加法模型和乘法模型 教案-2026-2027学年四年级上册数学人教版

该教案聚焦“加法模型和乘法模型”核心知识，通过图书馆借阅、购物小票、步行上学等真实情境导入，衔接一至三年级加减法和乘法基础，为五年级代数模型学习铺垫，构建连贯的数量关系学习支架。 此教案以情境化建模为特色，采用“阅读理解—分析解答—回顾反思”三步框架，如用购物小票提炼单价数量总价关系，线段图可视化速度路程时间，发展模型意识和几何直观，帮助学生建立知识网络，提升教师教学效率。

第四单元"加法模型和乘法模型"教学设计 单元整体教学构建 1. 单元名称 + 领域 + 主题 单元名称：加法模型和乘法模型 所属领域：数与代数 单元主题：数量关系 2. 单元课标分析 2.1 内容要求 第二学段（3～4年级）数量关系 （1）在实际情境中，运用数和数的运算解决问题；在解决实际问题的过程中，能结合具体情境，选择合适的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用。 （3）在具体情境中，认识常见数量关系：总量=分量+分量、总价=单价×数量、路程=速度×时间；能利用这些关系解决简单的实际问题。 （6）能解决生活中的简单问题，并能对结果的实际意义作出解释。经历探索简单规律的过程，形成初步的模型意识和应用意识。 2.2 学业要求 能在简单的实际情境中，运用四则混合运算解决问题，能选择合适的单位通过估算解决实际问题，形成初步的应用意识。能在真实情境中，发现常见数量关系，感悟利用常见数量关系解决问题；形成初步的模型意识、几何直观和应用意识。 2.3 教学提示 数量关系的教学。在具体情境中，利用加法或乘法表示数量之间的关系，建立加法模型和乘法模型，知道模型中数量的意义。常见数量关系的教学要在了解四则运算含义的基础上，引导学生理解现实问题中的加法模型是表示总量等于各分量之和，乘法模型可大体分为与个数有关（总价=单价×数量）和与物理量有关（路程=速度×时间）的两种形式，感悟模型中量纲的意义。 2.4 核心素养表现 核心素养 在本单元中的具体表现 模型意识 从图书馆借阅、购物、出行等真实情境中抽象出三个数量关系模型，知道模型中每个量的意义，能利用模型解决简单的实际问题 应用意识 在购物、出行、社团统计等生活情境中发现数量关系，用数学语言表达现实世界中的数量规律 推理意识 从加法模型推导出逆运算关系；从乘法模型推导出变形关系式；感悟加法模型和乘法模型的内在联系 运算能力 运用数量关系模型正确列式计算，在多步骤问题中合理选择运算顺序 几何直观 借助线段图理解速度、路程、时间之间的关系，将抽象的数量关系可视化 3. 知识纵向分析 3.1 前认知（已有基础） 年级/学期 学习内容 对本单元的支撑 一年级上册 加法的意义（合起来） 理解"把两部分合起来用加法"，是加法模型的生活经验基础 一年级上册 减法的意义（去掉、相差） 理解减法是加法的逆运算，为"分量=总量-分量"做铺垫 二年级上册 乘法的意义（几个几） 理解"几个相同加数相加用乘法"，是乘法模型的认知起点 三年级 多位数乘法 掌握乘法计算方法，为运用乘法模型列式计算提供运算基础 一至三年级 加减法实际问题 积累了大量用加法、乘法解决问题的经验，但未提炼出数量关系模型 3.2 后铺垫（后续发展） 年级/学期 学习内容 与本单元的关联 五年级上册 用字母表示数量关系 将数量关系式用字母抽象表达，从算术模型上升到代数模型 五年级上册 方程 利用数量关系列方程解决问题 五年级下册 正比例 "单价一定，总价和数量成正比例"是数量关系模型的深化 4. 教材横向比较 维度 人教版（2026秋新版） 北师大版 苏教版 单元名称 加法模型和乘法模型 数量关系（分散编排） 简单的数量关系 编排特色 将加法模型和乘法模型统一为独立单元 数量关系分散在各单元中 二年级安排"简单的数量关系"单元 核心创新 新增"加法模型"；设置"阅读理解—分析解答—回顾反思"三步框架 未明确区分加法模型和乘法模型 二年级即引入相差关系和倍数关系 5. 核心概念知识 核心概念 内涵 本单元学习水平 加法模型 总量=分量+分量； 分量=总量-分量 认识并运用：能在具体情境中识别总量和分量 乘法模型（一） 总价=单价×数量及其变形 认识并运用：理解单价、数量、总价的概念 乘法模型（二） 路程=速度×时间及其变形 认识并运用：理解速度的复合单位 单价 每件商品的价格 理解：能从购物情境中识别单价 速度 单位时间内行驶的路程 理解：掌握复合单位的写法和读法 三步框架 阅读理解—分析解答—回顾反思 掌握：能按三步框架分析问题 6. 学情分析 6.1 已有基础：一至三年级积累了大量用加法和乘法解决实际问题的经验；能熟练进行多位数加减法和两位数乘两位数计算；在生活中有购物、出行等经验。 6.2 认知障碍 障碍点 具体表现 教学对策 模型意识薄弱 习惯找关键词，不主动分析数量结构 引导从具体问题中提炼数量关系式 总量与分量混淆 多步骤问题中分不清哪个是总量 用线段图和树形图直观呈现 单价与总价混淆 将"每件的价格"和"一共花的钱"混为一谈 用购物小票实例对比 速度的复合单位 对"80米/分"的写法和含义不熟悉 结合具体情境解释复合单位 多步骤问题分析 不知先求什么、再求什么 用三步框架分步分析 7. 单元学习目标 1. 知识与技能：认识加法模型"总量=分量+分量"及逆运算；认识乘法模型"总价=单价×数量""路程=速度×时间"及变形关系式；能运用这些数量关系解决简单的实际问题。 2. 过程与方法：通过真实情境，经历"阅读理解—分析解答—回顾反思"的完整问题解决过程；在提炼模型的过程中感受从具体到抽象的建模思想。 3. 情感态度与价值观：感受数量关系在生活中的广泛应用，体会数学模型的简洁性和通用性。 8. 单元课时整体规划表 课时 课时名称 主任务（问题）和达成目标 地位 1 认识加法模型 从图书馆借阅人数问题中提炼加法模型，认识总量=分量+分量及逆运算 种子课 2 用加法模型解决问题 用加法模型解决买书问题，按三步框架解决问题 生长课 3 练习课——加法模型 加法模型综合练习，熟练运用加法模型 练习课 4 认识单价、数量、总价 从购物小票中提炼乘法模型（一） 种子课 5 用单价×数量解决问题 用乘法模型解决水果店促销问题，比较两种方法 生长课 6 练习课——乘法模型（一） 单价、数量、总价综合练习 练习课 7 认识速度、路程、时间 从步行上学问题中提炼乘法模型（二） 种子课 8 用速度×时间解决问题 用乘法模型解决汽车里程表问题 生长课 9 整理和复习 构建知识网络，综合应用三类数量关系 整理课 9. 强化基础 核心基础：三个数量关系模型及其变形关系式；单价、速度两个核心概念的理解 关键技能：在具体情境中识别总量/分量、单价/数量/总价、速度/时间/路程；按三步框架解决问题 易错防范：单价与总价混淆、速度与路程混淆、多步骤问题中遗漏中间步骤 10. 拓展延伸 模型迁移：从"总价=单价×数量"迁移到"总产量=单产量×数量"等类似模型 跨模型联系：感悟加法模型与乘法模型的内在统一 生活实践：记录家庭一次购物或出行中的数量关系，用模型表达和分析 课时教学设计 课时1：认识加法模型 课题 认识加法模型 | 第（1）课时 课型 （内容层面）概念课 （作用层面）新授课（种子课） 课时学习目标 1.通过图书馆借阅人数的情境，分析加法问题中的数量关系，认识"总量=分量+分量"的加法模型，理解总量和分量的含义。 2.通过推导"已知总量和一个分量，求另一个分量"的问题，认识分量=总量-分量的逆运算关系。 3.在提炼模型的过程中，感受从具体问题到抽象模型的建模思想，发展模型意识。 核心素养关联 模型意识：从多个加法问题中提炼出"总量=分量+分量"的通用模型。 推理意识：从加法模型推导出分量=总量-分量的逆运算关系。 应用意识：能在购物、社团统计等生活情境中识别总量和分量。 学习重点 认识加法模型"总量=分量+分量"，能在具体情境中识别总量和分量 学习难点 在多步骤、多层级的情境中准确区分总量和分量，理解一个量可以既是分量又是总量 课前准备 教师：图书馆借阅情境课件 学生：练习本 板书设计 认识加法模型 上午来了多少人？15+32=47（人） 下午来了多少人？24+50=74（人） 一共来了多少人？47+74=121（人） 总量=分量+分量 分量=总量-分量（减法是加法的逆运算） 素养情境作业 妈妈去超市买了三样东西：牛奶花了25元，面包花了12元，水果花了18元。请用加法模型分析：总量是什么？分量是什么？如果妈妈带了60元，还剩多少元？这用的是哪个关系式？ 成效反思 一、情境导入 出示学校图书馆星期一借阅图书的人数统计表：教师上午15人、下午24人；学生上午32人、下午50人。 这张表里藏着不少数学问题，你能提出用加法解决的问题吗？ 上午来了多少人？ 下午来了多少人？ 教师一共多少人？ 上下午一共来了多少人？ 大家提出了好多加法问题，这些问题看起来不一样，背后是不是有共同规律呢？今天我们就来找一找。 用图书馆情境引出问题，学生自主提出加法问题，比教师直接出示问题更能激发探究欲。 二、活动探究 活动一：算一算，这些加法问题有什么共同点 活动要求： 1. 算一算：从刚才提出的问题中选3个，列式计算。 2. 想一想：每道题里，把谁和谁合起来了？合起来的结果是什么？ 3. 找一找：这几道题有什么共同规律？ 学生独立计算后交流。 上午来了多少人？15+32=47（人），把上午的教师人数和学生人数合起来，就是上午的总人数。 下午来了多少人？24+50=74（人），把下午的教师人数和学生人数合起来，就是下午的总人数。 一共来了多少人？47+74=121（人），把上午总人数和下午总人数合起来，就是全天的总人数。 关键问题：这三道题都是把几个部分合起来求一个总数。合起来的那个总数叫"总量"；合起来的那几个部分叫"分量"。 所以共同规律是——把分量合起来得到总量。用关系式表示就是总量=分量+分量。这就是加法模型。 你还能从这张表里找到用加法模型解决的问题吗？ 教师一共多少人：教师总人数=上午教师+下午教师 学生一共多少人：学生总人数=上午学生+下午学生 概括与分析：从几个具体的加法问题中，我们发现了一个共同的规律——都是把分量合起来得到总量。这种从不同问题里找相同点的方法，就是数学建模。加法模型"总量=分量+分量"可以帮我们理解和解决所有"把部分合起来求整体"的问题，不管情境怎么变，数量关系都是这个。 引导学生从多个问题中找共性，而不是教师直接告知。让学生用自己的语言描述"把谁和谁合起来"，再提炼为术语。追问"你还能找到用加法模型解决的问题"，强化模型的普适性。 活动二：想一想，知道总量和一个分量，怎么求另一个分量 活动要求： 1. 读一读：如果知道全天来了121人，上午来了47人，怎么求下午来了多少人？ 2. 想一想：这个算式和加法模型有什么关系？ 3. 推一推：你能从"总量=分量+分量"推导出另一个关系式吗？ 121-47=74（人），用总量减去上午的人数就是下午的人数。 总量=上午人数+下午人数，所以下午人数=总量-上午人数。 这个关系式可以写成——分量=总量-分量。减法其实就是加法的逆运算。 再举个例子：下午来了74人，其中教师24人，学生有多少人？74-24=50（人）。 加法模型不光可以正向求总量，还可以逆向求分量，两个方向都能用。 概括与分析：从"总量=分量+分量"可以推导出"分量=总量-分量"，这就是减法和加法的关系——它们是一对逆运算。判断用加法还是减法，关键在于弄清楚题目里哪个量是未知的。 先让学生从具体问题出发推导逆运算关系，再和加法模型建立联系。这样学生才能真正理解"减法是加法的逆运算"的含义。 三、巩固练习 基本练习 教材P58"请你列出解决其他几个问题所用的数量关系"。 教师总人数=上午教师人数+下午教师人数 学生总人数=上午学生人数+下午学生人数 上午总人数=上午教师人数+上午学生人数 综合练习 小明家一个月的水费、电费、燃气费分别是28元、65元、40元。三项费用一共多少元？ 三项费用总量=水费分量+电费分量+燃气费分量 28+65+40=133（元） 这里有三个分量，还能用加法模型吗？能，总量=分量+分量+分量，也是把分量合起来。 拓展练习 学校运动会，四年级一班得了48分，二班比一班少12分。两个班一共得了多少分？ 先求二班：48-12=36（分），再求总分：48+36=84（分）。二班分数需要先算出来。 概括与分析：练习中的关键点有三个——一是加法模型可以有多个分量；二是有些分量不是直接给出的，需要先推算；三是在多步骤问题中，同一个量可以同时扮演"总量"和"分量"两个角色。 练习设计从基本到综合再到拓展，层次递进。拓展题中出现"间接分量"，为后续学习多步骤问题做铺垫。 四、课堂小结 今天我们认识了什么模型？加法模型，总量=分量+分量。还有分量=总量-分量，减法是加法的逆运算。遇到"合起来求整体"用加法，"知道整体和一部分求另一部分"用减法。 课时2：用加法模型解决问题 课题 用加法模型解决问题 | 第（2）课时 课型 （内容层面）问题解决课 （作用层面）新授课（生长课） 课时学习目标 1.通过"100元选3本书"的购物情境，学会按"阅读理解—分析解答—回顾反思"三步框架解决实际问题。 2.能灵活选择"分量+分量=总量"或"总量-分量=分量"两种思路解决问题，比较两种方法的联系和区别。 3.在解决问题的过程中，体会加法模型的灵活应用，增强应用意识。 核心素养关联 模型意识：在买书问题中灵活运用加法模型的正向和逆向两种形式。 推理意识：比较两种方法的内在联系，发现两种思路都基于同一个加法模型。 应用意识：在购物情境中用加法模型做出判断和选择。 学习重点 按"阅读理解—分析解答—回顾反思"三步框架解决问题 学习难点 理解"总量减分量"思路的合理性，比较两种方法的联系和区别 课前准备 教师：书店情境课件 学生：练习本 板书设计 用加法模型解决问题 阅读理解→分析解答→回顾反思 方法一：分量+分量+分量=总量 方法二：总量-分量=分量 素养情境作业 小红有50元，文具店有4种笔：钢笔18元、圆珠笔6元、彩色笔15元、荧光笔12元。她要买2种不同的笔，有几种买法？请按三步框架写出过程。 成效反思 一、情境导入 出示书店促销情境：4本书的价格分别是《成语故事》34元、《长城故事》21元、《有趣的数学》49元、《中国丹顶鹤》26元。小丽有100元，要买3本不同的书送给3位好朋友。她可以买哪3本呢？ 购物情境贴近生活，"选3本书"的开放性让问题更有探究空间。 二、活动探究 活动一：读一读，这个题目告诉了我们什么 活动要求： 1. 读题：仔细读题目，找出已知信息和要解决的问题。 2. 填一填：按"阅读理解"的框架整理信息。 知道了4本书的价格，要买3本，就是看哪3本书的总价不超过100元。要解决的问题是：哪3本书的总价在100元以内。 概括与分析："阅读理解"这一步，不是简单读一遍题，而是要把题目里的信息分两类整理——"知道了什么"和"要解决什么问题"。养成这个习惯，以后遇到再复杂的问题也不容易遗漏信息。 "阅读理解"环节容易被学生跳过，这里重点训练信息分类整理的意识。 活动二：想一想，怎么找出符合条件的买法 活动要求： 1. 想办法找出所有可能的买法，判断哪种行、哪种不行。 2. 如果想到了不同的方法，都写下来。 3. 和同桌交流。 方法一：枚举4种选3本的组合 34+21+49=104>100 不行 34+21+26=81<100 可以 34+49+26=109>100 不行 21+49+26=96<100 可以 用的是分量+分量+分量=总量。 方法二：先算4本书总价130元，再逐本减去 130-34=96<100 可以 130-49=81<100 可以 130-21=109>100 不行 130-26=104>100 不行 用的是分量=总量-分量。 两种方法有什么联系和区别？ 都是用加法模型。一个用加法算，一个用减法算，但结果一样，因为减法是加法的逆运算。当总量已知时，用减法更快。 概括与分析：同一个问题可以用加法模型的不同形式来解决。方法一"分量相加求总量"是最直觉的思路；方法二"总量减分量求部分"更巧妙。两种方法殊途同归，核心都是加法模型。方法的选择要看题目给了什么条件。 让学生自己发现两种方法，而不是教师先教一种再教另一种。比较环节是关键——通过比较，学生才能理解两种方法的联系。 活动三：回看过程，我们是怎么解决这个问题的 第一步，阅读理解——整理已知信息和问题。 第二步，分析解答——列出算式算出答案。 第三步，回顾反思——想想对不对，还有没有别的方法。 概括与分析："阅读理解—分析解答—回顾反思"是解决数学问题的基本框架。特别是"回顾反思"这一步，很多同学会跳过，但它能帮我们检查答案，还能发现不同的解题方法。 明确三步框架，让学生知道这是一个可以迁移的方法。 三、巩固练习 基本练习 P60"做一做"第（1）题：舞蹈社团和美术社团共有多少名学生？ 舞蹈：5+22=27（名），美术：18+18=36（名），合计27+36=63（名）。 综合练习 P60"做一做"第（2）题：参加课后社团的女生有多少名？ 先算科技社团总人数：95-27-36=32（名），科技社团女生：32-27=5（名）。女生总数：22+5+18=45（名）。 拓展练习 P60"做一做"第（3）题：你还能提出什么数学问题？ 男生一共有多少名？5+27+18=50（名）。 概括与分析：第（2）题需要先求出科技社团的女生人数，这是一个"间接分量"——题目没有直接告诉我们，要用总量减去已知分量推算出来。关键是想清楚"先求什么、再求什么"。 第（2）题有一定难度，需要先用减法求出间接分量，再用加法求总量。 四、课堂小结 解决实际问题按哪三步来想？阅读理解、分析解答、回顾反思。加法模型有哪两种用法？正向用加法求总量，逆向用减法求分量。 课时3：练习课——加法模型 课题 练习课——加法模型 | 第（3）课时 课型 （内容层面）练习课 （作用层面）练习课 课时学习目标 1.通过分层练习，熟练运用"总量=分量+分量"和"分量=总量-分量"解决生活中的实际问题。 2.在多步骤问题中，能准确区分总量和分量，合理确定解题步骤。 3.在分析不同情境的数量关系时，进一步感受加法模型的普适性。 核心素养关联 模型意识：在不同生活情境中识别和应用加法模型。 推理意识：在动态变化问题中合理分析总量与分量的关系。 应用意识：在租车、购物等真实情境中运用加法模型做出决策。 学习重点 熟练运用加法模型解决多步骤实际问题 学习难点 在动态变化问题中准确判断总量和分量 课前准备 教师：练习情境课件 学生：练习本 板书设计 练习课——加法模型 总量=分量+分量（正向） 分量=总量-分量（逆向） 读题→找量和量之间的关系→选择正向或逆向→列式 素养情境作业 小华家上个月电费85元，水费比电费少37元，燃气费比水费多15元。三项费用一共多少元？请写出每一步的数量关系。 成效反思 一、基础热身 练习十二第1题填空： 45+55+50=150 22+78+80=180 150-55-45=50 180-22-80=78 这几道题都是加法模型的运用——求总量用加法，求分量用减法。 概括与分析：看似简单的填空题，其实每道都在练加法模型的正向和逆向运用。特别是第3、4题，学生需要自己判断"用加法还是减法"，这正是模型意识的体现。 填空题不只是算答案，要让学生说出每道题用的是加法模型的哪种形式。 二、变式提升 活动一：辨析总量和分量 练习十二第2题，分析每个问题中总量和分量的关系： （1）班级图书角：原有图书是总量，借出和剩余是两个分量。15+30=45（本）。 （2）鸡兔问题：先算鸡30+15=45（只），再算总只数30+45=75（只）。鸡的只数不是直接告诉我们的，要先算。 （3）共享单车：30-20+5=15（辆）。换个角度想：现有总量=剩余分量+放回分量，还是能用加法模型。 概括与分析：第（2）题的"间接分量"和第（3）题的"动态变化"是两种典型的变式。关键都在于：不要看到数就急着算，先想清楚"哪个是总量、哪些是分量"。 三道题难度递进，第（3）题最容易出错。引导他们用加法模型重新理解，就是把"非标准"问题转化为"标准"的加法模型形式。 活动二：综合应用 练习十二第3题和第4题。 第3题：苹果180kg，梨460kg，共640kg。第二小题要先算苹果460-280=180（kg），再算总量。 第4题租车：方案①总人数=8×60+5×40+2×8=696（人）。方案②小巴人数=696-480-160=56（人）。 这里把加法模型和乘法结合起来了——分量本身需要用乘法来算。这已经涉及乘法模型了，我们下节课就来学习。 概括与分析：租车问题中出现了乘法，这是加法模型和乘法模型的初步交汇。让学生感受到"总量=分量+分量+分量，但分量本身可能需要用乘法来算"，为后面学习乘法模型做好铺垫。 第4题同时涉及加法和乘法，是两种模型的自然衔接。 三、拓展思考 你还能想到生活中哪些问题可以用加法模型来解决？写出数量关系。 全班人数=男生人数+女生人数 一周7天=上课天数+休息天数 只要是把几部分合起来求整体的问题，都可以用加法模型。 概括与分析：让学生自己编题、自己找数量关系，是从"做题"到"用数学"的转变。能自己举例说明加法模型的适用场景，说明真正理解了这个模型。 四、课堂小结 今天练习了加法模型，有什么新收获？ 有些分量不是直接告诉我们的，要先算出来。 动态变化的问题也能用加法模型分析。 有些问题里，分量本身还需要用乘法来算。 课时4：认识单价、数量、总价 课题 认识单价、数量、总价 | 第（4）课时 课型 （内容层面）概念课 （作用层面）新授课（种子课） 课时学习目标 1.通过超市购物小票的情境，理解单价、数量、总价三个概念的含义，认识"总价=单价×数量"的乘法模型（一）。 2.能从乘法模型推导出"单价=总价÷数量""数量=总价÷单价"两个变形关系式。 3.在提炼乘法模型的过程中，感受从具体到抽象的建模思想，体会加法模型和乘法模型的内在联系。 核心素养关联 模型意识：从购物情境中抽象出"总价=单价×数量"的乘法模型。 推理意识：从总价=单价×数量推导出变形关系式，感悟乘除法的互逆关系。 应用意识：能在购物情境中识别单价、数量、总价。 学习重点 理解单价、数量、总价的概念，掌握总价=单价×数量及变形关系式 学习难点 理解单价作为"单位量"的含义，准确区分单价和总价 课前准备 教师：超市购物小票课件 学生：练习本 板书设计 认识单价、数量、总价 每件商品的价格→单价 买了多少→数量 一共花了多少钱→总价 总价=单价×数量 单价=总价÷数量 数量=总价÷单价 素养情境作业 妈妈买了5千克大米，每千克7元，又买了3瓶酱油，一共花了53元。每瓶酱油多少钱？请写出每一步的数量关系。 成效反思 一、情境导入 出示王阿姨去超市购物的小票：牛奶3盒每盒18元共54元，苹果4kg每千克9元共36元，花生油1桶60元，棒棒糖6个每个2元共12元，合计162元。 从这张小票上你能知道什么？ 牛奶每盒18元，买了3盒，花了54元。 小票上"单价"那一列的数是什么意思？"金额"那一列呢？今天就来研究购物中的数量关系。 购物小票是学生生活中常见的事物，用它引入概念比抽象定义更自然。 二、活动探究 活动一：找一找，单价、数量、总价分别是什么 活动要求： 1. 看小票：牛奶每盒18元，"每盒18元"表示什么意思？ 2. 比一比：苹果每千克9元和棒棒糖每个2元，说法不一样，但有什么共同点？ 3. 想一想：金额那一列的数是怎么算出来的？ "每盒18元"就是1盒牛奶的价格，"每千克9元"就是1千克苹果的价格，"每个2元"就是1个棒棒糖的价格。虽然说法不一样，但都是1件商品的价格。像这样表示每件商品价格的数，叫做单价。买了多少叫做数量，一共花了多少钱叫做总价。 金额怎么算的？18×3=54，9×4=36，2×6=12，都是单价乘数量。 所以总价=单价×数量，这就是乘法模型的第一种形式。 概括与分析：从购物小票的实际数据中发现"单价×数量=总价"的规律，比直接告诉公式要有意义得多。特别要注意"单价"的概念——它表示的是"每件商品的价格"，强调"每"字，是单位量。 学生容易把单价和总价混淆，通过对比同一行小票中的两列数据，帮助学生建立区分。 活动二：推一推，知道总价和数量能求什么 活动要求： 1. 知道总价和数量，怎么求单价？ 2. 知道总价和单价，怎么求数量？ 3. 从"总价=单价×数量"出发，推导变形关系式。 牛奶总价54元，3盒，54÷3=18元就是单价。苹果总价36元，每千克9元，36÷9=4kg就是数量。 单价=总价÷数量 数量=总价÷单价 和加法模型一样——知道两个量就能求出第三个量，用的是乘除法的互逆关系。 概括与分析：和加法模型的推导思路一样——从一个基本关系式出发，利用运算的互逆关系推导出变形公式。这种"知道两个量求第三个量"的思路在两个模型中都适用，体现了数学知识的一致性。 让学生在具体数据中验证推导结果，而不是空推公式。 三、巩固练习 基本练习 P62"做一做"第1题：举例说明什么是单价、数量和总价。 每支钢笔8元，买了5支，一共40元。单价8元，数量5支，总价40元。 综合练习 P62"做一做"第2题： （1）每套校服120元，买5套：120×5=600（元） （2）4箱粉笔840元，每箱：840÷4=210（元） 拓展练习 小亮买了3本同样的笔记本，付了50元，找回14元。每本多少钱？ 先算总价：50-14=36（元），再算单价：36÷3=12（元）。 先用了加法模型的逆运算求总价，再用乘法模型的逆运算求单价——两个模型串起来了。 概括与分析：拓展题把加法模型和乘法模型结合起来了。这类需要两步的问题，每一步都对应一个数量关系，要分步分析、分步列式。 拓展题让学生感受加法模型和乘法模型的衔接。 四、课堂小结 今天学的乘法模型和昨天学的加法模型有什么联系？ 乘法是相同分量加了好多次，是加法的简便形式。两个模型都能推导出逆运算的关系式，都是"知道两个量就能求第三个量"。 课时5：用单价×数量解决问题 课题 用单价×数量解决问题 | 第（5）课时 课型 （内容层面）问题解决课 （作用层面）新授课（生长课） 课时学习目标 1.通过水果店促销的情境，运用"总价=单价×数量"解决实际问题，学会比较两种解题方法。 2.能按"阅读理解—分析解答—回顾反思"三步框架分析问题，灵活选择不同思路。 3.在比较两种方法的过程中，理解乘法分配律的直觉基础，发展推理意识。 核心素养关联 模型意识：在促销问题中灵活运用乘法模型，感受同一问题的不同解法。 推理意识：比较两种方法，发现联系，初步感知乘法分配律。 应用意识：在促销、打折等生活情境中运用乘法模型。 学习重点 按"阅读理解—分析解答—回顾反思"三步框架解决问题 学习难点 比较两种解题方法的联系和区别 课前准备 教师：水果店促销情境课件 学生：练习本 板书设计 用单价×数量解决问题 方法一：原来的总价-现在的总价 12×4-9×4=48-36=12（元） 方法二：每千克便宜的钱×数量 （12-9）×4=3×4=12（元） 素养情境作业 超市促销：酸奶原价每盒6元，现价每盒4元。妈妈买了8盒，一共省了多少钱？用两种方法解答，并说说两种方法有什么联系。 成效反思 一、情境导入 出示水果店促销情境：苹果原价每千克12元，现价每千克9元。王阿姨买了4千克苹果，一共节省了多少钱？ "节省了多少钱"就是原来要花的钱和现在花的钱的差。 让学生先说清楚"节省"的数学含义。 二、活动探究 活动一：按三步框架分析解答 阅读理解：知道了原价12元/kg，现价9元/kg，买了4kg。问题是：一共节省了多少钱。"原价"就是原来的单价，"现价"就是现在的单价。 分析解答 方法一：12×4-9×4=48-36=12（元），原来的总价减去现在的总价。 方法二：（12-9）×4=3×4=12（元），先算每千克便宜3元，再乘4千克。 回顾反思：两种方法结果一样，都是12元，答案正确。 概括与分析：方法一用两次"总价=单价×数量"分别算出原来的总价和现在的总价，再相减——这是最直觉的思路。方法二先算单价的差再乘数量——这个想法更巧妙。关键是想清楚"节省"的数学含义。 强调三步框架的规范使用。两种方法让学生都写出来。 活动二：比一比，两种方法有什么联系 方法一：12×4-9×4 方法二：（12-9）×4 12×4是4个12，9×4是4个9，4个12减4个9，就等于4个（12-9）。 就像我有4组，每组12颗糖，拿走4组每组9颗，最后每组剩3颗，4组就是12颗。 这个例子很生动！这种"几个几减几个几等于几个差"的规律，以后会专门学习，叫做乘法分配律。 概括与分析：两种方法本质上是通过乘法分配律联系起来的。在这个阶段不需要正式讲乘法分配律，但让学生感受到"两种方法有内在联系"就足够了，为五年级的学习播下种子。 不必正式讲解乘法分配律，但让学生感受到"4个12减4个9=4个3"的直觉理解。 三、巩固练习 基本练习 P63"做一做"：买4袋大米，总价236元，比原来便宜84元。原价每袋多少钱？ 原来的总价=236+84=320（元），原价每袋=320÷4=80（元）。 也可以：每袋便宜84÷4=21（元），现在每袋236÷4=59（元），原价=59+21=80（元）。 综合练习 练习十三第3题：快餐店套餐一每份21元，套餐二每份18元，60元买3份有几种买法？ 3份套餐一63>60不行；2份套餐一+1份套餐二=60元可以；1份套餐一+2份套餐二=57元可以；3份套餐二54元可以。共3种买法。 概括与分析：买法题和课时2的买书题类似，关键是有序列举所有可能——3份套餐的组合只有4种，逐个验证就不会遗漏。 买法题强调"有序列举"的策略，避免遗漏。 四、课堂小结 今天学到的两种解题方法有什么关系？ 一种是分别算再减，一种是先算差再乘，结果一样，因为乘法分配律。遇到"比原来便宜多少""比原来贵多少"的问题，两种方法都可以用。 课时6：练习课——乘法模型（一） 课题 练习课——乘法模型（一） | 第（6）课时 课型 （内容层面）练习课 （作用层面）练习课 课时学习目标 1.通过分层练习，熟练运用"总价=单价×数量"及变形关系式解决购物情境中的实际问题。 2.在补全购物小票、方案比较等综合问题中，灵活运用乘法模型的正向和逆向形式。 3.在开放性问题中，体会数量关系的灵活运用，发展应用意识。 核心素养关联 模型意识：在不同购物情境中识别和应用乘法模型。 运算能力：在综合问题中正确列式计算。 应用意识：在牛奶购买、门票计算等生活情境中做出合理选择。 学习重点 熟练运用"总价=单价×数量"及变形关系式解决实际问题 学习难点 在综合问题中灵活选择正向或逆向关系式 课前准备 教师：练习情境课件 学生：练习本 板书设计 练习课——乘法模型（一） 总价=单价×数量（正向） 单价=总价÷数量（逆向） 数量=总价÷单价（逆向） 关键：先判断已知哪两个量、求哪个量 素养情境作业 文具店三种笔：签字笔5元、铅笔2元、马克笔8元。小明带30元买6支笔，每种至少1支，有几种买法？ 成效反思 一、基础热身 练习十三第1题：线段图填数量关系和算式。 左图：总价=单价×数量，15×5=75（元） 右图：单价=总价÷数量，126÷9=14（元） 线段图帮我们把数量关系看得更清楚。 概括与分析：线段图是理解数量关系的重要工具。左图的1段表示单价，段数表示数量，全长表示总价；右图已知全长和段数求每段。通过线段图，抽象的数量关系变成了直观的图形，这正是"几何直观"的体现。 线段图训练不仅是解题工具，更是培养几何直观的重要途径。 二、综合应用 活动一：补全购物小票 练习十三第4题：鲈鱼金额=25×2=50元；西红柿数量=32÷8=4kg；矿泉水金额=15×6=90元。验证：50+32+90=172元。 概括与分析：补全小票需要反复在三个关系式之间切换。最后的验证环节很重要，三个金额加起来等于合计，才能确认每一步都算对了。 活动二：方案比较与选择 练习十三第7题：牛奶①单盒5元，②4盒16元（单价4元），③8盒24元（单价3元）。 （1）8盒一箱最便宜，单价3元。 （2）买20盒：2箱+1组4盒=20盒，24×2+16=64元最划算。 概括与分析：关键是"先算单价比较哪个划算，再根据需要数量组合购买方案"。第（2）题需要学生先确定策略（选单价低的），再具体计算，培养策略意识。 补全小票是综合性练习。方案比较题需要学生自己设计购买方案并比较。 三、拓展思考 练习十三第8题：小东列式108÷6，解决的是什么问题？ 108是6个碗和6个杯子的总价，108÷6=18就是1个碗和1个杯子一共多少钱，也就是"一套多少钱"。 概括与分析：逆向思考题——给你算式，让你猜问题。需要学生对数量关系理解得非常清楚。108是6套的总价，÷6就是1套的价格。 逆向思考题训练学生从算式反推数量关系的能力。 四、课堂小结 今天的练习中，你觉得最难的是什么？ 方案比较那道题，要自己想怎么组合最划算。 第8题，要从算式猜问题，要反过来想。 共同点：不能直接套公式，要先想清楚数量之间的关系。 课时7：认识速度、路程、时间 课题 认识速度、路程、时间 | 第（7）课时 课型 （内容层面）概念课 （作用层面）新授课（种子课） 课时学习目标 1.通过步行上学"比谁走得快"的情境，理解速度的含义，认识速度的复合单位（如米/分、千米/时），掌握"路程=速度×时间"的乘法模型（二）。 2.能从乘法模型推导出"速度=路程÷时间""时间=路程÷速度"两个变形关系式。 3.感悟乘法模型的两种形式在数学本质上的统一性。 核心素养关联 模型意识：从行程情境中抽象出"路程=速度×时间"的乘法模型，感悟它与"总价=单价×数量"在数学本质上的同构性。 量感：通过具体数据感受速度的大小，理解复合单位中量纲的意义。 推理意识：比较不同比快方法，理解"速度=路程÷时间"的必要性。 学习重点 理解速度的概念和复合单位，掌握路程=速度×时间及变形关系式 学习难点 理解速度的复合单位含义，感悟乘法模型两种形式的统一性 课前准备 教师：步行上学情境课件、线段图 学生：练习本 板书设计 认识速度、路程、时间 单位时间走的路程→速度（米/分、千米/时） 走了多远→路程 走了多久→时间 路程=速度×时间 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度 素养情境作业 小明骑自行车每分钟行200米，从家到图书馆用了15分钟。