精品解析：江苏省扬州市弘扬中学2025-2026学年高一下学期期中考试单招数学试题

弘扬中专2025-2026学年度第二学期期中考试试卷 高一单招数学 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每题4分） 1. 已知点和，则以此两点为端点的线段中点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中点坐标公式即可得解. 【详解】点和， 则中点坐标为， 故选：. 2. 已知两点，，且，则（ ） A. B. 6 C. 或2 D. 或6 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合两点间距离公式即可得解. 【详解】两点，，且， 则，解得或， 故选：. 3. 化简的结果为（   ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数、对数的性质及运算法则直接求解. 原式， ， ， . 故选：A. 4. 已知圆心坐标为的圆与轴相切，则该圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆与轴相切,求得半径，结合圆的标准方程即可求解. 【详解】因为圆心坐标为，且与轴相切，所以半径， 则圆的标准方程为. 故选：B. 5. 下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数、二次函数、指数函数和对数函数的性质，逐项分析求解即可. 【详解】对于选项A：为二次函数，是偶函数，但其图像开口向下，在区间 上单调递减，故A错误； 对于选项B：为偶函数，且在区间 上单调递增，故B正确； 对于选项C：为指数函数，是非奇非偶的，且在定义域上单调递减，故C错误； 对于选项D：为对数函数，是非奇非偶的，且在定义域上单调递增，故D错误. 故选：B. 6. 若直线与直线平行，则（ ） A. 1或2 B. 1 C. 2 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行的系数关系列出等式，求解出的值，再进行检验. 【详解】若直线与直线平行， 则，即，解得或. 当时，两直线分别为和，两直线重合，不符合题意； 当时，两直线分别为和，两直线平行，符合题意； 综上，. 故选：C. 7. 圆上的点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离，再减去半径即可. 【详解】圆的圆心为，半径为. 圆心到直线的距离为. 所以圆上的点到直线的距离的最小值为. 故选：A. 8. 若方程表示半径为3的圆，则实数m的值为（ ）． A. B. 4 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合圆的半径公式即可得解. 【详解】若方程表示半径为3的圆， 则，解得， 故选：. 9. 设，，，则下列关系正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为在上单调递增，且，所以，即， 因为在上单调递增，且，所以，即， 所以. 10. 已知过点的直线与圆相切于点，则（ ） A. 16 B. 4 C. 21 D. 【答案】B 【解析】 【分析】将圆化为标准式，求得圆心，半径，再根据可求解. 【详解】将圆化为，可知： 圆心坐标为，半径， 又，所以， 所以. 故选：B 二、填空题（每题4分） 11. 过点且倾斜角为的直线方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先计算直线的斜率，结合点斜式方程，即可解得.. 【详解】已知直线的倾斜角为， 可得直线的斜率， 又直线过点， 所以直线方程为，即. 故答案为：. 12. 函数（且）图象恒过定点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用对数函数性质求解. 因为对任意且，， 令得，将代入， 得， 所以函数的图象恒过定点坐标为. 故答案为： 13. 已知，，为圆的直径，则圆的标准方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据直径的中点是圆心和直径的一半为半径结合圆的标准方程即可解答. 【详解】已知，， 中点为，即圆心为， ，则半径为， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 14. 若方程表示圆，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的一般式方程表示圆的条件列式求解即可. 【详解】若方程表示圆， 则，整理得：， 解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 15. 在平面直角坐标系中，直线被圆截得的最短弦的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得直线恒过定点，判断出定点在圆内，再根据垂径定理求解最短弦长即可. 【详解】∵直线，可得， 即，解得， ∴直线恒过定点， ∵圆，可得， ∴圆心坐标为，半径， ∵，即点P在圆内， ∴当与弦垂直时，弦长最短， ∴最短弦的长度为. 故答案为：. 三、解答题（共90分） 16. 对数函数（且）的图像过点． （1）求的解析式； （2）解关于x不等式：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数过点求解即可； （2）根据对数函数的单调性解不等式即可. 【小问1详解】 因为对数函数（且）的图像过点， 将代入， 即，得到，解得， ∴； 【小问2详解】 由，且以2为底的对数函数在定义域上为单调增函数， 得，即， 解得， ∴不等式的解集为． 17. 已知直线与圆． （1）求圆C的圆心和半径； （2）判断直线l与圆C的位置关系，如果相交，求出相交弦的弦长． 【答案】（1）圆心坐标为，半径为 （2）相交；弦长为8 【解析】 【分析】（1）根据题意，将圆的一般式方程转化为标准方程，即可求得圆心坐标和半径； （2）根据题意，结合圆心到直线的距离可判断圆心在直线上，继而求得直线与圆的位置关系和相交弦的弦长. 【小问1详解】 将圆化为标准方程为， 所以圆心坐标为，半径为； 【小问2详解】 因为圆C的圆心坐标为，半径为， 所以圆心到直线的距离， 所以圆心在直线上， 则直线l与圆C相交，直线过圆心，弦长就是直径，即弦长为. 18. 求分别满足下列条件的直线的一般式方程． （1）斜率是，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6； （2）经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等． 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】（1）设出直线方程，得到与两坐标轴的交点坐标，根据面积列出方程，求出答案； （2）分截距为0和截距不为0两种情况，设出直线方程，待定系数法求出直线方程. 【小问1详解】 设直线的方程为． 令，得．令，得， ，解得． 直线的方程为，化为一般式为． 【小问2详解】 设直线在轴、轴上的截距分别为． 当时，直线的方程为． 直线过点， ， 又， 故，解得或 直线的方程为或； 当时，设直线方程为， 直线过原点且过点，故，解得， 直线的方程为． 综上所述，直线的方程为或或． 19. 已知圆， （1）若过点的圆的切线只有一条，求的值； （2）求过点且与圆相切的直线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题确定点在圆上，进而代入圆的方程，解出； （2）分类讨论切线斜率是否存在，结合点到直线距离公式，计算得到直线方程. 【小问1详解】 过点的圆的切线只有一条， 点在圆上， ，解得． 【小问2详解】 由圆，可知圆心，半径为， 当切线斜率不存在时，直线方程为，与圆相切，符合题意； 当切线斜率存在时，设直线方程为，即， ，解得， 直线方程为， 综上，切线方程为或． 20. 已知的三个顶点分别为. （1）求边所在直线的方程； （2）若的中点为，求边的垂直平分线的方程； （3）求的外接圆的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由两点坐标得到直线的两点式方程； （2）首先得到点D的坐标和边的垂直平分线的斜率，从而写出的点斜式方程； （3）设出外接圆方程，代入点坐标计算. 【小问1详解】 由，由两点式方程可得边所在直线的方程为， 即边所在直线的方程. 【小问2详解】 由，可得的中点为， 又，所以边的垂直平分线的斜率为， 所以由点斜式可得边的垂直平分线的方程为，即. 【小问3详解】 设的外接圆的方程为， 则，解得， 所以的外接圆的方程为. 21. 已知圆的半径为2，圆的圆心在轴正半轴上，直线与圆相切. （1）求圆的标准方程； （2）若直线与平行，直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，可设出圆心坐标，结合直线与圆相切，可得圆心到直线l的距离等于半径，即可求得圆心坐标，继而求解. （2）根据题意，结合两直线平行，可设出直线的方程，结合直线与圆相交，直线被圆截得的弦长的一半、半径、弦心距之间的关系，利用勾股定理，即可求解. 【小问1详解】 由题意，设圆的圆心坐标为，且， 则圆心到直线的距离， 即，所以或， 解得或（舍去）， 得到圆的圆心坐标为， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 因为直线与平行，可设直线的方程为，则 圆心到直线的距离为， 又， 即，所以， 解得或. 所以直线的方程为或. 22. 某乡镇为响应乡村振兴战略，计划推广特色农产品助力农户增收．已知该农产品年固定种植技术研发与推广成本30万元，每生产1吨需另投入80元．设该乡镇一年内生产该农产品x（万吨）且全部售完，每万吨的销售收入为万元，通过合理经营带动乡村经济发展． （1）写出年利润S（万元）关于年产量x（万吨）的函数解析式（利润=销售收入-成本）； （2）当年产量为多少万吨时，每万吨农产品的平均利润t（万元）最大？ 【答案】（1） （2）当年产量为6万吨时，每万吨农产品的平均利润最大 【解析】 【分析】（1）根据收入、成本以及利润的关系，分区间求解即可. （2）根据（1）问的结论以及函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 当时，年利润， 当时， . 即年利润：． 【小问2详解】 当时，每万吨农产品的平均利润，该函数在(0,5]上单调递增， 当时，每万吨农产品的平均利润最大值为155万元； 当时，每万吨农产品的平均利润， 所以当，即时，每万吨农产品的平均利润最大值为240万元． 因为，故当年产量为6万吨时，每万吨农产品的平均利润最大. 23. 已知函数（且）的图像恒过定点A．函数是定义在R上的偶函数，当时，（且），且点A在函数的图像上，． （1）求a，b的值； （2）求函数在上的解析式； （3）若，求函数的值域． 【答案】（1）. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（）根据题意利用偶函数的性质得出，结合，列出方程组即可得解. （）根据题意结合偶函数的性质即可得解. （）根据指数函数的单调性即可得解. 【小问1详解】 函数（且）， 令，即，此时， 所以， 因为点在函数的图像上，所以， 因为函数为偶函数，所以， 又因为，所以， 又且，解得. 【小问2详解】 由（1）得时，， 当时，，所以， 函数是定义在R上的偶函数，则， 综上：. 【小问3详解】 因为时，，为增函数， 所以，当时，，则， 当时，，为减函数， 所以，当时，，则， 综上：当时，，即函数的值域为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 弘扬中专2025-2026学年度第二学期期中考试试卷 高一单招数学 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每题4分） 1. 已知点和，则以此两点为端点的线段中点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知两点，，且，则（ ） A. B. 6 C. 或2 D. 或6 3. 化简的结果为（   ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 4. 已知圆心坐标为的圆与轴相切，则该圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 6. 若直线与直线平行，则（ ） A. 1或2 B. 1 C. 2 D. 0 7. 圆上的点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 若方程表示半径为3的圆，则实数m的值为（ ）． A. B. 4 C. D. 8 9. 设，，，则下列关系正确的是（    ） A. B. C. D. 10. 已知过点的直线与圆相切于点，则（ ） A. 16 B. 4 C. 21 D. 二、填空题（每题4分） 11. 过点且倾斜角为的直线方程为_____. 12. 函数（且）图象恒过定点坐标为______． 13. 已知，，为圆的直径，则圆的标准方程为_____. 14. 若方程表示圆，则实数的取值范围为___________． 15. 在平面直角坐标系中，直线被圆截得的最短弦的长度为______． 三、解答题（共90分） 16. 对数函数（且）的图像过点． （1）求的解析式； （2）解关于x不等式：． 17. 已知直线与圆． （1）求圆C的圆心和半径； （2）判断直线l与圆C的位置关系，如果相交，求出相交弦的弦长． 18. 求分别满足下列条件的直线的一般式方程． （1）斜率是，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6； （2）经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等． 19. 已知圆， （1）若过点的圆的切线只有一条，求的值； （2）求过点且与圆相切的直线方程． 20. 已知的三个顶点分别为. （1）求边所在直线的方程； （2）若的中点为，求边的垂直平分线的方程； （3）求的外接圆的方程. 21. 已知圆的半径为2，圆的圆心在轴正半轴上，直线与圆相切. （1）求圆的标准方程； （2）若直线与平行，直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 22. 某乡镇为响应乡村振兴战略，计划推广特色农产品助力农户增收．已知该农产品年固定种植技术研发与推广成本30万元，每生产1吨需另投入80元．设该乡镇一年内生产该农产品x（万吨）且全部售完，每万吨的销售收入为万元，通过合理经营带动乡村经济发展． （1）写出年利润S（万元）关于年产量x（万吨）的函数解析式（利润=销售收入-成本）； （2）当年产量为多少万吨时，每万吨农产品的平均利润t（万元）最大？ 23. 已知函数（且）的图像恒过定点A．函数是定义在R上的偶函数，当时，（且），且点A在函数的图像上，． （1）求a，b的值； （2）求函数在上的解析式； （3）若，求函数的值域． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $