第31讲 数列的概念 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“数列的概念”专题，依据课标要求梳理了数列的定义、表示方法、an与Sn关系及性质等核心考点，通过分析近五年高考真题明确“an与Sn关系求通项”“数列性质应用”等高频考点权重，归纳分段通项、周期求值等常考题型，体现高考备考的针对性。 课件亮点在于“真题解析+方法归纳+素养提升”，如以2025天津卷为例解析|an|前n项和求法，总结an与Sn关系的验证步骤、周期性的前项归纳法，培养学生的推理能力与模型观念。特设易错点警示和巩固训练，助力学生掌握答题技巧，教师可据此高效规划复习，提升备考质量。

第6章 数列 第31讲 数列的概念 2027届高考一轮复习 数学 1 【课标要求】 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). 2.了解数列是自变量为正整数的一类函数. 3.会利用已知数列的通项公式或递推关系式求数列的某项. 4.会用数列的递推关系求其通项公式. 2 【知识要点】 1.数列的有关概念 概念 含义 数列 按照确定顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式 前n项和 数列{an}中，Sn=a1+a2+…+an叫做数列的前n项和 3 2.数列的表示方法 列表法 列表格表示与 的对应关系 图象法 把点 画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式 把数列的通项使用公式表示的方法 递推公式 使用初始值和或， 和 等表示数列的方法 3.<m></m>与<m></m>的关系 若数列<m></m>的前<m></m>项和为<m></m>， 则<m></m> 4 4.数列的分类 单调性 递增数列 ， 递减数列 ， 常数列 ， 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它 的前一项的数列 周期性 周期数列 存在正整数常数，使得， 5 【基础检测】 概念辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.(　　) (2)数列的项与项数是同一个概念.(　　) (3)若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点.(　　) (4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.(　　) (5)如果数列{an}的前n项和为Sn，则∀n∈N*，都有an+1=Sn+1-Sn.(　　) × × √ × √ 6 教材改编 2.[选择性必修2p9T3(4)]数列，…的一个通项公式为(　　) A.an= B.an= C.an= D.an= B 7 3.[选择性必修2p6例5]在数列{an}中，a1=1，an=1+(n≥2)，则a5=　　　　.  8 4.[选择性必修2p8T3]已知数列{an}满足a1=2，an=2-(n≥2)，则a3=　 　　，猜想an=　　 　.  [解析] 由题意知a2=2-=，a3=2-=，a4=2-=，a5=2-=，猜想an=. 9 5.[选择性必修2p24T4]已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n+3.则这个数列的通项公 式为　 　　　.  an= [解析] 当n=1时，a1=S1=++3=， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+n+3-(n-1)2-(n-1)-3=n+， 因为a1=≠+=，所以an= 考点1 由与 的关系求通项 例1　(1)(2025·山西朔州·模拟预测)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2n+1+1. 则{an}的通项公式为　　 　　　　　.  an= [解析] 在数列{an}中，Sn=2n+1+1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+1-2n=2n，而a1=S1=5，不满足上式，所以数列{an}的通项公式为an= 11 (2)数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn(n∈N*)，则an=　　 　 　.  [解析] 由an+1=3Sn得Sn+1-Sn=3Sn， ∴Sn+1=4Sn，又S1=a1=1≠0， ∴{Sn}是首项为1，公比为4的等比数列， ∴Sn=4n-1. ∴当n≥2时，an=3Sn-1=3×4n-2， 又n=1时，不满足上式，∴an= 12 [小结](1)Sn与an的关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化. ①利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解. ②利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解. (2)应用公式an=求数列通项公式时,应注意验证a1是否符合一般规律. 1.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n2+n+1，则an=　　 　 　.  [解析] 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2+n+1-[2(n-1)2+(n-1)+1]=4n-1， 当n=1时，a1=S1=4不满足上式， 则an= 巩固训练 14 2.(2025·四川·三模)已知数列{an}满足2a1+22a2+23a3+…+2nan=n·2n，则{an}的 通项公式为　　　　　.  an= [解析] 当n=1时，有2a1=1×21，所以a1=1， 当n≥2时，由2a1+22a2+23a3+…+2nan=n·2n，2a1+22a2+23a3+…+2n-1an-1=(n-1)·2n-1， 两式相减得2nan=n·2n-(n-1)·2n-1 =(n+1)2n-1，即an=，a1=1也满足， 所以{an}的通项公式为an=. 3.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=，则an=　 　　　.  - [解析] 正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=，当n=1时，a1=>0，解得:S1=a1=1， 当n≥2时，Sn=，整理可得:-=1， 所以数列{}是首项为1，公差为1的等差数列，则=n，则Sn=， 所以当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-， 又a1=1=-，所以an=-. 考点2 数列的性质及其应用 角度1.周期性 例2　已知数列{an}满足a1=2，an+1=则a2025=(　　) A.-1 B.1 C.2 D.4 C [解析] 由题设a2=3-a1=1，a3=3+a2=4，a4=3-a3=-1，a5=3+a4=2，…， 所以数列{an}的周期为4，所以a2025=a4×506+1=a1=2.故选C. 17 [小结]解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的前若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和. 角度2.单调性 例3　(2025·云南昭通·模拟预测)已知数列{an}的通项公式为an=若a7是{an}中唯一的最小项，则实数a的取值范围是(　　) A.(14，16) B.(15，16) C.[15，16) D.(14，16] B [解析] 当n≤5时，an=，令an+1-an<0， 得-=<0，解得:n≤2或n≥4，因此可知:a1>a2>a3，a4>a5; 又当n=1，2，3时，an<0，当n=4，5时，an>0， 所以{an}在n=3时，取最小值a3=-7. 当n≥6时，an=n2-(a-1)n，则其对应二次函数图象对称轴为直线n=， 因为a7是{an}中唯一的最小项，所以<<，且a7=8-a<-7， 解得14<a<16，且a>15，即15<a<16.故选B. [小结]解决数列单调性问题的常用方法 (1)作差比较法,根据an+1-an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列. (2)作商比较法,根据(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断. (3)结合相应函数的图象直观判断. 角度3.最值 例4　数列{an}中，a1=3，an+1=an+2n+2，若∀n∈N*，都有-8n≥0恒成立，则实数λ的最小值为(　　) A. B.15× C.17× D.19× C [解析] 因为an+1=an+2n+2=an+2(n+1)，所以=+2， 所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以=3+2(n-1)=2n+1， 又因为∀n∈N*，-8n≥0恒成立， 所以∀n∈N*，λ≥×=×(2n+1)恒成立， 令bn=×(2n+1)，则bn+1=×(2n+3)， 所以bn+1-bn=×(2n+3)-×(2n+1)=×， 所以当n≤7(n∈N*)时，bn+1-bn>0，bn+1>bn; 当n≥8(n∈N*)时，bn+1-bn<0，bn+1<bn; 所以在数列{bn}中，第8项最大，且b8=×17，所以λ≥×17， 故λ的最小值为×17. [小结]求数列的最大项或最小项的常用方法 (1)函数法,利用函数的单调性求最值. (2)若通项公式符合二次函数,则利用(n≥2)确定最大项,利用(n≥2)确定最小项. 4.(2025·陕西榆林·二模)已知数列{an}满足an+1=1+anan+1，a1=2，则此数列前100项的和为(　　) A. B. C.50 D. D [解析] 由an+1=1+anan+1，得an+1=，所以an+2===1-，an+3===an，故数列{an}是以3为周期的周期数列，又a2==-1，a3==，且100=3×33+1，则此数列前100项的和S100=(a1+a2+a3)×33+a1=×33+2=.故选D. 巩固训练 26 5.(24-25高三上·上海宝山·开学考试)已知数列{an}，an=n2-tn+2，若{an}在[2，+∞)上是递增数列，则实数t的取值范围是　　　　　　.  (-∞， 5) [解析] 因为数列{an}在[2，+∞)上是递增数列， 所以an+1>an，n≥2，且n∈N*， 即(n+1)2-t(n+1)+2>n2-tn+2， 所以t<2n+1，即t<(2n+1)min， 又(2n+1)min=2×2+1=5，所以t<5. 6.(2025·四川雅安·模拟预测)已知数列{an}满足an+2=3an+1-2an，a1=λ，a2=2，{an}单调递增，则λ的取值范围为　　　　.  (-∞，2) [解析] 因为an+2=3an+1-2an，所以an+2-an+1=2(an+1-an)， 又因为{an}单调递增，所以an+1-an>0， 所以数列是以a2-a1=2-λ为首项，2为公比的等比数列， 所以an+1-an=(2-λ)·2n-1，所以(2-λ)·2n-1>0 即2-λ>0⇒λ<2，则λ的取值范围为(-∞，2). 7.已知数列{an}的通项公式为an=n，则数列{an}中的最大项的值为(　　) A. B. C. D. A [解析] an+1-an=(n+1)·-n·=·， 当n<2时，an+1-an>0，即an+1>an; 当n=2时，an+1-an=0，即an+1=an; 当n>2时，an+1-an<0，即an+1<an. 所以a1<a2=a3，a3>a4>a5>…>an ， 所以数列{an}中的最大项为a2 或a3 ，且a2=a3=2×=.故选A. 8.(2025·重庆·二模)记正项数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=，n∈N*，则+的最小值为　　　　　.  [解析] 当n=1时，a1=S1=，则a1=1或a1=0(舍去)， 当n≥2时，由Sn=，得Sn-1=， 两式相减得2an=+an--an-1， 得(an+an-1)(an-an-1-1)=0， 因为an>0，所以an-an-1=1， 所以数列{an}是等差数列，则an=n，Sn=， 令f(x)=x2+，x>0， 则f'(x)=2x-=， 当x∈(0，4)时，f'(x)<0，当x∈(4，+∞)时， f'(x)>0，所以f(x)在(0，4)上单调递减，在(4，+∞)上单调递增， 由Sn=随n的增大而增大，S2==3，S3==6， 则+=9+=，+=36+=， 所以+的最小值为. 31 走进高考 1.(2025·天津)设Sn为数列{an}的前n项和，已知Sn=-n2+8n，则数列{|an|}的前12项和为(　　) A.112 B.48 C.80 D.64 C [解析] 因为Sn=-n2+8n，所以当n=1时，a1=S1=-12+8×1=7， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(-n2+8n)-[-(n-1)2+8(n-1)]=-2n+9， 经检验，a1=7满足上式，所以an=-2n+9(n∈N*)， 令an=-2n+9≥0⇒n≤4，an=-2n+9≤0⇒n≥5， 设数列{|an|}的前n项和为Tn，则数列{|an|}的前4项和为T4=S4=-42+8×4=16， 数列{|an|}的前12项和为T12=|a1|+|a2|+…+|a12|=a1+a2+a3+a4-a5-a6-…-a12 =2S4-S12=2×16-(-122+8×12)=80.故选C. 32 $