河南省2025-2026学年高一下学期期末自编模拟考数学试卷（二）

**基本信息** 以牛皮鼓表面积计算（文化传承）、垃圾分类竞赛统计（社会热点）为情境，融合集合、立体几何、函数等必修核心知识，通过分层抽样、空间几何探究等问题设计，考查数学抽象、空间观念与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合运算、分层抽样、不等式|基础巩固，如第2题抽样计算考查数据处理| |多项选择|3/18|空间垂直、向量命题、狄利克雷函数|能力辨析，如第11题函数性质探究逻辑推理| |填空题|3/15|复数虚部、不等式最值、组合计数|简洁应用，第14题合影计数考查模型意识| |解答题|5/77|统计图表分析、正方体几何证明、向量与三角函数、函数单调性|综合创新，如16题几何探究培养空间观念，15题频率分布直方图提升数据观念|

2025-2026学年河南省高一期末模拟考试卷（二） 数学 考试范围：必修一、必修二；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，，则 （     ） A． B． C． D． 2．某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用比例分配的分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本．已知从女生中抽取80人，则等于（    ） A．80 B．100 C．192 D．200 3．牛皮鼓，又称堂鼓、喜庆鼓，多用于江南祠堂内婚嫁迎娶和迎新年等．如图所示的牛皮鼓的鼓面直径为 cm，鼓身高度为 cm，用平行于鼓面的平面截牛皮鼓，所得截面圆的最大直径为 cm，若将该牛皮鼓看成由两个相同的圆台拼接而成，忽略鼓面与鼓身的厚度，则该牛皮鼓的表面积为（     ） A． B． C． D． 4．已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 5．已知，函数，为奇函数，则（     ） A．13 B．24 C．80 D．240 6．已知的内角、、的对边分别为、、，若面积，则 （   ） A． B． C． D． 7．设向量，，满足，，则的最大值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．如图，是圆的直径，，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于，于，则下列结论正确的是（     ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 10．下列命题中为真命题的是（   ） A．若与是共线向量，则点、、共线 B．若为非零向量，则与反向 C．若，则 D．若，，则 11．德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet）定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（ ） A．存在，有 B．函数的图像关于直线对称 C．函数是周期函数，无最小正周期 D．存在三个点，，，使为等腰直角三角形 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．若（是虚数单位），则复数的虚部是______． 13．已知，，，则的最小值为____． 14．摄影师给8名同学照相，有两人合影，也有三人合影，若任意两名同学都恰好合影一次，则最少要拍的照片数为________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数，众数，中位数； (3)在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取28名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数. 16．如图，在正方体中，，，分别为棱，，的中点.    (1)求证：四点共面. (2)设平面平面，求证：. (3)棱，上是否分别存在点，，使平面平面？若存在，求与的值；若不存在，请说明理由. 17．如图，在平行四边形中，，，，点满足，为的中点.记，. (1)用，表示，； (2)设，求的值. 18．已知向量，设函数． (1)化简并写出的最小正周期； (2)若，且，求的值； (3)在锐角中，若，求周长的取值范围． 19．已知函数是定义在上的奇函数， (1)用定义证明在上单调递增； (2)解关于的不等式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年河南省高一期末模拟考试卷（二） 数学 考试范围：必修一、必修二；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列举法表示集合、交集的概念及运算 【详解】由，， 所以． 2．某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用比例分配的分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本．已知从女生中抽取80人，则等于（    ） A．80 B．100 C．192 D．200 【答案】C 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【详解】因为，所以，所以． 3．牛皮鼓，又称堂鼓、喜庆鼓，多用于江南祠堂内婚嫁迎娶和迎新年等．如图所示的牛皮鼓的鼓面直径为 cm，鼓身高度为 cm，用平行于鼓面的平面截牛皮鼓，所得截面圆的最大直径为 cm，若将该牛皮鼓看成由两个相同的圆台拼接而成，忽略鼓面与鼓身的厚度，则该牛皮鼓的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆台表面积的有关计算 【分析】将牛皮鼓抽象成两个完全相同的圆台拼接而成的组合体，利用台体的侧面积和圆的面积公式分别计算侧面积和底面积求和. 【详解】由题可知，牛皮鼓是两个完全相同的圆台底面对底拼接而成， 其中一个圆台，上底面半径 ，下底面半径，高为. 圆台的母线长为，则， 圆台侧面积为 ，上底面积为， 所以牛皮鼓的表面积为 . 4．已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用已知条件进行常数代换化简所求式，再结合基本不等式求解最小值并验证取等条件． 【详解】因为，，且， 所以，，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 5．已知，函数，为奇函数，则（     ） A．13 B．24 C．80 D．240 【答案】D 【知识点】求函数值、指数幂的运算、由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的性质求出的值，进而求解即可． 【详解】由， 则， 又函数为上的奇函数，则， 即对任意成立， 整理得 所以，即，结合，解得， 所以，即． 6．已知的内角、、的对边分别为、、，若面积，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由条件等式求正、余弦、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】结合三角形面积公式与余弦定理建立关于角C的三角函数关系，再利用同角三角函数基本关系求解. 【详解】根据三角形面积公式，的面积， 由余弦定理得. 由可得， 化简得 ， 两边平方得， 即， 整理得， 因为C为三角形内角，即，故，解得. 7．设向量，，满足，，则的最大值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用 【详解】如图所示： 设，作， 作，所以， 因为，所以， 由可知，所以点在以为圆心，以为半径的圆上， 所以当共线时，的最大值为. 8．若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【详解】，. 函数在上存在单调递增区间， 在上有解，即在上有解； 在上有解，即. 令，； 在上单调递减， 时，取得最大值； ，即实数的取值范围为. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．如图，是圆的直径，，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于，于，则下列结论正确的是（     ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】ABC 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】根据线面垂直的判定定理，性质定理，结合面面垂直的判定定理得到结果. 【详解】选项A：因为垂直于圆所在的平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面，故选项A正确； 选项B：因为平面，平面， 所以， 因为是圆的直径，且为圆周上不与点，重合的点， 所以，即， 因为，平面， 所以平面，故选项B正确； 选项C：因为平面，平面， 所以， 因为于点，，平面， 所以平面，因为平面， 所以， 因为于点，，平面， 所以平面，故选项C正确； 选项D：平面平面，平面，于点， 假设平面平面，则必有平面， 因为平面，则必有， 因为平面，平面，则有， 因为平面，则必有， 因为垂直于圆所在的平面，， 所以，因为于点， 所以为的中点，由，则为的中点， 又于点，则， 因为是圆的直径， 且为圆周上不与点，重合的点，，推出矛盾. 故假设错误， 选项D错误. 10．下列命题中为真命题的是（   ） A．若与是共线向量，则点、、共线 B．若为非零向量，则与反向 C．若，则 D．若，，则 【答案】ACD 【知识点】零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量）、平面向量共线定理证明点共线问题、垂直关系的向量表示 【详解】对于A，∵ 与为共线向量，且两向量有公共端点，则、、共线，故A正确. 对于B，∵ 为非零向量，，的方向与的方向相同，不可能反向，故B错误. 对于C，当、均为非零向量时，等价于两向量夹角为，即； 根据教材规定，零向量与任意向量的数量积为0，且零向量与任意向量垂直， ∴ 对任意向量、，若，则，故C正确. 对于D，因相等向量的大小与方向均相同，由 ，，可得，故D正确. 11．德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet）定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（ ） A．存在，有 B．函数的图像关于直线对称 C．函数是周期函数，无最小正周期 D．存在三个点，，，使为等腰直角三角形 【答案】ABC 【知识点】分段函数的性质及应用、函数的周期性的定义与求解、函数对称性的应用、函数新定义 【分析】代入特殊值可判断选项A，利用对称性可判断选项B，利用周期性可判断选项C，利用函数的定义域和单调性和函数的奇偶性的应用判定选项D的结论. 【详解】对于A：取，则，，因此存在，有，故A正确； 对于B：若是有理数，则也是有理数，故， 若是无理数，则也是无理数，故， 因此，，是偶函数，图像关于直线对称，故B正确； 对于C：设为任意有理数，若是有理数，则是有理数，， 若是无理数，则是无理数，，因此，任意正有理数都是的周期， 而任意正有理数无最小值，故无最小正周期，故C正确； 对于D：假设存在三个点，，，使为等腰直角三角形，不妨设， 分两类情况，第一种，斜边平行于轴或在轴上； 第二种，斜边不平行于轴或也不在轴上，如图所示    第一种情况，不妨设斜边在轴上， 所以，，即，则， 此时，，，与假设矛盾； 第二种情况，不妨设点在轴上，即，所以， 此时，，即在轴上，与假设矛盾，故D错误. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．若（是虚数单位），则复数的虚部是______． 【答案】2 【知识点】求复数的实部与虚部、复数加减法的代数运算 【详解】因为复数，则.所以复数的虚部是. 13．已知，，，则的最小值为____． 【答案】 【知识点】条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】由可得 ， 当且仅当，即，也即，时等号成立， 即的最小值为． 14．摄影师给8名同学照相，有两人合影，也有三人合影，若任意两名同学都恰好合影一次，则最少要拍的照片数为________. 【答案】 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【详解】设三人合影张，两人合影张， 则. 从而，当最大时，所拍照片总数最少. 当时，由知，有一人出现4次，在出现的4张三人合影中有其他人共八次， 故必有一人与在两张三人合影中同时出现，矛盾. 当时，，可以办到，将八个人编号为， 所拍的12张照片可以为， 所以最少要拍的照片数为12. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数，众数，中位数； (3)在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取28名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数. 【答案】(1) (2)平均数为，众数为，中位数为 (3) 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、频率分布直方图的实际应用、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、根据频率分布直方图计算众数 【分析】（1）利用频率分布直方图的特征计算参数即可； （2）根据平均数，众数，中位数的求解方式求解即可； （3）先计算，，的比例，再根据分层抽样计算人数即可． 【详解】（1）由题可知， 解得； （2）平均数， 众数为， 根据题意，中位数在，设中位数为 ， 解得：， 则中位数为； （3）竞赛成绩在，，内的比人数例为， 故内被抽取的人数为（人）． 16．如图，在正方体中，，，分别为棱，，的中点.    (1)求证：四点共面. (2)设平面平面，求证：. (3)棱，上是否分别存在点，，使平面平面？若存在，求与的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)因为分别是​的中点，所以是​的中位线，得​. 在正方体中，且，所以四边形是平行四边形，得， 因此由平行公理得，两条平行直线确定唯一平面， 所以共面，故四点共面. (2)由（1）分析知​，平面，平面​， 所以平面. 又平面，平面平面， 根据线面平行的性质定理，得，结合（1）中，得. (3) 存在，. 【知识点】空间中的点（线）共面问题、证明线面平行、证明面面平行、线面平行的性质 【分析】（1）根据中位线定理及平面的性质可得； （2）先证 平面，再由线面平行的性质可得 ，再结合（1）分析可得； （3）先由可得，再结合（1）的分析得 平面 .再构造平行四边形 ，进而可得 平面 ，再由面面平行的判定定理可得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）存在 点，且时，平面 平面 .理由如下： .   若，由线段成比例，所以. 又（1）分析知，得 ， 平面 ， 平面 ， 由线面平行的判定定理得 平面 . 设 分别为 的中点，连接 ，所以 . 又 分别是的中点，所以且. 因为 分别是的中点，所以，即， 又，所以，由线段成比例，所以且. 由平行公理得 且 ，所以四边形 是平行四边形， 所以 ，且 ，因此 . 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 . 因为 平面 ， 平面 ，且 ， 平面 ， 由面面平行的判定定理得平面 平面 . 因此，存在 点，且时，平面 平面 . 17．如图，在平行四边形中，，，，点满足，为的中点.记，. (1)用，表示，； (2)设，求的值. 【答案】(1)， (2) 【知识点】用基底表示向量、向量夹角的计算 【分析】（1）利用向量加法的三角形法则和向量数乘即可得到答案； （2）利用向量数量积公式即可计算. 【详解】（1）； . （2） ， ， ， 所以. 18．已知向量，设函数． (1)化简并写出的最小正周期； (2)若，且，求的值； (3)在锐角中，若，求周长的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为 (2) (3) 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、辅助角公式、给值求值型问题、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算，结合三角恒等变形即可求出周期； （2）利用变换角，再由两角差正弦公式即可求值； （3）利用正弦定理化边为角，借助函数的单调性即可求值域. 【详解】（1） 函数的最小正周期为． （2），且，则， 故， 则 ； （3），又为锐角三角形， 所以，则， 由正弦定理， 可得三角形的周长， 解得，因为都在上递增， 所以在上单调递减， 所以的取值范围为． 19．已知函数是定义在上的奇函数， (1)用定义证明在上单调递增； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)对于任意的，且， 则， ∵，∴，，∴， ∴，即， ∴函数在上是增函数. (2) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）对于任意的，且，利用作差法判断的大小关系即可得证； （2）先判断函数的奇偶性，再根据函数的奇偶性结合函数的单调性即可得解. 【详解】（1）略 （2）因为且定义域关于原点对称，所以是奇函数， 则，即， 所以，解得， 则不等式的解集为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $