第四章 课时作业9 解三角形的综合应用-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦解三角形综合应用，通过基础巩固、情境应用、复杂问题解决三层设计，实现从单一定理到实际建模的递进，培养数学眼光与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|正弦/余弦定理直接应用|单选1-4（如距离计算），填空10，强化公式记忆与基本运算| |中档|综合情境与多定理应用|单选5-6（飞行路径、球体高度），多选7-8，填空11，结合实际场景提升分析能力| |拔高|复杂问题与数学建模|多选9（四边形面积最值），填空12（动态几何），解答13-14（测量建模、定理推导），发展逻辑推理与创新意识|

课时 9 解三角形的综合应用 一、单选题 1．已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为(　 ) A．10 km B．10 km C．10 km D．10 km 2．（2025·山东济宁市统考）如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h.若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为(　　) A. 8 km/h B. 6 km/h C. 2 km/h D. 10 km/h 3、(2025·山东临沂市模拟)甲骑电动车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B处时与电视塔S之间的距离是 (　　) A.6 km B.3 km C.3 km D.3 km 4．（2025·北京市第二中学月考）如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，且在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=(　　) A.5 B.15 C.5 D.15 5、如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距500 km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从点A起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB成12°角的方向飞行，飞行到中途点C．再沿与原来的飞行方向AB成18°角的方向继续飞行到终点B，则这样飞机的飞行路程比原来的路程500 km大约多飞了(参考数据：sin 12°≈0.21，sin 18°≈0.31)(　　) A．10 km 　　　　　　　 B．20 km C．30 km D．40 km 6、古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC =100 m，则该球体建筑物的高度约为（参考数据：cos10° ≈ 0.985）（    ） A．49.25 m B．50.76 m C．56.74 m D．58.60 m 二、多选题 7．（2025·河南湘豫名校联考）某货轮在A处测得灯塔B在北偏东75°方向，距离为12 n mile，测得灯塔C在北偏西30°方向，距离为8 n mile.货轮由A处向正北方向航行到D处时，测得灯塔B在南偏东60°方向，则下列说法正确的有(　　) A．A处与D处之间的距离是24 n mile B．灯塔C与D处之间的距离是16 n mile C．灯塔C在D处的南偏西30°方向 D．D处在灯塔B的北偏西30°方向 8．如图，为了测量障碍物两侧A，B之间的距离，则根据下列数据一定能确定AB长度的有(　　) A.a，b，γ B.α，β，γ C.a，β，γ D.α，β，b 9、如图，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(acosC＋ccosA)＝2bsinB，且∠CAB＝.若点D在△ABC外，DC＝1，DA＝3，则下列说法正确的有(　　) A．∠ABC＝ B．∠ACB＝ C．四边形ABCD面积的最大值为＋3 D．四边形ABCD的面积无最大值 三、填空题： 10．海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛间的距离是__ __n mile． 11、甲船在A处观察乙船，乙船在它北偏东60°方向，相距a n mile的B处，乙船向正北方向行驶，若甲船速度是乙船速度的 倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东θ方向前进，则θ＝______. 12、(2025·福建厦门市二模) ，，是同一平面内的三条平行直线，，位于两侧，与的距离为1，与的距离为2，点A，B，C分别在，，上运动.若，则面积的最小值为__________. 四、解答题 13．汾阳文峰塔建于明末清初，位于山西省汾阳市城区以东2 km的建昌村，该塔共十三层，雄伟挺拔，高度位于中国砖结构古塔之首．如图，某测绘小组为了测量汾阳文峰塔的实际高度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的三个测量基点C，D，E，现测得∠BCD＝30°，∠BDC＝70°，∠BED＝120°，BE＝17.2 m，DE＝10.32 m，在点C处测得塔顶A的仰角为62°，求塔高AB．(结果精确到1 m.参考数据：tan 62°≈1.88，sin 70°≈0.94，＝12.04) 14．记的内角，，的对边分别为，，．已知．求： （1）的值： （2）的最大值． 课时 9 解三角形的综合应用参考答案 1．D【解析】由余弦定理可得AC2＝AB2＋CB2－2AB×CB×cos120°＝102＋202－2×10×20×＝700，所以AC＝10(km)．故选D. 2．B【解析】设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h.由题意知，sin θ＝＝，从而cos θ＝，所以由余弦定理，得＝＋12－2××2×1×，解得v＝6.故选B. 3、C【解析】由题意知，AB＝24×＝6(km)，∠BAS＝30°，∠ASB＝75°－30°＝45°.由正弦定理，得BS＝＝＝3(km).故选C. 4．D【解析】在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理，得＝，所以BC＝15. 在Rt△ABC中，AB＝BCtan ∠ACB＝15×＝15.故选D. 5、B【解析】在△ABC中，由A＝12°，B＝18°，得C＝150°.由正弦定理，得＝＝，所以≈≈，所以AC＝310 km，BC＝210 km，所以AC＋BC－AB＝20 (km)．故选B. 6、B【解析】如图， 设球的半径为，因为，所以 所以.故选B. 7．AC【解析】 如图，由题意可知∠ADB＝60°，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，AB＝12 n mile，AC＝ 8 n mile，所以B＝180°－60°－75°＝45°.在△ABD中，由正弦定理，得＝， 所以AD＝＝＝24(n mile)，故A正确. 在△ACD中，由余弦定理，得CD＝＝ ＝8(n mile)，故B错误. 由B项解析知CD＝AC，所以∠CDA＝∠CAD＝30°，所以灯塔C在D处的南偏西30°方向，故C正确. 由∠ADB＝60°，得D处在灯塔B的北偏西60°方向，故D错误．故选AC. 8．ACD【解析】对于选项A，由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcos γ，可求得c，A正确； 对于选项B，知三个内角，此时三角形大小不唯一，B错误； 对于选项C，由正弦定理可知＝得c＝，C正确； 对于选项D，同上由正弦定理，得c＝，D正确.故选ACD. 9、ABC【解析】因为(acosC＋ccosA)＝2bsinB，所以由正弦定理，得(sinAcosC＋sinCcosA)＝2sin2B，所以sin(A＋C)＝2sin2B，整理得sinB＝2sin2B，sinB＝.因为∠CAB＝，所以B∈，故B＝，所以C＝π－A－B＝，因此A，B正确． S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝AC2＋AD·DC·sin∠ADC＝(AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC)＋AD·DC·sin∠ADC＝×(9＋1－6cos∠ADC)＋sin∠ADC＝＋3sin≤＋3.因此C正确，D错误．故选ABC. 10．5【解析】如图，在△ABC中，AB＝10，A＝60°，B＝75°，C＝45°，由正弦定理，得＝，所以BC＝＝＝5(n mile)． 11、30°【解析】如图，设两船在C处相遇， 则由题意，得∠ABC＝180°－60°＝120°，且＝，由正弦定理，得＝＝，所以sin∠BAC＝.又因为0°<∠BAC<60°，所以∠BAC＝30°，所以θ＝60°－30°＝30°. 12、【解析】过作于,由于,所以是中点，故则，所以.又则，故，当且仅当时，的面积的最小值为. 13．【解】由余弦定理，得BD2＝BE2＋DE2－2BE·DE·cos∠BED，则BD＝＝＝2＝2×12.04＝24.08(m)．在△BCD中，由正弦定理，得＝，则BC＝≈≈45.270 4(m)．在△ABC中，∠ACB＝62°，所以AB＝BC·tan∠ACB≈45.270 4×1.88≈85(m)． 14．【解】（1）由余弦定理可得，代入，得到，化简得，即.由正弦定理可得，即，展开得，即，所以． （2） 由得，故，当且仅当，即时等号成立．因为，所以，所以的最大值为. . 学科网（北京）股份有限公司 $