浙江省宁波市镇海中学2026届高三6月第一周冲刺训练数学试题

**基本信息** 整合多地区高三优质模拟题，覆盖集合、复数、导数等核心知识，通过分层设计（★★-★★★☆）考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，适配周测冲刺训练需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |选择题|10|集合运算、复数相等、双曲线离心率、统计回归|结合图像分析函数零点，跨模块综合数列与逻辑推理| |填空题|1|推理案例|以单循环赛情境考查逻辑推理与数学抽象能力| |解答题|4|立体几何面面垂直与线面角、轨迹方程与抛物线、导数零点讨论、数列与集合创新|注重空间想象（七面体）、分类讨论（导数零点）、创新应用（集合子集定义），贴合高考命题趋势|

2026年6月第一周 冲刺训练 1．（江苏省如皋中学2025届高三下学期适应性考试（二）数学试卷·★★）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（河南省天一大联考2024-2025学年高三阶段性测试（七）·★★☆）若为方程的两个不同的根，则（    ） A． B．2i C． D．2 3．（内蒙古赤峰市2024-2025学年高三下学期模拟考试·★★★）已知双曲线，若直线与没有公共点，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（四川省绵阳市2025届高三下学期第三次诊断性测试数学试题·★★★）已知，则的值为（    ） A． B．3 C．9 D．81 5．（海南省海口市2024-2025学年高三下学期仿真考试数学试题·★★★）已知变量和变量的一组成对样本数据，其经验回归方程为，若，，新样本数据得到的经验回归方程依然为，则（   ） A． B． C． D． 6．（上海市宝山区2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测·★★★）已知曲线，过点作该曲线的5条弦，这些弦的长度构成一个递增的等差数列，则该数列公差的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（山东省德州市五县2026届高三下学期3月学习质量综合评估·★★★☆）已知，，为两两不相等的正数，设函数，则（   ） A．没有零点 B．有唯一零点 C．至多有一个零点 D．至少有一个零点 8．（北京市海淀区25-26年第二学期期中练习·★★★☆）已知平行四边形的两个顶点为，另两个顶点在圆上.对于给定的t，若这样的平行四边形有且只有一个，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（山东省济宁市2025届高考模拟考试（二模）数学试题·★★★）已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．的图象关于轴对称 B．是的一个周期 C．在上为增函数 D． 10．（湖北省黄冈中学等十一校2025-2026学年高三下学期第二次联考数学试题·★★★）已知函数有三个零点，则（   ） A．若成等差数列，则成等比数列 B．若成等比数列，则成等差数列 C．若成等差数列，则数列的公差为 D．若成等比数列，则数列的公比为 11．（★★★）10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的．则第二名选手的得分是____． 12．（重庆市第一中学校2024-2025学年高三下学期3月适应性考试数学试题·★★★）如图，在七面体中，四边形是菱形，其中，，，是等边三角形，且，点为的中点. (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 13．（江苏省南通市2026届高三学业质量检测（一模）数学试题·★★★）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2． (1)求点的轨迹的方程； (2)已知上存在三点，且关于直线对称． ①求的取值范围； ②若为等边三角形，求． 14．（山东省济宁市2025届高考模拟考试（二模）数学试题·★★★☆）已知函数，. (1)讨论零点的个数； (2)若，求实数的取值范围. 15．（2016年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）·★★★☆）记.对数列和的子集，若，定义；若，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，. （1）求数列的通项公式； （2）对任意正整数，若，求证：； （3）设，求证：. 试卷第2页，共3页 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C C C B C D ABD ABD 1．D 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、指数函数图像应用 【分析】化简集合，再根据交集运算求解. 【详解】由和的图象，可知， ， 又， . 故选：D. 2．A 【难度】0.85 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算 【分析】设，根据复数相等得到，解得答案. 【详解】设方程的根为，则， 则，解得或，故，即， 所以. 故选：A. 3．C 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】根据过原点的直线与双曲线的交点个数和渐近线的结论得到，则得到离心率的范围. 【详解】∵渐近线方程为且的斜率为， ∴，则，∴离心率，又∵， 则离心率的取值范围为. 故选：C 4．C 【难度】0.85 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦） 【分析】将正切化为正弦和余弦，再利用同角三角函数的基本关系化简即可. 【详解】， 故选：C 5．C 【难度】0.65 【知识点】根据样本中心点求参数 【分析】记，，分析可知，点、都在直线上，将这两点的坐标都代入回归直线方程，对比方程可求得实数的值. 【详解】记，， 则，同理， 所以，点、都在直线上， 所以，，解得. 故选：C. 6．B 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、圆的弦长与中点弦 【分析】由直线与圆的位置关系求出最短弦长和最长弦长，然后利用等差数列基本量运算求解即可. 【详解】曲线，即 由已知圆的圆心为，半径为，因为， 所以点在圆内，且， 所以过点的最短弦长为，最长弦长为直径长， 从而公差. 故选：B 7．C 【难度】0.45 【知识点】求函数零点或方程根的个数、函数图象的应用 【分析】整理可得，令，，可得，分类讨论与1的大小，结合函数图象分析判断. 【详解】因为，，为两两不相等的正数， 令，可得， 令，，则，，且均不为1，可得， 若，，分别作出，， 可知与只有一个交点，即有唯一零点； 若一个大于1，一个小于1，不妨设，，分别作出，， 可知与没有交点，即没有零点； 若，，分别作出，， 可知与只有一个交点，即有唯一零点； 综上所述：可能没有零点，至多有1个零点，故C正确. 8．D 【难度】0.4 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】根据题意，结合圆的性质，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】由圆，可知圆心为，半径为，可得直径， 又由点，，可得， ①当， 若以为平行四边形的一边时， 如图所示，作与直线平行的直线，使得截得的弦长为， 此时存在两条直线与圆相交，可构成两个平行四边形，不符合题意； 若以为平行四边形的一条对角线时，可得的中点， 过点作直线的垂线，此直线与圆有两个公共点，如图所示， 此时点分别是和的中点，所以四边形为平行四边形， 综上可得，此时构成的平行四边形的个数为3个，不符合题意； ②当，此时为平行四边形的对角线， 要使得这样的平行四边形有且只有一个，则满足且点在圆内， 由，可得，解得或， 又由在圆内，可得，整理得，解得， 所以，所以实数的取值范围为. 9．ABD 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】利用诱导公式证明，结合偶函数定义可判断A；利用可判断B；利用三角函数的性质可判断C；利用导数判断函数的单调性，求得最值，可判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为，关于原点对称， ， 所以是偶函数，其图象关于轴对称，故A正确； 对于B，， 所以的一个周期是，故B正确； 对于C，令，当时，在上单调递减， 且， 在上单调递增，则在上单调递减， 所以在上单调递减函数，故C错误； 对于D，因为，令， 则，求导得， 由于，所以，单调递增. 当时，取得最大值； 当时，取得最小值. 因为，所以，即 ，故D正确. 故选：ABD. 10．ABD 【难度】0.4 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用、等差中项的应用、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】对A、C：由题意可得，结合等差数列定义可得，则成等比数列，则可得，即可求出，结合，两边取对数运算可得，即可得其公差；对B、D：由，结合等比数列定义可得，则成等差数列，则可求出，即可得，即可得其公比. 