专题05 立体几何中的平行、垂直证明问题全归纳（思维导图+4知识点+11大题型+综合通关）（暑假复习讲义）新高二数学人教A版

专题05 立体几何中的平行、垂直证明问题全归纳 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构→ 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破→ 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型01 利用中位线、平行四边形证明线面平行 题型02 利用面面平行证明线面平行 题型03 利用线面平行的性质定理证明线线、线面平行 题型04 利用线段成比例证明线面平行、四点共面问题 题型05 证明面面平行、面面平行的性质定理 题型06 常见的线面垂直 题型07 利用线面垂直证明线线垂直 题型08 证明面面垂直 题型09 面面垂直的性质定理 题型10 利用相似、全等条件证明垂直 题型11 平行、垂直中的探索性问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 线面、面面平行 2. 线线、线面、面面垂直 1. 证明线面平行：考查基本做辅助线的能力 2. 证明线面垂直：考查对简单垂直关系的了解，例如“三线合一”，勾定理逆定理等 3. 线面平行的性质定理、面面垂直的性质定理 考情解码： 平行关系中要求利用三角形中位线或平行四边形法构造线线平行，需注意定理中“直线不在平面内”的隐含要求；垂直问题需紧扣判定定理，通过线线垂直推导线面垂直，或由线面垂直推证面面垂直，注重逻辑推理与空间结构的结合。在动态问题（如翻折、动点）中，需灵活运用性质转化条件。例如，利用面面垂直性质定理转化出线面垂直关系。 知识点一 直线和平面平行 1、定义 直线与平面没有公共点，则称此直线与平面平行，记作∥ 2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 线∥线线∥面 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行 面∥面线∥面 如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面 3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 线∥面线∥线 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 【易错提醒】 1、证明平行之中位线 （1）可以拿一把直尺放在位置（与平齐），如图一； （2）然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止，如图二； （3）此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点，连接，如图三； （4）此时长度有长有短，连接并延长刚好交于一点，刚好构成型模型（为中点，则也为中点，若为等分点，则也为对应等分点），，如图四． 2、证明平行之平行四边形 （1）可以拿一把直尺放在位置，如图一； （2）然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止，如图二； （3）此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点O，连接， 如图三； （4）此时长度相等（感官上相等即可，若感觉有长有短则考虑法一A型的平行），连接，刚好构成平行四边形型模型（为中点，O也为中点，为三角形中位线），，如图四． 图一 图二 图三 图四 即时即练 1．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点.    求证: 平面； 【答案】证明见解析 【分析】依据线面平行的判定定理，找出面内的直线平行于即可证明平面； 【详解】连接与交于点，连接，因为为的中点， 为的中点，所以，又平面，平面， 所以平面； 2．（24-25高一下·福建福州·期末）已知在直三棱柱中，，M为棱的中点，O为线段的中点． 求证：平面MBC； 【答案】证明见解析； 【分析】设为中点，连接，根据已知得四边形为平行四边形，则，再由线面平行的判定证明结论； 【详解】设为中点，连接，又O为线段的中点，则且， 由M为棱的中点，则且， 所以，，故四边形为平行四边形，则， 由平面MBC，平面MBC，则平面MBC； 3．如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧面底面，为正三角形，分别是棱的中点，点在侧棱上，且．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】根据三角形中位线性质可证得，根据平行线分线段成比例可得，由线面平行的判定定理可证得结论. 【详解】连接交于点，设，连接， 四边形为菱形，为中点， 分别为中点，，且为中点，， 又，， 平面，平面，平面. 知识点二 两个平面平行 1、定义 没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若，则∥ 2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理线∥面面∥面 如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行 线面面∥面 如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行 ∥ 3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 面//面 线//面 如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”） 面//面 线面 如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 即时即练 1．如图，正方体的棱长为6，且分别为，的中点. (1)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析； 【分析】（1）要证明面面平行，则需要证明一平面内的两条相交直线分别与另一平面平行，即证明平面，平面. 【详解】（1）连接，则因为分别为的中点，所以， 由且，则四边形为平行四边形，则， 所以且，四边形是平行四边形，所以， 由，又平面，而不在平面内， 所以平面，平面， 又平面，所以平面平面. 2．如图，在三棱柱中，⊥平面，，是等边三角形，分别是棱的中点．证明：平面．    【答案】证明见解析 【分析】由线线平行证明面面平行，再由面面平行证明线面平行； 【详解】    连接BD. 因为E，F分别是棱AC，BC的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 因为D，F分别是棱，BC的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，则. 因为平面，平面，所以平面. 因为平面ABD，平面ABD，且，平面 所以平面平面， 因为平面ABD，所以平面. 知识点三 直线与平面垂直 1、直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判断定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 面⊥面⇒线⊥面 两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a 平行与垂直的关系 一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直 _ 平行与垂直的关系 两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直 _ b _ a 2、直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行 _ b _ a 垂直与平行的关系 垂直于同一直线的两个平面平行 _ 线垂直于面的性质 如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直 【易错提醒】 证明垂直的常见方法 ①等腰三角形（等边三角形）的“三线合一” 如图：AB=AC,D为BC中点，则 ②勾股定理的逆定理 如图：如果，则 ③正方形、菱形的对角线互相垂直。 如图：四边形ABCD是菱形，所以 ④直径所对的圆周角是 如图：AB是圆的直径， ⑤通过证线面垂直证线线垂直 注：若题目要证已知且是异面直线，要证，一般是证所在的平面。 ⑥平移法：通过三角形的中位线或者构造平行四边形进行平移 即时即练 1．（25-26高一·全国·假期作业）如图，等腰梯形中，，为边上一点，且，，为中点，为中点将沿折起到的位置，如图．证明：平面； 【答案】证明见解析 【分析】根据垂直关系的转化，结合平行线的性质，转化为证明，，即可证明线面垂直. 【详解】在等腰梯形中，，， 则四边形是平行四边形，则， 因为，所以为等边三角形，则 因为为中点，所以， 在等腰梯形中，可得 连接，在中， 由余弦定理可得：， 则，所以，则． 因为、分别是、中点，所以，所以， 从而可得，， 因为，、平面，所以平面. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．求证： 【答案】证明见解析 【分析】应用菱形得出，，进而应用线面垂直判定定理得出平面即可得出所以，再应用平行四边形得出线线垂直. 【详解】图1中，在四边形中，，，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为菱形，所以，， 所以在图2中，，，又平面，所以平面， 因为平面，所以， 又在四边形中，，， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以； 知识点四 平面与平面垂直 1、平面与平面垂直的定义 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若，且，则） 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 2、平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 _ 3、平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a 即时即练 1．如图，在三棱柱中，与均为等腰直角三角形，且，，． (1)证明：平面平面ABC； 【答案】证明见解析 【分析】（1）设的中点为，证明平面，然后利用线面垂直证明面面垂直即可； 【详解】（1）设的中点为，连接，如图所示， 因为与均为等腰直角三角形，， 故，且， 又， 故，即， 且平面，， 故平面，且平面， 故平面平面. 2．如图，在三棱锥中，平面平面，且，，为棱的中点，为棱上的点.证明：； 【答案】证明见解析 【分析】由面面垂直的性质可证平面，从而证明平面，即可证明. 【详解】因为平面平面，平面平面，， 即，平面，所以平面. 因为平面，所以. 因为，为棱的中点，所以. 又，平面，所以平面. 因为平面，所以. 题型01 利用中位线、平行四边形证明线面平行 1．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，．若是棱的中点，证明：平面； 【答案】证明见解析 【分析】设与的交点为，连接，结合中位线定理，利用线面平行的判定定理证明即可. 【详解】设与的交点为，连接， 因为是菱形，所以是线段的中点， 又是棱的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 2．四棱锥的底面为平行四边形，为中点，证明：平面 【答案】证明见解析 【分析】利用线面平行的判定定理，即可证明线面平行. 【详解】连接，再连接， 由底面为平行四边形，可得为的中点， 又因为为中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 3．（25-26高一下·云南昆明·期中）如图，已知在三棱柱中，平面，点是的中点． (1)求证：平面； (2)若，，，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【分析】（1）根据三棱柱的几何性质，利用线线平行推出线面平行； （2）根据三棱柱的几何性质，结合已知条件，利用等体积法求三棱锥的体积． 【详解】（1）证明：如图，连接，设，连接， 四边形是矩形，则为的中点， 又是的中点， ， 又平面，平面， 平面． （2），是的中点， ， 在三棱柱中，底面，且， 平面， 平面， ， ，，平面， 平面，则是三棱锥的高， 在等腰中，，，则， 又， ． 4．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，分别为CD，PA的中点.证明：平面PBC； 【答案】证明见解析 【分析】利用线面平行的判定定理，结合三角形中位线的性质及平行四边形的性质推理得证. 【详解】取PB中点，连接，由分别为的中点， 得且，且， 则，且，因此四边形为平行四边形， 则，而平面平面， 所以平面. 5．（25-26高一下·山东青岛·期中）如图所示，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱，上的点，点M是线段AC的中点，． (1)求证平面AEF； (2)若，求多面体的体积 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接；证明，根据线面平行判定定理证明平面. （2）求出四棱锥及三棱柱的体积，再利用割补法求出多面体的体积. 【详解】（1）取AE的中点O，连接OF，OM，由O，M分别为AE，AC的中点， 得，，而，且，则， 且，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，所以平面． （2）在棱柱中，取BC中点G，连接AG，则AG为四棱锥的高， 而，四棱锥的体积， 由，得，三棱柱的体积， 所以多面体的体积为． 【易错警示】 线面平行判定定理的证明步骤 ①在平面内找到或作出一条与已知直线平行的直线（常见方法：三角形中位线、平行四边形的性质、线段成比例）； ②证明已知直线平行于找到(作出的)直线； ③由判定定理得出结论 题型02 利用面面平行证明线面平行 1．如图，在多面体中，四边形是菱形，且有，，，平面，．求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】先证明线面平行，再由面面平行判定定理证明面面平行，最后由面面平行性质证明线面平行. 【详解】因为四边形是菱形， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面， 又因为，平面， 所以平面平面， 又平面， 所以平面． 2．如图，已知多面体的底面为正方形，四边形是平行四边形，，，是的中点.证明：平面.    【答案】证明见解析 【详解】设，连接，根据题意可得，，可证平面平面，再利用面面平行的性质分析证明即可得. 【分析】设，连接， 因为为正方形，则为的中点， 又因为是的中点，则， 且平面，平面，所以平面， 由题意可知：四边形是平行四边形，， 且平面，平面，所以平面， 且，平面，可得平面平面， 由平面，可得平面.    3．如图，，若为的中点，为的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】设是的中点，连接，通过证明平面平面，可得线面平行关系. 【详解】设是的中点，连接， 由于是的中点，所以. 由于平面平面，所以平面. 由于是的中点，所以， 由于平面平面， 所以平面. 由于平面， 所以平面平面， 由于平面，所以平面. 4．如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意可证平面，平面，可得平面平面，结合面面平行的性质分析证明即可得. 【详解】如图，取的中点，连接， 因为都是所在棱的中点，则，， 所以，且平面，平面，所以平面． 因为分别是和的中点，则，， 可得，，可知四边形是平行四边形，则， 且平面，平面，所以平面， 且，平面， 所以平面平面， 又因为平面， 所以平面． 【易错警示】 面面平行证线线、线面平行 （1）利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线,往往需要有三个平面,即有两平面平行,再构造第三个平面与两平行平面都相交. （2）两个平面平行的另一个重要性质是判断线面平行:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. 题型03 利用线面平行的性质定理证明线线、线面平行 1．如图，在直三棱柱中，是边的中点，过，，作截面交于点D.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件，证明平面，再利用线面平行的性质推理作答. 【详解】在直三棱柱中，因为，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥中，底面是平行四边形，与交于点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】先证明线面平行，由平面的性质可得. 【详解】证明：如图，连接. 四边形是平行四边形， 是的中点． 又是的中点，. 又平面，平面， 平面. 又平面，平面平面， . 3．如图在三棱锥中，，点D在AB上，点E为AC的中点，且平面PDE. (1)求证：平面PBC； 【答案】见解析 【分析】利用线面平行的性质定理推出，再通过线面平行的判定定理证明平面； 【详解】(1)因为 平面，平面，且平面平面， 根据线面平行的性质定理，可得 ， 又 平面，平面， 根据线面平行的判定定理，可得 平面. 4．（25-26高一下·河北沧州·期中）如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，，为上一点，设平面与平面的交线为． (1)证明面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）通过证明线线平行，从而证明线面平行； （2）通过相似三角形从而确定动点的位置，进而根据体积之间的比例进行求解； 【详解】（1），平面， 平面，面， 面，面面，， 面，面，面. 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知正三棱柱（底面是正三角形，侧面是矩形的棱柱）中，是上的点，是的中点，且平面．试判断点在上的位置，并给出证明． 【答案】为的中点，证明见解析 【分析】取的中点，连接，，设与交于点，结合图形，根据线面平行的性质定理得出，从而可证得是的中点，继而判断点在上的位置. 【详解】为的中点，证明如下： 取的中点，连接，， 设与交于点，易证且． 易知，，，共面， 因为平面，平面，且平面平面． 所以． 在平行四边形中，因为，且，所以是的中点， 所以点为的中点． 6．如图，四棱锥中，底面为梯形，，点在棱上. (1)求证：平面； (2)若平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析， 【分析】（1）由已知结合线面平行的判定定理可得出结论； （2）连接交于，连接，由线面平行的性质定理可得出，利用计算出的值，进而可求得的值. 【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面； （2）连接交于，连接， 因为平面，且平面，平面平面， 所以， 则，可得， 又因为，可知，则， 因此，. 题型04 利用线段成比例证明线面平行、四点共面问题 1．如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点. 求证：，，，四点共面. 【答案】证明见解析 【分析】通过证明即可证明，，，四点共面. 【详解】连接， 在长方体中， ∵∴四边形是平行四边形， ∴， 又因为，分别为棱，的中点，所以， 所以， 所以，，，四点共面. 2．已知正四棱柱的底面边长为1，点、分别在边、上，且，.证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】由线段比例关系得到，进而可求证. 【详解】因为，，则，可得， 且平面，平面， 所以平面. 3．如图，在正方体 中，分别是棱的中点.求证：四点共面. 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，连接，利用平行关系可得四点共面，四点共面，再根据过不共线的三点的平面具有唯一性，即可证明. 【详解】如图， 取的中点，连接， 因为分别是棱的中点， 所以，，所以，四点共面， 又，，所以，四点共面， 又因为过不共线的三点的平面具有唯一性， 则平面与平面重合，故四点共面. 4．（25-26高一下·陕西·期中）如图，在四棱锥中，平面，． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，设，连接，可证，再由线面平行的判定定理可证平面 （2）先求，再根据可求三棱锥的体积． 【详解】（1）如图，连接，设，连接， 因为，故，而，所以， 故，而平面，平面，故平面. （2）因为，故四边形为直角梯形， 故其面积为， 而平面，故为四棱锥的高， 故，而，故， 而，故的面积与直角梯形的面积之比为， 故，故. 5．（2025高一·全国·专题练习）如图，在正方体中，分别为与上的点，且．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】将放入一个平面，法一、法二：将放入一个与平面相交的平面，通过证明“线线平行”来证得“线面平行”；法三：将放入一个与平面平行的平面，通过证明“面面平行”来证得“线面平行”． 【详解】法一：如图，过点作交于点，过点作交于点，连结，显然． 因为是正方体，所以，， 又因为，，且，所以， 所以四边形是平行四边形，从而. 因为平面，平面，所以平面． 法二：如图，连结并延长，与直线相交于点，连结． 因为是正方体，所以，． 又因为，所以，从而． 因为平面，平面，所以平面． 法三：如图，过点作交于点，连结，显然， 因为平面，平面，所以平面． 因为是正方体，所以，， 又因为，所以，故， 所以，从而， 因为平面，平面，所以平面， 又平面，平面，且， 所以平面平面， 因为平面，所以平面． 【易错警示】 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，这也是得到线面平行的一种有力工具。题目中出现比值关系时，可考虑利用比值关系，寻找线线平行，进而得到线面平行 题型05 证明面面平行、面面平行的性质定理 1．（24-25高一下·辽宁·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱，的中点． (1)计算棱台的体积； (2)求证：平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据棱台的体积公式求解； （2）连接，，利用线面平行的判定定理可证平面，平面，再根据面面平行的判定定理证明. 【详解】（1）由题可知，． 根据棱台的体积公式，可得棱台的体积. （2）如图所示： 连接，因为分别是的中点，则， 又平面平面， 所以平面， 连接，则． 所以四边形为平行四边形， 所以． 又平面平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面. 2．（24-25高一下·广西玉林·阶段检测）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为的中点． (1)求证：AC1//平面BDE； (2)当点F在棱DD1的中点时，求证：平面//平面BDE． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接交于，通过三角形中位线证得，由此证得平面； （2）先证出四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理及面面平行的判定定理，证得平面平面. 【详解】（1）设，连, ∵、为别为、的中点, ∴， 又平面，平面， ∴平面. （2）∵点为棱中点，为的中点． ∴且 ∴为平行四边形， ∴， 又平面，平面. ∴平面. 又平面，且 ，平面， ∴平面平面. 3．如图，直四棱柱被平面所截，截面为CDEF，且，．证明：. 【答案】证明见解析 【分析】由面面平行的性质定理可证明，再由平行的传递性即可证明. 【详解】在直四棱柱中，平面平面， 平面，平面，则， 而且，又，因此且， 则四边形是平行四边形，所以， 又，，所以． 4．（24-25高一下·江西上饶·期末）如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点.已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）方法一：构造平行四边形，证得，再根据线面平行的判定定理证明即可；方法二：构造三角形的中位线，证得平面平面，根据平面，即可证明； （2）先通过三角形中位线证得平面，再根据线面平行的性质定理证明即可. 【详解】（1） 法一：取中点，连接，，， 易知为中位线，故，且， 因为四边形是平行四边形，所以，， 故，又因为是的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面.                法二：连接，交于，连接，如下图： 因为四边形是平行四边形，所以为中点， 又因为为中点，所以为的中位线， 所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为四边形是平行四边形，所以为中点， 又因为是的中点，所以为的中位线， 所以，又因为平面，平面， 所以平面，又因为， 平面，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）连接，交于，连接，如下图： 因为四边形是平行四边形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以为的中位线， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以. 题型06 常见的线面垂直 1．如图，在直四棱柱中，底面是菱形，.证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据线面垂直的性质定理及判定定理即可证明结论. 【详解】因为直四棱柱中，底面，底面， 所以， 因为菱形，所以， ，平面， 所以平面． 2．如图，在圆锥中，已知，的直径，点C在上，且，点D为的中点．证明：平面 【答案】证明见解析 【分析】根据圆中直径所对圆周角为直角可得，由三角形中位线的性质可得，根据线面垂直的判定定理可得结果. 【详解】证明：连接，则，因为点D为的中点，所以， 因为为的直径，所以，所以， 因为为的中点，D为的中点，所以，所以， 因为，平面， 所以平面. 3．如图，在三棱锥中，．求证：平面；    【答案】证明见解析 【分析】利用余弦定理求出，在根据勾股定理证明，再通过线面垂直的判断定理说明线面垂直即可. 【详解】在中，， 由余弦定理，即，解得， 所以在中，即，所以， 又，，平面， 所以平面； 4．（25-26高一下·贵州毕节·期中）如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点，求证： (1)平面∥平面； (2)平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先证，再由线面平行的判定即可证平面，同理可证平面，再由面面平行的判定证明即可； （2）根据题意可证平面，再结合平面∥平面，即可得到平面． 【详解】（1）证明：连接， ∵分别是 的中点， ∴，又∵平面，平面， ∴平面， 同理可证平面， 且平面，平面，， ∴平面平面； （2）证明：在正方体中，是的中点， ，平面，平面， ，又平面， 平面，又平面平面， 平面． 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，. 求证：平面 【答案】证明见解析 【详解】取的中点F，连接，如图所示， 由底面是直角梯形，，，， 结合勾股定理计算可得：， ，，，∴四边形是正方形， 则，再由勾股定理可得：，又因为， 则由，所以， 又因为平面，平面，所以， 又因为，且平面， 所以平面. 6．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）如图，在平行四边形中，，，为的中线，将沿折叠，使点到点的位置，连接，且. (1)求证：平面. (2)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）用勾股定理证明，再用等腰三角形中线得，进而再由折叠可得，再用线面垂直的判定定理可得； （2）先证平面，从而可得平面，进而可得与平面所成的角为，在直角三角形计算可得. 【详解】（1）因为，且，所以，. 又为的中线，所以. 因为，所以，所以. 由题意知，为的中线，所以. 而是沿折叠到点的位置，所以 因为，，且，且平面， 所以平面. （2）因为，，，所以平面. 又，所以平面，所以与平面所成的角为. 在中，，，所以. 所以直线与平面所成角的正切值. 7．如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，且分别是的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，证得且，得到四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面. （2）利用线面垂直的判定定理，证得平面，由（1）知，即可证得平面. 【详解】（1）如图所示，取的中点，连接， 因为是的中点，所以且， 又因为四边形为正方形，所以且， 因为为的中点，可得，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）因为底面，平面，所以， 因为四边形为正方形，可得， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，可得， 又因为且为的中点，所以， 因为，且平面，所以平面， 由（1）知，所以平面.    【易错警示】 证明垂直的常见方法 ①等腰三角形（等边三角形）的“三线合一” 如图：AB=AC,D为BC中点，则 ②勾股定理的逆定理 如图：如果，则 ③正方形、菱形的对角线互相垂直。 如图：四边形ABCD是菱形，所以 ④直径所对的圆周角是 如图：AB是圆的直径， ⑤通过证线面垂直证线线垂直 注：若题目要证已知且是异面直线，要证，一般是证所在的平面。 ⑥平移法：通过三角形的中位线或者构造平行四边形进行平移 题型07 利用线面垂直证明线线垂直 1．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为D，的中点为E.求证： (1)平面； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用中位线平行即可证明线线平行，再证明线面平行即可； （2）利用线线垂直证明线面垂直，再利用线面垂直可得线线垂直，最后可得证线线垂直. 【详解】（1） 在直棱柱中，为的中点，则为的中点， 连接，可得为的中点，因此. 又因为平面，平面， 所以平面. （2）因为棱柱是直三棱柱，所以平面. 因为平面，所以. 又因为平面，平面，， 所以平面. 又因为平面，所以. 因为，所以矩形是正方形，因此. 因为平面，，所以平面. 又因为平面，所以. 2．（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）如图，在四面体中，是的中点，分别是的中点，.求证： (1)平面； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，利用中位线性质得，进而利用线面平行的判定定理证明即可； （2）利用等腰三角形的中线即高线得，，然后利用线面垂直的判定定理得平面，最后利用线面垂直的性质证明即可. 【详解】（1）连接，因为分别是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面； （2）因为，且是的中点，所以，， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以. 3．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，在直三棱柱中，，D，E分别为，的中点. (1)求证：. (2)若，，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）取中点，连由中点性质知垂直垂直，根据线面垂直判定得垂直平面，进而得． （2）利用三棱锥体积公式算出体积. 【详解】（1）取中点，连接，， 在直三棱柱中，，D，E分别为，的中点， 故，又因则，， 因，平面， 故平面，因为平面，所以； （2）因，，平面，则平面 则三棱锥的体积为： ． 4．（25-26高一下·吉林延边·期中）如图所示，在正方体中，.证明： (1)证明 (2). 【答案】(1)在正方体中，，且 ，故 ； 又 ，所以四边形 是平行四边形； 所以，又 平面 ， 平面 ； 所以 平面 ; (2)连接，因为四边形 是正方形，所以 , 在正方体中， 平面 ， 平面 ，所以 , ，，且 ， 平面 ； 所以 平面 ，因为 平面 故 ，即 . 【分析】（1）通过线面平行判定定理证明； （2）通过线面垂直证明线线垂直. 【详解】（1）略； （2）略. 5．如图，三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，，．证明：； 【答案】证明见解析 【分析】由余弦定理求出得是直角三角形，再由线面垂直的判定定理、性质定理可得答案. 【详解】侧面是边长为2的正方形， ，，， 侧面是平行四边形， ， 在中，由余弦定理有， 解得，所以，， 是直角三角形， ，，，平面， 平面，又平面， . 6．（24-25高一下·江苏镇江·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为等边三角形．为中点． (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）取的中点，利用线面平行的判断，结合平行公理推理得证. （2）取的中点，则，根据题设条件可证得四边形是矩形，即有，利用线面垂直的判定和性质推理可得证. 【详解】（1）取的中点，连接，由为中点，得且， 又，，则，， 因此四边形为平行四边形，，又平面，平面， 所以平面. （2）取的中点，连结，由三角形为等边三角形，得， 在直角梯形中，，且， 则，且，四边形是平行四边形， 由，得平行四边形是矩形，则， 而，平面，平面， 因此平面，而平面，则，所以. 【易错警示】 题型08 证明面面垂直 1．如图，在正四棱锥中，已知侧棱长为4，底面边长等于2，是的中点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】根据线面垂直得出，再应用线面垂直判定定理得出线面垂直，最后面面垂直判定定理证明即可． 【详解】证明：在正四棱锥中，连接，交于点，连接， 因为四棱锥为正四棱锥，所以平面， 因为平面，所以． 又，，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面． 2．（24-25高一下·广东广州·期末）如图，在正四棱柱中，，垂足为E． (1)求证：平面平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用正四棱柱的性质可得线线平行，再证明线面平行，即可证明面面平行； （2）利用正四棱柱的性质可得线面垂直和线线垂直，再通过线面垂直证明面面垂直即可. 【详解】（1） 由正四棱柱性质可得：， 由平面，平面，所以平面， 又由平面，平面，所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； （2） 连接，由正四棱柱可知，平面， 因为平面，所以， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面． 3．如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，为的中点． (1)证明平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）利用线面垂直证明面面垂直； 【详解】（1）四边形为平行四边形，可得，又， 所以为等边三角形，为中点，所以， 又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以， 四边形为平行四边形，， 所以为等腰三角形，与底边上中点重合， ，， 因为，所以， 又，平面， 所以平面． 平面，所以平面平面. 4．如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，．证明：平面平面 【答案】证明见解析 【分析】取AB中点O，连接PO，CO，证得，即可利用线面垂直的判定定理证明平面，进而利用面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】如图， 取AB中点O，连接PO，CO. 因为，，所以， 即，且，. 又因为四边形是菱形，， 所以，. 因为，所以，即， 因为平面，平面ABCD，， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 5．（24-25高一下·辽宁·期末）如图，四棱锥P-ABCD，平面，，，，，E是PC的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）取的中点，连接，证明∥，根据线面平行的判定即可证得∥平面PAD； （2）由平面，根据线面垂直的性质及判定得到.结合及是的中点，得到，再根据，∥，可得到,，证得平面，从而平面平面PCD得证. 【详解】（1）取的中点，连接，∵E是PC的中点， ∴,∥， ∵，， ∴∥，，∴四边形是平行四边形. ∴∥, 又平面，平面， 平面PAD. （2）∵平面，平面，∴. ∵，，平面，∴平面， ∵平面，∴. ∵，∴. ∵，是的中点，∴ 由（1）知∥，∴,， 又平面，∴平面. ∵平面， ∴平面平面. 6．（24-25高一下·安徽马鞍山·期末）如图，在直四棱柱中，，，且，点为棱的中点，点为棱的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取中点为，证明四边形为平行四边形，可得，根据线面平行的判定定理得证； （2）连接，可证，得平面，结合（1），可得平面，根据面面垂直的判定定理得证. 【详解】（1）取中点为，连接和， 因为点为的中点，所以，， 因为点为的中点，所以，， 所以，，故四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面. （2）连接，由，，得， 又，则， 因为点为的中点，所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 由（1）知，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 题型09 面面垂直的性质定理 1．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面平面，，是的中点，点在侧棱上，，求证：直线平面； 【答案】证明见解析 【分析】由题意可得是等边三角形，从而可得，,再由面面垂直的性质定理即可得证. 【详解】因底面是边长为2的菱形，且， 则是等边三角形， 又因是的中点， 则， 因，则， 因平面平面， 平面平面，平面， 故直线平面． 2．如图1，五边形中，．将三角形沿翻折，使得平面平面，如图2．求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据面面垂直的性质可得平面，结合线面垂直的性质与判定定理即可证明. 【详解】因为平面平面，平面，平面平面，， 所以平面，又平面， 所以，又，平面， 所以平面. 3．如图，四棱锥中，，，，平面平面．证明：； 【答案】证明见解析 【分析】取BC中点，连接，则四边形为正方形，故可证，结合面面垂直有平面，故可证. 【详解】 取BC中点，连接，则， 又，， 所以四边形为正方形，则，且， 又在中，，则， 所以，即． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又面，所以． 4．如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，连接，利用面面垂直的性质可得出平面，可得出，利用并结合线面垂直的判定定理可得出平面，结合线面垂直的性质可证得结论成立. 【详解】取的中点，连接，如图所示： 因为，所以， 又平面平面，且平面平面，平面， 所以平面. 又平面，所以， 由，，、平面，所以平面， 又平面，所以. 5．（24-25高一下·江苏常州·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面底面ABCD，且，若E、F分别为PC、BD的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，可知为的中点，利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）由面面垂直的性质定理可得出平面，可得出，利用勾股定理可证得，即可得到平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立. 【详解】（1）证明：连接， 因为四边形为正方形，且为的中点，所以为的中点， 又因为为的中点，则， 平面，平面，平面. （2）证明：因为四边形为正方形，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面，， ，所以，则， ，平面， 平面，又平面， 平面平面． 6．如图，在三棱锥中，底面为上一点，且平面平面.求证：为的中点； 【答案】证明见解析 【分析】过作于点，利用面面垂直的性质定理得平面，再结合题中条件利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理证明为的中点； 【详解】 过作于点，由平面平面， 平面平面，平面， 平面，平面，则， 又底面底面，则， ，平面，所以平面， 平面，， 又，则为的中点. 【易错警示】 面面垂直推线面垂直的思路 先找条件中有没有在一个平面内与交线垂直的直线,若有，则该垂直另一个平面；若没有与交线垂直的直线,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题. 题型10 利用相似、全等条件证明垂直 1．如图，在四面体中，，，，点为的中点，点为上一点.求证：平面平面；    【答案】证明见解析 【分析】由题意可先证明，则得，再由点为的中点，可得，从而得平面，即可证明平面平面. 【详解】证明：由题意可得为等腰直角三角形，设斜边， 所以， 又因为， 所以， 所以， 又因为点为的中点， 所以， 又平面，， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】先利用全等三角形的判定与性质得出，取的中点，作出的平面角后利用条件及勾股定理，逆定理判定即可. 【详解】由题意知，所以可得,从而， 又为直角三角形，所以， 取的中点，连接，，则，， 又由于是正三角形， 故，所以为二面角的平面角． 在中，， 又，所以， 故，所以平面平面． 3．（25-26高一·全国·假期作业）如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为正方形，且平面平面分别为的中点. (1)求四棱锥的体积； (2)证明：； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先由面面垂直证明为棱锥的高，再根据棱锥的体积公式计算即可； （2）由线面垂直的判定定理证明平面即可. 【详解】（1）因为侧面是边长为2的正三角形，为的中点， 所以，， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，即为棱锥的高， 因为底面为正方形， 所以四棱锥的体积为； （2）因为平面，平面，所以， 在正方形中，易知与全等， 所以，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以. 4．如图，在四棱锥中，平面平面，，,，点在棱上，且. (1)求证:平面平面; 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）先证，，得到平面，再证平面，即可得证； 【详解】（1）因为，所以， 所以，即. 因为，所以， 又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 因为平面，所以. 因为平面，所以平面. 连接，交于，连接，易得，， 所以，又因为，所以，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 5．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，在三棱柱中，，平面平面，平面平面．    (1)求证：平面； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由勾股定理可得，又平面平面，可得平面，从而，同理，根据线面垂直的判定定理可得结论； （2）取为的中点，由平面得，则，可证得，所以，进而可得，证得平面，所以，从而平面，进而可得结论． 【详解】（1）因为，所以，所以， 又平面平面，平面平面平面，所以平面． 又平面，所以， 同理可得平面，又平面，所以， 又平面，所以平面； （2）取为的中点，连接，      由（1）知平面，又平面，所以， 又，所以， 所以， 又，则， 所以，所以． 又，所以，所以， 因为，所以， 又平面，又平面，所以， 又，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以． 题型11 平行、垂直中的探索性问题 1．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）如图，在正三棱柱中，，D为AB的中点． (1)证明：平面； (2)在上是否存在点E，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)由正三棱柱的定义可知是等边三角形， 因为D为AB的中点，所以． 又平面ABC，平面ABC，所以． 因为，平面，且， 所以平面 (2)存在点E， 【分析】（1）利用正三棱柱的特征及线面垂直的判定证明即可； （2）先作于E点，利用线面垂直的判定证明面面垂直即可，再根据等面积法计算线段比即可. 【详解】（1）略. （2）存在．在中，作，垂足为E，连接BE． 由（1）知平面，所以． 因为AB，平面，且，所以平面． 因为平面BCE，所以平面平面． 设，则，，故． 因为，所以， 则，， 所以． 故在上存在点E，使得平面平面，此时． 2．（24-25高一下·安徽宣城·期末）如图，在正三棱柱中，，，点M为的中点. 在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】存在， 【分析】根据给定条件，证明平面平面，过点作交于点，利用面面垂直的性质推理作答. 【详解】在正三棱柱中，因为点为的中点，则， 又平面， 平面，则有， 而平面，于是平面， 平面，则平面平面，在平面内过点作交于点， 平面平面，因此平面，于是点即为所要找的点， 显然，因此，即有，于是，， 所以. 3．（25-26高一下·北京朝阳·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且． (1)设平面平面，证明：； (2)证明：； (3)线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)点M为线段上靠近C的四等分点， 【分析】（1）根据线面平行的性质定理证明线线平行. （2）通过证明线面垂直得平面，进而利用线面垂直的性质定理可证线线垂直. （3）根据面面平行的判定定理作出平面平面.，再结合平行线分线段成比例定理求的长. 【详解】（1）因为四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 又平面，平面平面，所以. （2）因为平面，又平面，所以. 又底面为矩形，所以. 平面，，所以平面. 平面，所以. 在中，，，， 所以，所以. 平面，，所以平面. 又平面，所以. （3）如图： 过作，交于点，过作交于点. 因为，平面，平面，所以平面. 同理平面. 又平面，，所以平面平面. 由（1）知，，又，则， 则， 因为，. 所以， 所以点M为线段上靠近C的四等分点，. 4．（25-26高一下·福建泉州·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点. (1)求证：点，，，四点共面 (2)求证：平面平面. (3)在线段上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在，. 【分析】（1）易得，进而可得，再由平面公理即可证明； （2）先利用线线平行证明线面平行，再根据线面平行证明面面平行即可； （3）取中点，连接，，，利用中位线定理，结合平行四边形性质证明四边形是平行四边形，即证，再根据线面平行的判定定理即证结果. 【详解】（1）证明：，分别为，的中点，， 底面是平行四边形，. ，所以点，，，四点共面. （2）由（1）知，因为平面，平面，平面. ，分别为，的中点，， 因为平面，平面，平面. 又，，平面，所以平面平面. （3）线段上存在一点，使得平面，且. 证明如下：取的中点，连接，，， 因为，，分别是，，的中点，，， 所以，，所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面，此时． 5．（25-26高一下·吉林·期中）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)在上是否存在点使得平面平面，若存在，求出点的位置并给以证明，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在，当点是的中点时满足题意，证明见解析． 【分析】(1)根据线面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行，进行证明； (2)根据中位线和平行四边形中的平行性质，利用线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，通过线线平行，证明线面平行； (3)根据面面平行的判定定理，找动直线与面内直线平行时的位置，进行证明判断即可． 【详解】（1）证明：平面，且平面； 又因为平面平面，根据线面平行的性质可得，； （2） 证明：取PA的中点G，连接EG，BG； 因为E，G，为PD，PA中点，所以，且； 又因为，，所以，且； 所以为平行四边形；所以； 又因为平面，平面， 所以平面； （3） 在上存在的中点使得平面平面，证明如下： 取的中点，连接CF，EF； 因为E，F，为PD，AD中点，所以； 又因为平面，平面， 所以平面； 又因为平面，且，平面； 所以平面平面； 在上存在点使得平面平面． 6．如图，平面四边形是棱长为3的正方形．平面，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在点M，使得平面平面，且满足平面?若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：因为四边形是正方形，所以， 因为平面平面，所以， 又平面，所以平面； (2) (3)存在，是上靠近的三等分点， 【分析】（1）利用线面垂直的性质及线面垂直的判定证明即可； （2）延长交于E，延长交于F，利用面面夹角的定义计算即可； （3）利用平面的性质及线面平行的性质判定即可. 【详解】（1）略 （2）如下图所示，因为，则四点共面， 延长交于E，延长交于F，易得平面平面， 作，连接， 因为平面平面，所以， 又平面，所以平面， 由平面，则，，即平面与平面夹角为， 易知，所以，则， ； （3）假设线段上存在点M满足题意， 由平面平面，平面，平面，则， 又平面平面，平面，平面，则， 所以，即是上靠近的三等分点，此时 【易错警示】 平行、垂直的探索性问题 常用“逆向推理法”：假设平行关系成立，结合线面、面面平行垂直的判定定理（如线面平行需平面外直线与平面内直线平行，面面平行需一平面内两条相交直线与另一平面平行），推导线段比例、中点位置等关键条件。 1．（25-26高一·全国·暑假作业）如图所示，已知三棱锥中，⊥底面，，D、F分别为AC、PC的中点，⊥于E. (1)求证：⊥平面； (2)求证：平面⊥平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由线面垂直得到⊥，由三线合一得到BD⊥AC，得到⊥平面，又平面，故⊥，从而得到线面垂直； （2）由⊥平面，得⊥，结合DF∥AP，DE⊥AP，得到DE⊥DF，从而得到⊥平面，又平面，得到平面⊥平面. 【详解】（1）∵⊥底面，平面，∴⊥. 由，D为AC的中点，得BD⊥AC. 又，平面， ∴⊥平面，又平面， ∴⊥. 由已知⊥，，平面， ∴⊥平面； （2）由⊥平面，平面，得⊥. 由D、F分别为AC、PC的中点，得DF∥AP. 又由已知得DE⊥AP，所以DE⊥DF，又，平面， ∴⊥平面， 又平面， ∴平面⊥平面. 2．在正四棱锥中，为底面中心，，，分别为，，的中点，点在棱上，且. (1)证明：平面. (2)证明：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用三角形中位线证明，可证平面. （2）证明，，可证得平面，平面，所以平面平面. 【详解】（1）连接，正四棱锥中，为底面中心，则为中点， 又为的中点，则有， 平面，平面，所以平面. （2），分别为，的中点，则有， 平面，平面，则有平面， ，分别为，的中点，有， 又，则有， 平面，平面，则有平面， 平面，， 所以平面平面. 3．如图，四棱锥中，，，．求证：平面平面； 【答案】证明见解析 【分析】通过计算，证明，得出平面，从而得出平面平面. 【详解】因为在四棱锥中，， 所以四边形为等腰梯形，，因为，所以，所以， 则由余弦定理得， 在中，，于是， 因此，又，即， 而平面， 则平面，又平面，所以平面平面． 4．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在平行四边形中，，，为的中点，将沿直线折起到的位置，使平面平面． (1)证明：平面平面； (2)设为线段的中点，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得到平面，再由面面垂直的判定定理证明即可； （2）则，则，故平面，点到平面的距离为FG，由余弦定理计算即可. 【详解】（1）证明：因为，E为AB的中点，则． 又，则为正三角形，所以． 因为，，则． 从而，即． 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面． 由平面，得平面平面． （2）取的中点，连接． 因为为PC的中点，则，且， 所以平面，所以点到平面的距离为FG． 在中，，， 则，即，所以， 即点到平面的距离为． 5．（25-26高一下·北京东城·阶段检测）在三棱柱中，四边形为正方形，平面平面，，M，N分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)若，求证平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】（1）取的中点为，连接，，利用三角形的中位线定理结合棱柱的性质可证得四边形是平行四边形，则，然后利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）根据四边形为正方形，平面平面，得出，再结合（1）中的平行关系得出，从而得出平面，根据平面与平面垂直的判定定理得出平面平面． 【详解】(1)如图，取的中点为，连接，， 因为为的中点，所以，， 由三棱柱可得四边形为平行四边形， 又为的中点，所以，， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 故平面. (2)因为平面平面，平面平面， 又四边形为正方形，所以， 所以平面， 所以. 又因为，，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 6．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知矩形，过点作平面，再过点作交于点，过点作交于点. (1)求证：； (2)若平面交于点，求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面垂直的性质可得出线线垂直，所以通过证明平面可证明. （2）根据线面垂直的判定定理，要证明线面垂直，可通过垂直于平面的两条相交直线可证明，即. 【详解】（1）因为矩形，平面， 所以. 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，，平面， 所以平面. 又平面，所以. （2）因为矩形，平面， 所以. 因为，平面，所以平面； 因为，所以平面. 又平面，所以. 由（1）知平面，因为平面交于点，可得平面. 所以，又，平面； 所以平面. 7．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是圆锥底面的内接正三角形，点在平面内且平面，证明：平面． 【答案】证明见解析 【分析】根据线面垂直的判定定理，需证明垂直于平面内的两条相交直线. 【详解】证明：如图，连接，连接并延长交于点， 因为是底面的内接正三角形，易得为的中点， 所以，即． 因为为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，所以平面， 因为平面，所以． 因为平面，所以平面． 因为平面，所以．因为平面平面，所以． 因为平面，所以平面． 8．如图，四棱锥中，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，于E，于F，设平面AEF交PC于G，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据线面垂直的性质和判定定理得到，，然后再利用线面垂直的判定定理和性质证明即可. 【详解】因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 同理可得， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以. 9．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，平面平面，且，点分别是棱的中点.求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】利用线面垂直的判定定理进行证明即可. 【详解】在矩形中，，且是的中点， ，故， 又，则，即， 如图，记，连接， 因是矩形，故是的中点，又，所以， 又平面平面，平面平面平面，故平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面. 10．（25-26高一·全国·假期作业）如图，等腰梯形中，，为边上一点，且，，为中点，为中点将沿折起到的位置，如图．证明：平面； 【答案】证明见解析 【分析】根据垂直关系的转化，结合平行线的性质，转化为证明，，即可证明线面垂直. 【详解】在等腰梯形中，，， 则四边形是平行四边形，则， 因为，所以为等边三角形，则 因为为中点，所以， 在等腰梯形中，可得 连接，在中， 由余弦定理可得：， 则，所以，则． 因为、分别是、中点，所以，所以， 从而可得，， 因为，、平面，所以平面. 11．（24-25高一下·浙江台州·期中）如图，梯形中，，于点，，且．沿把折起到的位置，使． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)若为的中点，为上一点，证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）取中点，连接、，证明出，则或其补角为异面直线与所成角，然后求出三边边长，结合余弦定理求解的余弦值即可； （2）证明出平面，可得出，再由等腰三角形三线合一的性质得出，可得出平面，结合线面垂直的性质可证得结论成立. 【详解】（1）取中点，连接、， ，，四边形是平行四边形，则， 或其补角为异面直线与所成角， 翻折前，即，， 翻折后，则有，，且有， ，， 又，、平面，面， 在中，，，, 由余弦定理可得， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. （2）面，平面，， ，，，，故为等腰直角三角形， ， ，， 由余弦定理得， ，， ，、平面，面， 因为平面，， 又，为的中点，， ，、平面，面， 平面，. 12．如图1，直角梯形中，，将直角梯形绕旋转一周得到如图2的圆台，为圆台的母线，且是的中点．在线段上是否存在一点，使平面？说明理由；    【答案】存在，理由见解析 【分析】作辅助平面找点，再由线线平行证明线面平行，然后利用面面平行的判定定理、性质定理可证得点满足平面. 【详解】线段上存在一点，使平面．理由如下： 过作，垂足为，过作，垂足为， 由为中点，又， 所以为靠近点的四等分点. 取靠近点的四等分点，连接， 则，又， 所以，而平面平面，所以平面． 同理平面，又，平面， 所以平面平面，平面， 所以平面， 故线段上存在一点，使平面，且.    13．如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若点，分别为，的中点，求证:平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由菱形的性质可得，再由面面垂直的性质定理即可证明. （2）连接，由线线垂直可得线面垂直，再由线面垂直的性质定理即可证明. （3）连接，，，可证平面平面，再由面面垂直可得平面，由面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）在菱形中，, 为的中点， 所以，又平面⊥平面，平面∩平面，平面，所以平面. （2）如图，连接 因为为正三角形, 为线段的中点， 所以，由（1）知，又，平面， 所以平面，因为平面，所以. （3）如图，连接，，， 在中，，在菱形中，， 而平面，平面，，平面， 平面，，所以平面平面， 因为平面平面，平面平面， 因为平面，，所以平面， 又平面， 所以平面平面，所以平面平面. 14．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面平面为中点，，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】要证明线线垂直，需要通过证明线面垂直得出线线垂直，即证明平面. 【详解】证明：如图，记与交于点，连接． 因为是平行四边形对角线的交点，所以为的中点． 因为，所以． 因为为中点，所以，又，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以． 因为平面平面，所以平面． 因为平面，所以． 15．（25-26高一下·吉林长春·期中）如图，在正方体中，、、分别是、、的中点． (1)证明：，，、四点共面． (2)若是线段CG上的动点，证明：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，得到，即可证明四点共面. （2）取中点，连接，，根据面面平行的判定定理得到平面平面，即可得到平面. 【详解】（1）证明：连接，正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为、分别是、的中点，所以， 所以. 又两条平行线确定一个平面，所以，，、四点共面. （2）取中点，连接，. 正方体中，、为中点，则，， 所以四边形为平行四边形，所以. 正方形中，，， 又、为中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以，所以. 又平面，平面，所以平面. 由（1）知，，同理可得，平面. 又，，平面，所以平面平面. 又平面，所以平面. 16．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图在四棱锥中，，分别是的中点，． (1)求证：平面； (2)若点F在棱上且满足，平面，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作辅助线，结合中位线性质先证明面面平行，再根据性质得到线面平行； （2）已知线面平行，利用线面平行的性质得到线线平行，再结合向量关系求出的值. 【详解】（1）取的中点，连接. 因为是的中点，是的中点，根据三角形中位线定理，所以在中，. 又因为平面，平面，所以平面     又因为，是的中点，是的中点，根据梯形中位线性质，得到， 又因为平面，平面，所以平面. 并且，平面，则平面平面，且平面， 所以平面. （2）连接交于点，连接. 因为，所以.由， 根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，可得. 因为平面，平面，平面平面， 根据直线与平面平行的性质所以. 所以在中，. 因为，则. 又因为，即，所以.   17．（2025高一·全国·专题练习）如图，在正方体中，已知分别为棱，，，的中点．求证：    (1)平面平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连结，利用中位线性质及线面平行的判定定理得平面，平面，从而利用面面平行的判定定理证明即可. （2）连结，交于点，连结，，利用线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面垂直的性质定理得，同理可得，则由线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面垂直的性质得平面，最后利用面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）如图，连结．    因为分别为棱，的中点，所以． 因为分别为棱，的中点，所以． 在正方体中，显然有，所以． 由，平面，平面，得平面， 由，平面，平面，得平面． 又因为平面，平面，， 所以平面平面． （2）如图，连结，交于点，连结，．    由为正方体得，平面， 平面，从而． 又，且平面，平面， 所以平面，平面，故．同理可得． 又显然是的中点，结合为的中点得， 所以，，，平面， 所以平面． 因为平面平面，所以平面． 又因为平面，所以平面平面， 即平面平面． 18．（24-25高一下·北京东城·期末）如图1，在中，，，，分别为，，的中点，将沿翻折到的位置，如图2. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)在棱上是否存在点，使得平面平面？请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在点为棱的中点时，满足平面平面，理由见解析. 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）根据线面垂直的判定定理证明即可； （3）取棱的中点，根据两平面平行的判定定理，证明平面平面，在用两平面垂直的判定定理，证明即可. 【详解】（1）因为在中，分别为，的中点， 所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为在中，分别为，的中点，所以， 因为，所以，所以， 因为是由沿翻折到得到的， 所以，， 因为，平面，平面， 所以平面. （3）存在点为棱的中点时，满足平面平面. 如图，取棱的中点，连接，， 在中，因为为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面, 又平面，，平面，平面， 所以平面平面， 因为平面，，所以平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. 19．如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】利用三角形相似得到比例关系，进而可得线线平行，结合判定定理可证结论. 【详解】连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. 20．在梯形ABCD中，，，，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点（如图①）．将沿AC折起到位置，使得（如图②）．证明：平面平面ABC．    【答案】证明见解析 【分析】通过题干条件证明四边形DPBC为平行四边形，从而证明O为AC的中点，再利用线线垂直推出线面垂直，从而推出面面垂直. 【详解】因为在梯形ABCD中，， ，，P为AB的中点， 所以是正三角形，且，，则四边形DPBC为平行四边形， 所以，所以，所以，所以O为AC的中点， 又因为，所以，又，，平面ABC，平面，所以平面ABC， 又因为平面，所以平面平面ABC． 21．已知三棱柱中，上、下底面是边长为2的正三角形，为的重心，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】连接并延长交于，连接，容易证明，从而为等腰三角形，进而证得平面，即可证明所求. 【详解】如图所示，连接并延长交于，连接， 因为为的重心，所以为的中点， 在三棱柱中， 因为， 所以，所以， 因为为的中点，所以， 又，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以． 22．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点M，N分别在AC，PB上，且，，作出直线与确定的平面与平面的交线l，直线l与是否平行，如果平行请给出证明，如果不平行请说明理由．    【答案】平行，证明见解析 【分析】取的四等分点且，可证明平面平面，延长与相交于点，直线MN与PB确定的平面与平面PAD的交线l即直线， 由面面平行的性质定理，有. 【详解】取的四等分点且，连接，， ．， ， ，，    ∵平面，平面，∴平面，同理可得平面， ，平面． 平面平面， 延长与相交于点，连接， 直线MN与PB确定一个平面，平面与平面PAD的交线l即直线， 平面，平面，则有. 23．如图，在棱长为2的正方体中，､､分别为棱､､的中点. 求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】通过证明，，即可利用线面垂直的判定定理证得平面； 【详解】正方体中， 因为，分别为棱，的中点，所以， 因为平面，平面， 所以，所以， 正方形中，∵为的中点，为的中点， ∴，∴， 设、交点为，则， ∴，即； 又、平面，， ∴平面. 24．（25-26高一下·福建龙岩·期中）如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点． (1)求证：D，B，F，E四点共面． (2)设平面平面，求证：． (3)棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）应用平行四边形得出，进而得出线线平行即可证明； （2）应用线面平行判定定理得出平面，再应用线面平行性质定理证明； （3）先证明四边形为平行四边形，得出，再应用线面平行判定定理证明； 【详解】（1）证明：连接． 因为，分别为棱，的中点， 所以，又在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以，，，四点共面． （2）证明：由（1）知，又平面，平面， 所以平面． 因为平面平面，平面，所以． （3）存在，且． 理由如下：取的中点，连接，． 因为，分别为，的中点， 所以，， 又，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 设为的中点，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 故存在所求的点，且． 25．如图1，是边长为3的等边三角形，点分别在线段上，且，沿将翻折到的位置，使得，如图2. (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）利用余弦定理与勾股定理依次证得，，再利用线面垂直与面面垂直的判定定理即可得证； （2）E作，交于，过点作，交于，证明平面平面，得存在点，利用平行线分线段成比例，求出的值. 【详解】（1）在中，，，， 由余弦定理得， 所以，所以， 在中，，，，所以，所以， 又因为，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）在平面中，过点E作，交于， 在平面中，过点作，交于，连接，如图所示， 因为，平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 又因为，平面，所以平面平面， 平面，所以平面，即为所求的点， 在中，，即，如图所示， 所以， 在中，，所以，即此时. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 立体几何中的平行、垂直证明问题全归纳 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构→ 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破→ 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型01 利用中位线、平行四边形证明线面平行 题型02 利用面面平行证明线面平行 题型03 利用线面平行的性质定理证明线线、线面平行 题型04 利用线段成比例证明线面平行、四点共面问题 题型05 证明面面平行、面面平行的性质定理 题型06 常见的线面垂直 题型07 利用线面垂直证明线线垂直 题型08 证明面面垂直 题型09 面面垂直的性质定理 题型10 利用相似、全等条件证明垂直 题型11 平行、垂直中的探索性问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 线面、面面平行 2. 线线、线面、面面垂直 1. 证明线面平行：考查基本做辅助线的能力 2. 证明线面垂直：考查对简单垂直关系的了解，例如“三线合一”，勾定理逆定理等 3. 线面平行的性质定理、面面垂直的性质定理 考情解码： 平行关系中要求利用三角形中位线或平行四边形法构造线线平行，需注意定理中“直线不在平面内”的隐含要求；垂直问题需紧扣判定定理，通过线线垂直推导线面垂直，或由线面垂直推证面面垂直，注重逻辑推理与空间结构的结合。在动态问题（如翻折、动点）中，需灵活运用性质转化条件。例如，利用面面垂直性质定理转化出线面垂直关系。 知识点一 直线和平面平行 1、定义 直线与平面没有公共点，则称此直线与平面平行，记作∥ 2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 线∥线线∥面 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行 面∥面线∥面 如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面 3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 线∥面线∥线 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 【易错提醒】 1、证明平行之中位线 （1）可以拿一把直尺放在位置（与平齐），如图一； （2）然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止，如图二； （3）此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点，连接，如图三； （4）此时长度有长有短，连接并延长刚好交于一点，刚好构成型模型（为中点，则也为中点，若为等分点，则也为对应等分点），，如图四． 2、证明平行之平行四边形 （1）可以拿一把直尺放在位置，如图一； （2）然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止，如图二； （3）此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点O，连接， 如图三； （4）此时长度相等（感官上相等即可，若感觉有长有短则考虑法一A型的平行），连接，刚好构成平行四边形型模型（为中点，O也为中点，为三角形中位线），，如图四． 图一 图二 图三 图四 即时即练 1．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点.    求证: 平面； 2．（24-25高一下·福建福州·期末）已知在直三棱柱中，，M为棱的中点，O为线段的中点． 求证：平面MBC； 3．如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧面底面，为正三角形，分别是棱的中点，点在侧棱上，且．求证：平面． 知识点二 两个平面平行 1、定义 没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若，则∥ 2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理线∥面面∥面 如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行 线面面∥面 如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行 ∥ 3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 面//面 线//面 如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”） 面//面 线面 如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 即时即练 1．如图，正方体的棱长为6，且分别为，的中点. (1)证明：平面平面； 2．如图，在三棱柱中，⊥平面，，是等边三角形，分别是棱的中点．证明：平面．    知识点三 直线与平面垂直 1、直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判断定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 面⊥面⇒线⊥面 两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a 平行与垂直的关系 一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直 _ 平行与垂直的关系 两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直 _ b _ a 2、直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行 _ b _ a 垂直与平行的关系 垂直于同一直线的两个平面平行 _ 线垂直于面的性质 如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直 【易错提醒】 证明垂直的常见方法 ①等腰三角形（等边三角形）的“三线合一” 如图：AB=AC,D为BC中点，则 ②勾股定理的逆定理 如图：如果，则 ③正方形、菱形的对角线互相垂直。 如图：四边形ABCD是菱形，所以 ④直径所对的圆周角是 如图：AB是圆的直径， ⑤通过证线面垂直证线线垂直 注：若题目要证已知且是异面直线，要证，一般是证所在的平面。 ⑥平移法：通过三角形的中位线或者构造平行四边形进行平移 即时即练 1．（25-26高一·全国·假期作业）如图，等腰梯形中，，为边上一点，且，，为中点，为中点将沿折起到的位置，如图．证明：平面； 2．（25-26高一下·全国·课后作业）如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．求证： 知识点四 平面与平面垂直 1、平面与平面垂直的定义 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若，且，则） 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 2、平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 _ 3、平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a 即时即练 1．如图，在三棱柱中，与均为等腰直角三角形，且，，． (1)证明：平面平面ABC； 2．如图，在三棱锥中，平面平面，且，，为棱的中点，为棱上的点.证明：； 题型01 利用中位线、平行四边形证明线面平行 1．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，．若是棱的中点，证明：平面； 2．四棱锥的底面为平行四边形，为中点，证明：平面 3．（25-26高一下·云南昆明·期中）如图，已知在三棱柱中，平面，点是的中点． (1)求证：平面； (2)若，，，求三棱锥的体积． 4．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，分别为CD，PA的中点.证明：平面PBC； 5．（25-26高一下·山东青岛·期中）如图所示，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱，上的点，点M是线段AC的中点，． (1)求证平面AEF； (2)若，求多面体的体积 【易错警示】 线面平行判定定理的证明步骤 ①在平面内找到或作出一条与已知直线平行的直线（常见方法：三角形中位线、平行四边形的性质、线段成比例）； ②证明已知直线平行于找到(作出的)直线； ③由判定定理得出结论 题型02 利用面面平行证明线面平行 1．如图，在多面体中，四边形是菱形，且有，，，平面，．求证：平面； 2．如图，已知多面体的底面为正方形，四边形是平行四边形，，，是的中点.证明：平面.    3．如图，，若为的中点，为的中点，求证：平面. 4．如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面. 【易错警示】 面面平行证线线、线面平行 （1）利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线,往往需要有三个平面,即有两平面平行,再构造第三个平面与两平行平面都相交. （2）两个平面平行的另一个重要性质是判断线面平行:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. 题型03 利用线面平行的性质定理证明线线、线面平行 1．如图，在直三棱柱中，是边的中点，过，，作截面交于点D.求证：. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥中，底面是平行四边形，与交于点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于，求证：. 3．如图在三棱锥中，，点D在AB上，点E为AC的中点，且平面PDE. (1)求证：平面PBC； 4．（25-26高一下·河北沧州·期中）如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，，为上一点，设平面与平面的交线为． (1)证明面； 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知正三棱柱（底面是正三角形，侧面是矩形的棱柱）中，是上的点，是的中点，且平面．试判断点在上的位置，并给出证明． 6．如图，四棱锥中，底面为梯形，，点在棱上. (1)求证：平面； (2)若平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值. 题型04 利用线段成比例证明线面平行、四点共面问题 1．如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点. 求证：，，，四点共面. 2．已知正四棱柱的底面边长为1，点、分别在边、上，且，.证明：平面. 3．如图，在正方体 中，分别是棱的中点.求证：四点共面. 4．（25-26高一下·陕西·期中）如图，在四棱锥中，平面，． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 5．（2025高一·全国·专题练习）如图，在正方体中，分别为与上的点，且．求证：平面． 【易错警示】 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，这也是得到线面平行的一种有力工具。题目中出现比值关系时，可考虑利用比值关系，寻找线线平行，进而得到线面平行 题型05 证明面面平行、面面平行的性质定理 1．（24-25高一下·辽宁·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱，的中点． (1)计算棱台的体积； (2)求证：平面平面． 2．（24-25高一下·广西玉林·阶段检测）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为的中点． (1)求证：AC1//平面BDE； (2)当点F在棱DD1的中点时，求证：平面//平面BDE． 3．如图，直四棱柱被平面所截，截面为CDEF，且，．证明：. 4．（24-25高一下·江西上饶·期末）如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点.已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于. (1)求证：平面； (2)求证：. 题型06 常见的线面垂直 1．如图，在直四棱柱中，底面是菱形，.证明：平面. 2．如图，在圆锥中，已知，的直径，点C在上，且，点D为的中点．证明：平面 3．如图，在三棱锥中，．求证：平面；    4．（25-26高一下·贵州毕节·期中）如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点，求证： (1)平面∥平面； (2)平面. 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，. 求证：平面 6．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）如图，在平行四边形中，，，为的中线，将沿折叠，使点到点的位置，连接，且. (1)求证：平面. (2)求直线与平面所成角的正切值. 7．如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，且分别是的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【易错警示】 证明垂直的常见方法 ①等腰三角形（等边三角形）的“三线合一” 如图：AB=AC,D为BC中点，则 ②勾股定理的逆定理 如图：如果，则 ③正方形、菱形的对角线互相垂直。 如图：四边形ABCD是菱形，所以 ④直径所对的圆周角是 如图：AB是圆的直径， ⑤通过证线面垂直证线线垂直 注：若题目要证已知且是异面直线，要证，一般是证所在的平面。 ⑥平移法：通过三角形的中位线或者构造平行四边形进行平移 题型07 利用线面垂直证明线线垂直 1．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为D，的中点为E.求证： (1)平面； (2). 2．（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）如图，在四面体中，是的中点，分别是的中点，.求证： (1)平面； (2). 3．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，在直三棱柱中，，D，E分别为，的中点. (1)求证：. (2)若，，求三棱锥的体积. 4．（25-26高一下·吉林延边·期中）如图所示，在正方体中，.证明： (1)证明 (2). 5．如图，三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，，．证明：； 6．（24-25高一下·江苏镇江·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为等边三角形．为中点． (1)求证：平面； (2)求证：. 【易错警示】 题型08 证明面面垂直 1．如图，在正四棱锥中，已知侧棱长为4，底面边长等于2，是的中点．求证：平面平面． 2．（24-25高一下·广东广州·期末）如图，在正四棱柱中，，垂足为E． (1)求证：平面平面； (2)求证：平面平面． 3．如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，为的中点． (1)证明平面平面； 4．如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，．证明：平面平面 5．（24-25高一下·辽宁·期末）如图，四棱锥P-ABCD，平面，，，，，E是PC的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 6．（24-25高一下·安徽马鞍山·期末）如图，在直四棱柱中，，，且，点为棱的中点，点为棱的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面. 题型09 面面垂直的性质定理 1．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面平面，，是的中点，点在侧棱上，，求证：直线平面； 2．如图1，五边形中，．将三角形沿翻折，使得平面平面，如图2．求证：平面. 3．如图，四棱锥中，，，，平面平面．证明：； 4．如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.求证：. 5．（24-25高一下·江苏常州·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面底面ABCD，且，若E、F分别为PC、BD的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 6．如图，在三棱锥中，底面为上一点，且平面平面.求证：为的中点； 【易错警示】 面面垂直推线面垂直的思路 先找条件中有没有在一个平面内与交线垂直的直线,若有，则该垂直另一个平面；若没有与交线垂直的直线,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题. 题型10 利用相似、全等条件证明垂直 1．如图，在四面体中，，，，点为的中点，点为上一点.求证：平面平面；    2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．证明：平面平面. 3．（25-26高一·全国·假期作业）如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为正方形，且平面平面分别为的中点. (1)求四棱锥的体积； (2)证明：； 4．如图，在四棱锥中，平面平面，，,，点在棱上，且. (1)求证:平面平面; 5．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，在三棱柱中，，平面平面，平面平面．    (1)求证：平面； (2)求证：． 题型11 平行、垂直中的探索性问题 1．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）如图，在正三棱柱中，，D为AB的中点． (1)证明：平面； (2)在上是否存在点E，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 2．（24-25高一下·安徽宣城·期末）如图，在正三棱柱中，，，点M为的中点. 在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 3．（25-26高一下·北京朝阳·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且． (1)设平面平面，证明：； (2)证明：； (3)线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 4．（25-26高一下·福建泉州·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点. (1)求证：点，，，四点共面 (2)求证：平面平面. (3)在线段上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 5．（25-26高一下·吉林·期中）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)在上是否存在点使得平面平面，若存在，求出点的位置并给以证明，若不存在，请说明理由． 6．如图，平面四边形是棱长为3的正方形．平面，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在点M，使得平面平面，且满足平面?若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由． 【易错警示】 平行、垂直的探索性问题 常用“逆向推理法”：假设平行关系成立，结合线面、面面平行垂直的判定定理（如线面平行需平面外直线与平面内直线平行，面面平行需一平面内两条相交直线与另一平面平行），推导线段比例、中点位置等关键条件。 1．（25-26高一·全国·暑假作业）如图所示，已知三棱锥中，⊥底面，，D、F分别为AC、PC的中点，⊥于E. (1)求证：⊥平面； (2)求证：平面⊥平面. 2．在正四棱锥中，为底面中心，，，分别为，，的中点，点在棱上，且. (1)证明：平面. (2)证明：平面平面. 3．如图，四棱锥中，，，．求证：平面平面； 4．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在平行四边形中，，，为的中点，将沿直线折起到的位置，使平面平面． (1)证明：平面平面； (2)设为线段的中点，求点到平面的距离． 5．（25-26高一下·北京东城·阶段检测）在三棱柱中，四边形为正方形，平面平面，，M，N分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)若，求证平面平面． 6．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知矩形，过点作平面，再过点作交于点，过点作交于点. (1)求证：； (2)若平面交于点，求证：平面. 7．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是圆锥底面的内接正三角形，点在平面内且平面，证明：平面． 8．如图，四棱锥中，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，于E，于F，设平面AEF交PC于G，求证：． 9．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，平面平面，且，点分别是棱的中点.求证：平面； 10．（25-26高一·全国·假期作业）如图，等腰梯形中，，为边上一点，且，，为中点，为中点将沿折起到的位置，如图．证明：平面； 11．（24-25高一下·浙江台州·期中）如图，梯形中，，于点，，且．沿把折起到的位置，使． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)若为的中点，为上一点，证明． 12．如图1，直角梯形中，，将直角梯形绕旋转一周得到如图2的圆台，为圆台的母线，且是的中点．在线段上是否存在一点，使平面？说明理由；    13．如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若点，分别为，的中点，求证:平面平面. 14．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面平面为中点，，证明：． 15．（25-26高一下·吉林长春·期中）如图，在正方体中，、、分别是、、的中点． (1)证明：，，、四点共面． (2)若是线段CG上的动点，证明：平面． 16．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图在四棱锥中，，分别是的中点，． (1)求证：平面； (2)若点F在棱上且满足，平面，求的值． 17．（2025高一·全国·专题练习）如图，在正方体中，已知分别为棱，，，的中点．求证：    (1)平面平面； (2)平面平面． 18．（24-25高一下·北京东城·期末）如图1，在中，，，，分别为，，的中点，将沿翻折到的位置，如图2. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)在棱上是否存在点，使得平面平面？请说明理由. 19．如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且，求证：平面. 20．在梯形ABCD中，，，，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点（如图①）．将沿AC折起到位置，使得（如图②）．证明：平面平面ABC．    21．已知三棱柱中，上、下底面是边长为2的正三角形，为的重心，．求证：． 22．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点M，N分别在AC，PB上，且，，作出直线与确定的平面与平面的交线l，直线l与是否平行，如果平行请给出证明，如果不平行请说明理由．    23．如图，在棱长为2的正方体中，､､分别为棱､､的中点. 求证：平面； 24．（25-26高一下·福建龙岩·期中）如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点． (1)求证：D，B，F，E四点共面． (2)设平面平面，求证：． (3)棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 25．如图1，是边长为3的等边三角形，点分别在线段上，且，沿将翻折到的位置，使得，如图2. (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $