11.2.3 多项式与多项式相乘课件 2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“多项式与多项式相乘”核心知识点，通过复习单项式乘单项式、单项式乘多项式等旧知搭建学习支架，引导学生从长方形面积不同表示形式切入，自然过渡到新知探究。 其亮点在于以几何直观呈现多项式乘法法则推导过程，培养学生抽象能力与推理意识，通过合作探究、典例精析及综合应用强化运算能力，课堂小结系统梳理易错点，助力学生理解法则本质，也为教师提供高效教学流程。

第10章　数的开方 11.2 整式的乘法 3. 多项式与多项式相乘 导入新课 4.－5x(2x2－3x＋1)＝ _________________ ． 12ab3 －6x2＋18xy －32x7y5 －10x3＋15x2－5x 计算： 1.(－3ab)·(－4b2)＝_____________； 2.－6x(x－3y)＝ _____________ ； 3.(2x2y)3·(－4xy2)＝ _____________ ； 探究新知 知识模块一　探究多项式与多项式相乘的法则 问题：如图1是一个长和宽分别为 m，n 的长方形纸片，如果它的长和宽分别增加 a，b，所得长方形(图2)的面积怎样用不同形式表示? m n 图 1 m n a b 图 2 你能用不同的形式表示所拼图的面积吗? 方法一：用不同的形式表示所拼图的面积： m n a b ① (m + a)( n + b) ③ m( n + b) + a( n + b) ② n(m + a) + b(m + a) ④ mn + mb + an + ab 合作探究 于是得到 (m + a)( n + b)＝n(m + a) + b(m + a) ＝m( n + b) + a( n + b)＝mn + mb + an + ab ＝ mn + mb + an + ab. 或 (m + a)( n + b) ＝ m(n + b) + a( n + b) 方法二：把 (m + a) 和 ( n + b) 看成一个整体，利用乘法分配律： m n a b (m + a)( n + b) ＝(m + a)n + (m + a)b ＝ mn + mb + an + ab. 你能类比单项式与多项式相乘的法则，叙述多项式与多项式相乘的法则吗? 小组讨论得出结果. 合作探究 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 知识要点 追问：以 (a + b)(m + n) 为例，能否用字母呈现出多项式与多项式相乘的法则? 1 2 3 4 (a + b)(m + n) = am 1 2 3 4 + an + bm + bn 例1 计算：(1) (x + 2)(x－3)； (2) (2x + 5y)(3x－2y). 解 (1) (x + 2)(x－3) = x2－3x + 2x－6 = x2－x－6. (2) (2x + 5y)(3x－2y) = 6x2－4xy + 15yx－10y2 = 6x2 + 11xy－10y2. 计算结果中的－x 是怎么得到的? ←合并同类项 典例精析 需要注意的几个问题： (1)漏乘； (2)符号问题； (3)最后结果应化成最简形式. 注意 计算: (x +2)(x +3) = x² +______x+______ (x -4)(x +1) =x2+______x+______ (x +4)(x -2)= x²+______x+______ (x-2)(x-3)= x²+______x+______ 观察上面四个等式，你能发现什么规律？ 5 (-3) 2 (-5) 典例精析 6 (-4) (-8) 6 (x-a)(x+b)= x²+______x+______ (a+b) ab 例2 计算： (1) (m－2n)(m² + mn－3n2)； 解 (1)(m－2n)(m2 + mn－3n2) = m · m² + m · mn－m · 3n²－2n · m²－2n·mn + 2n · 3n² = m³ + m²n－3mn²－2m²n－2mn² + 6n³ = m3－m2n－5mn2 + 6n³. (2) (3x2－2x + 2)(2x + 1) = 6x³ + 3x2－4x2－2x + 4x + 2 = 6x3－x2 + 2x + 2. (2) (3x2－2x + 2) (2x + 1). 1. 计算：（1）( 3x + 1 )( x + 2 )； 解：(1) 原式 = 3x · x + 3x×2 + 1 · x + 1×2 = 3x2 + 6x + x + 2 练一练 = 3x2 + 7x + 2. (2) 原式 = x · x - xy - 8x + 8y (3) 原式 = x·x2 - x · xy + xy2 + x2y - xy2 + y · y2 （2）( x - 8 )( x - y )； （3） ( x + y )( x2 - xy + y2 ). = x2 - xy - 8x + 8y. = x3 - x2y + xy2 + x2y - xy2 + y3 = x3 + y3. 知识模块二　多项式与多项式的综合应用 范例：要使x(x2＋a)＋3x－2b＝x3＋5x＋4成立，则a，b的值分别为多少？ 解：(1)原式＝2mx－3mx2＋16－24x 变例：(1)已知多项式(mx＋8)(2－3x)展开后不含x项，求m的值； ＝－3mx2＋(2m－24)x＋16. ∵展开后不含x项， ∴2m－24＝0，解得m＝12； (2)原式＝12x2＋4x＋18x＋6－12x2－78x＋56x＋16＝22，为常数， ∴原代数式的值与x的取值无关． (2)试说明：代数式(2x＋3)(6x＋2)－6x(2x＋13)＋8(7x＋2)的值与x的取值无关． 多项式乘多项式 运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 (a + b)(m + n) = am + an + bm + bn 注意 不要漏乘；正确确定各项符号；结果要最简 实质上是转化为单项式×多项式的运算 (x－1)2=(x－1)(x－1)，而不是x2－12 课堂小结 1.计算：(1) (x − 3y)(x + 7y)； = x2 + 4xy − 21y2. 解：(1) 原式 = x2 + 7xy − 3yx − 21y2 随堂检测 (2) (2x + 5y)(3x − 2y). (2) 原式 = 2x • 3x − 2x • 2y + 5 y • 3x − 5y • 2y = 6x2 − 4xy + 15xy − 10y2 = 6x2 + 11xy − 10y2. (3) (3x4－3x2＋1)(x4＋x2－2). 解：原式＝3x4·x4＋3x4·x2－3x4·2－3x2·x4－3x2·x2－3x2·(－2)＋x4＋x2－2 ＝3x8＋3x6－6x4－3x6－3x4＋6x2＋x4＋x2－2 ＝3x8－8x4＋7x2－2. 2. 化简求值：(4x + 3y)(4x－3y) + (2x + y)(3x－5y)，其中 x = 1，y =－2. 解：原式=16x2－12xy +12xy－9y2+ 3x2－10xy+3xy－5y2 当 x = 1，y = －2 时， =22x2－7xy－14y2 原式 = 22×－7×1×(－2)－14×(－2)2 = 22 + 14－56 = －20. 3. 小东找来一张挂历画包数学课本．已知课本长 a 厘米，宽 b 厘米，厚 c 厘米，小东想将课本封面与封底的每一边都包进去 m 厘米，问小东应在挂历画上裁下一块多大面积的长方形？ 七年级(下) 姓名：__________ 数学 c b a a b c m b m 面积：(2m + 2b + c)(2m + a) 解：(2m + 2b + c)(2m + a) = 4m2 + 2ma + 4bm + 2ab + 2cm + ca. 答：小东应在挂历画上裁下一块 (4m2 + 2ma + 4bm+ 2ab + 2cm + ca) 平方厘米的长方形. $