第七章 课时作业4 空间点、线、面的位置关系-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 高中数学一轮复习同步练，聚焦空间点、线、面的位置关系，通过基础辨析、模型应用到综合探究的分层设计，强化空间观念与推理能力，适配课时巩固与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（单选题1-6）|平面确定、直线位置关系等单一概念|以概念辨析为主，如第1题平面确定公理直接考查基础认知| |提升层（多选题7-9、填空题10-12）|共面判定、异面直线成角等综合应用|融入正方体、三棱柱等空间模型，如第7题结合正方体考查三点共线，培养几何直观| |综合层（解答题13-14）|体积计算、空间角求解等复杂问题|以四棱锥、圆锥为载体，如第13题结合线面垂直求体积与线线角，发展综合推理能力|

课时4 空间点、线、面的位置关系 一、单选题 1．下列命题正确的是(　　) A．一条直线和一点确定一个平面 B．两条相交直线确定一个平面 C．四点确定一个平面 D．三条平行直线确定一个平面 2．设直线a，b分别是长方体相邻两个面的对角线所在的直线，则a与b(　 　) A．平行 B．相交 C．是异面直线 D．可能相交，也可能是异面直线 3．已知直线a，b均在平面α外，若a，b在平面α内的射影是两条平行直线，则a和b的位置关系是（　　） A．异面直线 B．相交直线 C．平行直线 D．平行或异面直线 4．已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，且a∩b＝O，则下列结论正确的是(　　) A.直线b与直线c可能是异面直线 B.直线a与直线c可能平行 C.直线a，b，c必然交于一点(即三线共点) D.直线c与平面α可能平行 5．(2026·湖南长沙市雅礼中学模拟)在三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，AB＝，BC＝BD＝CD＝2，E，F分别为AC，CD的中点，则下列结论正确的是(　 　) A．AF，BE是异面直线，AF⊥BE B．AF，BE是相交直线，AF⊥BE C．AF，BE是异面直线，AF与BE不垂直 D．AF，BE是相交直线，AF与BE不垂直 6．若正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，高为，则直线AE1和EF所成角的大小为(　　) A. B. C. D. 二、多选题 7．(2026·陕西西安中学期末)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的有(　　) A.A，M，O三点共线 B.A，M，O，A1共面 C.A，M，C，O共面 D.B，B1，O，M共面 8、下列推断中，正确的有(　　) A．M∈α，M∈β，α∩β＝l⇒M∈l B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合 9．如图，在三棱柱中，E，F分别为棱A1B1和A1C1上的点(不包括端点)，且，则下列结论正确的有（    ） A． B，C，E，F四点共面 B．P∈平面ABB1A1 C．平面AEF与平面BB1C1不相交 D．P，A1，A三点共线 三、填空题 10．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α内，且AB∥CD，则正方体的六个面所在的平面中，与直线EF相交的平面个数为________. 11、(2026·山东佛山市第一中学期中)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝4，AB＝2，则直线A1B与直线B1C所成角的余弦值为__ __． 12．（2026春·上海高考）已知是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是．点，分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为 　　． 四、解答题 13．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，边长为4，E为棱AB的中点，且PE⊥平面ABCD. (1)若△PAB为等边三角形，求四棱锥P－ABCD的体积； (2)若棱CD的中点为F，且PF与平面ABCD所成角为45°，求PC与AD所成角的正切值. 14、（2023·上海卷）如图，已知顶点为S的圆锥，其底面圆的半径为8，为圆锥底面半圆弧的中点，为母线的中点.       (1)若母线长为10，求圆锥的体积； (2)若异面直线与所成角大小为，求圆锥侧面上，两点间的距离. 课时4 空间点、线、面的位置关系参考答案 1．B【解析】根据一条直线和直线外的一点确定一个平面，知A不正确；B显然正确； C中四点不一定共面，故C不正确； 三条平行直线可以确定一个平面或三个平面，故D不正确．故选B. 2．D【解析】如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，当A′B所在的直线为a，BC′所在的直线为b时，a与b相交；当A′B所在的直线为a，B′C所在的直线为b时，a与b异面．故选D. 3．D【解析】因为直线a，b均在平面α外，若a，b在平面α内的射影是两条平行直线，则a，b可能是两条平行直线或两条异面直线．故选D． 4．C【解析】因为α∩β＝a，α∩γ＝b，a∩b＝O， 所以O∈α，O∈β，O∈γ.因为β∩γ＝c，所以O∈c，所以直线a，b，c必然交于一点(即三线共点)，故A，B错误，C正确； 假设直线c与平面α平行，由O∈c，可知Oα，这与O∈α矛盾，故假设不成立，D错误.故选C. 5．A【解析】显然根据异面直线判定方法：经过平面ACD外一点B与平面ACD内一点E的直线BE，与平面ACD内不经过点E的直线AF是异面直线．下面证明BE与AF垂直：因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD．因为BC＝BD＝CD，F为CD的中点，连接BF，所以BF⊥CD．因为AB∩BF＝B，AB，BF⊂平面ABF，所以CD⊥平面ABF.如图，取AF的中点Q，连接BQ，EQ.因为AF⊂平面ABF，所以CD⊥AF.又因为EQ∥CD，所以EQ⊥AF．因为BC＝BD＝CD＝2，所以BF＝×2＝＝AB.又因为Q为AF的中点，所以BQ⊥AF．因为BQ∩EQ＝Q，BQ，EQ⊂平面BEQ，所以AF⊥平面BEQ.又因为BE⊂平面BEQ，所以AF⊥BE．故选A. 6．C【解析】如图所示，EF∥E1F1，则∠AE1F1即为所求． 因为AF＝EF＝1，EE1＝，且∠AFE＝，所以AE＝＝， 所以AE1＝＝3，AF1＝＝，所以cos∠AE1F1＝＝ ＝，所以∠AE1F1＝，即直线AE1和EF所成角的大小为.故选C. 7．ABC【解析】因为M∈A1C，A1C⊂平面A1ACC1，所以M∈平面A1ACC1.又因为M∈平面AB1D1，所以M在平面AB1D1与平面A1ACC1的交线AO上，即A，M，O三点共线，所以A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面.因为平面BB1D1D∩平面AB1D1＝B1D1，所以M在平面BB1D1D外，即B，B1，O，M不共面.故选ABC. 8、ABD【解析】对于选项A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事实3可知M∈l，故A正确； 对于选项B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β＝AB，故B正确； 对于选项C，若l∩α＝A，则有lα，A∈l，但A∈α，故C错误； 对于选项D，有三个不共线的点在平面α，β中，α，β重合，故D正确．故选ABD. 9．ABD 【解析】对于选项A，因为，所以共面，A正确. 对于选项B，，平面，所以平面，B正确. 对于选项D，，平面，平面，所以平面∩平面=，D正确. 对于选项C，与相交，则平面与平面BB1C1相交，C不正确.故选ABD. 10．4【解析】因为AB∥CD，由图可以看出EF平行于正方体左右两个侧面，与另外四个侧面相交. 11、【解析】如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，连接BC1交B1C于点O，取A1C1的中点F，连接OF，显然O是BC1的中点，则OF∥A1B，则∠B1OF是A1B与B1C所成的角或其补角．在△OB1F中，B1F＝，OB1＝B1C＝＝，OF＝A1B＝＝，则cos∠B1OF＝＝，所以直线A1B与直线B1C所成角的余弦值为． 12．【解析】是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面圆半径是， ，分别在圆锥的底面上，如图，过作，交底面圆锥于点，连接.，，则为异面直线与所成角，所以.又，所以，即.因为，函数在上单调递减，所以，所以异面直线与所成角的最小值为． 13．【解】（1）因为正方形ABCD的边长为4，且△PAB为等边三角形，E为AB的中点，所以PE=PB·sin∠PBE=AB·sin60°=.又PE丄平面ABCD，所以四棱锥P-ABCD的体积 . （2） 如图，连接EF. 因为AD∥BC，所以PCB即PC与AD所成的角.因为PE丄平面ABCD，EF，BC平面 ABCD，所以PE丄EF，PE丄BC.又PF与平面ABCD所成角为45°，即∠PFE=45°，所以PE= EF· tan∠PFE = 4，所以PB=.又BC丄AB，PE∩AB=E，PE，AB平面PAB，所以BC丄 平面PAB.又PB平面PAB，所以BC丄PB， 所以tan∠PCB=，所以PC与AD所成角的正切值为. 14、【解】（1）圆锥的底面圆半径为8，母线长为10，而，则，解得，所以圆锥的体积为. （2）如图，取的中点，连接PM，QM. 由弧AC为圆锥底面的半圆弧知，圆锥底面圆心O在AC上，且为AC中点.又P为母线SA的中点，则与所成角为或其补角.由平面ACQ，得平面.又平面ACQ，则.于是.由是半圆弧AC的中点得，.则，所以. . 学科网（北京）股份有限公司 $