【详解】当时，，不合题意； 当时，分别画出与的图象，如图： 所以； 对A、C：由题得，所以，即， 若成等差数列，则，所以， 所以成等比数列，由，则， 即，所以， 由，解得，因为， 所以， 则，即数列的公差为， 故A正确、C错误； 对B、D：由，若成等比数列，则， 则，即有，故成等差数列， 又，则， 故，即数列的公比为， 故B、D正确. 11．16 【难度】0.65 【知识点】推理案例赏析、反证法证明 【分析】依题意可得第二名选手至少得分，又全胜得分，假设第二名选手得分分推出矛盾，即可得解. 【详解】每个选手需要进行场比赛，则全胜的选手得分， 而最后五名选手之间赛场，至少共得分，所以第二名选手至少得分. 又因为名选手的得分各不相同，若第二名选手得分（赢了8场平1场），则第一名选手得分分（赢场）， 这时，第一全赢，第一赢了第二一局，第二输了一局，所以矛盾. 所以不可得分，所以第二名选手得分是分. 故答案为：. 12．(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】证明面面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）先证明平面，再证平面即可； （2）过点作，确定直角坐标系，读取并计算各点坐标，求直线的方向向量与平面的法向量即可. 【详解】（1）连接，因为四边形是菱形，且，则是等边三角形， 又因点为的中点，则，又，则, 因平面，平面，则平面， 又平面，则，故， 因为是等边三角形，则， 又平面，平面，则平面， 又平面，则平面平面. （2）过点作，垂足为， 由（1）可知平面，又因平面，则平面平面， 因平面平面，，则平面； 以为坐标原点，以所在直线为轴，以平行于所在直线为轴建立如图所示的直角坐标系，设， 则 在中，，则， ， 则 由（1）可知平面，且轴，则平面与平面重合， 设，则， 得， ，又，得，即， 故， 设平面的法向量， 则，即，令，则， 则. 则直线与平面所成角的正弦值. 13．(1) (2)①；② 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、求平面轨迹方程、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中的参数范围问题 【分析】（1）利用斜率公式，列方程化简即可； （2）①利用直线与抛物线联立，求出对称点的中点坐标，利用中点在对称轴上找到参数的相等关系，再利用判别式恒大于0，来求出参数的范围，最后再排除特殊情况即可； ②利用弦长公式，结合等边三角形可得到相等关系，再通过坐标满足的方程来求解即可. 【详解】（1）设点． 因为直线的斜率与直线的斜率的差是2，所以， ， 化简得：． （2）①因为关于直线对称，所以直线的斜率为-2． 设直线的方程为， 联立消去可得． 所以 所以中点坐标． 因为点在直线上，所以． 因为，所以， 因为曲线方程，即曲线上要挖掉两点， 即直线不能经过点， 若直线过点，则， 若直线过点，则． 综上所述：的取值范围是． ②因为为等边三角形，所以点在直线上． 设，则， ． 所以，即， 化简得，①． 因为点在直线上，所以②． 由①②消得，． 因为，所以， 所以． 14．(1)答案见解析； (2). 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）令，则，设，利用导数研究其单调性和最值，从而得到其零点个数； （2）首先分析得时成立，再分离参数得，对恒成立，利用导数研究右边的最值即可. 【详解】（1）时，， 令，则， 所以，时，在上单调递减， 时，在 上单调递增， 又时，时，，时，， 时，， 所以，①当时，无零点， ②或时，有1个零点， ③当时，有2个零点. （2）当时，由得， 所以，等价于对恒成立． 即对恒成立， 令，则， 当，当， 在内单调递减，在内单调递增， ，又 对恒成立 所以，时成立， 当时，，显然成立． 当时， 等价于或， 即或 对于，取，得，与矛盾，故不成立， 对于，即，对恒成立， 令，则， 在内单调递减， ，所以，， 综上，实数的取值范围是. 15．（1）（2）详见解析（3）详见解析 【难度】0.4 【知识点】等差数列与等比数列综合应用 【详解】（1）由已知得. 于是当时，. 又，故，即. 所以数列的通项公式为. （2）因为，， 所以. 因此，. （3）下面分三种情况证明. ①若是的子集，则. ②若是的子集，则. ③若不是的子集，且不是的子集. 令，则，，. 于是，，进而由，得. 设是中的最大数，为中的最大数，则. 由（2）知，，于是，所以，即. 又，故， 从而， 故，所以， 即. 综合①②③得，. 【考点】等比数列的通项公式、求和 答案第10页，共11页 答案第6页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $