第13讲 曲线运动 运动的合成与分解（复习讲义）（广东专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

该高中物理高考复习讲义聚焦曲线运动与运动合成分解专题，覆盖曲线运动条件及性质、运动合成与分解规律、小船渡河问题、关联速度模型等核心考点，按知识内在逻辑分层构建框架，通过考点精讲拆解核心知识、思维建模归纳解题范式、真题溯源感知考向，帮助学生系统突破难点。 资料突出科学思维与模型建构，如小船渡河问题分最短时间和最短位移两类模型分析，关联速度通过绳杆端速度分解实例提炼沿绳杆方向分速度相等的关键方法，设置基础巩固与能力提升分层练习，配合考向破译即时反馈，有效培养学生解题能力，为教师精准把控复习节奏提供实用指导。

第13讲 曲线运动 运动的合成与分解 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 考点精讲·靶向突破 拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 曲线运动 知识点1 曲线运动条件及性质 知识点2 合外力与轨迹、速度间的关系分析思路 知识点3 合速率变化的判断 考向1 物体做曲线运动的条件 考向2 轨迹、速度与力的位置关系 考点二 运动的合成与分解 知识点1 运动的合成与分解 知识点2 合运动的性质和轨迹的判断 考向1 合运动与分运动的关系 考向2 合运动轨迹与性质的判断 【思维建模】 运动的合成与分解问题分析关键 考点三 小船渡河问题 知识点1合运动与分运动 知识点2两类问题、三种情境 考向1 最短时间渡河 考向2 最短渡河位移问题 【思维建模】 小船渡河的两类情况 考点四 关联速度模型 知识点1 模型特点 知识点2 分解思路及常见模型 考向1 绳端速度分解模型 考向2杆端速度分解模型 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 曲线运动的条件 运动的合成运分解 √ 考情分析 题型与考向：本讲内容在高考中属于基础热点内容，大多以选择题的形式出现，通常情况下难度不大,会以实际生活中的例子作为试题背景，考察对曲线运动、运动的合成与分解思想的理解，小船渡河重点考察最短时间和最短位移问题，绳杆速度分解重点考察瞬时速度关系（常考滑轮系统和杆端接触模型），近年创新考察牵连运动中的加速度分解，喜欢与其他章节（结合能量守恒）综合考查。 情境与立意： ①生活实践类：小船渡河，汽车牵引； ②学习探究类：小船渡河模型，绳、杆速度分解模型。 复习目标 1.知道曲线运动的条件。 2.掌握运动合成和分解的基本规律，并能够对小船渡河问题和关联速度模型做出正确的分析。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 考点精讲·靶向突破 ——拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 曲线运动 知识点1 曲线运动条件及性质 知●识●解●构 一、曲线运动 1、运动特点 ①速度方向：质点在某点的速度，沿曲线上该点的切线方向． ②运动性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻改变，所以曲线运动一定是变速运动。 曲线运动的速度： 切线的概念：如下图所示，过曲线上的 A、B 两点作直线，这条直线叫做曲线的割线。设想B点逐渐沿曲线向A点移动，这条割线的位置也就不断变化。当B点非常非常接近A点时，这条割线就叫做曲线在A点的切线。 当B点越来越靠近A点时，质点的平均速度方向将越来越接近 A 点的切线方向。当B点与A点的距离接近0时，质点在A点的速度方向沿过A点的切线方向。 曲线运动的性质： 质点在某一时刻(某一位置)速度的方向与这一时刻质点所在位置处的切线方向一致，故其速度的方向时刻改变；物体做曲线运动时，速度方向一定变化，但速度的大小不一定变化。 由于做曲线运动的物体的速度方向时刻在变化，不管速度大小是否变化，因为速度是矢量，物体的速度时刻在变化，所以曲线运动一定是变速运动，一定有加速度，但加速度不一定变化。 二、曲线运动的条件 1、动力学角度 物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上。 2、运动学角度 物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上。 3、运动性质的判断 ①直线运动或曲线运动的判断：看合力方向(或加速度的方向)和速度方向是否在同一直线上。 ②匀变速运动或非匀变速运动的判断：合力为恒力(或加速度恒定)，物体做匀变速运动；合力为变力(或加速度变化)，物体做非匀变速运动。 运动类型如下表所示： F(a)与v的方向 轨迹特点 加速度特点 运动性质 F(a)＝0 直线 a＝0 匀速直线运动 共线 a恒定 匀变速直线运动 a不恒定 非匀变速直线运动 不共线 曲线 a恒定 匀变速曲线运动 a不恒定 非匀变速曲线运动 得分速记： 曲线运动一定是变速运动(质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向，速度方向时刻在变） 知识点2 合外力与轨迹、速度间的关系分析思路 知●识●解●构 一、合外力与轨迹、轨迹的关系 1、速度方向、合力方向及运动轨迹三者的关系 做曲线运动的物体的轨迹与速度方向相切，夹在速度方向与合力方向之间。并向合力方向弯曲，也就是合力指向运动轨迹的凹侧。如下图所示： 2、速度大小的增减判断 ①当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大；②当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小；③当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。 知识点3 合速率变化的判断 知●识●解●构 一、合力方向与速度夹角的关系 ⚠特别提醒 【1】曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动。 【2】动力学角度这包含三个内容：①初速度不为零；②合力不为零；③合力方向与速度方向不共线。 【3】速度方向与运动轨迹相切；合力方向指向曲线的“凹”侧；运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。 考●向●破●译 考向1 物体做曲线运动的条件 例1 （25-26高三上·江苏常州·期末）水平桌面上有6块板拼成曲线轨道，俯视如图，小球从左侧以一定速度进入并沿轨道运动，最终离开轨道。现撤去三块板，小球仍能大致保持原运动轨迹，则撤去的板编号是（　　） A．1、3、5 B．2、4、6 C．1、4、5 D．2、3、6 【答案】D 【详解】由题图可知，1、2板处小球需指向2的向心力，必须1板给予弹力；3、4板处小球需指向3的向心力，必须4给予弹力（3板给的支持力指向凸侧，不满足运动需求）；5、6板处小球需指向6的向心力，需5板给予弹力，故可以取走的是2、3、6板。 故选D。 【变式训练1·变载体】（24-25高三上·甘肃定西·期末）钱学森弹道中导弹在飞行过程中能突然改变速度、方向和高度，行踪难以被预测和追踪，极大地增加了拦截难度。如图所示，导弹运动到P点时，受力情况可能正确的是（　　） A．F1 B．F2 C．F3 D．F4 【答案】A 【详解】对曲线运动，所受合力指向曲线的凹侧，则P点的受力可能是F1。故选A。 ▶新情境◀【变式训练2·日常情景结合】（25-26高三上·浙江杭州·阶段检测）如图为运动员刚从雪坡上腾空向前运动的照片，运动员此时（　　） A．受到重力与空气阻力的作用 B．受到重力和雪坡对他的作用 C．加速度方向与运动方向相同 D．速度方向与合外力方向相反 【答案】A 【详解】AB．运动员此时受到重力与空气阻力的作用，因为不接触，所以不受雪坡对他的作用，故A正确，B错误； C．加速度方向为合力方向，运动员做曲线运动，因此速度方向与加速度方向不在同一直线上，故CD错误。 故选A。 考向2 轨迹、速度与力的位置关系 例2 （2026·重庆沙坪坝·模拟预测）一辆汽车在水平公路上转弯，沿圆弧从 M 点向 N 点减速行驶，汽车转弯时所受合外力 F 的方向可能是（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】曲线运动的合力方向一定指向轨迹的凹侧，汽车沿圆弧从M向N行驶，轨迹凹侧在左侧，汽车减速行驶，说明合外力对汽车做负功，合外力与速度方向的夹角为钝角。 故选B 。 【变式训练1·变考法】（2026·辽宁·一模）2025年9月的长春航展中，“红鹰”飞行表演队使用两架教练机上演“双机比心”的经典一幕。如图所示，两架飞机分别沿各自轨迹从a点运动到b点，则两架飞机在飞行过程中（　　） A．速度可能不变 B．加速度可能不变 C．两架飞机在b点的速度可能相同 D．两架飞机飞行的路程可能相同 【答案】D 【详解】A．两架飞机在飞行过程中做曲线运动，速度方向时刻发生变化，所以速度一定发生变化，故A错误； B．根据曲线运动加速度方向位于轨迹的凹侧，由图中轨迹可知，加速度方向不可能不变，则加速度一定发生变化，故B错误； C．两架飞机沿不同轨迹到达b点，在b点的速度沿各自轨迹的切线方向，方向一定不同，因此速度不可能相同，故C错误； D．路程是运动轨迹的长度，两架飞机飞行的路程可能相同，故D正确。 故选D。 【变式训练2·变考法】（2026·江苏南通·二模）如图所示是羽毛球从左往右飞行的轨迹图，图中为同一轨迹上等高的两点，为轨迹的最高点。则羽毛球（　　） A．在点的速度最小 B．在点的水平速度等于在点的水平速度 C．由到和由到两个阶段重力的冲量大小相等 D．在点水平方向的加速度大于在点水平方向的加速度 【答案】D 【详解】A．在P点时，重力和阻力的合力与速度方向成钝角关系，速度减小，故P点不是速度最小位置，故A错误； B．羽毛球在水平方向只受空气阻力的水平分量作用，方向与运动方向相反，一直做减速运动，所以 A 点的水平速度大于 B 点的水平速度，故B错误； C．A到P羽毛球处于上升阶段，竖直方向所受合力大于重力，竖直方向的加速度大于g，P到B处于下落阶段，竖直方向所受合力小于重力，竖直方向的加速度小于g，所以羽毛球AP段所用时间比PB段小，结合冲量的定义可知，AP段重力的冲量小于PB段重力的冲量，故C错误； D．水平方向的加速度由空气阻力的水平分量提供。空气阻力 f 与速度 v 有关，且物体的速度v越大，受到空气的阻力f越大，结合上述分析可知，羽毛球在A点的速度大于在B点的速度，因此羽毛球在A点受到的阻力及在水平方向的分量大于在B点受到的阻力及水平方向的分量，根据牛顿第二定律可知，羽毛球在点水平方向的加速度大于在点水平方向的加速度，故D正确。 故选D。 考点二 运动的合成与分解 知识点1 运动的合成与分解 知●识●解●构 1、基本概念 如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动。①运动的合成：已知分运动求合运动；②运动的分解：已知合运动求分运动． 2、合成与分解法则 运动的合成与分解是指位移、速度、加速度的合成与分解。其合成、分解遵循平行四边形定则。 3、合运动与分运动的关系 等时性：各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同； 等效性：各分运动的共同效果与合运动的效果相同； 同体性：各分运动与合运动是同一物体的运动； 独立性：各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响。 ⚠特别提醒 （1）物体实际运动的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度。 （2）对速度v进行分解时，不能随意分解，应按物体的实际运动效果进行分解。合速度可能比分速度大，也可能比分速度小，还可能和分速度大小相等。 知识点2 合运动的性质和轨迹的判断 知●识●解●构 分析两个直线运动的合运动的性质时，应先根据平行四边形定则，确定合运动的合初速度v0和合加速度a，然后进行判断： （1）匀变速运动和轨迹曲直的判断： 做曲线运动的物体的轨迹与速度方向相切，夹在速度方向与合力方向之间。并向合力方向弯曲，也就是合力指向运动轨迹的凹侧。 （2）互成角度的两个直线运动的合运动性质和轨迹的判断 分运动 合运动 矢量图 条件 两个匀速直线运动 匀速直线运动 a＝0 一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 a与v成α角 两个初速度为零的匀加速直线运动 初速度为零的匀加速直线运动 v0＝0 两个初速度不为零的匀加速直线运动 匀变速直线运动 a与v方向相同 匀变速曲线运动 a与v成α角 得分速记 有关运动的合成和分解的三点提醒 (1)由运动的合成与分解知识可知，合运动的位移、速度、加速度是各分运动的位移、速度、加速度的矢量和。 (2)恒力作用下物体的匀变速曲线运动可分解为沿力的方向的匀变速直线运动和垂直于力的方向的匀速直线运动。 (3)两个相互垂直方向的分运动具有等时性，这常是处理运动分解问题的关键点。 考●向●破●译 考向一 合运动与分运动的关系 例1（24-25高三上·黑龙江·学业考试真题）如图，某人站在自动扶梯上随扶梯一起匀速上行，扶梯与水平面的夹角为30°，速度v=1m/s，将速度v沿水平和竖直方向分解，则竖直方向的分速度大小是（　　） A．0 B．0.5m/s C．1m/s D．2m/s 【答案】B 【详解】将速度v沿水平和竖直方向分解，则竖直方向的分速度大小为 故选B。 【变式训练1·变载体】（24-25高三下·河南·期中）深圳大疆公司是全球知名的无人机生产商，生产的无人机在各行各业中得到了广泛应用。一测试员应用无人机搭载的加速度传感器进行飞行测试。图甲是在测试软件中设定的x、y、z轴的正方向，其中z轴沿竖直方向，无人机开始时沿y轴正方向匀速飞行，从t=0时刻开始测试员进行变速操作，软件生成了x、y、z轴方向的（加速度－时间）图像如图乙所示，则下列说法正确的是（　　） A．0~1s无人机处于失重状态 B．0~1s沿x轴方向无人机做减速动 C．1s~2s沿y轴方向无人机做加速动 D．1s~2s沿z轴方向无人机做加速动 【答案】D 【详解】A．由图可知，0~1s无人机沿z轴方向的加速度为零，即无人机在沿z轴方向受力平衡，故A错误； B．由图可知，0~1s无人机有沿x轴负方向的加速度，沿x轴方向的初速度为零，所以无人机沿x轴负方向做加速运动，故B错误； C．