河南省2025-2026学年高一下学期期末自编模拟考数学试卷（八）

**基本信息** 聚焦高一必修知识，以统计应用、立体几何折叠、函数综合为载体，分层考查数据意识、空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、数据百分位数、向量关系、函数零点|基础概念与逻辑判断结合| |多选|3/18|不等式性质、函数定义域与零点、解三角形|多维度辨析与知识综合| |填空|3/15|复数虚部、分段函数零点、四面体外接球|空间想象与运算能力| |解答|5/77|统计抽样与独立性、立体几何折叠线面角、向量投影与坐标、解三角形面积、函数性质与恒成立|情境化问题（如图书馆使用统计）、动态几何（折叠问题）、综合应用（函数恒成立），体现数据应用、空间观念与推理能力|

2025-2026学年河南省高一期末模拟考试卷（八） 数学 考试范围：必修一、必修二；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断两个集合是否相等、交集的概念及运算、并集的概念及运算 【详解】由题意，故A错误； 因，故B错误； 又，故C正确； 因，故D错误． 2．已知一组数据1，2，x，6，7的平均数为4，则该组数据的第70百分位数为（     ）． A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 【答案】D 【知识点】根据平均数求参数、总体百分位数的估计 【详解】已知一组数据1，2，x，6，7的平均数为4， 则，解得. 将这组数据按照从小到大的顺序排列，得共5个数据， 由，所以该组数据的第70百分位数为第4项，即6. 3．已知两个非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的证明、向量垂直的坐标表示 【详解】由，得，解得或， 但当时，，不满足题意，故， 则“”是“”的充要条件. 4．函数的零点个数为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分段函数的性质及应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据分段函数性质，分别求两段之内的零点即可。 【详解】当时，由，无零点. 当时，， 由以及均在上单调递增，可知在上单调递增. 又， 根据零点存在定理可得，在上存在一个零点， 根据函数的单调性可知，在上存在唯一零点. 综上所述，的零点个数为. 5．在正三棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为．若此三棱台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此棱台的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】棱台的结构特征和分类、棱台表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】取和的中点分别为，上、下底面的中心分别为，设，内切球半径为，根据题意求出侧棱长以及，再根据切线的性质及等腰梯形和梯形的几何特点列方程组求出半径即可． 【详解】取和的中点分别为，上、下底面的中心分别为， 设，内切球半径为，因为，棱台的高为， ， ，同理， 内切球与平面相切，切点在上， ①， 在等腰梯形中，②， ， 在梯形中，③， 由②③得，代入得，则， 此棱台的表面积是： ． 6．已知，函数，若恒成立，则的最小值为（   ） A．-2 B．2 C． D．4 【答案】D 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】令，由当时，，当时，，结合恒成立，得到，即，再利用基本不等式求解. 【详解】令， 当时，，当时，， 因为恒成立，所以当时，， 当时，， 又是连续函数，所以当时，，即， 又，则，若，则， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是4. 7．若函数在上有最大值没有最小值，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦函数图象的应用、利用正弦型函数的单调性求参数、求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】利用换元法，求出函数在上的两个端点，结合函数在上有最大值没有最小值构造不等式，解不等式求出的取值范围． 【详解】令，，， 当时，；当时，； 则， 函数的最大值在处取得； 最小值在处取得； 已知函数在上有最大值没有最小值， 区间必须包含第一个最大值点，且不能包含第一个最小值点， ，解得． 8．已知函数的定义域均为，，的图象关于直线对称，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求函数值、函数周期性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】先由及可得，进而可得的一个对称中心，再由是轴对称可知函数是周期函数，从而根据周期及对称可得所求值. 【详解】因为．所以， 又因为，所以， 即，所以的图象关于点对称，且． 又因为的图象关于直线对称，所以，且 所以，则， 所以，所以是函数的一个周期． 所以． 又因为，所以． 所以，所以. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【详解】若 ，则，即，A选项正确； 当，，满足 ，但，B选项错误； 当，，满足 ，但，C选项错误； 若 ，有，则，即，D选项正确. 10．下列说法正确的是（   ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．函数在区间上存在零点 C．不等式对一切实数恒成立的充要条件是 D．若，，，则的最小值为4 【答案】ABD 【知识点】抽象函数的定义域、零点存在性定理的应用、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】对A ，根据复合函数定义域 “内层函数的值域等于外层函数的定义域”，由的定义域列不等式求解的定义域；对B ，利用零点存在性定理，通过判断连续函数在区间端点处函数值的符号，证明区间内存在零点；对C，由一元二次不等式恒成立问题，结合二次函数图像性质，通过判别式求解参数的取值范围；对D ，利用 “1 的代换” 构造可应用基本不等式的形式，通过均值不等式求的最小值. 【详解】对于A：由的定义域为， 对应，令，得，则的定义域为，A正确； 对于B：因为函数在上连续，且，， 则，根据零点存在性定理， 函数在区间上存在零点，B正确； 对于C：由对一切实数恒成立， 则，解得，C错误； 对于D：由，，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为4，D正确. 11．在中，设，，且，则（   ） A． B． C．设的中点为，则 D．三条边的平方和小于 【答案】BCD 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、向量在几何中的其他应用 【分析】根据可判断、的长度关系，可判断A的真假；利用判断的符号，判断B的真假；利用，判断与的关系，判断C的真假；结合，可判断与的大小，判断D的真假. 【详解】因为，所以， 由得，则，即， 又即，故，故A错误； 因为， 由且得，故，故B正确； 由题意可得，则 ， 因为且，故上式大于0，即，故C正确； 三边平方和为， 因为，故，故D正确． 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．设 是虚数单位，则复数 的虚部为_________． 【答案】3 【知识点】求复数的实部与虚部 【详解】根据复数的概念，的虚部为，所以的虚部为3. 13．若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为_____. 【答案】 【知识点】函数周期性的应用、函数图象的应用、对数函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】结合函数周期性和解析式可作出与在上的图象，根据图象交点个数可得所求函数零点个数. 【详解】，是周期为的周期函数； 当时，；当时，；， 又，，， 可作出与在上的图象如下图所示， 由图可知：与在上有个交点， 函数在区间内的零点个数为. 14．已知边长为的菱形ABCD中 沿对角线BD折成二面角的大小为的四面体，则四面体的外接球的表面积为__________. 【答案】 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】根据四面体外接球的性质，确定球心位置，解三角形求出球半径即可得解. 【详解】取的中点，连接，如图，    因为菱形ABCD中 所以为正三角形，且， 所以为二面角的平面角，故， 又平面，所以平面， 由平面，故平面平面. 所以四面体的外接球的球心在平面上， 在上取点，使，则是的外心，过点作垂直于，过点E作垂直于. 设与交于点，连接，则，则为四面体的外接球的球心，如图，    所以垂直平分， 因为为正三角形，且边长为， 所以，故， 又，所以，， 在直角三角形中，， 即球的半径， 故四面体的外接球的表面积为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．为了解学生使用图书馆情况，某高中按年级进行分层抽样抽取100名学生，以他们一周使用图书馆的时间（单位：小时）作为样本，调查发现样本中的数据均小于5，这100个数据在各区间内的频数记录如下表（、、、、均为自然数）： 使用时间 高一 5 12 3 2 高二 6 16 5 3 4 高三 4 (1)已知该高中三个年级一共有500名学生，其中高一年级有150名学生，求的值； (2)用区间的中点值给区间内每个数据赋值，估计高二年级学生一周使用图书馆的平均时间； (3)现从样本中任意抽取1个数据，记事件为“抽到的数据是高二学生的”，记事件为“抽到的数据在”，判断事件和事件是否独立，并说明理由． 【答案】(1) (2)小时 (3)事件与事件不独立，理由如下： 由题意，，且， 因，则， 所以事件与事件不独立. 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【详解】（1）由题意，所抽取的100名学生中高一学生人数为人， 所以，可得； （2）由题意，高二年级学生一周使用图书馆的平均时间为小时； （3）略 16．将边长为的正方形沿对角线折起，使得到达的位置，连接，得到三棱锥，且是棱的中点． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明： 取棱的中点，连接， 因为，且是线段的中点，所以， 因为，且是线段的中点，所以， 因为平面，平面，且， 所以平面. 因为平面，所以． (2) 【知识点】求线面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）取棱的中点，连接，先证明平面，再由线面垂直的定义即可得到； （2）设，直线与平面所成的角为，先得到，利用换元法设，结合基本不等式求解即可． 【详解】（1）略． （2）设， 在中，，， 则， 故， 作，垂足为，则， 由（1）知平面，则， 因为平面，平面，且， 所以平面，即点到平面的距离为， 因为是棱的中点，所以点到平面的距离， 设直线与平面所成的角为， 则， 设，则， 所以， 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值的最大值是． 17．已知平面向量，且， (1)求在方向的投影向量的坐标； (2)若，且，求向量的坐标； (3)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算、数量积的坐标表示、求投影向量 【分析】（1）利用在上的投影向量为求解即可； （2）设，然后根据已知条件列方程组求解即可； （3）由题意可得且与不共线，从而可求出实数的取值范围. 【详解】（1），， 故，所以 所以在上的投影向量为 所以在上的投影向量为. （2）设，， ，又， 或， 或 （3）因为， 所以，， 因为与的夹角为锐角， 所以且与不共线 即 解得且 即k的取值范围是 18．已知的内角的对边分别为，且． (1)求． (2)若，且 边上的中线长为，求的面积． (3)若角的平分线长为，求的面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）由余弦定理即可求解； （2）在中使用余弦定理计算，再由面积公式即可求解； （3）由，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由余弦定理，又， 代入可得： ， 又，故 （2） 记边上的中线为，则， 在中，由余弦定理得， 化简可得：，解得或（舍）， 所以. （3） 设角平分线交于，， 由得： ， 化简得 ，由基本不等式得， 解得： ，当且仅当 时等号成立， 故面积最小值. 19．已知函数（且），， (1)（ⅰ）判断的单调性（不必证明）； （ⅱ）判断的奇偶性并证明； (2)若，且对恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）奇函数，证明见解析 (2) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、求cosx（型）函数的最值、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）（i）对进行分类讨论即可判断的单调性；（ⅱ）利用奇偶性的定义直接证明即可； （2）当时，由单调性得，对进行分类讨论即可求解 【详解】（1）（ⅰ）当时，在上递增，在R上递减， 所以在上递增； 当时，在上递减，在R上递增， 所以在R上递减． （ⅱ）为奇函数，证明如下： 定义域为R，关于原点对称． ， 为奇函数． （2）由得 因为为奇函数，所以， 故 当时，在上递增， 得， 当时，不成立，不合题意． 当时，，只需， 当时，，． 综上所述，的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年河南省高一期末模拟考试卷（八） 数学 考试范围：必修一、必修二；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知一组数据1，2，x，6，7的平均数为4，则该组数据的第70百分位数为（     ）． A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 3．已知两个非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．函数的零点个数为（    ）. A． B． C． D． 5．在正三棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为．若此三棱台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此棱台的表面积是（   ） A． B． C． D． 6．已知，函数，若恒成立，则的最小值为（   ） A．-2 B．2 C． D．4 7．若函数在上有最大值没有最小值，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域均为，，的图象关于直线对称，，且，则（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．下列说法正确的是（   ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．函数在区间上存在零点 C．不等式对一切实数恒成立的充要条件是 D．若，，，则的最小值为4 11．在中，设，，且，则（   ） A． B． C．设的中点为，则 D．三条边的平方和小于 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．设 是虚数单位，则复数 的虚部为_________． 13．若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为_____. 14．已知边长为的菱形ABCD中 沿对角线BD折成二面角的大小为的四面体，则四面体的外接球的表面积为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．为了解学生使用图书馆情况，某高中按年级进行分层抽样抽取100名学生，以他们一周使用图书馆的时间（单位：小时）作为样本，调查发现样本中的数据均小于5，这100个数据在各区间内的频数记录如下表（、、、、均为自然数）： 使用时间 高一 5 12 3 2 高二 6 16 5 3 4 高三 4 (1)已知该高中三个年级一共有500名学生，其中高一年级有150名学生，求的值； (2)用区间的中点值给区间内每个数据赋值，估计高二年级学生一周使用图书馆的平均时间； (3)现从样本中任意抽取1个数据，记事件为“抽到的数据是高二学生的”，记事件为“抽到的数据在”，判断事件和事件是否独立，并说明理由． 16．将边长为的正方形沿对角线折起，使得到达的位置，连接，得到三棱锥，且是棱的中点． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 17．已知平面向量，且， (1)求在方向的投影向量的坐标； (2)若，且，求向量的坐标； (3)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 18．已知的内角的对边分别为，且． (1)求． (2)若，且 边上的中线长为，求的面积． (3)若角的平分线长为，求的面积的最小值． 19．已知函数（且），， (1)（ⅰ）判断的单调性（不必证明）； （ⅱ）判断的奇偶性并证明； (2)若，且对恒成立，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $