 = 57.74N 即：绳索AB对球的拉力为115.47N，墙壁对球的支持力为57.74N。 过程 （1）取球为研究对象，画受力图。球受重力G（竖直向下）、绳索拉力FT（沿绳索方向，与墙面成30°角斜向上）、墙壁支持力FN（水平向右，垂直于墙面指向球心）。 （2）建立坐标系：取水平方向为x轴，竖直方向为y轴。 （3）将FT向x、y轴投影：FTx = FT·sin30°（水平向右，为正），FTy = FT·cos30°（竖直向上，为正） 1.7.2013 ‹#› 单项选择题 1. 平面汇交力系各力作用线汇交于一点，其合力作用线（ 　） A. 通过汇交点 B. 通过任意一点 C. 不通过汇交点 D. 通过力多边形中心 正确答案：A 平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。 课后练习 1.7.2013 现在我们来做几道练习题巩固一下。第一题，主要用于加工大型工件的刨床是什么？A还是B？对，是B，龙门刨床。 ‹#› 单项选择题 2. 力F在x轴上的投影为-40N，在y轴上的投影为30N，则力F的大小为（　 ） A. 70N B. 10N C. 50N D. 1200N 正确答案：C F=√(Fx²+Fy²)=√((-40)²+30²)=√(1600+900)=√2500=50N。 课后练习 1.7.2013 第二题，为了防止扎刀，精加工用哪种刨刀？没错，是弯颈刨刀，选B。 ‹#› 单项选择题 3.光滑斜面上物体受重力G、绳拉力FT和斜面支持力FN三个力作用处于平衡，若斜面倾角为45°，则FT与FN的大小关系为（　 ） A. FT=FN B. FT>FN C. FT<FN D. 无法确定 正确答案：A 沿斜面方向：FT=G·sin45°；垂直斜面方向：FN=G·cos45°。因sin45°=cos45°，故FT=FN。 课后练习 1.7.2013 ‹#› 简述平面汇交力系解析法求解平衡问题的步骤。 课后练习 （1）确定研究对象，画出受力图。 （2）选取合适的直角坐标系。 （3）将各力向坐标轴投影，列平衡方程ΣFx=0、ΣFy=0。 （4）解方程求出未知量。 1.7.2013 最后是一道简答题，请大家简述刨削加工的工艺特点。大家可以从切削工况、成本、效率、应用和精度这几个方面来回答，把我们刚才总结的内容写出来就可以了。 ‹#› 课堂小结 1. 简述平面汇交力系平衡的充分必要条件是什么？其几何条件和解析条件分别是什么？ 2.某平面汇交力系由四个力组成，其合力为零（力系平衡）。已知其中三个力在x、y轴上的投影分别为：F1x=30N、F1y=40N；F2x=-20N、F2y=50N；F3x=-10N、F3y=-80N。求第四个力F4的大小及与x轴正方向的夹角。 课后作业 1.7.2013 这是今天的课后作业。基础题帮助大家巩固记忆，巩固题要求大家对比两种刨床的核心区别，预习任务是为下节课做准备。请大家认真完成。 ‹#› 感谢观看 $