2026年内蒙古通辽市初中数学中考备考复习冲刺模拟试题

**基本信息** 2026年初中数学中考冲刺模拟卷，以低空经济、月壤砖等现实情境为载体，覆盖代数、几何、统计核心知识，注重数学眼光、思维与语言的综合考查，适配三轮冲刺阶段能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12题|科学记数法、三视图、概率、函数性质等|结合海口体育考试、月壤砖等情境，基础巩固与概念辨析并重| |填空题|5题|整式运算、统计加权、不等式组、圆的切线等|设置开放性问题（如13题）和动态几何（如17题），考查空间观念| |解答题|8题|统计分析、函数综合、几何探究、应用题等|22题无人机喷洒农药整合方程与不等式，25题几何变换探究体现推理能力，23题光的反射结合跨学科情境|

冲刺模拟试题 2026学年初中数学中考备考复习冲刺练 一、单选题 1．海口市2026年中考体育考试所用足球为5号球．现检测了四个足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 2．2026年4月，工信部相关部门发布的《中国低空经济发展研究报告（2026）》指出，随着低空飞行应用场景的爆发式增长，预计2026年我国低空经济规模将达到约10600亿元，将10600用科学记数法表示应为（     ） A． B． C． D． 3．“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地．如图是一种“月壤砖”的示意图，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 4．一个不透明的盒子中装有15个除颜色不同外其他都相同的乒乓球，将其充分摇匀，从中随机摸出一个乒乓球，记录颜色后放回．通过大量重复试验后发现摸到黄球的频率稳定在左右，估计盒子中黄球的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．函数的图象中，在每个象限内，随x的增大而增大，则m可能为（   ） A．1 B．2 C． D．0 7．某文具店购进一批笔记本，若每本降价3元销售，顾客用360元可以比原价多买到4本．设笔记本原价x元/本，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，和是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点A，D的坐标分别为，．若的长为4，则的长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 9．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（    ） A．1cm B．2cm C．(－1)cm D．(2－1)cm 10．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，瓶内液体已经过半，截面圆中弦的长为，最大深度，则球的半径为（   ） A． B． C． D． 11．如图，在中，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点F，分别以点 F，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点E，连接．若，，则的长为（   ） A．5 B． C．15 D． 12．如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，与交于点，为的中点，连接，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．写出一个与进行加减运算后，结果仍为单项式的式子：__________． 14．小明准备从A，B两款智能手表中选择一款购买，对这两款智能手表进行测评，得到如下评分（满分5分）： 续航能力 健康监测 外观设计 应用生态 A 1 3 2 3 B 3 2 3 1 根据小明对智能手表的要求，计分规则为总分续航能力健康监测外观设计应用生态，则小明应该购买__________款智能手表．（填“A”或“B”） 15．若不等式组的解集为，则a的取值范围是__________． 16．如图，在中，，点O在斜边上，以点O为圆心，长为半径的圆交于另一点D，连接．若是的切线，则的半径长为__________． 17．如图，在中，，，是边上一动点，过点作射线的垂线，垂足为，是的中点，连接．若，则的最大值为__________，最小值为__________． 三、解答题 18．计算和化简． (1)计算： (2)化简： 19．2026年2月27日，教育部发布《教育部关于全面推进健康学校建设的指导意见》，介绍教育系统落实“健康第一”理念工作情况．为了全面实施学生体质强健计划，推动落实中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时，对甲、乙两所学校学生某星期每天综合体育活动平均时长的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．甲、乙两所学校学生该星期每天综合体育活动平均时长的折线图： b．甲、乙两所学校学生该星期每天综合体育活动平均时长的统计量如下： 平均数 中位数 众数 方差 不低于2小时天数百分比 甲 130 m 150 乙 120 n 根据以上信息，回答下列问题： (1)上表中____________，____________， ____________（填“>”“=”或“<”）． (2)请根据上述数据，判断哪所学校“健康第一”理念工作落实得更好，并说明理由． (3)若由于数据统计失误，甲校学生星期五的综合体育活动平均时长被记录为100分钟，实际为140分钟，将数据修正后，甲校学生该星期每天综合体育活动平均时长的统计量不发生变化的是__________（填写所有符合题意的序号）． ①平均数    ②中位数    ③众数    ④方差 20．如图，在平面直角坐标系中，正方形边框的边在x轴正半轴上，顶点A，D在第一象限内，反比例函数的图象与交于点E，已知点E的坐标为． (1)求k的值． (2)若边不动，将正方形边框向左下方推动，使点落在y轴的点处．点D落在点处．若点在反比例函数的图象上，求点的坐标． 21．如图，在中，，点D，E分别在边，上，且 ，连接 ． (1)将线段绕点A逆时针旋转，得到线段 ，用无刻度的直尺和圆规作出 ．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接， ．若，判断四边形的形状，并证明． 22．随着科技的飞速发展，无人机已经广泛应用于农业生产．无人机喷洒农药相比传统人工喷洒具有安全、便捷、效率高、节约农药使用量等优势，因此受到了广大农户的欢迎．某公司目前有A，B两款植保无人机为农户提供农药喷洒服务，据了解2架A款植保无人机和3架B款植保无人机1小时可喷洒390亩土地；3架A款植保无人机和2架B款植保无人机1小时可喷洒360亩土地． (1)求每架A款植保无人机和每架B款植保无人机每小时分别喷洒多少亩地． (2)已知每架A款植保无人机的价格为6万元，每架B款植保无人机的价格为8万元．某农业合作社计划购买这两款无人机共20架，且购买总金额不超过140万元．问如何购买才能使每小时喷洒的总面积最大？最大面积是多少？ 23．综合与实践 实践主题 光的反射在半圆中的路径问题 素材背景 如图1，为平面镜，入射光线经平面镜沿方向反射，过点 作 ，叫做法线，叫做入射角， 叫做反射角． 光的反射定理：反射角等于入射角（即 (1)如图2，反向延长得到，若 ，则的度数为__________ (2)如图3，为半圆O的直径，点C在半圆上，P为直径上的调节点．一束光线从C点射向上的P点，经反射后射出，反射光线经过半圆上的D点 连接，判断与之间的数量关系，并说明理由 24．【定义】将二次函数图象上任意一点先沿x轴向右平移t个单位长度，再关于x轴对称，得到点，我们称点为点P的“衍生变换点”．连接二次函数图象上所有点的“衍生变换点”，形成的曲线被称为原二次函数的“衍生曲线”． 【探究】数学兴趣小组的同学对当时，二次函数 的“衍生曲线”进行了如下探究： 上的点的坐标 时的“衍生变换点”的坐标 (1)①表格中横线上应填__________； ②请在给出的平面直角坐标系中描点、连线，画出当时二次函数 的“衍生曲线”． (2)求出当时，函数 的“衍生曲线”的函数表达式． (3)已知点在函数 的图象上，当时，记点M的“衍生变换点”为点 若结合函数图象直接写出的取值范围． 25．【提出问题】 数学活动课上，老师给出题目：在中， 点D在射线上，连接 ，，以为边作等边三角形，点E在射线 上，连接，以点B为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点F，连接． (1)【初步探究】 如图1，当点D在边上时． ①猜想与的度数之间的数量关系：__________； ②猜想线段与之间的数量关系：__________； (2)【类比探究】 如图2，当点D在边的延长线上时，请在图2中补全图形． ①探究与的度数之间的数量关系，并说明理由； ②探究线段与之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 若直接写出的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B C C D A B D B 题号 11 12 答案 B A 1．D 根据偏差的绝对值越小，说明足球质量与标准质量的差距越小，即可判断． 解：∵，，，，且， ∴对应足球最接近标准质量． 2．B 科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数，的绝对值等于原数变为时小数点移动的位数. 解：. 3．B 本题考查了判断几何体的三视图（判断简单组合体的三视图）．主视图是从正面看到的视图，据此即可得出答案． 解：根据题中“月壤砖”的示意图，可知其主视图为 故选：． 4．C 大量重复试验中，频率稳定后可用来估计概率，再结合概率公式计算即可得到盒子中黄球的估计个数 ∵大量重复试验后摸到黄球的频率稳定在左右， ∴估计摸到黄球的概率是， ∵盒子中总共有15个乒乓球， ∴估计盒子中黄球的个数为（个）． 5．C 需要运用同底数幂乘法、合并同类项、幂的乘方、完全平方公式的运算法则，逐个计算选项即可得到正确结果． 解：A、同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，故A错误，不符合题意； B、合并同类项时，系数相加减，字母和字母的指数不变，，故B错误，不符合题意； C、积的乘方等于各因式乘方的积，幂的乘方底数不变，指数相乘，，故C正确，符合题意； D、根据完全平方公式，故D错误，不符合题意． 6．D 根据函数的图象中，在每个象限内，随x的增大而增大，得到，求解即可； 解：根据题意，得， 所以， 故符合要求的是0， 故选：D 7．A 根据总价和单价分别表示出原价与降价后购买笔记本的数量，再根据“降价后比原价多买4本”的等量关系列方程． 解：原价为元/本，每本降价3元后，售价为 元/本， 360元按原价可购买笔记本数量为本，360元按降价后价格可购买笔记本数量为本， 降价后可比原价多买到4本，即降价后购买数量减去原价购买数量等于4， 列方程得 ， 故选：A． 8．B 位似图形是特殊的相似图形，对应点到位似中心的距离比等于相似比（位似比），根据相似比计算即可． 解：∵和是以原点为位似中心的位似图形，，， ∴，， ∴与的相似比为， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．D 先求出BD，再根据平移性质求得=1cm，然后由求解即可． 解：由题意，BD=cm， 由平移性质得=1cm， ∴点D，之间的距离为==（）cm， 故选：D． 【点睛】本题考查平移性质、正方形的性质，熟练掌握平移性质是解答的关键． 10．B 连接，设球的半径为，利用垂径定理得到，再根据勾股定理列出关于的方程，求解得到半径． 解：连接，设球的半径为，则， ∵， ∴ 在中， ∵， ∴， 解得 11．B 连接，设交于点H，由作图可得，，平分，根据菱形的判定证明四边形是菱形，则，，，在中利用勾股定理求出的长，即可得出答案． 解：如图，连接，设交于点H． 由作图可得，，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形． ∴，，． 在中，根据勾股定理，得 ， ∴． 12．A 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到两个等腰三角形，再通过角度转化建立关系即可求解． 解：连接，如图． 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴，， 在中，是斜边的中点，， 同理： ∴，即是等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，在中，，而， ∴， ∴， ∵， ∴. 13．（答案不唯一） 解：写出一个与进行加减运算后，结果仍为单项式的式子：（答案不唯一）． 14．B 分别计算两款智能手表的加权总分，比较总分大小，选择总分更高的一款即可． 解：A手表的总分为， B手表的总分为， ∵ ∴小明应该购买B款智能手表． 15． 根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）”，即可求解． 解：， 解第二个不等式得， ∵不等式组的解集为， ∴． 16． 过点作于点，先解，然后证明即可． 解：过点作于点，则 ∵，， ∴ ∴，设， 则， ∴ ∵是的切线， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得或（舍） ∴． 17． 2 / 先根据直角三角形斜边中线、中位线性质推导出动点的完整轨迹圆，算出圆心距、轨迹圆半径， 再结合图中对点的活动范围几何约束，即可确定的最大值为2，最小值为． 解：取的中点，连接， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， 在中，为中点，为中点， ∴为的中位线， ∴且， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， 设的中点为，则为该圆圆心，半径， 连接， 在中，，， ∴， ∴当点D与点C重合时，的最大值为， ∴的最小值为． 18．(1) (2) （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 19．(1)130 ，120 ，> (2)乙校“健康第一”理念工作落实得更好． 理由：乙校该星期每天综合体育活动平均时长不低于2小时的天数百分比为，甲校该星期每天综合体育活动平均时长不低于2小时的天数仅有，故乙校“健康第一”理念工作落实得更好．（答案不唯一，合理即可） (3)③ （1）根据众数、中位数的定义以及方差的意义求解即可； （2）从统计表的数据分析即可； （3）修正后甲校数据从小到大排序：100，130，130，140，150，150，150，然后依据平均数、中位数、众数和方差的定义的分析即可． （1）解：甲学校的数据排列为：100，100，130，130，150，150，150，共7个数据，则中位数是第4个数据为130，故； 乙学校的数据中120出现了5次，次数最多，故众数； 由折线统计图可得，甲学校数据的波动程度大于乙学校数据的波动程度，故； （2）略 （3）解：修正后甲校数据从小到大排序：100，130，130，140，150，150，150， ①数据总和增加40，数量不变，则平均数变大，发生变化； ②中位数：原中位数为130，修正后中位数为140，发生变化； ③众数：150仍出现3次，为出现次数最多的数，不发生变化； ④方差：数据波动程度改变，方差发生变化． 20．(1)20 (2) （1）运用待定系数法求解即可； （2）可得四边形是矩形，，然后把代入求解即可． （1）解：把代入，得． （2）解：， 正方形的边长， 由题意得，，轴， 如解图，过点作于点F， ∵ ∴四边形是矩形， ． 把代入， 解得 ． 点的坐标为． 21．(1)如图，即为所求； (2)四边形是平行四边形． 证明：连接， ，， 是等边三角形． ． ，，， ． ， ． ． ， ． 又， 四边形是平行四边形． （1）根据作一个角等于已知角的方法，以点为顶点，为一条边，在右侧作一个角等于，以点为圆心，为半径作弧，与角的另一边交于点，即可得线段； （2）连接，先证明是等边三角形，然后证明，再由全等三角形的性质以及等边三角形的性质证明即可． （1）略 （2）略 22．(1)每架A款植保无人机每小时喷洒60亩地，每架B款植保无人机每小时喷洒90亩地 (2)购买A款植保无人机10架、B款植保无人机10架时，每小时喷洒的总面积最大，最大面积为1500亩． （1）设每架A款植保无人机每小时喷洒x亩地，每架B款植保无人机每小时喷洒y亩地，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买A款植保无人机a架，则购买B款植保无人机架，根据题意列不等式求出的取值范围，然后建立关于的函数关系式，再有一次函数的性质求解即可． （1）解：设每架A款植保无人机每小时喷洒x亩地，每架B款植保无人机每小时喷洒y亩地． 由题意，得 解得， 答：每架A款植保无人机每小时喷洒60亩地，每架B款植保无人机每小时喷洒90亩地． （2）解：设购买A款植保无人机a架，则购买B款植保无人机架，则购买总费用为万元． 总资金不超过140万元， ， 解得． ． 由题意得每小时喷洒总面积与的关系式为． ， S随a的增大而减小． 当时，S最大，最大值为（亩）， 购买B款植保无人机（架）． 答：购买A款植保无人机10架、B款植保无人机10架时，每小时喷洒的总面积最大，最大面积为1500亩． 23．(1) (2)， 理由：如解图，过点P作法线，补全，作点C关于的对称点，连接，， ． ∴是线段的垂直平分线， ． 点在上． 由反射定理，可得 ， ． 由对称，可知， ． ． ，P，D三点共线． 设， ， ． 又， ． （1）由垂直得到，然后根据反射定律结合对顶角相等即可求解； （2）过点P作法线，补全，作点C关于的对称点，连接，， ，先证明，P，D三点共线．设，则 ，，由圆周角定理可得，即可证明． （1）解：∵， ∴， ∵ ∴； （2）略 24．(1)① ②函数图象如图所示： (2) (3)或或 ． （1）①根据新定义求解即可；②描点、连线即可； （2）由图象可得，函数 的“衍生曲线”为抛物线，顶点坐标为，再设出顶点式，代入求解即可； （3）由题意得，，则，即，即或，再借助函数图象求解即可． （1）解：①由题意得，的时的“衍生变换点”的坐标为，即； ②函数图象略； （2）解：由图象可得，函数 的“衍生曲线”为抛物线，顶点坐标为 设表达式为， 代入可得，， 解得 ∴表达式为； （3）解：由题意得，， ∴， ∴，即或， 当时，即，解得或； 当时，即，解得 s ∴由函数图象可得，的解集为或或，即时，或或． 25．(1)①② (2)补图形如图： ①． 理由：是等边三角形， ，． ， ． ， ， ． ②． 理由：如解图，在线段上取点G，使，连接． ， 又， ． ． ． 又， ． 由①，得，即． ， ． 又， ． ，即． ． (3)或2 （1）①根据等边三角形得到，，然后表示出，再由三角形内角和分类表示出，即可求解； ②在线段延长线上取点G，使，连接，先证明，再证明即可； （2）同（1）求解； （3）分两种情况讨论，结合（1）（2）的结论求解即可． （1）解：①是等边三角形， ，． ， ． ， ∵， ∴， ∴； ②在线段延长线上取点G，使，连接． ， ∴ 又， ． ． ， 由①得， ∴ 又， ． ∵为等边三角形， ∴， ∴ ． ，即． ； （2）略 （3）解：当点在线段上时，如图 ∵ ∴设 ∴， 由（1）①得，， 由（1）①得， ∴， ∴，， ∴； 当点在线段延长线上时，如图 ∵ ∴设 ∴， 由（2）①得，， 由（2）①得， ∴， ∴，， ∴， 综上：的值为或2． 学科网（北京）股份有限公司 $