回家时用了20分钟，回家时的速度是多少？ 成效反思 一、情境导入 三个同学步行上学：小红家到学校675米用了9分钟，小明家到学校480米用了9分钟，小丽家到学校480米用了6分钟。 比一比，谁走得最快？ 小红和小明比，时间一样，小红走得远，小红比小明快。 小丽和小明比，路程一样，小丽用时少，小丽比小明快。 小丽和小红呢？时间不一样，路程也不一样，怎么比？ 要算算他们每分钟走多少米——这就是速度。 "比谁快"从"时间相同比路程""路程相同比时间"到"都不同要比每分钟走多少米"，自然引出速度概念。 二、活动探究 活动一：算一算，每分钟走多少米 活动要求： 1. 算一算：小红、小明、小丽每分钟各走多少米？ 2. 比一比：谁走得最快？ 3. 想一想："每分钟走多少米"是怎么算出来的？ 小红：675÷9=75（米/分） 小明：480÷9≈53（米/分） 小丽：480÷6=80（米/分） 小丽最快。速度的写法和读法：80米/分读作"八十米每分"，800千米/时读作"八百千米每时"。斜杠"/"前面是路程单位，后面是时间单位。 概括与分析：速度的概念是本课的核心。通过三种比较方式的递进，学生自然理解了速度的必要性。速度的复合单位是难点，要让学生理解"米/分"中"/"表示"每"的意思。 速度的复合单位写法和读法是新内容。要通过多个例子反复练习，强化"斜杠前面是路程单位、后面是时间单位"的规则。 活动二：想一想，速度、路程、时间有什么关系 速度=路程÷时间，那路程=速度×时间，时间=路程÷速度。 和"总价=单价×数量"比一比： 速度像单价，都是"每……"的量。时间像数量，都是"几个/多长"的量。路程像总价，都是"一共多少"的量。 两组关系式在数学结构上是一样的，都是"每份的量×份数=总量"。只是购物场景叫"单价×数量=总价"，出行场景叫"速度×时间=路程"。 概括与分析：速度×时间=路程和单价×数量=总价在数学本质上是同一个模型——"每份的量乘份数等于总量"。这种"跨情境找共性"的思考方式，就是模型意识的体现。 不要教师直接告诉"它们是同一个模型"，而是让学生自己发现对应关系。 三、巩固练习 基本练习 P67"做一做"： （1）小林每分钟走60m，15分钟走多少米？60×15=900（米） （2）蜜蜂每秒飞行5m，飞行600m需要多长时间？600÷5=120（秒） 综合练习 P67第6题：8:30出发11:30到达，里程数2522→2792。 时间：3小时，路程：270千米，速度：270÷3=90（千米/时） 这道题需要先算时间和路程，才能算速度。里程数的差就是路程。 概括与分析：第6题的信息呈现方式不同——时间不是直接给出的，而是要算两个时刻的差；路程也不是直接给出的，而是要算两个里程数的差。这种间接给条件的方式在行程问题中很常见。 里程数概念对学生来说是新知识。引导学生理解"两次里程数的差就是这段路行驶的距离"。 四、课堂小结 今天学的乘法模型和上节课学的有什么关系？ 都是乘法模型，一个和个数有关（单价×数量=总价），一个和物理量有关（速度×时间=路程），但数学结构是一样的：每份的量×份数=总量。 课时8：用速度×时间解决问题 课题 用速度×时间解决问题 | 第（8）课时 课型 （内容层面）问题解决课 （作用层面）新授课（生长课） 课时学习目标 1.通过汽车里程表的情境，运用"路程=速度×时间"及其变形关系式解决复杂的行程问题。 2.能按"阅读理解—分析解答—回顾反思"三步框架分析问题，在多步骤行程问题中合理确定解题步骤。 3.在回顾反思中养成验算习惯，发展推理意识和应用意识。 核心素养关联 模型意识：在里程表问题中综合运用"路程=速度×时间"和"速度=路程÷时间"。 推理意识：从里程数推算路程，从时刻推算时间，验算时用模型反推验证。 应用意识：在真实的出行情境中运用数量关系解决问题。 学习重点 按"阅读理解—分析解答—回顾反思"三步框架解决复杂的行程问题 学习难点 从里程表和时刻中提取路程和时间信息 课前准备 教师：汽车里程表情境课件 学生：练习本 板书设计 用速度×时间解决问题 阅读理解→分析解答→回顾反思 时间：11:30-8:30=3（时） 路程：2792-2522=270（千米） 速度：270÷3=90（千米/时） 验算：90×3=270（千米） 素养情境作业 李叔叔下午1:30以90千米/时的速度从乙地出发前往丙地，下午3:30到达。乙地和丙地之间的路程是多少千米？ 成效反思 一、情境导入 回顾上节课：李叔叔开车从甲地到乙地，出发里程数2522，到达里程数2792，用时3小时，速度90千米/时。今天继续用速度、路程、时间的关系来解决更复杂的问题。 从上节课的问题自然过渡。 二、活动探究 活动一：按三步框架解决里程表问题 阅读理解：知道了出发时刻8:30和到达时刻11:30，出发里程数2522和到达里程数2792。要解决的问题是速度。 分析解答 时间：11:30-8:30=3（时） 路程：2792-2522=270（千米） 速度：270÷3=90（千米/时） 回顾反思 验证：90×3=270（千米），2522+270=2792（千米），一致，答案正确。 验证的时候反过来用了"路程=速度×时间"，算出路程加到出发里程数上看是不是等于到达里程数。用不同的关系式来验证，比重新算一遍更有说服力。 概括与分析：关键在于"提取信息"——时间和路程都不是直接给出的，需要从时刻差和里程数差中推算。回顾反思用不同关系式验证，是更高质量的验算方式。 里程表问题需要学生理解"里程数差=路程"。验算环节强调用不同关系式验证。 活动二：变式练习——已知速度和时间的正向运用 P68"做一做"：下午1:30以90千米/时从乙地出发，3:30到达丙地。 时间：2小时，路程=90×2=180（千米）。 这和上一题有什么不同？上一题求速度用除法，这题求路程用乘法。同一组三个量，知道哪两个、求哪个，决定了用乘法还是除法。 概括与分析：两道题用的是同一组关系式，但已知和未知不同，运算方向就不同。关键是在具体问题中判断"已知什么、求什么"。 两道题对比，帮助学生理解"同一模型、不同方向"的思想。 三、巩固练习 基本练习 练习十四第1题：小军72米/分，小东5分钟走400米（速度80米/分），小东更快。 综合练习 练习十四第3题：甲乙两城305千米，行驶3小时后离乙城20千米。 已行路程：305-20=285（千米），速度：285÷3=95（千米/时）。305千米是总路程，不是已行驶的路程，要减去剩余部分。 拓展练习 练习十四第5题：去时40千米/时用3小时，返回用2小时。 （1）路程=40×3=120（千米） （2）返回速度=120÷2=60（千米/时） 同一段路，走得快时间就短，走得慢时间就长。 概括与分析：第3题和第5题的难点都在于"路程不是直接给出的"。引导学生先画线段图标明各段路程，再确定用哪一段路程代入关系式。 第3题和第5题都需要先求出"实际行驶的路程"。引导学生画线段图分析。 四、课堂小结 解决行程问题，最关键的是什么？ 先想清楚已知什么、求什么，再选关系式。 有些路程不是直接给的，要先算出来。 验算的时候用不同的关系式来检查。 课时9：整理和复习 课题 整理和复习 | 第（9）课时 课型 （内容层面）复习课 （作用层面）整理课 课时学习目标 1.通过梳理本单元学习内容，构建"一个加法模型+两个乘法模型"的知识网络，理解三者之间的内在联系。 2.通过综合练习，熟练运用三类数量关系解决实际问题，在复杂情境中灵活选择模型。 3.在反思中总结学习经验，形成"分析问题→选择模型→列式解答→回顾验证"的问题解决策略。 核心素养关联 模型意识：梳理三类数量关系的知识结构，感受加法模型和乘法模型的统一性。 推理意识：在复合问题中分析每一步应该用哪个模型。 应用意识：在真实情境中综合运用三类数量关系。 学习重点 构建数量关系知识网络，综合运用三类模型解决问题 学习难点 在复合问题中灵活选择和组合不同的数量关系模型 课前准备 教师：知识结构图课件 学生：练习本、彩色笔 板书设计 整理和复习 数量关系 ├── 加法模型：总量=分量+分量 ├── 乘法模型（一）：总价=单价×数量 └── 乘法模型（二）：路程=速度×时间 共同点：三个量之间的关系，知二求一 素养情境作业 设计一个"周末出行计划"：家到目的地约240千米，开车速度约80千米/时；到达后购物3件每件65元；回家路上加油花240元每升8元。写出涉及的每组数量关系并计算。 成效反思 一、知识梳理 活动一：画一画，整理本单元学了什么 活动要求： 1. 回顾本单元学习内容，用思维导图或表格整理三类数量关系。 2. 写出每组关系式的基本形式和变形形式。 3. 想一想：三类关系式有什么共同点？ 共同点：都是三个量之间的关系，知道两个就能求第三个。 乘法模型的两组关系式结构一样：单价是"每件的价格"，速度是"每单位时间走的路程"，都是"每……"的量。 概括与分析：梳理的目的是帮学生建立知识网络。关键发现是"三组关系式的共同结构"——都是三个量，知二求一。乘法模型的两种形式在数学本质上是同构的。理解了这个统一性，就不需要分别记忆六七个公式，只需要理解一个结构。 梳理环节不要由教师直接给出知识结构图，要让学生自己整理。 二、综合练习 活动二：练一练，综合运用三类模型 综合题：学校组织秋游，门票成人8元/人、儿童4元/人、团体（10人及以上）6元/人。2位老师和32名学生，最少需要花多少钱？ 方案一：成人2×8=16元，儿童32×4=128元，合计144元。 方案二：10人团体6×10=60元+24名儿童4×24=96元=156元，反而更贵。 方案三：34人全团体6×34=204元，更贵。 最少144元。算总价用了乘法模型，加起来用了加法模型。 第二组：甲地到乙地500千米，甲→A服务区115km→B服务区117km→乙地。从B服务区出发，每小时95km，3小时后能到达吗？ B到乙地：500-115-117=268（千米），3小时走95×3=285（千米），285>268，能到达。 先用加法模型的逆运算求剩余路程，再用乘法模型判断能否到达。 概括与分析：两道综合题分别展示了"加法+乘法（一）"和"加法+乘法（二）"的组合。重点引导学生说出"每一步用了哪个模型"，强化"分步分析"的意识。 两道综合题分别展示了不同模型的组合。重点引导学生说出"每一步用了哪个模型"。 三、拓展提升 回顾整个单元，你印象最深的是什么？ 速度的写法和读法，以前没见过。 两种解题方法结果一样，因为乘法分配律。 里程表上的数不是路程，要减一下才是。 成长小档案里说："总量=分量+分量、总价=单价×数量、路程=速度×时间是常用的数量关系。"这三句话就是本单元的核心。 概括与分析：让学生用自己的话总结收获，比教师概括更有意义。从学生的回答可以看出他们真正理解了什么——有人记住了概念，有人记住了方法，有人记住了易错点。这些个性化的收获，正是单元整理的价值所在。 开放式的总结让学生表达自己的学习体验。 四、课堂小结 三类数量关系的共同特点是什么？ 都是三个量之间的关系，知道两个就能求第三个。 解决问题时，先想清楚已知什么、求什么，再选关系式。 遇到多步骤问题，拆成小问题，一步一步来。 学科网（北京）股份有限公司 $