第八章 课时作业8 直线与圆锥曲线的位置关系-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 高中数学一轮复习专项训练，聚焦直线与圆锥曲线位置关系，以题载法构建“几何直观-代数运算-性质应用”三维解题体系，培养逻辑推理与数学建模素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6题|定点位置判断法、焦点弦性质、离心率公式推导|直线与椭圆/抛物线/双曲线位置关系判定→代数化归思想| |多选题|3题|三角形面积公式、光学性质应用、向量垂直条件|几何性质与代数运算结合→多维度验证能力| |填空题|3题|中点弦方程、对称问题转化、离心率综合计算|参数关系建立→方程思想应用| |解答题|2题|双曲线方程求解、轨迹证明、导数几何意义|问题分层转化→逻辑推理与数学表达|

课时8 直线与圆锥曲线的位置关系 一、单选题 1．已知直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　 ) A. [4，＋∞) B. (0，9) C. [4，9) D. [4，9)∪(9，＋∞) 2．（2026·安徽六安市模拟）已知抛物线C：y2＝4x，过点P的任意一条直线与C均有公共点，则点P的坐标可以为(　　) A．(0,1) B．(1，－3) C．(3,4) D．(2，－2) 3.椭圆的左、右焦点为，，P为椭圆上不在坐标轴上的一点，点M，N满足，，其中O为坐标原点.若四边形的周长等于，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．(2026·广东汕头市期初)若直线mx＋ny＝9和圆x2＋y2＝9没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为(　 　) A．1 B．0或1 C．2 D．0 5．（2026·广东肇庆市模拟）已知双曲线，则过点与有且只有一个公共点的直线共有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 6．(2026·江苏如东市期末)若直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，则4AF＋BF的最小值是(　　) A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 二．多选题 7．设P为双曲线y2＝1上一点，点A（﹣2，0），B（2，0），令∠PAB＝α，∠PBA＝β， 下列式子为定值的有（　　） A．tanαtanβ B．tantan C．S△PABtan（α+β） D．S△PABcos（α+β） 8、设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m(0<m<)与椭圆交于A，B两点，则(　　) A．AF＋BF为定值 B．△ABF的周长的取值范围是[6，12] C．当m＝时，△ABF为直角三角形 D．当m＝1时，△ABF的面积为 9．(2026·河北唐山市模拟)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线r：y2＝x，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点P射入，经r上的点A(x1，y1)反射后，再经r上另一点B(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，经过点Q，则下列结论正确的有(　　) A．y1y2＝－1 B．AB＝ C．BP平分∠ABQ D．延长AO，交直线x＝－于点C，则C，B，Q三点共线 三．填空题 10． (2026·湖南怀化市二模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，下顶点为A，过A，F的直线l与椭圆C交于另一点B，若直线l的斜率为1，且AB＝，则椭圆C的标准方程为__ __． 11、已知，在拋物线上存在两个不同的点关于直线对称，则的取值范围是 . 12．(2026·四川绵阳市模拟)已知F1，F2是椭圆C1：＋＝1(a1＞b1＞0)与双曲线C2：－＝1(a2＞0，b2＞0)的公共焦点，e1，e2分别是C1与C2的离心率，且P是C1与C2的一个公共点，满足·＝0，则＋＝_ __；＋的最大值为__ __． 四．解答题 13、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1(－2,0)，F2(2,0)，点P(5，)在双曲线C上． (1)求双曲线C的方程； (2)记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若△OAB的面积为2，求直线l的方程． 14、（2026·八省联考）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，． （1）求的方程； （2）已知点，证明：线段的垂直平分线与恰有一个公共点； （3）设是坐标平面内的动点，且线段的垂直平分线与恰有一个公共点，证明：的轨迹为圆，并求该圆的方程． 课时8 直线与圆锥曲线的位置关系参考答案 1．D【解析】因为直线y＝kx＋2恒过点(0，2)，为使直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1恒有公共点，只需点(0，2)在椭圆＋＝1上或椭圆内，所以＋≤1，即m≥4.又m≠9，所以m≥4且m≠9.故选D. 2．D【解析】点(0,1)在y轴上，所以点(0,1)在抛物线外部，将x＝1代入抛物线C：y2＝4x中，则|y|＝2<3，所以点(1，－3)在抛物线外部，将x＝3代入抛物线C：y2＝4x中，则|y|＝2<4，所以点(3,4)在抛物线外部，将x＝2代入抛物线C：y2＝4x中，则|y|＝2>2，所以点(2，－2)在抛物线内部，将选项中的点分别在平面直角坐标系中画出来，只有点(2，－2)在抛物线内部，故当点P的坐标为(2，－2)时，经过点P的任意一条直线与C均相交，均有公共点．故选D. 3．C 【解析】因为，所以为线段的中点.因为，所以，即，所以为线段的中点.又因为线段的中点， 所以且，且，所以四边形的周长为.又因点P为椭圆上不在坐标轴上的一点，所以，所以，即，故椭圆C的离心率为.故选C. 4．C【解析】因为直线mx＋ny＝9和圆x2＋y2＝9没有交点，所以＞3，即m2＋n2＜9，所以＋≤＋＜1，即点(m，n)在椭圆＋＝1内，所以过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为2．故选C. 5．C【解析】分析条件可得：点在双曲线的渐近线上，且位于第一象限，和双曲线的右顶点有相同横坐标，如图： 所以过且与双曲线有且只有一个公共点的直线只有两条，一条是切线：，一条是过点且与另一条渐近线平行的直线.故选C. 6．B【解析】由过抛物线焦点的弦的性质可知＝＝1，所以4AF＋BF＝(4AF＋BF)·＝4＋1＋≥5＋2×2＝9，当且仅当BF＝2AF时取等号. 故选B. 7．AC【解析】可设P（m，n），可得－n2＝1，即m2－4＝4n2，则kPA·kPB，可得tanαtanβ=为定值，由S△PAB tan(α+β)= .故选AC． 8、ACD【解析】设椭圆的左焦点为F′，连接AF′，则AF′＝BF，所以AF＋BF＝AF＋AF′＝2a＝6为定值，A正确. △ABF的周长为AB＋AF＋BF，因为AF＋BF为定值6，AB长的取值范围是(0，6)，所以△ABF的周长的取值范围是(6，12)，B错误. 将y＝与椭圆方程联立，可得x＝±，不妨设A，B的坐标分别为， ．又因为F(，0)，所以·＝＋＝0，所以 △ABF为直角三角形，C正确. 将y＝1与椭圆方程联立，得x＝±，不妨设A，B的坐标分别为(－，1)，(，1)．所 以S△ABF＝×2×1＝，D正确．故选ACD. 9．BCD【解析】设抛物线的焦点为F，如图所示， 则F.因为P，且l1∥x轴，故A(1，1)，故直线AF：y＝＝x－. 由可得y2－y－＝0，故y1y2＝－，故A错误. 又y1＝1，故y2＝－，故B，故AB＝1＋＋＝，故B正确. AP＝－1＝＝AB，故△APB为等腰三角形，故∠ABP＝∠APB，而l1∥l2，故∠PBQ＝ ∠APB，即∠ABP＝∠PBQ，故PB平分∠ABQ，故C正确. 直线AO：y＝x，由可得C，故yC＝y2，所以C，B，Q三点共线，故D正确．故选BCD. 10．＋＝1【解析】设F(c,0)，由题意知，b＝c，a＝c，直线l的方程为y＝x－c，与椭圆C的方程联立，化简得3x2－4cx＝0，所以xA＝0，xB＝c，故AB＝·|xB－xA|＝c＝，解得c＝，所以b＝，a＝2，椭圆C的方程为＋＝1． 11、【解析】设抛物线上关于直线对称的两点为，， 则，两式相减得.由条件可知，，即，所以中点的纵坐标为，横坐标为，即中点坐标为.由题意可知，中点应在抛物线内，即，得. 12．2；2【解析】如图，·＝0，即∠F1PF2＝，PF1＋PF2＝2a1，PF1－PF2＝2a2，故PF1＝a1＋a2，PF2＝a1－a2，故(a1＋a2)2＋(a1－a2)2＝4c2，即a＋a＝2c2，即＋＝2．设＝sinθ，＝cosθ，则＋＝sinθ＋cosθ＝2sin，当θ＋＝＋2kπ，k∈Z，即θ＝＋2kπ，k∈Z时取最大值2，此时e1＝，e2＝，满足题意． 13、【解】 (1)依题意，c＝2，所以a2＋b2＝4，则双曲线C的方程为－＝1(0<a2<4). 将点P(5，)代入上式，得－＝1，解得a2＝50(舍去)或a2＝2，故所求双曲线的方程为－＝1. (2)依题意，可设直线l的方程为y＝kx＋2，代入双曲线C的方程并整理，得(1－k2)x2－ 4kx－6＝0.因为直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，所以 解得 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，所以AB＝· ＝·.又原点O到直线l的距离d＝，所以S△OAB＝d·AB＝×× ·＝.又S△OAB＝2，即＝1，所以k4－k2－2＝0，解得 k＝±，满足(*)．故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y＝x＋2和y＝－x＋2. 14、（1）【解】由题意知，的方程为. （2）【证明】设中点为，则，，的中垂线方程为. 联立，，△，的垂直平分线与恰有一个公共点. （3）【证明】设线段的垂直平分线与切于点，，则，对两边关于求导可得：，，所以切点处的切线方程为，即为， ①. 又，即，所以 ②. ①②可得，又，所以，所以，.又，，所以，轨迹方程为，它为一个圆． . 学科网（北京）股份有限公司 $