第七章 课时作业8 空间向量的概念与运算-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以空间向量概念为基础，通过线性运算、数量积等核心方法，系统构建空间位置关系证明与度量计算的解题体系，体现数学思维的逻辑性与数学语言的精确性。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与运算|6（单选1-6）|共面向量定理、向量线性表示、数量积公式|从向量共面概念出发，通过线性运算建立空间向量表示，数量积连接向量与几何度量| |位置关系证明|5（多选7-9、解答14）|法向量判定、线面平行向量条件、面面垂直判定定理|以空间向量为工具，将几何位置关系转化为向量运算，体现几何直观与逻辑推理| |空间度量计算|5（填空10-12、解答13）|模长公式、夹角余弦公式、异面直线所成角求法|通过向量模长、夹角计算解决距离、角度问题，构建“向量运算-几何度量”转化逻辑|

课时8 空间向量的概念与运算 一、单项题 1．已知向量a＝(－2,1,3)，b＝(－1,3,2)，c＝(1，t，－1)共面，则实数t的值是(　 　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 2．(2026·江苏淮安市模拟)如图，在正四面体ABCD中，F是棱AC的中点，E是线段DF的中点，若＝a，＝b，＝c，则 = (　　) A.a－b＋c B.a－b＋c C.a＋b＋c D.a－b＋c 3．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝(　 　) A．－1 B．0 C．1 D．不确定 4．已知直线l的一个方向向量为m＝(x,2，－5)，平面α的一个法向量为n＝(3，－1,2)，若l∥α，则x=(　 　) A．－6 B．6 C．－4 D．4 5、《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，∠BDC＝90°，BD＝AB＝CD.若建立如图所示的空间直角坐标系，则平面ACD的一个法向量为(　 　) A．(0，1，0) B．(0，1，1) C．(1，1，1) D．(1，1，0) 6．已知空间向量a＝(1，0，1)，b＝(1，1，n)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 二、多选题 7．下列说法正确的有（    ） A．设是两个空间向量，则一定共面 B．设是三个空间向量，则一定不共面 C．设是两个空间向量，则 D．设是三个空间向量，则 8、（2026·江苏无锡市太湖高级中学期中）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，＝，则有(　 ) A．EF⊥BD B．EC1∥平面ABF C．EF⊥平面B1CD1 D．直线EF与直线BD1异面 9、（2026·安徽合肥市第一中学开学考试）在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠A1AB＝∠A1AD，A1C1∩B1D1＝O1，则下列说法正确的有(　 　) A．四边形B1BDD1为矩形 B．1·＝1· C．1＝＋－1 D．如果＝＋＋1，那么点M在平面A1BD内 三、填空题 10．已知点A(1,0,0)，B(0，－1,1)，且＋λ与的夹角为120°，则λ＝________. 11．如图，已知二面角α－AB－β的大小为60°，其棱上有A，B两点，射线AC，BD分别在两个半平面内，且都垂直于棱AB．若||＝1，||＝1，||＝2，则CD的长为__ _． 12、（2026·河北石家庄市第十五中学月考）在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝4，PC＝1，∠APB＝∠APC＝∠BPC＝，M，N，T分别为棱AB，AC，PB的中点，则直线PM与NT所成角的正切值为 ． 四、解答题 13.如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，已知AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°．求： (1)AC′的长； (2)与的夹角的余弦值． 14、如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为棱CC1，C1B1，C1A1的中点.求证： (1)平面A1B1D⊥平面ABD； (2)平面EGF∥平面ABD. 课时8 空间向量的概念与运算参考答案 1．C【解析】因为a，b，c共面，所以存在x，y∈R，使得c＝xa＋yb，整理得(1，t，－1)＝(－2x－y，x＋3y,3x＋2y)，解得x＝－1，y＝1，t＝2．故选C. 2．A【解析】根据题意，可得＝(＋)＝(a＋c)，＝＝(a＋c)，所以＝＋＝－＋＝－b＋(a＋c)＝a－b＋c.故选A. 3．B【解析】如图，令＝a，＝b，＝c，则·＋·＋·＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.故选B. 4．D【解析】由题知m·n＝3x－2－10＝0，可得x＝4．故选D. 5、B【解析】根据题意，设BD＝AB＝CD＝1，则D(0，1，0)，C(1，1，0)，A(0，0，1)，则＝(1，0，0)，＝(0，1，－1).设平面ACD的一个法向量为m＝(x，y，z)，则有令y＝1，可得z＝1，则m＝(0，1，1).故选B. 6．A 【解析】 由题意，a·b＝1＋0＋n＝3，解得n＝2，又|a|＝＝，|b|＝＝，所以cos〈a，b〉＝＝＝.又〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角为.故选A. 7．AC【解析】对于选项A，因为a，b是两个空间向量，则a，b一定共面，A正确. 对于选项B，因为a，b，c是三个空间向量，则a，b，c可能共面也可能不共面，B错误. 对于选项C，因为a，b是两个空间向量，则a·b=b·a，C正确. 对于选项D，因为a，b，c是三个空间向量，则a(b·c)与向量a共线，(a·b)c与向量c共线，D错误．故选AC． 8、 AB【解析】设正方体的棱长为3，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(3，0,0)，B(3,3,0)，C(0,3,0)，E(3,0,1)，D1(0，0,3)，A1(3,0,3)，B1(3,3,3)，C1(0,3,3)，F(0，3,2)，所以＝(－3,3,1)，＝(3,3,0)．因为·＝－9＋9＝0，所以EF⊥BD，故A正确． ＝(0,3,0)，＝(－3,3,2)，设平面ABF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则所以取x1＝2，可得n1＝(2,0,3)．因为＝(－3,3,2)，·n1＝－6＋6＝0，所以⊥n1．因为EC1⊄平面ABF，所以EC1∥平面ABF，故B正确． 因为＝(－3,3,1)，＝(3,0,3)，所以·＝－9＋3＝－6≠0，故 EF与CB1不垂直，从而EF不垂直于平面B1CD1，故C错误． 因为＝(0,3，－1)，＝(0,3，－1)，所以，共线，即D1F∥EB，所以D1，F，E，B四点共面，则有直线EF与直线BD1共面，故D错误．故选AB. 9、 ABD【解析】＝＋＝＋(＋)＝＋＋，故C错误； 如图，设AC∩BD＝O，A1B2＝A1A2＋AB2－2AA1·ABcos∠A1AB，A1D2＝A1A2＋AD2－2AA1·ADcos∠A1AD，因为AB＝AD，∠A1AB＝∠A1AD，所以A1B＝A1D，故A1O⊥BD，又AC⊥BD，A1O∩AC＝O，A1O，AC⊂平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1．由于AA1⊂平面ACC1A1，故BD⊥AA1，由于AA1∥BB1，进而BD⊥BB1，所以平行四边形BDD1B1为矩形，故A正确； 因为BD⊥AO1，所以·－·＝(－)·＝·＝0，故B正确； ＝＋＋，由于＋＋＝1，所以M，B，D，A1四点共面，故M在平面A1BD内，故D正确．故选ABD. 10．【解析】，，且知，解得. 11．2【解析】因为CA⊥AB，BD⊥AB，所以·＝0，·＝0．因为〈，〉＝60°，＝＋＋，所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝12＋12＋22＋2×1×2cos120°＝4，所以CD＝2． 12、5【解析】记＝a，＝b，＝c，则＝(a＋b)，＝－＝(a＋c)－b＝(a＋c－b)．又a·b＝4×4×＝8，a·c＝4×1×＝2，b·c＝4×1×＝2，则·＝(a＋b)·(a＋c－b)＝(a2－b2＋a·c＋b·c)＝1，||＝＝2，||＝＝＝．设直线PM与NT所成的角为θ，则cosθ＝＝＝，sinθ＝＝，所以tanθ＝5． 13.【解】(1) 因为，所以＝ ＝42＋32＋52＋2(0＋10＋7.5)＝85．所以＝． (2) 方法一：设与的夹角为.因为ABCD是矩形，所以＝＝5．所以由余弦定理可得cos ＝＝＝． 方法二：设＝a，＝b，＝c.依题意，得＝(a＋b＋c)·(a＋b)＝a2＋2a·b＋b2＋a·c＋b·c ＝16＋0＋9＋4×5×cos 60°＋3×5×cos 60°＝16＋9＋10＋＝，所以＝＝． 14、【证明】以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，E(0，0，3)，F(0，1，4).设BA＝a，则A(a，0，0)，G. (1)因为＝(a，0，0)，＝(0，2，2)，＝(0，2，－2)，所以·＝0，·＝0.所以⊥，⊥，即B1D⊥BA，B1D⊥BD.又BA∩BD＝B，BA，BD⊂平面ABD， 所以B1D⊥平面ABD.因为B1D⊂平面A1B1D，所以平面A1B1D⊥平面ABD. (2)方法一：因为＝，＝(0，1，1)，＝(0，2，－2)，所以·＝0，·＝0.所以B1D⊥EG，B1D⊥EF.因为EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EGF，所以B1D⊥平面EGF. 又由(1)知B1D⊥平面ABD，所以平面EGF∥平面ABD. 方法二；因为＝，所以＝－，所以GF∥BA.又GF平面ABD，AB⊂平面ABD，所以GF∥平面ABD，同理EF∥平面ABD.又GF∩EF＝F，GF，EF⊂平面EGF，所以平面EGF∥平面ABD. . 学科网（北京）股份有限公司 $