无人机开始时沿y轴正方向匀速飞行，由图可知，0~2s无人机有沿y轴负方向加速度，所以无人机沿y轴正方向先做减速运动，由于不确定0~1s无人机沿y轴正方向是否减小到零，所以1s~2s沿y轴正方向无人机可能做减速运动、先沿y轴正方向减速后反向加速或者y轴负方向加速运动，故C错误； D．由图可知，0~1s无人机沿z轴方向的加速度为零，初速度为零，所以0~1s无人机沿z轴方向的速度一直为零；由图可知，1s~2s无人机有沿z轴负方向的加速度，所以无人机沿z轴负方向做加速运动，故D正确。 故选D。 【变式训练2·变载体】（24-25高三上·浙江绍兴·阶段检测）如图所示，内壁光滑、两端开口的圆筒在竖直方向上固定，一小球从圆筒上端紧贴筒壁沿切线方向水平射入，关于小球在圆筒内运动的情况，下列说法正确的是（　　） A．小球在运动过程中所受弹力大小保持不变 B．若增大圆筒的半径，小球的运动可能会脱离圆筒内壁 C．若增大小球入射速度，小球在圆筒内的运动时间将增大 D．若减小小球入射速度，小球从圆筒下端射出时重力的瞬时功率将减小 【答案】A 【详解】AB．小球在桶内的运动可以看成时水平面内的匀速圆周运动和竖直方向的自由落体运动的合运动，所以 所以小球在运动过程中所受弹力大小保持不变，若增大圆筒的半径，小球所受弹力减小，但不会脱离圆筒内壁，故A正确，B错误； C．小球在圆筒内的运动时间由圆筒的高度决定，与初速度大小无关，故C错误； D．小球射出圆筒时重力的瞬时功率为 所以，若减小小球入射速度，小球从圆筒下端射出时重力的瞬时功率不变，故D错误。 故选A。 考向二 合运动轨迹与性质的判断 例2（2024·广东佛山·二模）（多选）如图所示，在一条玻璃生产线上，宽3m的待切割玻璃板以0.4m/s的速度向前匀速平移。在切割工序处，金刚石切割刀的移动速度为0.5m/s，下列说法正确的是（　　） A．切割一块矩形玻璃需要10s B．切割得到的矩形玻璃长为2.4m C．切割刀的移动轨迹与玻璃板平移方向夹角为37°，可使割下的玻璃板呈矩形 D．切割刀的移动轨迹与玻璃板平移方向夹角为143°，可使割下的玻璃板呈矩形 【答案】AC 【详解】A．切割一块玻璃需要的时间为 故A正确； BCD．金刚石切割刀的移动速度0.5m/s是割刀对地的速度，切割刀的移动轨迹亦是割刀对地面的相对轨迹，为使割下的玻璃板呈矩形，则割刀相对玻璃板的速度方向应垂直于玻璃板侧边，如图所示 则有 解得 在生产线上连续切割得到的矩形玻璃长度不小于 故BD错误，C正确。 故选AC。 【思维建模】 运动的合成与分解问题分析关键 （1）分析运动的合成与分解问题时，一般情况下按运动效果进行分解。 （2）分析物体在两个方向上的受力及运动规律，要注意分别在两个方向上列式求解。 （3）两个方向上的分运动具有等时性，这往往是处理运动分解问题的关键点。 （25-26高三下·云南·开学考试）如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个由蜡做成的小圆柱体R。R从坐标原点以的速度沿y轴正方向匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速度为0的匀加速直线运动。测出某时刻R的坐标为。下列说法正确的是（　　） A．R在坐标为处的速度为10cm/s B．R在坐标为处的速度为8cm/s C．R的加速度为 D．R的运动轨迹为直线 【答案】A 【详解】ABC．小圆柱体R在y轴方向做匀速运动，由得，运动时间 x轴方向玻璃管做初速度为0的匀加速直线运动，由得，加速度 此时x轴方向速度 R在坐标为处的速度为，代入数据解得，故BC错误，A正确； D、设R的速度与x轴正方向的夹角为，则 由于（恒定），，因此随时间增加而减小，即夹角逐渐变小，所以R的运动轨迹为曲线，故D错误。 故选A。 （2026·重庆沙坪坝·三模）某工厂的产品分拣中心有两条水平放置的传送带，其简化图如题图所示。传送带1、2分别以和的速度稳定运行，已知产品在传送带1上均能加速到，然后平滑地滑上传送带2，且不会从传送带2的右侧滑出。若产品与传送带发生相对运动，会在传送带上留下痕迹，则产品在传送带2上留下的痕迹可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分析产品相对于传送带2的运动，痕迹就是产品相对传送带2的运动轨迹，产品滑上传送带2时，速度方向向右的大小为，沿传送带2方向上的初速度为0；传送带2本身以向前运动，因此产品相对于传送带2的初速度为水平向右、向后，合相对速度方向为斜向右后。 滑动摩擦力方向始终与相对运动方向相反，因此摩擦力方向为斜向左前，摩擦力的合力不变，若摩擦力的合力恰好与相对速度方向共线反向，则产品相对传送带2做匀减速直线运动，直到共速，轨迹是直线，相对位移沿斜向右后方向。若摩擦力合力与相对运动方向不共线，则物体相对传送带向右后方运动，合力方向应指向曲线弯曲的内侧。故选B。 考点三 小船渡河问题 知识点1 合运动与分运动 知●识●解●构 1、模型特点 小船在河流中实际的运动可视为船同时参与了这样两个分运动：①船在静水中的运动，它的方向与船身的指向相同；②水流的运动(即速度等于水的流速)，它的方向与河岸平行。 知识点2 两类问题、三种情境 知●识●解●构 模型解读 分运动1 分运动2 合运动 运动 船相对于静水的划行运动 船随水漂流的运动 船的实际运动 速度本质 发动机给船的速度 水流给船的速度 船相对于岸的速度 速度方向 沿船头指向 沿水流方向 合速度方向,轨迹(切线)方向 渡河时间最短情景 　①渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关,与水流速度无关。 　②渡河时间最短:船头正对河岸时,渡河时间最短, (d为河宽)。 渡河位移最短情景 　①若v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，且xmin＝d 　②若v船<v水，合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，且xmin＝＝ ⚠特别提醒 利用正交分解法求解该模型 将船相对于水的速度沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解，如图所示，则为船实际沿水流方向的速度，vcsinθ为船垂直于河岸方向的运动速度。 ①要使船垂直渡河，则应使vs-vccosθ = 0，此时cosθ =（船头方向与上游河岸夹角θ的余弦值为）渡河位移最小为d。 ②要使渡河时间最短，则应使vcsin θ最大，即当θ = 90°（船头方向与河岸垂直）时，渡河时间最短，t =。 考●向●破●译 考向一 最短时间渡河 例1 （2026·辽宁抚顺·模拟预测）某人在河边发现一名落水者。他奋不顾身地快速游到落水者身边，并拖动落水者以的恒定速率游向岸边，若当时河水流速恒为，落水点距河岸的垂直距离为60m，则某人和落水者最快到达岸边所需要的时间约为（　　） A．75s B．120s C．100s D．200s 【答案】D 【详解】根据运动的独立性原理，要最短时间到达岸边，需使人游动的速率垂直河岸方向，得最短时间 故选D。 【变式训练1·解决实际问题】（24-25高三上·江苏·开学考试）小船匀速渡河，已知船在静水中的速度为，水流速度，河宽为，已知在渡河过程中船头方向保持不变，小船渡河时间为，则以下判断一定正确的是（　　） A．小船恰好垂直到达河对岸 B．船头方向与河岸的夹角的正切值为0.75 C．小船到达对岸时一定在出发点上游处 D．调整船头的方向，最短的渡河时间为 【答案】B 【详解】A．小船若垂直到达河对岸，即船的合速度垂直于河岸，则 小船的渡河时间 故A错误； B．设船头方向与河岸的夹角为，将船速沿着河岸和垂直于河岸分解，得 根据分运动和合运动的等时性可知 解得 故B正确； C．结合B选项分析，船速平行河岸分量 若船头方向与河岸的夹角为并指向河岸上游，则小船平行于河岸方向的分运动速度为 则小船到达对岸时，在出发点上游的距离为 若船头方向与河岸的夹角为并指向河岸下游，则小船平行于河岸方向的分运动速度为 则小船到达对岸时，在出发点下游的距离为 故C错误； D．当船头垂直于河对岸渡河时，渡河时间最短，为 故D错误。 故选B。 【变式训练2·变载体】（25-26高三上·安徽·期末）如图所示，河的宽度为，虚线与河岸的夹角为，两次渡河小船的船头均沿着虚线指向河的上游，第一次航程由指向，第一次渡河小船在静水中的速度为，第二次航程由指向。已知与河岸垂直，与河岸的夹角为，水流的速度保持不变，、，下列说法正确的是（　　） A．水流的速度为 B．第一次渡河的时间 C．第二次渡河船在静水中的速度为 D．第二次渡河船的实际速度为 【答案】D 【详解】AB．第一次渡河小船在静水中的速度为，由速度的矢量合成可得水流的速度为 船的实际速度为 所以第一次渡河的时间为，故AB错误； CD．设第二次渡河船在静水中的速度为，实际速度为，把和分别沿着河岸和垂直河岸分解，则有， 联立解得，，故C错误，D正确。 故选D。 考向二 最短渡河位移问题 例2 （25-26高三上·河南南阳·期末）如图所示，一轮船在河岸的两码头A、B间运送货物，A、B连线与河岸夹角为53°。由A到B过程中，船头正对河岸，轮船相对静水的速度大小恒为；返回时（即由B到A）所用时间与去时相同，轮船相对静水的速度大小恒为，水速恒定不变，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】从A到B过程，轮船的运动分解为沿水流方向和沿船头方向，如图 根据几何关系，有 返回时所用时间与去时相同，依题意可知，轮船从A到B和从B到A的实际速度大小不变，设其为v，把返回时的运动也分解为沿水流方向和沿船头方向，如图 根据余弦定理，可得 联立，可得 故选D。 【变式训练1·解决实际问题】（2025·湖北·模拟预测）如图所示，两平行河岸的间距为d，水稳定沿着河岸流动，一条小船从河岸渡到河对岸，船在静水中的速度（为已知量）指向河的上游与河岸的夹角为37°，船速（即合速度）（为未知量）指向河的下游与河岸的夹角也为37°，水流的速度（为未知量），，，下列说法正确的是（   ） A．船速 B．水速 C．小船被冲向下游的距离为 D．小船渡河的时间为 【答案】B 【详解】B．、、构成的矢量三角形如图所示 由几何关系可得， 解得，A错误，B正确； C．由几何关系可得小船被冲向下游的距离，C错误； D．小船渡河的位移s与同向，与河岸的夹角为37°，河宽为d，由几何关系可得 小船渡河的时间，D错误。 故选B。 【变式训练2·变载体】（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）如图所示，一条小船位于200m宽的河的正中A点处，从这里向下游100m处有一危险区，当时水流速度为4m/s，为了使小船避开危险区到达对岸，则小船在静水中的速度至少是（　　） A．2m/s B．2m/s C．4m/s D．4m/s 【答案】B 【详解】要使小船避开危险区沿直线到达对岸,则有合运动的最大位移为 设小船能安全到达河岸的合速度，与水流速度的夹角为，由几何关系可知 则 作出小船速度的矢量图，如图所示，则有 故选B。 【思维建模】 小船渡河的两类情况 最短时间 最短航程 v船>v水 v船<v水 tmin= lmin=d，cos θ= lmin=d·，cos θ= 考点四 关联速度模型 知识点1 模型特点 知●识●解●构 关联体一般是两个或两个以上由轻绳或轻杆联系在一起，或直接挤压在一起的物体，它们的运动简称为关联运动。一般情况下，在运动过程中，相互关联的两个物体不是都沿绳或杆运动的，即二者的速度通常不同，但却有某种联系，我们称二者的速度为“关联”速度。 与绳或杆连接的物体速度方向与绳或杆所在的直线不共线。 绳或杆的长度不变，绳或杆两端的物体沿绳或杆方向的分速度相等。 知识点2 分解思路及常见模型 知●识●解●构 1、分析思路 合速度：物体实际运动的方向就是合运动的方向，即合速度的方向； 分速度：沿绳或杆的速度和与绳或杆垂直的速度。 2、常见的模型分解 情景图示 结论 总结 v＝v物cos θ 沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。 v物′＝v∥＝v物cos θ v∥＝v∥′ 即v物cos θ＝v物′cos α v∥＝v∥′ 即v物cos α＝v物′cos β 得分速记 该类模型的特点是沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。 考●向●破●译 考向一 绳端速度分解模型 例1 （2026·广东中山·三模）如图所示，半径为R的滑轮1可绕水平转轴O转动，直手柄AO固定在滑轮1上，手柄端点A到转轴O的距离为L。工人转动手柄，拉动纤绳牵引小船向岸边运动，纤绳跨过半径可忽略的滑轮2，且与滑轮间无相对滑动。当连接小船的纤绳与水平方向夹角为θ时，A点线速度大小为v0，此时船的速度v为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据线速度、角速度和半径间的关系，有 滑轮1边缘的速度为 根据速度的分解可得 故选A。 【变式训练1·与日常生活结合】（2026·内蒙古赤峰·一模）图甲是某体能训练器械，图乙是简化示意图，不计绳子和滑轮的质量，忽略空气阻力和一切摩擦。训练者用手拉着绳子使末端Q水平向右匀速运动，直到弹簧恢复原长的过程中（   ） A．重物的速度增大 B．重物的速度减小 C．绳子拉力对重物做的功等于重物机械能的增加量 D．弹簧弹力对重物做的功等于重物机械能的增加量 【答案】A 【详解】AB． 设绳子末端的速度为，绳子与水平方向的夹角为。将点的速度沿绳子方向和垂直绳子方向分解，沿绳子方向的分速度即为绳子被拉出的速度，也就是重物上升的速度。根据运动的合成与分解可知 在点水平向右匀速运动的过程中，逐渐减小，逐渐增大，而不变，所以重物的速度逐渐增大，故A正确，B错误； CD．对重物进行受力分析，重物受到重力、绳子的拉力和弹簧的弹力。根据功能关系（除重力以外的其他力做的功等于物体机械能的变化量），有 其中为绳子拉力做的功，为弹簧弹力做的功，为重物机械能的增加量。在弹簧恢复原长的过程中，弹簧处于压缩状态并向上恢复，弹力方向向上，位移向上，所以弹簧弹力做正功，即 由上式可知 即绳子拉力对重物做的功小于重物机械能的增加量，同理， 由于拉力做正功 所以 即弹簧弹力对重物做的功小于重物机械能的增加量，故CD错误。 故选A。 考向二 杆端速度分解模型 例2 （25-26高三下·江西赣州·阶段检测）图甲为明代《天工开物》记载的“水碓”装置图，其简化原理图如图乙所示，水流冲击水轮，带动主轴（中心为）及拨板周期性拨动碓杆尾端，使碓杆绕转轴O逆时针转动，拨板脱离碓杆尾端后碓头B借重力下落，撞击臼中谷物。当图乙中主轴以恒定角速度转动至拨板与水平方向成30°时，，，此时碓头B的线速度v大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】拨板绕以角速度匀速转动，拨板上A点的线速度 线速度方向垂直于（圆周运动线速度沿切线方向）。 拨板上A点垂直碓杆（竖直方向）的分速度等于碓杆上A点的转动线速度。 已知与水平方向成，垂直，因此在垂直碓杆方向的分量为 同一杆上角速度相同，线速度与转动半径成正比。由题 可得 故选 B。 【变式训练1·变载体】（2026·江西·三模）某种窗户支架如图甲所示，其工作原理简化图如图乙所示。ad杆的a点通过铰链固定在滑槽导轨中，d点通过铰链固定在窗户底面，滑块可在滑槽导轨中自由滑动，bc杆的c点通过铰链固定在滑块上，b点通过铰链固定在ad杆上。某次关闭窗户的过程中，ad杆绕a点匀速转动，则下列说法正确的是（　　） A．点和点的速度大小可能相等 B．点的速度大小始终小于点的速度大小 C．点和点的加速度大小可能相等 D．点的加速度大小始终大于点的加速度大小 【答案】A 【详解】AB．b在ad杆上，速度方向垂直于ad杆；c在滑块上，速度沿水平滑槽方向。对杆bc，两端点沿杆方向的分速度大小相等。设ad与水平方向夹角为，bc与水平方向夹角为，由沿杆分速度相等，可得 关闭窗户过程中，、逐渐减小，当时，即时，有 说明b、c两点速度大小可能相等，不是点的速度大小始终小于点的速度大小。故A正确，B错误； CD．ad杆绕a点匀速转动，b、d都在ad杆上，二者角速度相同。匀速圆周运动的加速度为向心加速度，满足 转动半径的关系满足 因此恒成立，即点的加速度大小始终小于点的加速度大小，故CD错误。 故选A。 【变式训练2·新情景】（2025·广东广州·模拟预测）马刀锯是一种木匠常用的电动工具。其内部安装了特殊的传动装置，简化后如图所示，可以将电动机的转动转化为锯条的往复运动。电动机带动圆盘O转动，圆盘O上的凸起P在转动的过程中带动锯条左右往复运动。已知电动机正在顺时针转动，转速n=2400r/min，OP=2cm。某时刻OP与锯条运动方向的夹角θ=37°，下列说法正确的是（     ） A．此时锯条向右运动 B．此时锯条的速度大小约为5 m/s C．OP从图示位置转过30°的过程中，锯条的速度减小 D．锯条往复运动的周期是40s 【答案】A 【详解】转速 角速度， 点线速度： A．圆盘顺时针转动，点线速度沿圆周切线斜向右上，将沿平行锯条、垂直锯条分解，平行锯条分速度向右，因此锯条向右运动，A正确。 B．如图 锯条速度是沿锯条方向的分速度：，B错误。 C．从图示位置顺时针转过，变大、变大，变大，锯条速度增大，C错误。 D．周期 ，D错误。 故选A。 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）书法课上，某同学临摹“力”字时，笔尖的轨迹如图中带箭头的实线所示。笔尖由a点经b点回到a点，则（   ） A．该过程位移为0 B．该过程路程为0 C．两次过a点时速度方向相同 D．两次过a点时摩擦力方向相同 【答案】A 【详解】A．笔尖由a点经b点回到a点过程，初位置和末位置相同，位移为零，故A正确； B．笔尖由a点经b点回到a点过程，轨迹长度不为零，则路程不为零，故B错误； C．两次过a点时轨迹的切线方向不同，则速度方向不同，故C错误； D．摩擦力方向与笔尖的速度方向相反，则两次过a点时摩擦力方向不同，故D错误。 故选A 。 2．（2025·湖南·高考真题）如图，物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面，物块的水平位移、竖直位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、、表示。物块向上运动过程中，下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意可知，物块沿斜面向上做匀减速直线运动，设初速度为，加速度为大小，斜面倾角为 AB．物块在水平方向上做匀减速直线运动，初速度为，加速度大小为，则有 整理可得 可知，图像为类似抛物线的一部分，故AB错误； CD．物块在竖直方向上做匀减速直线运动，速度为，加速度大小为，则有 整理可得 可知，图像为类似抛物线的一部分，故C正确，D错误。 故选C。 3．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落，则v（   ） A．一直减小 B．一直增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】B 【详解】设两边绳与竖直方向的夹角为，塔块沿竖直方向匀速下落的速度为，将沿绳方向和垂直绳方向分解，将沿绳子方向和垂直绳方向分解，可得 解得 由于塔块匀速下落时在减小，故可知v一直增大。 故选B。 4．（2023·江苏·高考真题）达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】以漏下的沙子为参考系，罐子向右上角做匀加速直线运动（竖直方向上加速度为g，方向向上，水平方向上加速度为恒定加速度a，方向向右），加速度大小方向恒定，对于每一个瞬间落下的沙子都满足该条件，即任何时刻落下的沙子都在罐子的左下角且跟罐子的连线与水平线的夹角恒定，所以沙子排列的几何形为一条直线 选D。 5．（2021·辽宁·高考真题）1935年5月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。首支共产党员突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若河面宽300m，水流速度3m/s，木船相对静水速度1m/s，则突击队渡河所需的最短时间为（　　） A．75s B．95s C．100s D．300s 【答案】D 【详解】河宽一定，当木船船头垂直河岸时，在河宽方向上的速度最大，渡河用时最短，即木船相对静水的速度，渡河时间最短为 故选D。 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 曲线运动 运动的合成与分解 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 考点精讲·靶向突破 拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 曲线运动 知识点1 曲线运动条件及性质 知识点2 合外力与轨迹、速度间的关系分析思路 知识点3 合速率变化的判断 考向1 物体做曲线运动的条件 考向2 轨迹、速度与力的位置关系 考点二 运动的合成与分解 知识点1 运动的合成与分解 知识点2 合运动的性质和轨迹的判断 考向1 合运动与分运动的关系 考向2 合运动轨迹与性质的判断 【思维建模】 运动的合成与分解问题分析关键 考点三 小船渡河问题 知识点1合运动与分运动 知识点2两类问题、三种情境 考向1 最短时间渡河 考向2 最短渡河位移问题 【思维建模】 小船渡河的两类情况 考点四 关联速度模型 知识点1 模型特点 知识点2 分解思路及常见模型 考向1 绳端速度分解模型 考向2杆端速度分解模型 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 曲线运动的条件 运动的合成运分解 √ 考情分析 题型与考向：本讲内容在高考中属于基础热点内容，大多以选择题的形式出现，通常情况下难度不大,会以实际生活中的例子作为试题背景，考察对曲线运动、运动的合成与分解思想的理解，小船渡河重点考察最短时间和最短位移问题，绳杆速度分解重点考察瞬时速度关系（常考滑轮系统和杆端接触模型），近年创新考察牵连运动中的加速度分解，喜欢与其他章节（结合能量守恒）综合考查。 情境与立意： ①生活实践类：小船渡河，汽车牵引； ②学习探究类：小船渡河模型，绳、杆速度分解模型。 复习目标 1.知道曲线运动的条件。 2.掌握运动合成和分解的基本规律，并能够对小船渡河问题和关联速度模型做出正确的分析。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 考点精讲·靶向突破 ——拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 曲线运动 知识点1 曲线运动条件及性质 知●识●解●构 一、曲线运动 1、运动特点 ①速度方向：质点在某点的速度，沿曲线上该点的切线方向． ②运动性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻改变，所以曲线运动一定是变速运动。 曲线运动的速度： 切线的概念：如下图所示，过曲线上的 A、B 两点作直线，这条直线叫做曲线的割线。设想B点逐渐沿曲线向A点移动，这条割线的位置也就不断变化。当B点非常非常接近A点时，这条割线就叫做曲线在A点的切线。 当B点越来越靠近A点时，质点的平均速度方向将越来越接近 A 点的切线方向。当B点与A点的距离接近0时，质点在A点的速度方向沿过A点的切线方向。 曲线运动的性质： 质点在某一时刻(某一位置)速度的方向与这一时刻质点所在位置处的切线方向一致，故其速度的方向时刻改变；物体做曲线运动时，速度方向一定变化，但速度的大小不一定变化。 由于做曲线运动的物体的速度方向时刻在变化，不管速度大小是否变化，因为速度是矢量，物体的速度时刻在变化，所以曲线运动一定是变速运动，一定有加速度，但加速度不一定变化。 二、曲线运动的条件 1、动力学角度 物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上。 2、运动学角度 物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上。 3、运动性质的判断 ①直线运动或曲线运动的判断：看合力方向(或加速度的方向)和速度方向是否在同一直线上。 ②匀变速运动或非匀变速运动的判断：合力为恒力(或加速度恒定)，物体做匀变速运动；合力为变力(或加速度变化)，物体做非匀变速运动。 运动类型如下表所示： F(a)与v的方向 轨迹特点 加速度特点 运动性质 F(a)＝0 直线 a＝0 匀速直线运动 共线 a恒定 匀变速直线运动 a不恒定 非匀变速直线运动 不共线 曲线 a恒定 匀变速曲线运动 a不恒定 非匀变速曲线运动 得分速记： 曲线运动一定是变速运动(质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向，速度方向时刻在变） 知识点2 合外力与轨迹、速度间的关系分析思路 知●识●解●构 一、合外力与轨迹、轨迹的关系 1、速度方向、合力方向及运动轨迹三者的关系 做曲线运动的物体的轨迹与速度方向相切，夹在速度方向与合力方向之间。并向合力方向弯曲，也就是合力指向运动轨迹的凹侧。如下图所示： 2、速度大小的增减判断 ①当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大；②当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小；③当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。 知识点3 合速率变化的判断 知●识●解●构 一、合力方向与速度夹角的关系 ⚠特别提醒 【1】曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动。 【2】动力学角度这包含三个内容：①初速度不为零；②合力不为零；③合力方向与速度方向不共线。 【3】速度方向与运动轨迹相切；合力方向指向曲线的“凹”侧；运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。 考●向●破●译 考向1 物体做曲线运动的条件 例1 （25-26高三上·江苏常州·期末）水平桌面上有6块板拼成曲线轨道，俯视如图，小球从左侧以一定速度进入并沿轨道运动，最终离开轨道。现撤去三块板，小球仍能大致保持原运动轨迹，则撤去的板编号是（　　） A．1、3、5 B．2、4、6 C．1、4、5 D．2、3、6 【变式训练1·变载体】（24-25高三上·甘肃定西·期末）钱学森弹道中导弹在飞行过程中能突然改变速度、方向和高度，行踪难以被预测和追踪，极大地增加了拦截难度。如图所示，导弹运动到P点时，受力情况可能正确的是（　　） A．F1 B．F2 C．F3 D．F4 ▶新情境◀【变式训练2·日常情景结合】（25-26高三上·浙江杭州·阶段检测）如图为运动员刚从雪坡上腾空向前运动的照片，运动员此时（　　） A．受到重力与空气阻力的作用 B．受到重力和雪坡对他的作用 C．加速度方向与运动方向相同 D．速度方向与合外力方向相反 考向2 轨迹、速度与力的位置关系 例2 （2026·重庆沙坪坝·模拟预测）一辆汽车在水平公路上转弯，沿圆弧从 M 点向 N 点减速行驶，汽车转弯时所受合外力 F 的方向可能是（　 　） A． B． C． D． 【变式训练1·变考法】（2026·辽宁·一模）2025年9月的长春航展中，“红鹰”飞行表演队使用两架教练机上演“双机比心”的经典一幕。如图所示，两架飞机分别沿各自轨迹从a点运动到b点，则两架飞机在飞行过程中（　　） A．速度可能不变 B．加速度可能不变 C．两架飞机在b点的速度可能相同 D．两架飞机飞行的路程可能相同 【变式训练2·变考法】（2026·江苏南通·二模）如图所示是羽毛球从左往右飞行的轨迹图，图中为同一轨迹上等高的两点，为轨迹的最高点。则羽毛球（　　） A．在点的速度最小 B．在点的水平速度等于在点的水平速度 C．由到和由到两个阶段重力的冲量大小相等 D．在点水平方向的加速度大于在点水平方向的加速度 考点二 运动的合成与分解 知识点1 运动的合成与分解 知●识●解●构 1、基本概念 如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动。①运动的合成：已知分运动求合运动；②运动的分解：已知合运动求分运动． 2、合成与分解法则 运动的合成与分解是指位移、速度、加速度的合成与分解。其合成、分解遵循平行四边形定则。 3、合运动与分运动的关系 等时性：各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同； 等效性：各分运动的共同效果与合运动的效果相同； 同体性：各分运动与合运动是同一物体的运动； 独立性：各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响。 ⚠特别提醒 （1）物体实际运动的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度。 （2）对速度v进行分解时，不能随意分解，应按物体的实际运动效果进行分解。合速度可能比分速度大，也可能比分速度小，还可能和分速度大小相等。 知识点2 合运动的性质和轨迹的判断 知●识●解●构 分析两个直线运动的合运动的性质时，应先根据平行四边形定则，确定合运动的合初速度v0和合加速度a，然后进行判断： （1）匀变速运动和轨迹曲直的判断： 做曲线运动的物体的轨迹与速度方向相切，夹在速度方向与合力方向之间。并向合力方向弯曲，也就是合力指向运动轨迹的凹侧。 （2）互成角度的两个直线运动的合运动性质和轨迹的判断 分运动 合运动 矢量图 条件 两个匀速直线运动 匀速直线运动 a＝0 一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 a与v成α角 两个初速度为零的匀加速直线运动 初速度为零的匀加速直线运动 v0＝0 两个初速度不为零的匀加速直线运动 匀变速直线运动 a与v方向相同 匀变速曲线运动 a与v成α角 得分速记 有关运动的合成和分解的三点提醒 (1)由运动的合成与分解知识可知，合运动的位移、速度、加速度是各分运动的位移、速度、加速度的矢量和。 (2)恒力作用下物体的匀变速曲线运动可分解为沿力的方向的匀变速直线运动和垂直于力的方向的匀速直线运动。 (3)两个相互垂直方向的分运动具有等时性，这常是处理运动分解问题的关键点。 考●向●破●译 考向一 合运动与分运动的关系 例1（24-25高三上·黑龙江·学业考试真题）如图，某人站在自动扶梯上随扶梯一起匀速上行，扶梯与水平面的夹角为30°，速度v=1m/s，将速度v沿水平和竖直方向分解，则竖直方向的分速度大小是（　　） A．0 B．0.5m/s C．1m/s D．2m/s 【变式训练1·变载体】（24-25高三下·河南·期中）深圳大疆公司是全球知名的无人机生产商，生产的无人机在各行各业中得到了广泛应用。一测试员应用无人机搭载的加速度传感器进行飞行测试。图甲是在测试软件中设定的x、y、z轴的正方向，其中z轴沿竖直方向，无人机开始时沿y轴正方向匀速飞行，从t=0时刻开始测试员进行变速操作，软件生成了x、y、z轴方向的（加速度－时间）图像如图乙所示，则下列说法正确的是（　　） A．0~1s无人机处于失重状态 B．0~1s沿x轴方向无人机做减速动 C．1s~2s沿y轴方向无人机做加速动 D．1s~2s沿z轴方向无人机做加速动 【变式训练2·变载体】（24-25高三上·浙江绍兴·阶段检测）如图所示，内壁光滑、两端开口的圆筒在竖直方向上固定，一小球从圆筒上端紧贴筒壁沿切线方向水平射入，关于小球在圆筒内运动的情况，下列说法正确的是（　　） A．小球在运动过程中所受弹力大小保持不变 B．若增大圆筒的半径，小球的运动可能会脱离圆筒内壁 C．若增大小球入射速度，小球在圆筒内的运动时间将增大 D．若减小小球入射速度，小球从圆筒下端射出时重力的瞬时功率将减小 考向二 合运动轨迹与性质的判断 例2（2024·广东佛山·二模）（多选）如图所示，在一条玻璃生产线上，宽3m的待切割玻璃板以0.4m/s的速度向前匀速平移。在切割工序处，金刚石切割刀的移动速度为0.5m/s，下列说法正确的是（　　） A．切割一块矩形玻璃需要10s B．切割得到的矩形玻璃长为2.4m C．切割刀的移动轨迹与玻璃板平移方向夹角为37°，可使割下的玻璃板呈矩形 D．切割刀的移动轨迹与玻璃板平移方向夹角为143°，可使割下的玻璃板呈矩形 【思维建模】 运动的合成与分解问题分析关键 （1）分析运动的合成与分解问题时，一般情况下按运动效果进行分解。 （2）分析物体在两个方向上的受力及运动规律，要注意分别在两个方向上列式求解。 （3）两个方向上的分运动具有等时性，这往往是处理运动分解问题的关键点。 （25-26高三下·云南·开学考试）如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个由蜡做成的小圆柱体R。R从坐标原点以的速度沿y轴正方向匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速度为0的匀加速直线运动。测出某时刻R的坐标为。下列说法正确的是（　　） A．R在坐标为处的速度为10cm/s B．R在坐标为处的速度为8cm/s C．R的加速度为 D．R的运动轨迹为直线 （2026·重庆沙坪坝·三模）某工厂的产品分拣中心有两条水平放置的传送带，其简化图如题图所示。传送带1、2分别以和的速度稳定运行，已知产品在传送带1上均能加速到，然后平滑地滑上传送带2，且不会从传送带2的右侧滑出。若产品与传送带发生相对运动，会在传送带上留下痕迹，则产品在传送带2上留下的痕迹可能是（　　） A． B． C． D． 考点三 小船渡河问题 知识点1 合运动与分运动 知●识●解●构 1、模型特点 小船在河流中实际的运动可视为船同时参与了这样两个分运动：①船在静水中的运动，它的方向与船身的指向相同；②水流的运动(即速度等于水的流速)，它的方向与河岸平行。 知识点2 两类问题、三种情境 知●识●解●构 模型解读 分运动1 分运动2 合运动 运动 船相对于静水的划行运动 船随水漂流的运动 船的实际运动 速度本质 发动机给船的速度 水流给船的速度 船相对于岸的速度 速度方向 沿船头指向 沿水流方向 合速度方向,轨迹(切线)方向 渡河时间最短情景 　①渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关,与水流速度无关。 　②渡河时间最短:船头正对河岸时,渡河时间最短, (d为河宽)。 渡河位移最短情景 　①若v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，且xmin＝d 　②若v船<v水，合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，且xmin＝＝ ⚠特别提醒 利用正交分解法求解该模型 将船相对于水的速度沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解，如图所示，则为船实际沿水流方向的速度，vcsinθ为船垂直于河岸方向的运动速度。 ①要使船垂直渡河，则应使vs-vccosθ = 0，此时cosθ =（船头方向与上游河岸夹角θ的余弦值为）渡河位移最小为d。 ②要使渡河时间最短，则应使vcsin θ最大，即当θ = 90°（船头方向与河岸垂直）时，渡河时间最短，t =。 考●向●破●译 考向一 最短时间渡河 例1 （2026·辽宁抚顺·模拟预测）某人在河边发现一名落水者。他奋不顾身地快速游到落水者身边，并拖动落水者以的恒定速率游向岸边，若当时河水流速恒为，落水点距河岸的垂直距离为60m，则某人和落水者最快到达岸边所需要的时间约为（　　） A．75s B．120s C．100s D．200s 【变式训练1·解决实际问题】（24-25高三上·江苏·开学考试）小船匀速渡河，已知船在静水中的速度为，水流速度，河宽为，已知在渡河过程中船头方向保持不变，小船渡河时间为，则以下判断一定正确的是（　　） A．小船恰好垂直到达河对岸 B．船头方向与河岸的夹角的正切值为0.75 C．小船到达对岸时一定在出发点上游处 D．调整船头的方向，最短的渡河时间为 【变式训练2·变载体】（25-26高三上·安徽·期末）如图所示，河的宽度为，虚线与河岸的夹角为，两次渡河小船的船头均沿着虚线指向河的上游，第一次航程由指向，第一次渡河小船在静水中的速度为，第二次航程由指向。已知与河岸垂直，与河岸的夹角为，水流的速度保持不变，、，下列说法正确的是（　　） A．水流的速度为 B．第一次渡河的时间 C．第二次渡河船在静水中的速度为 D．第二次渡河船的实际速度为 考向二 最短渡河位移问题 例2 （25-26高三上·河南南阳·期末）如图所示，一轮船在河岸的两码头A、B间运送货物，A、B连线与河岸夹角为53°。由A到B过程中，船头正对河岸，轮船相对静水的速度大小恒为；返回时（即由B到A）所用时间与去时相同，轮船相对静水的速度大小恒为，水速恒定不变，则（　　） A． B． C． D． 【变式训练1·解决实际问题】（2025·湖北·模拟预测）如图所示，两平行河岸的间距为d，水稳定沿着河岸流动，一条小船从河岸渡到河对岸，船在静水中的速度（为已知量）指向河的上游与河岸的夹角为37°，船速（即合速度）（为未知量）指向河的下游与河岸的夹角也为37°，水流的速度（为未知量），，，下列说法正确的是（   ） A．船速 B．水速 C．小船被冲向下游的距离为 D．小船渡河的时间为 【变式训练2·变载体】（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）如图所示，一条小船位于200m宽的河的正中A点处，从这里向下游100m处有一危险区，当时水流速度为4m/s，为了使小船避开危险区到达对岸，则小船在静水中的速度至少是（　　） A．2m/s B．2m/s C．4m/s D．4m/s 【思维建模】 小船渡河的两类情况 最短时间 最短航程 v船>v水 v船<v水 tmin= lmin=d，cos θ= lmin=d·，cos θ= 考点四 关联速度模型 知识点1 模型特点 知●识●解●构 关联体一般是两个或两个以上由轻绳或轻杆联系在一起，或直接挤压在一起的物体，它们的运动简称为关联运动。一般情况下，在运动过程中，相互关联的两个物体不是都沿绳或杆运动的，即二者的速度通常不同，但却有某种联系，我们称二者的速度为“关联”速度。 与绳或杆连接的物体速度方向与绳或杆所在的直线不共线。 绳或杆的长度不变，绳或杆两端的物体沿绳或杆方向的分速度相等。 知识点2 分解思路及常见模型 知●识●解●构 1、分析思路 合速度：物体实际运动的方向就是合运动的方向，即合速度的方向； 分速度：沿绳或杆的速度和与绳或杆垂直的速度。 2、常见的模型分解 情景图示 结论 总结 v＝v物cos θ 沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。 v物′＝v∥＝v物cos θ v∥＝v∥′ 即v物cos θ＝v物′cos α v∥＝v∥′ 即v物cos α＝v物′cos β 得分速记 该类模型的特点是沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。 考●向●破●译 考向一 绳端速度分解模型 例1 （2026·广东中山·三模）如图所示，半径为R的滑轮1可绕水平转轴O转动，直手柄AO固定在滑轮1上，手柄端点A到转轴O的距离为L。工人转动手柄，拉动纤绳牵引小船向岸边运动，纤绳跨过半径可忽略的滑轮2，且与滑轮间无相对滑动。当连接小船的纤绳与水平方向夹角为θ时，A点线速度大小为v0，此时船的速度v为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1·与日常生活结合】（2026·内蒙古赤峰·一模）图甲是某体能训练器械，图乙是简化示意图，不计绳子和滑轮的质量，忽略空气阻力和一切摩擦。训练者用手拉着绳子使末端Q水平向右匀速运动，直到弹簧恢复原长的过程中（   ） A．重物的速度增大 B．重物的速度减小 C．绳子拉力对重物做的功等于重物机械能的增加量 D．弹簧弹力对重物做的功等于重物机械能的增加量 考向二 杆端速度分解模型 例2 （25-26高三下·江西赣州·阶段检测）图甲为明代《天工开物》记载的“水碓”装置图，其简化原理图如图乙所示，水流冲击水轮，带动主轴（中心为）及拨板周期性拨动碓杆尾端，使碓杆绕转轴O逆时针转动，拨板脱离碓杆尾端后碓头B借重力下落，撞击臼中谷物。当图乙中主轴以恒定角速度转动至拨板与水平方向成30°时，，，此时碓头B的线速度v大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1·变载体】（2026·江西·三模）某种窗户支架如图甲所示，其工作原理简化图如图乙所示。ad杆的a点通过铰链固定在滑槽导轨中，d点通过铰链固定在窗户底面，滑块可在滑槽导轨中自由滑动，bc杆的c点通过铰链固定在滑块上，b点通过铰链固定在ad杆上。某次关闭窗户的过程中，ad杆绕a点匀速转动，则下列说法正确的是（　　） A．点和点的速度大小可能相等 B．点的速度大小始终小于点的速度大小 C．点和点的加速度大小可能相等 D．点的加速度大小始终大于点的加速度大小 【变式训练2·新情景】（2025·广东广州·模拟预测）马刀锯是一种木匠常用的电动工具。其内部安装了特殊的传动装置，简化后如图所示，可以将电动机的转动转化为锯条的往复运动。电动机带动圆盘O转动，圆盘O上的凸起P在转动的过程中带动锯条左右往复运动。已知电动机正在顺时针转动，转速n=2400r/min，OP=2cm。某时刻OP与锯条运动方向的夹角θ=37°，下列说法正确的是（     ） A．此时锯条向右运动 B．此时锯条的速度大小约为5 m/s C．OP从图示位置转过30°的过程中，锯条的速度减小 D．锯条往复运动的周期是40s 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）书法课上，某同学临摹“力”字时，笔尖的轨迹如图中带箭头的实线所示。笔尖由a点经b点回到a点，则（   ） A．该过程位移为0 B．该过程路程为0 C．两次过a点时速度方向相同 D．两次过a点时摩擦力方向相同 2．（2025·湖南·高考真题）如图，物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面，物块的水平位移、竖直位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、、表示。物块向上运动过程中，下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落，则v（   ） A．一直减小 B．一直增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 4．（2023·江苏·高考真题）达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是（　　） A．   B．   C．   D．   5．（2021·辽宁·高考真题）1935年5月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。首支共产党员突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若河面宽300m，水流速度3m/s，木船相对静水速度1m/s，则突击队渡河所需的最短时间为（　　） A．75s B．95s C．100s D．300s 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $