第六章 课时作业6 数列的综合应用-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦数列综合应用，通过等差等比运算、递推转化、求和等系统方法，构建从概念到应用的知识逻辑链，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用（选择填空）|12题|基本量方程法、累乘法、裂项相消、构造新数列|从等差等比定义出发，衔接递推关系与前n项和，渗透数学建模（如中国剩余定理应用）| |综合应用（解答题）|2题|分组求和、公共项分析、错位相减|整合数列与集合知识，强化逻辑推理，体现数学语言表达的简洁性|

课时6 数列的综合应用 一、单选题 1．记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 2．已知等比数列{an}为递减数列. 若a2a6＝6，a3＋a5＝5，则= (　　) A. B. 6 C. D． 3、在正项数列{an}中，＋＋…＋＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为(　　) A. an＝n2 B. an＝n C. an＝n D. an＝n2 4、我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它是世界数学史上光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们．定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活中都有着广泛应用，为世界数学的发展作出了巨大贡献．现有这样一个整除问题：将1到2 020这2 020个整数中被3除余2且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，那么此数列的项数为(　　) A．133 B．134 C．135 D．136 5．已知数列{an}满足，其中a1=1，则a8= (　　) A.28 B.220 C.225 D.228 6．已知n∈N*，an＝，bn＝. 将数列{an}与数列{bn}的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列{cn}，则数列{cn}的前99项和为(　 　) A． B． C． D． 二、多选题 7．已知n，m∈N*，将数列{4n＋1}与数列{5m}的公共项从小到大顺序排列得到数列{an}，则有(　 　) A．an＝5n B．an＝5n C．{an}的前n项和为 D．{an}的前n项和为 8. 已知数列的首项，且满足，则有（ ） A. B. 是等比数列 C. 是等差数列 D. 存在，使得 9、已知数列的前项和为，且，，数列的前项和为，，则下列选项正确的有（     ） A．数列是等比数列 B．数列是等差数列 C．数列的通项公式为 D． 三、填空题 10、有一座六层高的商场，若每层所开灯的数量都是下面一层的2倍，一共开了1890盏，则底层所开灯的数量为 盏. 11．（2026·河北保定市模拟）若数列{an}的前n项和为Sn，且a1=a2=1，+anSn+1=SnSn+1(n≥2)，则S7=________. 12．已知正项数列{an}满足Sn＝，n∈N*，其中Sn为数列{an}的前n项和，则数列的前120项和为___． 四、解答题 13． (2026·山东济南市模拟)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝4，b1＝2，a2＝2b2－1，a3＝b3＋2. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)数列{an}和{bn}中的所有项分别构成集合A，B，将A∪B的所有元素按从小到大顺序依次排列构成一个新数列{cn}，求数列{cn}的前60项和S60. 14．在数列中，，对任意正整数，均有.数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 课时6 数列的综合应用参考答案 1．C【解析】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意，可得 ，即.又，解得， 所以．故选C. 方法二：，，所以，，从而，于是，所以．故选C. 2．D【解析】由{an}为等比数列，得a2a6＝a3a5＝6，又a3＋a5＝5，所以a3，a5为方程x2－5x＋6＝0的两个根，解得a3＝2，a5＝3或a3＝3，a5＝2.由{an}为递减数列得an>an＋1，所以a3＝3，a5＝2，所以q2＝＝，则＝＝.故选D. 3、A【解析】＋＋…＋＝ ①； ＋＋…＋＋＝ ②. ②－①，得＝n＋1，所以当n≥2时，an＝n2，n＝1时也符合．故选A. 4、C【解析】由题意可得，an＝2＋3×5(n－1)＝15n－13，n∈N*，则15n－13≤2 020，可得n最大为135.故选C. 5．C【解析】由题意，得=×21，=×22，…，=×27.由累乘法，得××…×=×21××22×…××27， 即=×21×22×…×27===225.又a1=1，所以a8=225.故选C. 6．D【解析】数列{2n－1}是正奇数数列，对于数列{(n＋1)2－1}，当n为奇数时，设n＝2k－1(k∈N*)，则(n＋1)2－1＝4k2－1，为奇数；当n为偶数时，设n＝2k(k∈N*)，则(n＋1)2－1＝(2k＋1)2－1＝4k(k＋1)，为偶数，所以cn＝．因为cn＝＝＝，所以c1＋c2＋…＋c99＝×＝×＝．故选D. 7．BC【解析】令4n＋1＝5m(n，m∈N*)，所以n＝＝＝∈N*，所以数列{5m}为数列{4n＋1}的子数列，所以an＝5n(n＝1,2,3，…)，所以{an}的前n项和为＝．故选BC. 8．BC【解析】数列的首项，且满足，所以时，，故A错误； 当时，，整理得，所以数列是以2为公比，为首项的等比数列，故B正确； 所以，所以，所以数列是以为公差，为首项的等差数列，故C正确； 所以，所以，，所以恒成立，所以D错误. 故选BC. 9、 AC【解析】因为，所以，，即，且，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故A正确，B错误； 所以，即，故C正确； 因为，所以，故D错误.故选AC. 10、30【解析】依题意，从下往上每层灯的数据构成等比数列，公比，，前6项和，于是，解得，所以底层所开灯的数量为30盏. 11．64【解析】因为+an=Sn，所以=SnSn+1-anSn+1=Sn+1(Sn-an)=Sn+1·Sn-1(n≥2)，所以数列{Sn}为等比数列.又S1=1，S2=a1+a2=2，所以{Sn}的公比为=2，所以Sn=2n-1，所以S7=26=64. 12．10【解析】由Sn＝，令n＝1，得a1＝.因为an＞0，所以a1＝1．当n≥2时，Sn＝，即S－S＝1．因此，数列{S}是首项为1，公差为1的等差数列，所以S＝n，即Sn＝．令bn＝＝＝－，故数列的前120项和为b1＋b2＋…＋b120＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝10． 13．【解】(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由所以所以q＝2，d＝3，所以an＝3n＋1，bn＝2n. (2)当{cn}的前60项中含有{bn}的前6项时，令3n＋1<27＝128，所以n<，此时至多有42＋6＝48项，不符合题意.当{cn}的前60项中含有{bn}的前7项时，令3n＋1<28＝256，所以n<85，且22，24，26是{an}和{bn}的公共项，则{cn}的前60项中含有{bn}的前7项且含有{an}的前56项，再减去公共的三项.所以S60＝＋2＋23＋25＋27＝4 844＋170＝5 014. 14．【解】（1）因为，当时，，累加得，即.经检验，满足，所以数列的通项公式为.因为①， 当时，，当时， ②. ①②，得，即，经检验，满足，所以数列的通项公式为. （2）由（1）可得，所以.即数列的前项和. . 学科网（北京）股份有限公司 $