第43天 导数与函数的构造 每日专项练习 - 2027届新高考高三数学第一轮复习

**基本信息** 聚焦导数与函数构造的系统性训练，通过高考模考题强化逻辑推理与模型构建，突出数学思维的严谨性与数学语言的精准表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导数应用|14题（含2025云南/汉中/深圳等模考）|比较大小、不等式恒成立、零点问题、曲线交点|从导数几何意义到构造新函数，形成“概念-性质-应用”链条，体现函数单调性与参数范围的推导关系|

2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 答案与解析 第43天 导数与函数的构造 1.答案　B 解析　设f(x)=,则f'(x)=, 当x≥2时,f'(x)<0,故f(x)在[2,+∞)上单调递减, 因此>>,故c<b<a,故选B. 2.答案　D 解析　由xf'(x)=(1-x)f(x)变形得=x, 从而有=, '=, 所以=k·ex, 因为f(1)>0,所以k=>0, 则f(x)=, 则f'(x)==, 故当0<x<1时,f'(x)>0,当x>1时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以f<f(1),f(2)<f(1),又f-f(2)=-=,而e3>2.73≈19.7>16,所以>4,所以f(2)<f<f(1).故选D. 3.答案　D 解析　设f(x)=ex+a-x+1,则f(x)>0恒成立,即f(x)min>0, 因为f'(x)=ex+a-1,所以f'(x)在R上单调递增,且当x=-a时,f'(x)=0, 故当x∈(-∞,-a)时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(-a,+∞)时,f(x)>0,f(x)单调递增, 所以当x=-a时,f(x)取得极小值,即最小值,f(-a)=e-a+a+a+1=a+2, 令a+2>0,得a>-2.故选D. 4.答案　B 解析　法一　由已知曲线y=ex-1与曲线y=aln x+a(a>0)只有一个公共点, 方程ex-1=a(ln x+1)只有一个实数解,而a>0,则只考虑x>, 即a=, 令f(x)=, 则f'(x)=, 而u(x)=1+ln x-上单调递增,且u(1)=0, 所以x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减,x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 而x→时,f(x)→+∞;x→+∞时,f(x)→+∞,所以a=f(1)=1. 法二　由已知曲线y=ex-1与曲线y=aln x+a(a>0)只有一个公共点, 则曲线y=ex-1与曲线y=aln x+a(a>0)只有一个公切点,设其坐标为(x0,y0), 根据函数y=ex-1的图象与函数y=ln x+1的图象之间的关系, 所以有 即=aln x0+a, 所以=ln x0+1, 设h(x0)=-ln x0+1, 则h(x0)在(0,+∞)上单调递减,而h(1)=0, 所以x0=1,所以a=1. 法三　由于函数y=ex-1的反函数为y=ln x+1,两函数关于y=x对称, 由于y'=ex-1,令ex-1=1,则x=1,即函数y=ex-1与函数y=x相切于点(1,1), 同理,y'=,令=1,x=1,即函数y=ln x+1.与函数y=x也相切于点(1,1), 于是函数y=ex-1与函数y=ln x+1相切于点(1,1),由选项可知,a=1.故选B. 5.答案　D 解析　由题设f(x)=≥0在(0,+∞)上恒成立, 知a>0,此时y=ax-2,y=ln x-b在(0,+∞)上都单调递增, 所以只需y=ax-2,y=ln x-b在(0,+∞)上的零点相同, 即=eb,所以a(b+1)=, 令g(x)=,则g'(x)=, 当x<0时,g'(x)>0,即g(x)在(-∞,0)上单调递增, 当x>0时,g'(x)<0,即g(x)在(0,+∞)上单调递减, 所以g(x)max=g(0)=2,即a(b+1)的取值范围是(-∞,2].故选D. 6.答案　C 解析　设A(x1,+1)(x1>0), 则kOA==x1+≥2,当且仅当x1=1时取等号; 设B(x2,aln x2),则kOB=, 令f(x)=,则f'(x)=, 令f'(x)=0⇒x=e, 所以x∈(0,e)时,f'(x)>0,f(x)单调递增; x∈(e,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 所以kOB≤, 取kOA=2,kOB=, 此时tan∠AOB==≤tan 45°=1,解得a≥.故选C. 7.答案　C 解析　令|x|ex=t≥0, 研究y=|x|ex,当x>0时,易知函数单调递增; 当x=0时,y=0, 当x<0时,y=-xex, 则y'=-ex(x+1), 当x<-1时,y'>0,当-1<x<0时,y'<0, 此时y=-xex在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,0)上单调递减; 当x=-1时,得到最大值, 画出草图: 由图象可知,要使得f(x)=x2e2x+a|x|ex+2(a∈R)有4个零点, 则y=t2+at+2(a∈R)必有两个零点, 一个零点在内,一个零点在内, 由二次函数零点分布可得: 解得:a<-2e-, 所以实数a的取值范围为,故选C. 8.答案　A 解析　由-eμ+1≥0, 对任意x∈恒成立, 即≥, 令f(x)=,x∈, 则f'(x)=, 令f'(x)>0,得<x<, 令f'(x)<0,得<x<e, 所以f(x)在上单调递增, 在上单调递减, 所以f(x)max=f=, 所以≥,即eμ≤,λ>0, 又由切线放缩可知,eμ≥eμ, 所以eμ≤,即≤, 所以.故选A. 9.答案　BCD 解析　对A:令x=y=ln 2, 得f(ln 2)+f(ln 2)=f(2ln 2)-1, 即f(ln 4)=2f(ln 2)+1,A错误; 对B:令x=y=0,得2f(0)=f(0)-1,得f(0)=-1. 由xg'(x)<3g(x)+x2, 得x3g'(x)<3x2g(x)+x4, 构造函数h(x)=+(x>0), 则h'(x)=-<0, 则h(x)为减函数,则h(1)>h(2), 即g(1)+1>g(2)+, 则8g(1)>g(2)-4, 所以8g(1)>g(2)+4f(0),故B正确; 对C:令x=y=2,得f(4)-2f(2)=1. 根据B的结论,得: h>h(1)⇒8g+2>g(1)+1⇒ 8g+1>g(1), 所以8g+f(4)>g(1)+2f(2), 故C正确; 对D:若f(1)=2,则可取f(x)=3x-1满足f(x)+f(y)=f(x+y)-1, 则y=为偶函数,故D正确.故选BCD. 10.答案　AD 解析　对A,由图可知:y=2x与y=lox交点A(a,2a)(0<a<1), y=log2x与y=的交点 B(b,2-b)(b>1), 根据指数函数与对数函数为一对反函数知:A,B关于y=x对称, 故a+2a=b+2-b,故A正确,故B错误; 对C,由a=2-b知2b=, 则2b+1=+1, 设f(x)=ex-x-1,x∈R, 则f'(x)=ex-1,则当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,此时f(x)单调递减; 当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,此时f(x)单调递增,则f(x)≥f(0)=0, 则ex-x-1≥0恒成立, 即x+1≤ex,当x=0时取等号; 令x=,则有+1≤, 因为≠0,则+1<, 即2b+1<,故C错误;对D,设h(x)=ln x+1-x,x∈(0,+∞),则h'(x)=, 则当x∈(0,1)时,h'(x)>0,此时h(x)单调递增; 当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,此时h(x)单调递减, 则h(x)≤h(1)=0,即ln x+1-x≤0在(0,+∞)上恒成立, 即ln x≤x-1在(0,+∞)上恒成立,当x=1时取等号, 令x=,则ln≤-1,即ln b≥1-,因为b>1,则ln b>1-,则b>, 故2a=b>,故D正确.故选AD. 11.答案　BCD 解析　易知f(x)=ex的定义域为 {x|x≠1}, f'(x)=ex=, 对于选项A,由f'(x)<0,得到0<x<,且x≠1,所以f(x)减区间为(0,1),,故选项A错误; 对于选项B,由f'(x)=0,得到x=0或x=,当x<0时,f'(x)>0,当0<x<1时,f'(x)<0,当1<x<,f'(x)<0,当x>时,f'(x)>0, 所以f(x)的极大值为f(0),极小值为f,故选项B正确; 对于选项C,由选项B知,f(x)的增区间为(-∞,0),,减区间为(0,1),, 当x∈(0,1)时,f(x)∈(0,1),且x=0时,f(x)=1,当x从左边→1时,f(x)→-∞, 当x从右边→1时,f(x)→+∞,且x=时,f=4,当x→+∞时,f(x)→+∞,f(x)图象如图所示,由图知,f(x)=0只有一个零点x0,且x0∈(0,1), 令f(x)=t,由f(t)=0,得到t=x0, 所以f(x)=x0,令y=x0∈(0,1), 由图知,y=x0与y=f(x)有且仅有两个交点,所以选项C正确; 对于选项D,令g(x)===2+,易知g(x)的图象关于点(1,2)中心对称,所以g(2-x)+g(x)=4,即+=4,得到exf(2-x)+e2-xf(x)=4e2,故选项D正确,故选BCD. 12.答案　 解析　构造函数y=ex,y=ex, 求y=ex在点(1,e)处的切线方程, y'=ex,此时切线斜率为e,切线方程为: y-e=e(x-1),即y=ex, 画出图象, 所以由ea+b=e(a+b)可得:a+b=1, 所以a+b=1≥2,即ab≤,当且仅当a=b=时取等号, 所以ab的最大值是. 13.答案　 解析　x∈(0,e),则1-ln x>0, 所以不等式-2en-1≥0恒成立,即≥x2(1-ln x),x∈(0,e)恒成立, 2en-1>0,x2(1-ln x)>0,所以m>0. 设f(x)=x2(1-ln x),x∈(0,e), f'(x)=x-2xln x=x(1-2ln x)=0, 得x=, 当x∈(0,)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(,e)时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 所以当x=时,函数f(x)取得最大值, 所以≥,即m≥en, 当n≤0时,≤0, 当n>0时,0<≤, 设g(n)=,n>0,g'(n)==0, 得n=1, 当n∈(0,1),g'(n)>0,g(n)单调递增,当n∈(1,+∞),g'(n)<0,g(n)单调递减, 所以当n=1时,函数g(n)取得最大值, 所以. 14.答案　 [设g(x)=f(x)-1=sin x-x, 则g(-x)=f(-x)-1 =-sin x+x=-g(x), 而g(x)的定义域为R,故g(x)为R上的奇函数,g'(x)=cos x-1≤0(不恒为零), 故g(x)为R上的单调减函数, 又f(axex)-1+f(-aex-x+2)-1>0 即为:g(axex)+g(-aex-x+2)>0, 也就是g(axex)>g(aex+x-2), 故axex<aex+x-2, 故a(x-1)ex<x-2的解集中有且仅有两个正整数, 若a≤0,则当x≥3时, a(x-1)ex≤0<1≤x-2, 此时不等式的解集中有无数个正整数解,不合题意; 若a>0,因为a(1-1)e1>1-2,a(2-1)e2>2-2, 故a(x-1)ex<x-2的解集中不会有1,2, 其解集中的正整数解必定大于等于3, 不妨设x≥3,则ex<的解集中有且仅有两个正整数, 设s(x)=ex,x≥3, s'(x)=ex, 当x≥3时,x2-3x+1≥9-9+1=1>0, 所以f'(x)=ex>0, 故s(x)在[3,+∞)上为增函数,由题设可得 故≤a<. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 第43天 导数与函数的构造 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ 一、单选题(每小题5分,共40分) 1.(2025·云南一模)已知a=,b=,c=,则(　　) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 2.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)=(1-x)f(x),且f(1)>0,则(　　) A.f<f(1)<f(2) B.f(2)<f(1)<f C.f<f(2)<f(1) D.f(2)<f<f(1) 3.(2025·汉中汉台区二模)若∀x∈R满足ex+a>x-1,则实数a的取值范围是(　　) A.-1<a<0 B.a≤-2 C.-e<a<-2 D.a>-2 4.(2025·深圳一调)已知曲线y=ex-1与曲线y=aln x+a(a>0)只有一个公共点,则a=(　　) A. B.1 C.e D.e2 5.(2025·湖北十一校二联)函数f(x)=aln x-+-ab,若f(x)≥0恒成立,则a(b+1)的取值范围是(　　) A.(-∞,e] B.(0,2e] C.[2,+∞) D.(-∞,2] 6.(2025·福州三检)设O为坐标原点,若曲线y=x2+1和曲线y=aln x(a>0)上分别存在A,B两点,使得∠AOB=45°,则a的取值范围为(　　) A. B.[2e,+∞) C. D.[3e,+∞) 7.(2025·湖南教研联盟一模)已知f(x)=x2e2x+a|x|ex+2(a∈R)有4个零点,则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 8.(2025·新余二模)若对任意的x∈,不等式-eμ+1≥0恒成立,则的最大值为(　　) A. B. C. D. 二、多选题(每小题6分,共18分) 9.(2025·辽宁三模)已知函数f(x)对任意x,y∈R,都有f(x)+f(y)=f(x+y)-1,函数g(x)的定义域为(0,+∞),且g(x)的导函数g'(x)满足xg'(x)<3g(x)+x2,则(　　) A.f(ln 4)=2f(ln 2)-1 B.8g(1)>g(2)+4f(0) C.8g+f(4)>g(1)+2f(2) D.当f(1)=2时,y=可能为偶函数 10.(2025·江苏七市调研)已知2a=loa,log2b=,则(　　) A.a+2a=b+2-b B.a+b=2b+2-a C.2b+1> D.2a> 11.(2025·湖北新八校联考)函数y=ex叫自然指数函数,是一种常见的超越函数,它常与其它函数进行运算产生新的函数.已知函数f(x)=ex,则下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)在上单调递减 B.函数f(x)既有极大值,也有极小值 C.方程f(f(x))=0有2个不同的实数解 D.在定义域内,恒有exf(2-x)+e2-xf(x)=4e2 三、填空题(每小题5分,共15分) 12.(2025·鹰潭模拟)若正实数a,b满足条件:ea+b=e(a+b)(e是自然对数的底数),则ab的最大值是　　　　.  13.(2025·湖北期末)已知x∈(0,e),若不等式-2en-1≥0恒成立,则的最大值为　　　　.  14.(2025·厦门三检)已知函数f(x)=sin x-x+1,若关于x的不等式f(axex)+f(-aex-x+2)>2的解集中有且仅有2个正整数,则实数a的取值范围为　　　　.  第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $