精品解析：北京市中国人民大学附属中学航天城学校2025—2026学年九年级下学期5月中考模拟数学试题

初三数学模拟 一、选择题（本题共16分，每题2分） 1. 如图所示几何体的主视图是图中的（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 找到从正面所得到的图形即可． 【详解】解∶从正面可看到，可得图形 故选∶D． 2. 目前所知病毒中最小的是一级口蹄疫病毒，它属于微核糖核酸病毒科鼻病毒属，其最大颗粒直径为纳米，即米，将化成科学记数法为（       ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，解题关键是熟悉科学记数法一般形式． 根据科学记数法一般形式求解．科学记数法一般形式为，，是正整数． 【详解】解：， 故选：D． 3. 如图，，与相交于点E，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，先利用平行线的性质可得：，然后利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 4. 如图，有三张硬纸片，背面相同，正面分别涂成两红一绿，现把三张硬纸片背面朝上，放在一起，洗匀后，从中任意抽取两张，其中一张是红牌和一张是绿牌的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片一张是红牌和一张是绿牌的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 红 红 绿 红 （红，红） （红，绿） 红 （红，红） （红，绿） 绿 （绿，红） （绿，红） 共有6种等可能的结果，其中抽取的两张卡片一张是红牌和一张是绿牌的结果有4种， ∴一张是红牌和一张是绿牌的概率是． 故选：D． 5. 如图，，是数轴上的两个数，则可能是（ ） A. B. 0 C. 0.5 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，有理数的减法运算，根据数轴可知，进而可得出，结合选项即可得出答案． 【详解】解：根据数轴可知：， ∴， 故符合题意， 故选：A 6. 如图，线段，，是一个正多边形的三条边，延长，交于点M，若，则这个正多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正八边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形的外角，三角形内角和定理和等边对等角，正确记忆相关知识点是解题的关键．由该多边形内角都相等可知该多边形的外角也都相等，先算出外角再计算边数即可． 【详解】解：由该多边形内角都相等可知该多边形的外角也都相等， ， ， ， 则该正多边形的边数为， ∴这个正多边形是正八边形． 故选：D． 7. 要求只用圆规来验证纸片的两边是否平行，现有甲、乙两种方案如图1和图2． 甲 乙 ①直线上任取一点A，以点A为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点B；②以点P为圆心，以的长为半径作弧；以点A为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点C；③作直线，则 ①沿折叠纸片，使和重合，和重合，交于点F； ②用圆规比较的长度，若，则． 对于两个方案，说法正确的是（ ） A. 只有甲方案可行 B. 只有乙方案可行 C. 甲、乙方案都可行 D. 甲、乙方案都不可行 【答案】C 【解析】 【分析】根据尺规作图、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定定理可判定方案甲；运用折叠的性质和平行线的判定可判定方案乙． 【详解】解：甲方案：如图：连接, 由作图得，， ∵, ∴, ∴, ∴，即，故甲方案可行； 乙方案由折叠可知， ∵， ∴， ∴， ∴，故乙方案可行． 综上，甲、乙方案均可行． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的动点，点在轴上，，以，为边的平行四边形的边交该函数的图象于点，连接，． 给出下面四个结论： ①四边形可能是菱形； ②的面积始终等于； ③点可能是的中点； ④不可能是直角三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①④ 【答案】A 【解析】 【分析】对于①，取，容易证明四边形是菱形；对于②，作于点，由的几何意义可得，，由等腰三角形的性质可得，结合等积变形可得为定值；对于③，设点的坐标为，利用平行四边形的性质和等腰三角形的性质可计算出的中点坐标为，由可判断的中点不在双曲线上；对于④，取，容易证明此时，再取，此时，因此必定存在的时刻． 【详解】解：对于①，当时，四边形是菱形，证明如下： ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故①正确； 对于②，如图，作于点， 由反比例函数比例系数的几何意义可知，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴为定值，故②正确； 对于③，设点的坐标为， ∴，， ∴点的坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴点的坐标为， 由中点公式可得，的中点坐标为， ∵， ∴的中点不在反比例函数的图象上， ∴点不可能是的中点，故③错误； 对于④，当，如图，取的中点，连接， 由①可知，四边形是菱形， ∴，，， ∴是等边三角形， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 由③可知，点的坐标为， ∵， ∴点在反比例函数的图象的上方， ∴， ∴，即， 当时， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴在点移动的过程中，必然存在一个时刻，使得， ∴可能是直角三角形，故④错误； 综上，正确的结论为①②． 二、填空题（本题共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式的二次根式有意义的条件，分式有意义的条件即可求出的范围，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 分解因式：ab2﹣4ab+4a=________． 【答案】a（b﹣2）2 【解析】 【详解】ab2﹣4ab+4a =a（b2﹣4b+4） =a（b﹣2）2 故答案为a（b﹣2）2． 11. 一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： （1）估计摸一次球能摸到黑球的概率是____________（精确到0.1），袋中黑球的个数约为____________只； （2）若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了____________个黑球． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】（1）利用频率估计概率，再根据概率公式求出黑球的个数即可； （2）根据频率估计概率，设后来放进了个黑球，根据概率公式列出方程进行求解即可． 【详解】解：（1）由图可知，估计摸一次球能摸到黑球的概率是， 故袋中黑球的个数约为（只）； （2）由题意，放入一些黑球后，摸出黑球的概率为， 设后来放进了个黑球，则， 解得， 则小明后来放进了25个黑球． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式及方程有两个相等的实数根，即可求得． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为： 13. 能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为_______，_______． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. 1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了命题与定理、反证法等知识点，掌握判断一个命题是假命题的时候可以举出反例是解题的关键． 根据举反例的方法找到a，b满足，但是不满足即可解答． 【详解】解：当，时，，但是． 故答案为：，1（答案不唯一）． 14. 如图，、分别与相切于、两点，点为劣弧上一点，过点的切线分别交、于、两点，若，的周长为，则的半径长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，由切线长定理可得，，，则的周长等于与之和，从而得到．容易证明，则，使用三角函数计算出即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵、分别与相切于、两点，与相切于点， ∴，，，，， ∴， ∵的周长为，即， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴的半径长为． 15. 如图，在矩形中，，点E为延长线一点，且．连接交边于点F，过点D作于点H，则的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定与性质求得线段的长，进而求得的长，利用勾股定理和三角形的面积公式列出关于的方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，． ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴． ∴， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 16. 某校航模小组的同学正在为即将开始的航模比赛做最后的准备．已知准备工作共有A，B，C，D，E，F，G，H，M，N十项工序，准备工作完成过程需要满足以下要求： （1）H只能在A、B、C工序均完成后才能完成； （2）M只能在C、D、E工序均完成后才能完成； （3）其余每项工序相互独立，之间没有干扰； （4）一项工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序．各项工序所需时间如表所示： 工序 A B C D E F G H M N 所需时间/分钟 18 15 16 6 7 5 8 3 2 3 在不考虑其他因素的前提下，若由若干名学生合作完成准备工作，至少需要______分钟才能全部完成；若要在最短的时间内合作完成准备工作，则最少需要______名学生共同参与． 【答案】 ①. 21 ②. 4 【解析】 【分析】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据工序要求得出加工顺序是解题的关键． 将所有工序需要的时间最少时间由最长工序时间决定，完成过程需要满足条件可知：可知需要先完成A，再完成H；然后再合理安排其他时间即可． 【详解】解：由题意得：可知需要先完成A，再完成H，完成时长为（分钟）；若要在最短的时间内合作完成准备工作，需要四名学生，具体安排如下 图： 故答案为：21，4． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21-23题每题5分，第24-26题每题6分，第27-28题每题7分）． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据零指数幂，负整数指数幂，二次根式的性质化简，特殊角的三角函数值进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集． 【详解】解：∵ ∴解不等式①，得， 不等式②，去分母，得， 去括号，得， 移项，整理，得， 故不等式的解集为， ∵且， ∴不等式组的解集为． 19. 先化简：，再从，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值． 【详解】解： ， ， ， 当时，． 20. 如图，在中，，点为中点，过点分别作的平行线，相交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明：由题意得， 四边形是平行四边形， ，点为中点， ，即， 四边形为矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平行四边形的判定，证明四边形是平行四边形，再根据矩形的判定，证明即可； （2）根据矩形的性质，三角函数，及勾股定理即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为矩形， ， ∵点为中点， 在中，， 解得： 在中，， 故的长为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握定理与性质是解题的关键． 21. 我国的传统佳节端午节，历来有吃“粽子”的习俗，某食品加工厂拥有A、B两条不同的粽子生产线，原计划A生产线每小时加工粽子400个，B生产线每小时加工粽子500个． （1）若生产线A，B一共加工12小时，且生产粽子总数量不少于5500个，则B生产线至少加工多少小时？ （2）原计划A，B生产线每天均工作8小时，由于受其它原因影响，在实际生产过程中，A生产线每小时比原计划少生产100a个（a>0），B生产线每小时比原计划少生产100个，为了尽快将粽子投放到市场，A生产线每天比原计划多工作2a小时，B生产线每天比原计划多工作a小时，这样一天恰好生产粽子6400个，求a的值． 【答案】（1）B生产线至少加工7小时；（2）a的值为2 【解析】 【分析】（1）设B生产线加工生产x小时，则A生产线加工生产（12-x）小时，根据生产粽子总数量不少于5500个，列出不等式解决问题； （2）利用A、B生产线一天生产的总数量的和是6400个列出方程解决问题． 【详解】（1）解：设B生产线加工x小时，则A生产线加工（）小时． ， 解得． 答：B生产线至少加工7小时． （2） 整理得，， 解得（不符合题意，舍去） ∴a的值为2 【点睛】此题考查一元一次不等式，一元二次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系，列出方程或不等式解决问题是关键． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数（）的图像由函数的图像平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）已知一次函数的图像与正比例函数（）的图像交于点M，与一次函数的图像交于点N．当点M，N位于y轴两侧时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先确定点M，N的横坐标，结合“点M，N位于y轴两侧”可知点M，N的横坐标异号，即，然后建立关于的不等式组并求解，即可获得答案． 【小问1详解】 解：依据题意，得， 解得， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 由（1）可知，一次函数的解析式为， 联立与， 可得，解得， 联立与， 可得，解得， ∵点M，N位于y轴两侧，即两点横坐标异号， ∴， ∴，整理可得， ∴或， 解不等式组，可得， 解不等式组，该不等式无解， ∵， ∴或． 23. 第届冬季奥林匹克运动会，又称年北京冬奥会，将于年月日至月日，在北京市和张家口市同时举行，为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，小冬从初中三个年级各随机抽取人，进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了相关信息： 名同学冬奥知识测试成绩的统计图如图： 名同学冬奥知识测试成绩的频数分布直方图如图（数据分成组：，，，，，）： 测试成绩在这一组的是：． 小明的冬奥知识测试成绩为分． 根据以上信息，回答下列问题： （1）小明的测试成绩在抽取的名同学的成绩中从高到低排名第______； （2）抽取的名同学的成绩的中位数为______； （3）序号为的学生是七年级的，他们的成绩的方差为记；序号为的学生是八年级的，他们的成绩的方差记为，序号为的学生是九年级的，他们的成绩的方差记为，则，，的大小关系是______； （4）成绩分及以上记为优秀，若该校初中三个年级名同学都参加测试，估计成绩优秀的同学约为______人． 【答案】（1）5 （2）74 （3） （4）140 【解析】 【分析】（1）根据图由大到小数即可得出结论； （2）根据中位数的定义，可以得到结论； （3）根据方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大可得出结论； （4）由图可知，成绩在分以上的有人，总占比，再乘总人数即可得出结论． 【小问1详解】 在30名同学冬奥知识测试成绩的统计图中画出成绩为85分的水平线，如下图： 由图可知：小明的成绩是，位于第名； 故答案为：； 【小问2详解】 抽取的人数为， ∵，，，，，的人数分别为：人，人，人，人，人，人； 即中位数落在的范围内， 又∵的范围内的成绩为：70，73，74，74，75，75，77，78， ∴中位数是第和第个分数的平均数， ∴中位数为， 故答案为：； 【小问3详解】 为便于观察，画出年级分隔先，如图， ∵方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大， 由上图可知，八年级数据波动最大，九年级波动最小， ∴， 故答案为：； 【小问4详解】 由直方图可知，成绩在分以上的有人，总占比， 即：（人）， 故答案为：． 【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，涉及中位数，方差，用样本估计总体等知识．利用统计图获取信息时，必须认真观察．分析．研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 24. 如图，在中，，为边上的点，以为直径作交于点，连接并延长交于点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）． 【解析】 【分析】（）连接，由得，进而得，又由得，即可由得到，据此即可求证； （）由得，即可得，得到，进而得，，，连接，证明，得到，据此即可求解； 此题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，切线的判定定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴ ∴连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 某实验室在温度下培育一种植物幼苗，该种幼苗在此温度范围下的生长速度相同，现为了提高其生长速度，研究人员配制了一种营养素，在开始培育幼苗时添加到培育容器中，研究其对幼苗生长速度的影响．研究发现，使用一定量的营养素，会促进该种幼苗的生长速度，营养素超过一定量时，则会抑制幼苗的生长速度，并且在范围内的不同温度下，该种幼苗所能达到的最大生长速度相同． 经过进一步实验，获得了和温度下营养素用量与幼苗生长速度的部分数据如表所示：设营养素用量为毫克，温度下幼苗生长速度为毫米天，温度下幼苗生长速度为毫米天． （1）在不使用营养素时，该种幼苗的生长速度为__________毫米天； （2）根据表中数据，发现，都可近似看作的函数．在平面直角坐标系中，补全表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点； （3）结合函数图象，回答下列问题： 在温度下，使用约___________毫克的营养素时，该种幼苗生长速度最快；此时，温度下该种幼苗生长速度比温度下该种幼苗生长速度快__________毫米天（结果保留小数点后两位）； 当该种幼苗的生长速度在和温度下均不低于毫米天时，营养素用量的取值范围为__________（结果保留小数点后两位）． 【答案】（1） （2）描点，用平滑的曲线连接，得到的函数图象如下： （3），； 【解析】 【分析】（1）不使用营养素，即时，的值； （2）描点，连线即可； （3）看的最高点对应的的值即为该种幼苗生长速度最快时所需要的营养素用量的毫克数，看此时的值即为温度下该种幼苗生长速度比温度下该种幼苗生长速度快多少毫米天；看、同时时，所对应的自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：由表格可知： 当不使用营养素，即时，对应的值为， 即此时该种幼苗的生长速度为毫米天， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在温度下，直线与的交点为的最高点，此时该种幼苗生长速度最快，其所对应的营养素用量约为毫克；此时，直线与的交点比直线与的交点高约，表明温度下该种幼苗生长速度比温度下该种幼苗生长速度快毫米天， 故答案为：，； 当该种幼苗的生长速度在和温度下均不低于毫米天时，图象为直线及直线以上的部分，此时对应的自变量的取值范围为， 故答案为：． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）用含的式子表示； （2）若，点，（）在该抛物线上，求的长； （3）记抛物线与轴的交点为，点在抛物线上，分别过点作轴、直线的垂线，交直线于点，，是上一点，且，过点作交于点．已知当时，的长随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，通过移项化简直接用含的式子表示出； （2）代入得到具体抛物线解析式，令解一元二次方程，用较大根减去较小根即可得到的长度； （3）先求出直线的解析式，分类讨论点与点的上下位置关系，利用角和相似三角形将转化为关于的二次函数，再根据二次函数的增减性结合给定区间列不等式求解的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得抛物线为 将代入中， 得， ∵点，在该抛物线上， ∴将代入中， 得， 解得，， ∴； 【小问3详解】 解：将代入中，得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 如图①，过点作轴于点，则，，， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 当时，如解图①， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可得抛物线， ∵点的横坐标为，且在抛物线上， ∴， ∵轴， ∴点的横坐标为， ∵点在直线上， ∴， ∵点在点上方， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴抛物线开口向下，当时，的长随的增大而增大， 又∵当时，的长随的增大而增大， ∴， 解得， ∴， 当时，如解图②， 同理可得， ∵点在点上方， ∴ ， ∴， ∵， ∴该抛物线开口向上，对称轴为，则当时，随的增大而增大， ∵，即时，随的增大而增大， ∴不能满足全部在的范围内，故此情况不存在， 综上所述，的取值范围为． 27. 如图，在Rt中，，点为边上一点，．点为线段中点，将射线绕点逆时针旋转，与线段交于点，在线段上截，连接，与线段交于点，连接． （1）如图1，若，，证明：点是线段的中点； （2）如图2，将射线绕点逆时针旋转，与射线交于点，判断线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】（1）先求出以及证明是直角三角形，则由直角三角形的性质即可证明； （2）过点作于点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质证明点在以为直径的上，然后证明，再证明为的中位线即可． 【小问1详解】 证明：如图： ∵， ∴ ∵ ∴ 由旋转可得， ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点是线段的中点； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， 由旋转可得，， ∴ ∴ 过点作于点，连接， ∵点为线段的中点，，， ∴ ∴点在以为直径的上， ∴， 由旋转得， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点共圆， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，P为外一点．给出如下定义：以线段为对角线作矩形，若点M在内或上，点N在外，则称矩形是点P的“圆伴矩形”． 例如，图1中的矩形是点P的一个“圆伴矩形”． （1）已知矩形是点A的“圆伴矩形”且点N在外， ①若点A的坐标为且点M在上，则矩形的面积是__________； ②若点A的坐标为，则点N的横坐标t的取值范围是__________； （2）已知，直线与x轴，y轴分别交于点C，D．若线段上存在点N，使得矩形是点B的“圆伴矩形”（点在外），直接写出b的取值范围． 【答案】（1）①2；② （2）或 【解析】 【分析】（1）根据新定义画出图形计算即可； （2）分和两种情况，然后根据题意画出图形计算出最大值和最小值即可解题． 【小问1详解】 ①如图，由题可得点M坐标为， 即 ∴矩形的面积是； ②如图，以为直径作圆，则点，在圆上， 又∵点M在内或边上， ∴， 当时，过点N作轴于点B， ∵，即， 解得：， ∴； ∴点N的横坐标t的取值范围是； 【小问2详解】 解：若，当，最小， 当点N在x轴负半轴上时，b值最小，这时， ∴点N的坐标为， 代入可得：； 当时，值最大， 令，则，解得：， ∴， 当时，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即， 由于这时矩形不存在，故取不到， 故b的取值范围为 当时，由对称性可得， ∴b的取值范围为或． 【点睛】本题考查矩形的性质，新定义，圆的切线的性质，勾股定理，三角函数，一次函数能根据题意找准临界位置是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学模拟 一、选择题（本题共16分，每题2分） 1. 如图所示几何体的主视图是图中的（　　） A. B. C. D. 2. 目前所知病毒中最小的是一级口蹄疫病毒，它属于微核糖核酸病毒科鼻病毒属，其最大颗粒直径为纳米，即米，将化成科学记数法为（       ） A. B. C. D. 3. 如图，，与相交于点E，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，有三张硬纸片，背面相同，正面分别涂成两红一绿，现把三张硬纸片背面朝上，放在一起，洗匀后，从中任意抽取两张，其中一张是红牌和一张是绿牌的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，是数轴上的两个数，则可能是（ ） A. B. 0 C. 0.5 D. 1 6. 如图，线段，，是一个正多边形的三条边，延长，交于点M，若，则这个正多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正八边形 7. 要求只用圆规来验证纸片的两边是否平行，现有甲、乙两种方案如图1和图2． 甲 乙 ①直线上任取一点A，以点A为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点B；②以点P为圆心，以的长为半径作弧；以点A为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点C；③作直线，则 ①沿折叠纸片，使和重合，和重合，交于点F； ②用圆规比较的长度，若，则． 对于两个方案，说法正确的是（ ） A. 只有甲方案可行 B. 只有乙方案可行 C. 甲、乙方案都可行 D. 甲、乙方案都不可行 8. 如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的动点，点在轴上，，以，为边的平行四边形的边交该函数的图象于点，连接，． 给出下面四个结论： ①四边形可能是菱形； ②的面积始终等于； ③点可能是的中点； ④不可能是直角三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①④ 二、填空题（本题共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 10. 分解因式：ab2﹣4ab+4a=________． 11. 一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： （1）估计摸一次球能摸到黑球的概率是____________（精确到0.1），袋中黑球的个数约为____________只； （2）若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了____________个黑球． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是_________． 13. 能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为_______，_______． 14. 如图，、分别与相切于、两点，点为劣弧上一点，过点的切线分别交、于、两点，若，的周长为，则的半径长为__________． 15. 如图，在矩形中，，点E为延长线一点，且．连接交边于点F，过点D作于点H，则的面积为_________． 16. 某校航模小组的同学正在为即将开始的航模比赛做最后的准备．已知准备工作共有A，B，C，D，E，F，G，H，M，N十项工序，准备工作完成过程需要满足以下要求： （1）H只能在A、B、C工序均完成后才能完成； （2）M只能在C、D、E工序均完成后才能完成； （3）其余每项工序相互独立，之间没有干扰； （4）一项工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序．各项工序所需时间如表所示： 工序 A B C D E F G H M N 所需时间/分钟 18 15 16 6 7 5 8 3 2 3 在不考虑其他因素的前提下，若由若干名学生合作完成准备工作，至少需要______分钟才能全部完成；若要在最短的时间内合作完成准备工作，则最少需要______名学生共同参与． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21-23题每题5分，第24-26题每题6分，第27-28题每题7分）． 17. 计算：． 18. 解不等式组 19. 先化简：，再从，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 20. 如图，在中，，点为中点，过点分别作的平行线，相交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）连接，若，求的长． 21. 我国的传统佳节端午节，历来有吃“粽子”的习俗，某食品加工厂拥有A、B两条不同的粽子生产线，原计划A生产线每小时加工粽子400个，B生产线每小时加工粽子500个． （1）若生产线A，B一共加工12小时，且生产粽子总数量不少于5500个，则B生产线至少加工多少小时？ （2）原计划A，B生产线每天均工作8小时，由于受其它原因影响，在实际生产过程中，A生产线每小时比原计划少生产100a个（a>0），B生产线每小时比原计划少生产100个，为了尽快将粽子投放到市场，A生产线每天比原计划多工作2a小时，B生产线每天比原计划多工作a小时，这样一天恰好生产粽子6400个，求a的值． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数（）的图像由函数的图像平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）已知一次函数的图像与正比例函数（）的图像交于点M，与一次函数的图像交于点N．当点M，N位于y轴两侧时，直接写出m的取值范围． 23. 第届冬季奥林匹克运动会，又称年北京冬奥会，将于年月日至月日，在北京市和张家口市同时举行，为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，小冬从初中三个年级各随机抽取人，进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了相关信息： 名同学冬奥知识测试成绩的统计图如图： 名同学冬奥知识测试成绩的频数分布直方图如图（数据分成组：，，，，，）： 测试成绩在这一组的是：． 小明的冬奥知识测试成绩为分． 根据以上信息，回答下列问题： （1）小明的测试成绩在抽取的名同学的成绩中从高到低排名第______； （2）抽取的名同学的成绩的中位数为______； （3）序号为的学生是七年级的，他们的成绩的方差为记；序号为的学生是八年级的，他们的成绩的方差记为，序号为的学生是九年级的，他们的成绩的方差记为，则，，的大小关系是______； （4）成绩分及以上记为优秀，若该校初中三个年级名同学都参加测试，估计成绩优秀的同学约为______人． 24. 如图，在中，，为边上的点，以为直径作交于点，连接并延长交于点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 25. 某实验室在温度下培育一种植物幼苗，该种幼苗在此温度范围下的生长速度相同，现为了提高其生长速度，研究人员配制了一种营养素，在开始培育幼苗时添加到培育容器中，研究其对幼苗生长速度的影响．研究发现，使用一定量的营养素，会促进该种幼苗的生长速度，营养素超过一定量时，则会抑制幼苗的生长速度，并且在范围内的不同温度下，该种幼苗所能达到的最大生长速度相同． 经过进一步实验，获得了和温度下营养素用量与幼苗生长速度的部分数据如表所示：设营养素用量为毫克，温度下幼苗生长速度为毫米天，温度下幼苗生长速度为毫米天． （1）在不使用营养素时，该种幼苗的生长速度为__________毫米天； （2）根据表中数据，发现，都可近似看作的函数．在平面直角坐标系中，补全表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点； （3）结合函数图象，回答下列问题： 在温度下，使用约___________毫克的营养素时，该种幼苗生长速度最快；此时，温度下该种幼苗生长速度比温度下该种幼苗生长速度快__________毫米天（结果保留小数点后两位）； 当该种幼苗的生长速度在和温度下均不低于毫米天时，营养素用量的取值范围为__________（结果保留小数点后两位）． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）用含的式子表示； （2）若，点，（）在该抛物线上，求的长； （3）记抛物线与轴的交点为，点在抛物线上，分别过点作轴、直线的垂线，交直线于点，，是上一点，且，过点作交于点．已知当时，的长随的增大而增大，求的取值范围． 27. 如图，在Rt中，，点为边上一点，．点为线段中点，将射线绕点逆时针旋转，与线段交于点，在线段上截，连接，与线段交于点，连接． （1）如图1，若，，证明：点是线段的中点； （2）如图2，将射线绕点逆时针旋转，与射线交于点，判断线段与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，P为外一点．给出如下定义：以线段为对角线作矩形，若点M在内或上，点N在外，则称矩形是点P的“圆伴矩形”． 例如，图1中的矩形是点P的一个“圆伴矩形”． （1）已知矩形是点A的“圆伴矩形”且点N在外， ①若点A的坐标为且点M在上，则矩形的面积是__________； ②若点A的坐标为，则点N的横坐标t的取值范围是__________； （2）已知，直线与x轴，y轴分别交于点C，D．若线段上存在点N，使得矩形是点B的“圆伴矩形”（点在外），直接写出b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $