1.4一元二次方程根与系数的关系 课件 2026-2027学年青岛版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过“观察与发现”让学生计算具体方程的两根之和与积，引导发现规律，再结合求根公式推导一般结论，衔接之前的解法和判别式知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其特色在于以探究式导入培养数学眼光，通过代数推理发展数学思维，例题与练习用符号语言表达关系，分层例题和明确适用前提的小结帮助学生构建知识体系。学生能提升探究与推理能力，教师可获得完整的教学流程与练习设计支持。

内容提要 ◆ 一元二次方程 ◆ 一元二次方程的解法 ◆ 一元二次方程根的判别式 ◆ 一元二次方程根与系数的关系 ◆ 一元二次方程与实际问题 第1章 一元二次方程 青岛版 九年级上册 一元二次方程的根与系数之间有着密切的联系,除求根公式之外,它们之间还存在哪些关系? 青岛版数学 九年级上册 第1章 一元二次方程 1.4 一次二次方程根与系数的关系 解下面的一元二次方程,并分别计算两根之和与两根之积: 序号 一元二次方程 x1 x2 x1+x2 x1x2 ① x2-3x+2=0 ② x2+x-6=0 ③ 2x2-x-3=0 ④ 3x2-4x+1=0 1 2 3 2 2 -3 -1 -6 -1 - 1 序号 一元二次方程 x1 x2 x1+x2 x1x2 ① x2-3x+2=0 ② x2+x-6=0 ③ 2x2-x-3=0 ④ 3x2-4x+1=0 1 2 3 2 2 -3 -1 -6 -1 - 1 这四个方程中,两根之和、两根之积与相应方程的系数之间有什么关系? 上面四个方程中,两根之和、两根之积与相应方程的系数之间的关系是： 方程①和②中,两根之和等于一次项系数的相反数,两根之积等于常数项。 将方程③和④的二次项系数化为 1后,结论仍然成立 这个结论对所有的一元二次方程都适用吗？ 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之和、两根之积与系数a,b,c 有什么关系? 当b2-4ac≥0时,一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是: x1 = , x2 = 。 x1+x2= + x1•x2= • 你能求出两根之和、两根之积吗？ 一元二次方程ax2+bx+c=0根与系数的关系： 如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1,x2,那么 x1+x2= x1•x2= 例1、设x1,x2 是方程3x2-5x+1=0的两根, 求下列各式的值 (1)(x1+1)(x2+1); (2) + ；（3）x12+x22。 解: a=4,b=3,c=-1, 由一元二次方程根与系数的关系,得 x1+x2=- =- x1x2= = 例题讲析 (1)(x1+1)(x2+1); (2) + 。 =x1x2+x1+x2+1 = ++1 =3 = + = = =5 （3）x12+x22 =（x1+x2）2-2x1x2 =（）2-2× = 1.不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积: (1)x2-3x-1=0; (2)2x2+9x=0; (3)5x2=2-9x。 跟踪练习 例2、已知关于x的一元二次方程 (1-2k)x2-2x-1=0有两个不相等的实根. (1)求实数k的取值范围; (2)如果方程两根的倒数的和比两根倒数的积小1， 求k的值. 例题讲析 解:(1)由题意，得 Δ=(2)2-4(1-2k)×(-1)≥0， 1-2k≠0 k+1≥0, 解得-1≤k<2,且k≠。 (2)设x1,x2是方程的两根。 ∴x1+x2= , x1•x2= - 根据题意，得 - + ）=1。 1-（x1+x2）=x1•x2 1- 解得k=0. ∴k的值为0. 2.已知关于x的方程2x2-3x-k=0的两根之和比两根之积大1,求方程的两个根。 跟踪练习 例3、已知a,β是方程x2-3x-4=0的两个实数根， 则 a2+aβ-3a的值为 。 解析: ∵a,β是方程x2-3x-4=0的两个实数根， ∴a2-3a-4=0，aβ=-4. ∴a2+aβ-3a=4+（-4）=0 ∴a2-3a=4 0 例题讲析 3.已知a,β是方程2x2 +5x-6=0的两个实数根， 则 2a2+7aβ+3a- 2β的值为 。 10 跟踪练习 例4、已知关于x的方程5x2+3kx=11的一个根是-1, 求另一个根及k的值。 解方法1: ∴方程为5x2-6x=11，解得方程的另一个根为 ∵方程5x2+3kx=11的一个根是一1， ∴5×(-1)2+3k×(-1)=11， ∴k=-2. 例题讲析 例4、已知关于x的方程5x2+3kx=11的一个根是-1, 求另一个根及k的值。 解方法2: ∴方程为5x2+3kx=11的另一个根为 ,k的值为-2. 设：方程5x2+3kx=11的另一个根x1，则 -1+x1=-， -1•x1=-， 解得 x1=， k=-2， 例题讲析 已知一根求另一根及字母系数“两路走” 思路一:把已知根代入方程求出字母系数解方程求 另一根; 思路二:根据“根与系数的关系”列关于另一根和未知 系数的方程(组)求出另一根和字母系数. 方法归纳： 4.已知关于x的方程2x2+kx-5=0的一个根是1, 求另一个根及k的值。 跟踪练习 例5、已知关于x的方程x2-2(2k+1)x+4k2+3=0。 (1)当k为何值时,方程没有实数根? (2)当方程有两个不相等的实数根x1,x2 时,是否 存在实数k,使得代数式 (x1+1)(x2+1)的值为1? 解: （1）a=1,b=-2（2k+1),c=4k2+3, Δ=〔-2（2k+1)〕2-4×1×（4k2+3） =16k-8 例题讲析 ∵方程没有实数根，∴Δ＜0 （2）∵方程没有实数根，∴Δ＞0 即16k-8＜0 解得k＜ ∴当k＜ 时，方程没有实数根。 ∴16k-8＞0 解得k＞ x1+x2=4k+2， x1•x2=4k2+3， 由一元二次方程根与系数的关系,得 ∵(x1+1)(x2+1)=1 ∴x1x2+x1+x2+1=1 ∴4k2+3+4k+2+1=1 ∴不存在实数k,使得代数式 (x1+1)(x2+1)的值为1。 Δ=42-4×4×5=-64＜0 即4k2+4k+5=0 ∴此方程没有实数根。 5.已知关于x的一元二次方程x2+(2m-1)x+m2=0的 两个根为x1和x2。 (1)求实数m 的取值范围; (2)当x12-x22=0时,求m 的值。 跟踪练习 解:(1)∵一元二次方程x2+(2m-1)x+m2=0有两个实数根， ∴Δ=(2m-1)2-4×1×m2≥0， 解得m≤ (2)设方程两个实数根为x1，x2。 x1+x2=-2m+1， x1•x2=m2， ∵x12-x22=0 ∴（x1+x2）（x1-x2）=0 当x1+x2=0时，即-2m+1=0 ∴x1+x2=0，或x1-x2=0 ∴m= ∵m≤ 而 ＞ ∴m= 不合题意。 当x1-x2=0时，即x1=x2 ∴Δ=(2m-1)2-4×1×m2=0， ∴m= 当x12-x22=0时，m的值为 一元二次方程根与系数的关系的适用前提条件： （2）一元二次方程有解,即△=b2-4ac≥0. （1）方程是一元二次方程,即a≠0； 知识积累： 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2, 1、一元二次方程的根与系数的关系 2、一元二次方程根与系数的关系的适用前提条件： （2）一元二次方程有解,即△=b2-4ac≥0. （1）方程是一元二次方程,即a≠0； x1+x2= x1•x2= 课堂小结 $