第三章 课时作业7 利用导数证明不等式-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数证明不等式，构建“构造函数-求导分析-最值论证”系统方法，强化数学思维推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利用导数证明不等式|4道解答题（含3道模拟题）|构造辅助函数、转化目标不等式、导数分析单调性与最值|导数应用（单调性/最值）→函数性质→不等式证明的逻辑链条|

课时7利用导数证明不等式 解答题 1、(2026四川成都t中月考节运)已知函数f()=心-号r-1 f(x)≥ax2+x 证明： 2、已知函数f)=ae*-x-3 (a∈R) (1)试讨论 (冈的单调性： ②)证明：当a>0时，f)>21na-a 3、(2026湖北荆州市模拟)已知函数/()=vnx 0)求曲线'=f()在点f0》处的切线方程 ②求证：函数'=因的图象位于直线'=X的下方 若x≥0as, 4.(2026-河北沦州市模拟节选)已知函数f()=ln(x+) 1 1 ∠0 若x>0,证明： g(x) g(x)=x(x+1) 课时7利用导数证明不等式参考答案 1.【i证明】构造函数h(x)=f)am-x=e-号r-1-a-xx2≥0，则i()=e-a-2ar-1, 且0)=0，h(0)=0,构造函数()=()=e-ar-2ar-1,则()=c-2ar-2a,再令 v(x)=W(x)=e-2ar-2a,则v(x)=e-2a,因为a≤2时，则y(x)=e-2a≥0，v(x)在 [0,+o)单调递增，而()20)=1-2a,所以“（在0，+o)单调递增，所以“(）2u(0)=0, 所以h()在[0，+o)单调递增，故)≥h0)=1-1=0,即f()2r+x 2、(1)【解】由题意知f(=e-1.当a≤0时，f)<0,所以/在-o,+w)上单调递 减： 当a>0时，令f<0,解符<-ha,令f)>0,解得>-ha,所以在，-ha 上单调递减，在一血a,+切)上单调递增 (2)【i证明】由(1)得f)n=f-na)=aea+na-3 na- 2 2:要证f)>21na-a2, 即证na>2hna-d,即证a2-na>0令ga)=a-号naa>0,则 2 2 8@=2a-1-2a2-1 aa. 令go0:部将0sa兰.今go0,年a 0② 2,所以ga在2 上单调递减，在 所以当a>0时，f>2ha-a2 3(1)【解】f)=n+ 2√x,则f'(1)=1.又f(1)=0,所以曲线在点(1，f(1)处的切线方 y=x-1 程为 (2)【证明】因为x>0,所以F>0,要证明f)<x,只需要证明<正，即证 Inx-/x<0 g-版近，则-名2会，青oe所：0，A阳在04E 单调递增，当>4时，(<0，此时()在4，+切)上单调递减，故h(四)在x=4取极大值也是 最大值，故h(≤(4)=血4-2<0，所以r-V<0恒成立，即原不等式成立，所以函数 y=f()的图象位于直线'=x的下方. :0aa+0而0aia+0-1e0.设 F0=+1ih1+）->0,则F)=h0++2-21 2W1+t 令p()=n(1+t)+2-21+,t>0, 刘P0<0,两国*读又0=0，质p小0， 即F'(O<0,所以F(0在O,+o)上单调递减，又F(O)=0,所以F)<0,得证.