河南省2025-2026学年高一下学期期末模拟数学考试卷（四）

**基本信息** 立足高一必修内容，以圆锥模型、测量楼高为情境载体，融合函数、几何、统计等知识，通过分层设问考查数学抽象、运算推理及模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5/77|直三棱柱证明与求角、解三角形应用、向量与三角函数综合|19题“友好函数”创新定义，分层设问问，18题提供测距仪/测角仪选择，考查应用意识|

2025-2026学年河南省高一期末模拟考试卷（四） 数学 考试范围：必修一、必修二；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 3．下列说法正确的是（     ） A．向量与向量是相等向量． B．向量的模是一个正实数． C．与实数类似，对于向量，有，，三种关系． D．若两个向量是共线向量，则这两个向量所在的直线平行或重合． 4．若集合，，则（     ） A． B． C． D． 5．上海某会议中心是一个外形为圆锥体的建筑，其造型被赋予了“精益求精、追求卓越”的象征意义．已知一个该建筑物模型的底面半径为，侧面积为，则该圆锥形模型的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 6．将函数图象上各点的横坐标先缩短至原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位，得到曲线．若直线是曲线的一条对称轴，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 7．已知函数在上有且仅有1个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．在边长为2的正方形中，剪去以为圆心，1为半径的扇形后得到的图形如图所示，以所在的直线为轴，其余边和弧旋转一周形成的面围成一个几何体，则（     ） A．该几何体的形状为圆柱中挖去个球 B．该几何体的形状为圆柱中挖去个球 C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为 10．下列说法正确的是（   ） A．函数与是相同的函数 B．函数的最小值为6 C．若，则 D．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 11．如图所示，线段是圆的弦，其中，，点为圆上任意一点，则以下结论正确的是（     ） A． B． C．的最大值是48 D．当时， 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知，则函数的最小值为________. 13．光明中学举办演讲比赛，其中8人比赛的成绩为：85，86，88，89，90，92，94，98（单位：分），则这8人成绩的第60百分位数和第70百分位数的和为______． 14．对于定义在上的函数，和是上任意给定的两个实数，当时，恒有，则实数的取值范围是____________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．已知为实数，向量，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 16．若袋中有6个大小质地完全相同的球，其中2个红球、4个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球. (1)求摸出的2个球的颜色不一样的概率； (2)记事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“第二次摸到红球”，试判断事件与事件是否相互独立？并说明理由. 17．如图，在直三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，，点D为的中点． (1)求证：⊥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若点A，B，C，D都在同一个球的表面上，求该球的表面积． 18．如图所示，在某寄宿高中，标准篮球场的宽m，为学生宿舍楼的边沿，在篮球场与宿舍楼之间有一低矮建筑，使得人在篮球场上无法看到宿舍楼的底部处． 某班数学老师给本班同学布置了以下课外作业：在篮球场上测量学生宿舍楼的高，要求只能在以下两件测量工具中选择一件完成作业． ① 测距仪：能够测量观测点与目标点间的直线距离； ② 测角仪：能够测量观测点到目标点的仰角． (1)甲利用测距仪测得m，m，并据此计算出宿舍楼的高．请你写出甲的计算过程 (结果精确到0.1m)； (2)乙利用测角仪也完成了作业，请你写出乙的测量方案，并用假设的测量数据(字母表示)表示宿舍楼的高． 19．设向量，函数，则称函数为向量的友好函数，称向量为函数的友好向量． (1)设 ，且函数的友好向量为，求的单调增区间； (2)设 ，函数的友好向量为，且的最小正周期为，若在上恰有5个零点，求实数 的取值范围； (3)如果函数的定义域为 ，若对于任意 ，， ，，，分别为某个三角形的边长，则称为“三角形函数”．现已知 ，且函数的友好向量为，记 ，当定义域为时，为“三角形函数”，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年河南省高一期末模拟考试卷（四） 数学 考试范围：必修一、必修二；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】由， 在复平面内对应的点为，位于第一象限. 2．的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以. 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 3．下列说法正确的是（     ） A．向量与向量是相等向量． B．向量的模是一个正实数． C．与实数类似，对于向量，有，，三种关系． D．若两个向量是共线向量，则这两个向量所在的直线平行或重合． 【答案】D 【详解】对于A，因为向量与向量是相反向量，不是相等向量，故A错误； 对于B，因为向量的模是一个非负实数，故B错误； 对于C，与实数不一样，两个实数可以比较大小，但两个向量不能比较大小，故C错误； 对于D，若两个向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合，故D正确. 4．若集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题干定义，求出集合，再求出. 【详解】根据题干定义，集合 所以，. 5．上海某会议中心是一个外形为圆锥体的建筑，其造型被赋予了“精益求精、追求卓越”的象征意义．已知一个该建筑物模型的底面半径为，侧面积为，则该圆锥形模型的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥内切球半径即为圆锥轴截面三角形的内切圆半径求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为，则，则, 所以圆锥的高, 由于圆锥的轴截面为等腰三角形，其面积，周长, 所以轴截面等腰三角形内切圆的半径, 故该圆锥形模型的内切球的半径为 6．将函数图象上各点的横坐标先缩短至原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位，得到曲线．若直线是曲线的一条对称轴，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据三角函数的图像变换得到的解析式，再根据三角函数的对称性即可求出的最小值． 【详解】依题意可得， 又直线是曲线的一条对称轴， 则，，解得，， 所以的最小值为． 7．已知函数在上有且仅有1个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出相位在指定区间上的范围，再利用正弦函数的性质列出不等式组求解. 【详解】当时，，由函数在上恰有1个零点，， 得或，解得或， 所以的取值范围是. 8．设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数是减函数，所以，即； 因为函数是减函数，所以，即； ， ，所以. 函数是减函数，所以，即. 所以. 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．在边长为2的正方形中，剪去以为圆心，1为半径的扇形后得到的图形如图所示，以所在的直线为轴，其余边和弧旋转一周形成的面围成一个几何体，则（     ） A．该几何体的形状为圆柱中挖去个球 B．该几何体的形状为圆柱中挖去个球 C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为 【答案】AD 【详解】对于A，B，正方形以所在的直线为轴旋转一周，形成一个底面半径为2，高为2的圆柱；由正方形得，则扇形（圆心角为的扇形）绕所在的直线为轴旋转一周，形成一个半球（球的半径为1），因此该几何体的形状为圆柱中挖去个球，如图所示， 故A正确，B错误； 对于C，圆柱的底面半径，高，半球的半径，则，，，，得，故C错误； 对于D，圆柱的底面半径，高，半球的半径，则，，得，故D正确. 10．下列说法正确的是（   ） A．函数与是相同的函数 B．函数的最小值为6 C．若，则 D．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ACD 【分析】根据定义域以及对应关系即可判断A，由基本不等式即可求解B，根据配凑法求解析式判断C，由抽象函数定义域的性质即可求解D. 【详解】由，解得，所以的定义域为， 由，解得，所以的定义域为， 又， 故函数与是相同的函数，故A正确； ， 当且仅当时取等号，方程无解，等号不成立，故B错误； 因为，所以，故C正确； 由，得，所以的定义域为，故D正确． 11．如图所示，线段是圆的弦，其中，，点为圆上任意一点，则以下结论正确的是（     ） A． B． C．的最大值是48 D．当时， 【答案】ABC 【分析】对A：结合半径，即可得；对B：借助数量积公式计算即可得；对C：借助平面向量线性运算与数量积公式计算即可得；对D：取中点，再分在、之间与在、之间讨论即可得. 【详解】对A：由圆的半径，故，故A正确； 对B：，故B正确； 对C： ， 当且仅当、共线时，等号成立，故C正确； 对D：，则，取中点，则、C、三点共线， 若在、之间，则， 若在、之间，则，故D错误. 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知，则函数的最小值为________. 【答案】4 【分析】利用基本不等式求解即可 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立. 13．光明中学举办演讲比赛，其中8人比赛的成绩为：85，86，88，89，90，92，94，98（单位：分），则这8人成绩的第60百分位数和第70百分位数的和为______． 【答案】 【分析】根据百分位数的求法求得正确答案. 【详解】，所以第60百分位数是. ，所以第70百分位数是. 所以第60百分位数和第70百分位数的和为. 14．对于定义在上的函数，和是上任意给定的两个实数，当时，恒有，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【分析】根据分段函数在不同区间上的单调性，再结合区间并应用分类讨论研究不同区间值域是否有交集，即可得实数的取值范围. 【详解】令，则 ①当时，则，且上单调递增， 所以时，满足恒有； ②当时，，显然时在上单调递增， 所以时，满足恒有； ③当时， 在上单调递减，此时，且， 在上单调递增，此时，且， 显然与有交集， 所以时，不满足时，恒有； ④当时，则上单调递减，且， 上单调递增，且， 若，即，不符合的前提， 若，即时，与无交集， 若时，恒有且，显然与有交集， 所以，时，不满足时，恒有， 时，满足时，恒有； ⑤当时， 在上单调递减，此时，且， 在上单调递增，此时，且， 显然与有交集， 所以时，不满足时，恒有； ⑥当时，则，且在上单调递减， 所以时，满足时，恒有； 综上，的取值范围是 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．已知为实数，向量，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) 或 (2) 【详解】（1）由题意可得，化简得 ， 解得 ，或 . （2）由题意可得 ，解得 ，故， 因此， 故. 16．若袋中有6个大小质地完全相同的球，其中2个红球、4个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球. (1)求摸出的2个球的颜色不一样的概率； (2)记事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“第二次摸到红球”，试判断事件与事件是否相互独立？并说明理由. 【答案】(1) (2)不相互独立，理由见解析 【分析】（1）求出样本空间中样本及待求事件样本数，根据古典概型概率计算公式计算即可. （2）求出事件与事件的概率，结合独立事件的概念判断即可. 【详解】（1）将两个红球编号为1，2，四个黄球编号为3，4，5，6. 从中不放回地依次随机摸出2个球有样本空间， 共含有30个样本点. 设事件表示“摸出的2个球的颜色不一样”，则， 样本点有16个，所以. （2），共含有10个样本点，所以； ，共含有10个样本点，所以， ，共含有2个样本点，所以， 所以，所以事件与事件不相互独立. 17．如图，在直三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，，点D为的中点． (1)求证：⊥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若点A，B，C，D都在同一个球的表面上，求该球的表面积． 【答案】(1)在直三棱柱中，平面，又平面，所以， 因为，，由勾股定理得， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以．设与交于点E， 因为点D为的中点，在矩形中，，， 所以，又，， 所以，因为， 所以，所以，， 因为，，平面， 所以平面． (2) (3)． 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面，进而得到，再由，证明，结合线面垂直的判定定理即可得证. （2）由（1）可得平面平面，且平面平面， 所以点到平面的距离就是点到直线的距离d，由等面积法求得d，即可得解. （3）取CD的中点O，可证,即点A，B，C，D都在以O为球心的球O的表面上，该球的半径，即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）可得，平面，且平面， 所以平面平面，且平面平面， 所以点到平面的距离就是点到直线的距离d， 由（1）可得，，，， 所以， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． （3）因为，，，， 取CD的中点O，则， 取BC中点F，连接AF，OF，因为，F为BC的中点，所以， 在直棱柱中，平面ABC，又平面ABC，所以， 因为，，平面， 所以平面，又平面，所以，且，， 所以， 所以点A，B，C，D都在以O为球心的球O的表面上，该球的半径，表面积为． 18．如图所示，在某寄宿高中，标准篮球场的宽m，为学生宿舍楼的边沿，在篮球场与宿舍楼之间有一低矮建筑，使得人在篮球场上无法看到宿舍楼的底部处． 某班数学老师给本班同学布置了以下课外作业：在篮球场上测量学生宿舍楼的高，要求只能在以下两件测量工具中选择一件完成作业． ① 测距仪：能够测量观测点与目标点间的直线距离； ② 测角仪：能够测量观测点到目标点的仰角． (1)甲利用测距仪测得m，m，并据此计算出宿舍楼的高．请你写出甲的计算过程 (结果精确到0.1m)； (2)乙利用测角仪也完成了作业，请你写出乙的测量方案，并用假设的测量数据(字母表示)表示宿舍楼的高． 【答案】(1)25.5 m (2)在点测得楼顶的仰角为，在点测得楼顶的仰角为，则（m）． 【分析】（1）在中，利用余弦定理求得，再转换得到，从而在中可求得. （2）在点测得楼顶的仰角为，在点测得楼顶的仰角为，中利用正弦定理求， 再利用是直角三角形可求. 【详解】（1）在中，由余弦定理得 . 所以. 在中， ， 所以(m). （2）在点测得楼顶的仰角为，在点测得楼顶的仰角为． 在中，由正弦定理得， 即． 所以. 在中，(m). 19．设向量，函数，则称函数为向量的友好函数，称向量为函数的友好向量． (1)设 ，且函数的友好向量为，求的单调增区间； (2)设 ，函数的友好向量为，且的最小正周期为，若在上恰有5个零点，求实数 的取值范围； (3)如果函数的定义域为 ，若对于任意 ，， ，，，分别为某个三角形的边长，则称为“三角形函数”．现已知 ，且函数的友好向量为，记 ，当定义域为时，为“三角形函数”，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合题意求出函数解析式，再利用整体代入法求解单调区间即可. （2）结合题意求出函数解析式，再利用正弦函数的性质求解参数范围即可. （3）由题意得到，再利用换元法并结合“三角形函数”定义分类列出不等式求解即得. 【详解】（1）由题意得 ，且函数的友好向量为， 则 ， 令，解得 ， 可得的单调增区间为 . （2）由题意得函数的友好向量为， 则 ， 而的最小正周期为，得到 ，解得 ， 则 ，令 ， 解得 ，再列举出 时， 当 时，得到，当 时，得到， 当时，得到，当 时，得到， 当 时，得到，当 时，得到， 而在上恰有5个零点，可得. （3）由题意得 ，且函数的友好向量为， 可得 ，而 ， 得到 ， 当时，可得， 依题意， 为“三角形函数”，当且仅当， 当 时， ，恒有 ， ， 满足，则 ； 当时， ，显然有 ， 由，得 ，解得 ，因此 ； 当时， ，必有 ，即 ， 由，得 ，解得，因此 ， 故实数的取值范围是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $