精品解析：上海市静安区市北初级中学2025-2026学年六年级下学期数学学情自测卷

2025学年第二学期六年级数学期中练习 （完卷时间：90分钟 满分100分） 注意：本卷涉及圆周率的计算，如无特殊说明，π取3.14 一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1. 下列是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二元一次方程组的定义判断，二元一次方程组需满足：共含两个未知数，每个方程都是整式方程，每个方程中未知数的次数都为1，据此逐一验证选项即可. 【详解】解：∵ 二元一次方程组需要满足三个条件：①方程组总共含有两个未知数；②每个方程都是整式方程；③每个方程中未知数的次数为1． 对各选项判断如下： A 选项中第二个方程不是整式方程，故A 选项不符合要求； B 选项中方程组共含两个未知数，两个方程都是整式方程，且未知数次数都为1，符合二元一次方程组定义，故B选项符合要求； C 选项中方程组共含三个未知数，不符合二元一次方程组定义，故C选项不符合要求； D 选项中第二个方程的项次数为2，不符合二元一次方程组定义，故D选项不符合要求． 2. 若，则a、b的值分别是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵仅规定了a与b的比值，∴所有满足，（）的a和b都符合条件，k取不同非零值时，a和b有不同的对应结果，∴无法确定a和b的具体值，故选D． 3. 下面能与组成比例的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比例，先计算题干中比的比值，再计算各选项比的比值，找出比值相等的选项即可． 【详解】解： A、，，不符合题意； B、，，不符合题意； C、，，符合题意； D、，，不符合题意． 4. 我们在已知圆周长公式的基础上可以运用“化曲为直”的方法推导圆的面积公式，如下图，将一个圆形纸片平均分成16份，然后拼成一个近似平行四边形的图形，它的一边长相当于圆的（ ） A. 圆周长的一半 B. 直径 C. 半径 D. 圆周长 【答案】A 【解析】 【详解】解：由图可知，将圆平均分成16份，拼成一个近似的平行四边形， ∵平行四边形的底边 a 是由圆周长的一半（即8份扇形的弧长）组成的，  ∴a 相当于圆周长的一半． 5. 如图所示，在长方形中，放入六个形状大小相同的长方形，则图中的阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过设形状大小相同的长方形的长宽为，，观察图形找等量关系列二元一次方程组即可解出答案． 【详解】解：设形状大小相等的长方形的长宽分别为，． 由题意可得：， 解得． 所以长方形的宽为：， 长方形的面积为：， 六个形状大小相同的长方形的面积和为：， 阴影部分的面积是：． 6. 地球表面的陆地面积和海洋面积之比是，其中陆地的三分之二在北半球．那么南、北半球海洋面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比，将地球总表面积按比例看作100份，南北半球面积各占总表面积的一半，即50份，先分别求出南北半球的陆地面积，再用半球总面积减去陆地面积得到各自海洋面积，最后化简得到面积比即可． 【详解】解：∵地球陆地面积和海洋面积之比为， ∴设地球总表面积为份， 则陆地总面积为份，南北半球表面积各为份， ∵陆地的在北半球， ∴北半球陆地面积为份， 北半球海洋面积为份， 南半球陆地面积为份， 南半球海洋面积为份， ∴南、北半球海洋面积之比为． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 化成百分数：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 8. 求比值：分钟小时=_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比值，先统一单位，再用比的前项除以后项计算即可得到结果． 【详解】解：小时分钟， 分钟小时分钟分钟． 9. 把方程改写成用含的式子表示的形式______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等式的性质，先移项，再系数化为1即可． 【详解】解：， ． 10. 《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：今有黄金八枚，白银一十三枚，称之重，适等．交易其一，金轻九两．问金、银一枚各重几何？大意是说：八枚黄金与十三枚白银重量相等，互换一枚，黄金比白银轻九两，问：每枚黄金、白银重量各为多少？设一枚黄金的重量为两，一枚白银的重量为两，则所列方程组为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组，根据题目给出的两个等量关系列出方程组即可． 【详解】解：八枚黄金与十三枚白银重量相等，得 ， 互换一枚，黄金重： ， 白银重： ， 互换一枚，黄金比白银轻 9 两，得 ， 方程组为 ． 11. 如图所示，可知小圆的半径是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查有关圆的基本概念，根据图形可得大圆的直径为，小圆和大圆的直径之和为，进而可求小圆的直径，即可解答． 【详解】解：根据题意，大圆的直径为，小圆和大圆的直径之和为， 则小圆的直径是，即小圆的半径是． 故答案为：． 12. 方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 方程组的解为． 13. 若扇形的半径扩大为原来的2倍，圆心角缩小为原来的，那么所对的弧长是原弧长的_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长，设出原扇形的半径与圆心角，利用弧长公式分别得到原弧长和变化后弧长的表达式，计算变化后弧长与原弧长的比值，即可得到结果． 【详解】解：设原扇形的半径为，圆心角为， 由题意得，变化后扇形的半径为，圆心角为， 则变化后的弧长：， ． 14. 在比例尺为1：50000的地图上，量得甲、乙两地的距离为12厘米，则甲、乙两地的实际距离是______千米． 【答案】 【解析】 【分析】本题可根据比例线段进行求解. 【详解】解：因为在比例尺为1:50000的地图上甲，乙两地的距离12cm，所以，甲、乙的实际距离x满足12:x=1:50000，即x=12=600000cm=6km. 故答案为6. 【点睛】本题主要考查比例尺和比例线段的相关知识. 15. 如图，阴影部分是正方形与圆重叠的部分，阴影部分的面积是圆面积的，是正方形面积的，则正方形面积是圆面积的______． 【答案】 48 【解析】 【分析】可设阴影部分面积为，分别表示出圆面积和正方形面积．要计算正方形面积是圆面积的百分之几，需用正方形面积除以圆面积，再转化为百分数，可利用所设的阴影面积作为中间量进行推导． 【详解】解：阴影部分面积为，圆的面积为​，正方形面积为​． 根据题意可得： ，​ ∴ ， ∴正方形面积是圆面积的． 16. 已知是二元一次方程组的解，则的值是____． 【答案】 【解析】 【分析】先将方程组的解代入方程组，得到关于的二元一次方程组，再由加减消元法解方程组求出，再进行代数式求值． 【详解】解：由题意得，将代入， 则， 得，，解得， 将代入①得，，解得， ∴． 17. 已知关于的方程组，都为自然数的解有_____对． 【答案】3 【解析】 【分析】先由加减消元法得到，再枚举求解即可． 【详解】解：， 得，， 整理得，， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， 那么继续往后取自然数，均小于0，不符合题意， ∴都为自然数的解有对． 18. 长为，宽为的长方形与边长为的正三角形如图放置．让正三角形沿着长方形的外周，顺时针方向无滑动滚动一圈，回到初始位置，则顶点经过的路程长为______．（结果保留．注意：正三角形的面积看作，且顶点不一定返回到原来的位置） 【答案】 【解析】 【分析】首先判断出正三角形绕长方形外周滚动的过程分解为六段运动，分别计算顶点在每一段运动中经过的弧长，最后求和即可．第一段：在长方形上边滚动，第二段：绕右上角转动，第三段：绕右下角转动（点不动），第四段：在长方形下边滚动，第五段：绕左下角转动，第六段：绕左上角转动．其中第五段转动半径利用题目给出的面积求得. 【详解】解：由题意可知，正三角形边长为，面积为 ．设正三角形的高为，则，解得 ．运动过程如下： 正三角形在长方形上边向右滚动，绕右下角顶点旋转，此时点运动半径为，路程； 正三角形绕长方形右上角顶点顺时针旋转，此时点运动半径为，路程； 正三角形绕长方形右下角顶点旋转，此时点为旋转中心，路程； 正三角形在长方形下边向左滚动，绕左下角方向的前一个顶点旋转，此时点运动半径为，路程； 正三角形绕长方形左下角顶点顺时针旋转，此时点运动半径为正三角形的高，路程； 正三角形绕长方形左上角顶点顺时针旋转，使边贴合上边，旋转角度为，此时点运动半径为，路程； ∴顶点经过的总路程为：     ． 三、简答题（本大题共4小题，19、22题每题4分，20题8分，21题12分，满分28分） 19. 计算： 【答案】 15 【解析】 【详解】解： ． 20. 求下列各式中的值： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， 解得； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 解得． 21. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 得， 得， 解得， 将代入得， 解得， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解： 由②得，代入①③得， 得， 得， 解得，代入得， ， 解得， 将，代入得， ， ∴原方程组的解为． 22. 已知，求． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比的统一． 根据比的基本性质，先把两式中的份数化为相同的数，即求两个的份数的最小公倍数，再把写成连比的形式． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴． 四、解答题（本大题共5题，第23-25题6分，第26题8分，第27题10分，共36分） 23. 一件冲锋衣标价为2640元，反季促销，商家决定打八折出售，仍可保障的利润，如果按原价销售，这件冲锋衣的利润为多少元？ 【答案】880元 【解析】 【分析】先根据打八折出售仍获利润的条件，求出这件冲锋衣的进价，再用标价减去进价得到按原价销售的利润，用到利润问题的基本公式：售价=进价利润率)． 【详解】解：设这件冲锋衣的进价为元， 因此可得  解得， 按原价销售的利润为（元） 答：按原价销售，这件冲锋衣的利润为880元． 24. 如图，小方格都是边长为1的正方形，图中的“嫩芽”形状均由以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成，求它的周长． 【答案】 【解析】 【分析】分别计算4个半径为1的弧长之和，2个半径为2的弧长之和再相加即可． 【详解】解：4个半径为1的弧长之和为； 2个半径为2的弧长之和为， ∴该图形的周长为． 25. 2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某物流公司为提高工作效率．拟购买两种型号智能机器人．若买1台型机器人、4台型机器人，共需320万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元．求两种型号智能机器人的单价． 【答案】 型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设两种型号智能机器人的单价分别为万元，万元， 根据题意，得， 解得：， 答：型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元． 26. 电阻是表示导体对电流的阻碍作用大小的物理量，通常用符号表示，电阻在国际单位制中的单位是欧姆，简称欧，符号是，电阻值一般为非负数．如图，为一测量电路，均为可调电阻，为已知电阻，为直流电压源，为电流表．若调节的电阻大小，可使得电流表读数为0，此时的电阻对整个电路没有影响，电路中的其他电阻满足，这个现象叫做电桥平衡．现已知．诗诗发现时，出现了电桥平衡，贝贝将调大了，若诗诗想通过调节再次实现电桥平衡，则需要将的电阻大小怎么调整？ 【答案】需将的电阻调小 【解析】 【分析】根据结合，利用计算出初始时的值，由贝贝将调大了得新的，代入计算出新的，对比初始值，即可得的电阻大小的调整． 【详解】解：将代入， 得， 得， 当时，电桥平衡， 则， 初始时，， 贝贝将调大了，则新的， 设此时新的， 则， 解得， 新的， ， 需将的电阻调小． 27. 阅读以下材料，回答相关问题： 材料1：对于已知的二元一次方程组（※），我们已经学会用代入消元法或者加减消元法求解，但对于一些x，y系数及常数项的数值较大且互质的情况，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量很大，且易出现运算错误，比如解方程组，采用下面的解法会比较简单： ②－①，得，所以，③ ③，得，④ ①－④，得，从而得，所以原方程组的解为． （1）解方程组： 材料2：有些方程组只要求一个关于未知数的代数式的值，例如：对于前面的（※）方程，求的值，我们可以先解方程组得x，的值，再代入得到答案，其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．对于一些方程数不足以解出每个未知数的方程（不定方程），这种“整体思想”更为重要，比如已知方程组（▲），求的值，两个方程无法确切解出三个未知数，但①－②可得． （2）对于方程组，利用“整体思想”求的值，若①②可得，则__________，__________． 材料3：从另一个角度考虑，如果联立两个独立的二元一次方程能解出两个未知数，我们可以把其中一个未知数当成“已知数”来解方程，将另外两个未知数用它来表示．例如：对于上述（▲）方程：①－②消去可得，①－②消去可得，代入． （3）已知，且，则__________． （4）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，5块橡皮和6本日记本共需96元，买39支铅笔，6块橡皮和10本日记本共需174元，则购买4支铅笔，16块橡皮和8本日记本共需__________元． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先利用，得到，再整理代入消元求解； （2）可得系数方程组，再解方程组即可； （3）先把看成常数，利用加减消元法解方程组，即可求解连比； （4）设铅笔，1橡皮和日记本的单价分别为元，由题意得，，设，再得到关于的方程组求解即可． 【小问1详解】 解： 得，， 则 则 将③代入①得，， 解得， 将代入③得，， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解：∵方程组，①②可得 可得 解得； ∴ 【小问3详解】 解： 得，，解得； 将代入②得，，解得， ∴； 【小问4详解】 解：设铅笔，橡皮和日记本的单价分别为元， 由题意得， 设， 则 解得， ∴． 五、附加题（本题共3题，第1、2题每小题6分，第3题8分，满分20分） 28. 有两盒混合在一起的围棋子，第一盒中黑、白子的数量比为，第二盒中黑、白子的数量比为，若两盒白子总数是黑子总数的3倍，则两盒棋子总数的比为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设第一盒棋子总数为，第二盒棋子总数为，根据比例分别表示出两盒中黑子和白子的数量，再根据“两盒白子总数是黑子总数的倍”列等式，整理得到与的关系，最后计算两盒棋子总数的比即可． 【详解】解：由题意，设第一盒棋子总数为，第二盒棋子总数为， 由第一盒黑、白子数量比为，可得第一盒黑子数量为，白子数量为， 由第二盒黑、白子数量比为，可得第二盒黑子数量为，白子数量为， 根据题意得， ， ， ， 计算两盒棋子总数的比： ， ， ， ． 29. 设有个数，它们每个数的值只能取三个数中的一个，且，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设该数列中含有a个2，b个，可列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出a、b的值，再将其代入到中即可得出结论． 【详解】解：设个数中含有a个2，b个， 根据题意得， ， 解得， ∴． 30. 如图，边长为15的等边三角形在半径为10的圆周上滑动一周，过程中三角形的方向保持不变（如图中虚线所示），求三角形扫过区域的外周长． 【答案】152.8 【解析】 【分析】分析三角形在滑动过程中的各个阶段，可发现三角形扫过的外区域周长是由6条线段和6段弧组成，每条线段都等于三角形的边长，每段弧长都等于顶点在圆周上运动的弧，即6段弧长之和等于圆的周长，即可解答． 【详解】解：如图所示， 等边在上滑动一周，过程中三角形的方向保持不变， 滑动的方式为： 第一次：顶点A在圆上，线段自的滑动，至与重合，顶点B滑动至点的位置； 第二次：顶点自在圆上滑动，顶点重合， 第三次：线段的滑动，自顶点，至顶点与点重合， 第四次：顶点自在圆上滑动，顶点重合， 第五次：线段自的滑动，至顶点重合， 第六次：顶点自在圆上滑动，即回到初始位置， ，即， 且弧与弧相等，同理其他各段弧都等于相应的圆O上的弧， 所以，如图所示，三角形扫过区域的外周长为6段等于三角形边长的线段，与6段弧长，而6段弧长刚好等于圆O的周长． 即为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期六年级数学期中练习 （完卷时间：90分钟 满分100分） 注意：本卷涉及圆周率的计算，如无特殊说明，π取3.14 一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1. 下列是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则a、b的值分别是（ ） A. B. C. D. 无法确定 3. 下面能与组成比例的是（ ） A. B. C. D. 4. 我们在已知圆周长公式的基础上可以运用“化曲为直”的方法推导圆的面积公式，如下图，将一个圆形纸片平均分成16份，然后拼成一个近似平行四边形的图形，它的一边长相当于圆的（ ） A. 圆周长的一半 B. 直径 C. 半径 D. 圆周长 5. 如图所示，在长方形中，放入六个形状大小相同的长方形，则图中的阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 6. 地球表面的陆地面积和海洋面积之比是，其中陆地的三分之二在北半球．那么南、北半球海洋面积之比为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 化成百分数：_____． 8. 求比值：分钟小时=_____． 9. 把方程改写成用含的式子表示的形式______． 10. 《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：今有黄金八枚，白银一十三枚，称之重，适等．交易其一，金轻九两．问金、银一枚各重几何？大意是说：八枚黄金与十三枚白银重量相等，互换一枚，黄金比白银轻九两，问：每枚黄金、白银重量各为多少？设一枚黄金的重量为两，一枚白银的重量为两，则所列方程组为__________． 11. 如图所示，可知小圆的半径是___________． 12. 方程组的解为______． 13. 若扇形的半径扩大为原来的2倍，圆心角缩小为原来的，那么所对的弧长是原弧长的_______． 14. 在比例尺为1：50000的地图上，量得甲、乙两地的距离为12厘米，则甲、乙两地的实际距离是______千米． 15. 如图，阴影部分是正方形与圆重叠的部分，阴影部分的面积是圆面积的，是正方形面积的，则正方形面积是圆面积的______． 16. 已知是二元一次方程组的解，则的值是____． 17. 已知关于的方程组，都为自然数的解有_____对． 18. 长为，宽为的长方形与边长为的正三角形如图放置．让正三角形沿着长方形的外周，顺时针方向无滑动滚动一圈，回到初始位置，则顶点经过的路程长为______．（结果保留．注意：正三角形的面积看作，且顶点不一定返回到原来的位置） 三、简答题（本大题共4小题，19、22题每题4分，20题8分，21题12分，满分28分） 19. 计算： 20. 求下列各式中的值： （1） （2） 21. 解方程组： （1）； （2）． 22. 已知，求． 四、解答题（本大题共5题，第23-25题6分，第26题8分，第27题10分，共36分） 23. 一件冲锋衣标价为2640元，反季促销，商家决定打八折出售，仍可保障的利润，如果按原价销售，这件冲锋衣的利润为多少元？ 24. 如图，小方格都是边长为1的正方形，图中的“嫩芽”形状均由以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成，求它的周长． 25. 2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某物流公司为提高工作效率．拟购买两种型号智能机器人．若买1台型机器人、4台型机器人，共需320万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元．求两种型号智能机器人的单价． 26. 电阻是表示导体对电流的阻碍作用大小的物理量，通常用符号表示，电阻在国际单位制中的单位是欧姆，简称欧，符号是，电阻值一般为非负数．如图，为一测量电路，均为可调电阻，为已知电阻，为直流电压源，为电流表．若调节的电阻大小，可使得电流表读数为0，此时的电阻对整个电路没有影响，电路中的其他电阻满足，这个现象叫做电桥平衡．现已知．诗诗发现时，出现了电桥平衡，贝贝将调大了，若诗诗想通过调节再次实现电桥平衡，则需要将的电阻大小怎么调整？ 27. 阅读以下材料，回答相关问题： 材料1：对于已知的二元一次方程组（※），我们已经学会用代入消元法或者加减消元法求解，但对于一些x，y系数及常数项的数值较大且互质的情况，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量很大，且易出现运算错误，比如解方程组，采用下面的解法会比较简单： ②－①，得，所以，③ ③，得，④ ①－④，得，从而得，所以原方程组的解为． （1）解方程组： 材料2：有些方程组只要求一个关于未知数的代数式的值，例如：对于前面的（※）方程，求的值，我们可以先解方程组得x，的值，再代入得到答案，其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．对于一些方程数不足以解出每个未知数的方程（不定方程），这种“整体思想”更为重要，比如已知方程组（▲），求的值，两个方程无法确切解出三个未知数，但①－②可得． （2）对于方程组，利用“整体思想”求的值，若①②可得，则__________，__________． 材料3：从另一个角度考虑，如果联立两个独立的二元一次方程能解出两个未知数，我们可以把其中一个未知数当成“已知数”来解方程，将另外两个未知数用它来表示．例如：对于上述（▲）方程：①－②消去可得，①－②消去可得，代入． （3）已知，且，则__________． （4）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，5块橡皮和6本日记本共需96元，买39支铅笔，6块橡皮和10本日记本共需174元，则购买4支铅笔，16块橡皮和8本日记本共需__________元． 五、附加题（本题共3题，第1、2题每小题6分，第3题8分，满分20分） 28. 有两盒混合在一起的围棋子，第一盒中黑、白子的数量比为，第二盒中黑、白子的数量比为，若两盒白子总数是黑子总数的3倍，则两盒棋子总数的比为_____． 29. 设有个数，它们每个数的值只能取三个数中的一个，且，则的值为_____． 30. 如图，边长为15的等边三角形在半径为10的圆周上滑动一周，过程中三角形的方向保持不变（如图中虚线所示），求三角形扫过区域的外周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $