精品解析：上海市九峰实验学校2025-2026学年九年级下学期中考考前练兵数学试卷

九峰实验学校中考考前练兵卷 九年级数学 一、选择题（共24分，每题4分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若一个六边形的每个内角都是，则x的值为（ ） A. 60 B. 90 C. 120 D. 150 4. 一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是黄球的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图， 是面积为1的等边三角形，分别取的中点得到；再分别取 ，，的中点得到；…依此类推，则的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，，如果以 为直径的圆与以为圆心、 为半径的圆相交，那么 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共44分，每题4分） 7. 实数的立方根是__________． 8. 分解因式：_______． 9. 方程的解为__________． 10. 已知关于的一元二次方程 有实数根，那么的取值范围是__________． 11. 某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数（）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的数据（单位：），并根据七年级男生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 人数 6 75 15 4 根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中等级为正常的人数是_______． 12. 如图，在 中，点、分别在边 、上，且，．设，，那么用向量、表示向量为______． 13. 如图，在一笔直的海岸线 上有两个观测站，，从测得船 在北偏东45°的方向，从测得船 在北偏东的方向，则船 离海岸线 的距离（即 的长）为_____． 14. 如图，已知 的三个顶点均在小正方形的方格顶点上，那么 的值是____． 15. 若抛物线的顶点在直线 上，且位于第二象限，则 的值为__________． 16. 如图，在正方形 中，E是边 的中点，，垂足为点F．如果 ，那么的面积为__________． 17. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD交于点O，点E是BC边上一动点．将△OCE沿OE翻折得到△O E，OC'交BC于点F，且点在BC下方，连接B．当△BEC'是直角三角形时，△BEC'的周长为 __________________． 三、解答题（10＋10＋10＋12＋12＋14＋14＝82分） 18. 计算：． 19. 解不等式组： 20. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与直线交于点、点B，点C和点A关于原点对称． （1）求k与n的值； （2）求 的值． 21. 如图，已知矩形纸片 ，将该矩形纸片的四个角向内折叠，折痕分别为、、、 ，折叠后点、点落在点 处，点 、点落在点处，点 、在直线 上． （1）现有如下判断： ①是 的中点； ② ； ③四边形是矩形； ④四边形的面积是矩形 面积的一半； ⑤四边形的周长是矩形 周长的一半． 其中正确的是_________________________；（写出所有正确判断的序号） （2）如果 ， ，求 与 的长（上述正确结论可直接使用）． 22. 已知：如图，在梯形 中， ，过点B作 ，垂足为点E，点G在边 上，连接、，对角线与、分别交于点F、H，且． （1）求证：； （2）如果，且是 与的比例中项，求证：四边形是菱形． 23. 已知抛物线： （， ），其顶点为，且与轴交于点，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线． （1）当 时，①求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标． ②点在抛物线上，延长 至使得，若点落在抛物线上，求的坐标． （2）过点作直线垂直于轴，与抛物线的对称轴交于点 ，交抛物线于点（在对称轴右侧）、若 ，求的值． 24. 已知 的直径，是半径上一点，弦 经过点． （1）如图 ，如果 ，且 ，求的长度； （2）如图 ，如果 ，那么的值是否随点位置的改变而发生变化？若保持不变，试求出这个不变的值．若发生变化，试说明理由； （3）连结 、 ，如果 ，且 ，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九峰实验学校中考考前练兵卷 九年级数学 一、选择题（共24分，每题4分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项及完全平方公式，运用相关运算法则计算出各选项的结果再进行判断即可． 【详解】解：A．与的指数不同，无法直接相加，故A计算错误； B．，原计算正确，符合题意； C．，原选项计算错误，故不符合题意； D．，原选项缺少项，故D错误． 故选：B． 2. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴上a、b的位置确定其取值范围，再据此分析各选项即可． 【详解】解：由数轴可知，a对应的点在 和之间，b对应的点在0和1之间， ∴， ， A项：∵， ， ∴，， ∴，故A正确； B项：∵， ， ∴，故B错误； C项：∵， ， ∴，故C错误； D项：∵， ， ∴故D错误. 3. 若一个六边形的每个内角都是，则x的值为（ ） A. 60 B. 90 C. 120 D. 150 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和公式，即，其中为边数，利用多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：∵一个六边形的每个内角都是， ∴每个内角的度数为：， 故选：C． 4. 一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是黄球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据随机事件概率公式计算，随机事件的概率 事件包含的结果数 所有可能出现的结果数． 【详解】解：∵袋子中共有3个红球，2个黄球和1个白球，所有球除颜色外无其他差别，随机摸出一个球， ∴所有可能出现的结果总数为 ，其中摸出黄球的结果数为 ， ∴摸出黄球的概率是． 5. 如图， 是面积为1的等边三角形，分别取的中点得到；再分别取 ，，的中点得到；…依此类推，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质．根据三角形中位线定理得到，相似比，的面积，的面积，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解： 点、、分别为等边 的边的中点， ，， ， ，相似比， 的面积为1， 的面积， 同理，的面积， 则的面积， 故选：C． 6. 在 中，，，，如果以 为直径的圆与以为圆心、 为半径的圆相交，那么 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查两圆相交的位置关系，结合锐角三角函数和勾股定理求解，先计算两圆圆心距，再根据两圆相交的条件列不等式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ， ，为 中点， ， ， ， ， 在 中，由勾股定理得： ， 的半径为 ，的半径为 ，两圆相交， ， 解不等式得： ． 二、填空题（共44分，每题4分） 7. 实数的立方根是__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：的立方根是 ． 8. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 原式提取7，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 9. 方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解 ： 方程两边同乘最简公分母 得，   整理得，   解得  检验：当时， 因此原方程的解为． 10. 已知关于的一元二次方程 有实数根，那么的取值范围是__________． 【答案】 且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，列不等式求解即可． 【详解】解：由题意知，， 又∵方程有实数根， ∴ ， 解得： ， ∴ 且． 11. 某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数（）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的数据（单位：），并根据七年级男生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 人数 6 75 15 4 根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中等级为正常的人数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由样本估计总体，用乘以样本中等级为正常的人数所占的比例即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：该地区七年级2000名男生中等级为正常的人数是人， 故答案为：． 12. 如图，在 中，点、分别在边 、 上，且，．设，，那么用向量、表示向量为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了平面向量，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定与性质得，再根据平面向量三角形运算法则求出即可推出结果，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在一笔直的海岸线 上有两个观测站，，从测得船 在北偏东45°的方向，从测得船 在北偏东的方向，则船 离海岸线 的距离（即 的长）为_____． 【答案】. 【解析】 【分析】构造点B的正北方向，交AC于点E，利用特殊角和已知条件，可证AB=BE=EC，三角形ACD是等腰直角三角形，从而问题得证. 【详解】构造点B的正北方向，交AC于点E，如图所示， 根据题意，得∠BAE=∠AEB=∠ACD=45°，∠EBC=∠ECB=22.5°， ∴AB=BE=EC=4,AD=CD, ∴AE=4， ∴AC=AE+EC=4+4， ∴CD==2+4， 故答案为:2+4. 【点睛】本题考查了方位角视角下的解直角三角形，熟记特殊角的函数值，灵活运用方位角知识，规范解直角三角形是解题的关键. 14. 如图，已知 的三个顶点均在小正方形的方格顶点上，那么 的值是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形函数、勾股定理．首先根据网格求出三角形的三边，在三角形中过点作 ，利用三角形的面积公式求出 的长度，再根据正弦的定义求出结果． 【详解】解：如下图所示，过点作 ， 在 中，， ， ， 当以 为 的底边时，对应的高为 ， ， ， 解得：， ． 故答案为： ． 15. 若抛物线的顶点在直线 上，且位于第二象限，则 的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 先求出抛物线的顶点坐标，将顶点坐标代入直线方程得到关于 的一元二次方程，求解后根据第二象限点的坐标特征筛选出符合条件的 的值即可； 【详解】解： ， 顶点坐标为， 抛物线顶点在直线上， ， 整理得 ， 则 ， ， 解得： ，， 顶点在第二象限，第二象限内点的横坐标小于，纵坐标大于， 当 时，顶点横坐标为 ，不符合要求，舍去； 当时，顶点横坐标为 ，纵坐标为 ，符合要求； 故 的值为． 16. 如图，在正方形 中，E是边 的中点，，垂足为点F．如果 ，那么的面积为__________． 【答案】40 【解析】 【分析】根据正方形的性质和中点的定义求出 的长，利用勾股定理求出的长，证明 求出 的长，利用平行线间的距离求出的面积，最后根据同高三角形面积比等于底边比求解即可． 【详解】解：∵四边形 是正方形， ，E是边 的中点， ∴，， ，， 在 中，， ∵， ∴， ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴点E到 的距离等于 的长， ∴ ， 设点A到的距离为h， ∴ ， ， ∴， ∴ ． 17. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD交于点O，点E是BC边上一动点．将△OCE沿OE翻折得到△O E，OC'交BC于点F，且点在BC下方，连接B．当△BEC'是直角三角形时，△BEC'的周长为 __________________． 【答案】或 【解析】 【分析】由矩形的性质可得∠OBC＝∠OCB，再根据翻折性质得∠BCO＝∠BEO，然后分两种情况：①当∠BE＝90°时；②当∠B E＝90°时，根据勾股定理可得答案． 【详解】在矩形ABCD中，BD＝AC＝＝2． ∴OB＝OC＝． ∴∠OBC＝∠OCB． ∵△OCE没OE翻折得到△OE， ∴∠OCE＝∠OE＝∠OBC，∠COE＝∠OE，O＝OC＝OB，E＝CE． ∴∠OB＝∠OB，BE+E＝BC＝4． ∵∠BO+2∠OCE+2∠COE＝180°， ∴∠BO+2（∠OCE+∠COE）＝180°， ∵∠BO+2∠OB＝180°， ∴∠OB＝∠BO＝∠BEO． ∴∠BF＝∠OE， 分再种情况： ①如图1，当∠BE＝90°时，∠BO＝180°﹣（∠OBC+∠BE+∠BO）＝180°﹣（∠OE+∠BE+∠BO）＝180°﹣（∠BE+∠BE）＝90°． ∴B＝＝． ∴△BE的周长为B+BE+E＝+4． ②如图2，当∠BE＝90°时，∠BF+∠EF＝90°． ∴∠BEO+∠OBC＝90°， ∴∠BOE＝90°． ∵cos∠OBE＝，即， ∴BE＝ ， ∴E＝CE＝4﹣＝， ∴B＝＝2． ∴△BE的周长为B+BE+E＝6． 综上所述，△BEC的周长为+4或6． 故答案为：+4或6． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理，利用分类讨论的思想进行讨论是解决本题的关键． 三、解答题（10＋10＋10＋12＋12＋14＋14＝82分） 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 19. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解：  解不等式①，得  解不等式②，得 因此该不等式组的解集为 ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与直线交于点、点B，点C和点A关于原点对称． （1）求k与n的值； （2）求 的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先联立一次函数与反比例函数的解析式求解点，然后由关于原点对称的点的坐标特征求解点 ，再根据勾股定理及其逆定理证明 是直角三角形，最后根据正切的定义求解． 【小问1详解】 解：由题意得，把代入得，， ∴， 把代入，则， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）知一次函数解析式为， ∴， 解得， ∴， ∵点C和点A关于原点对称，， ∴，如图： ∴， 同理可求， ∴， ∴， ∴在 中，． 21. 如图，已知矩形纸片 ，将该矩形纸片的四个角向内折叠，折痕分别为、、、 ，折叠后点、点落在点 处，点 、点落在点处，点 、在直线 上． （1）现有如下判断： ①是 的中点； ② ； ③四边形是矩形； ④四边形的面积是矩形 面积的一半； ⑤四边形的周长是矩形 周长的一半． 其中正确的是_________________________；（写出所有正确判断的序号） （2）如果 ， ，求 与 的长（上述正确结论可直接使用）． 【答案】（1）①②③④ （2） ， 【解析】 【分析】（1）根据折叠前后对应边相等可判断①正确；根据折叠的性质和矩形的性质证明， ， ，即可证出，可判断②正确；根据全等三角形的性质得出，结合 ，证出 ，再根据折叠前后对应角相等证出 ，即可证明四边形是矩形，可判断③正确；根据折叠前后对应图形面积相等可判断④正确；根据折叠的性质和三角形三边关系可判断⑤错误； （2）由勾股定理求出 ，证明点 三点共线， ，由（1）可知 ，则 ，得出 ，求得 ，在 中，根据等面积法求出，即可求出 ． 【小问1详解】 解：在矩形 中，， ，， 根据折叠可得 ， ， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ 是 中点，①正确； ∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ， ， ∴，②正确； ∴， ∵ ， ∴ ， ∴四边形是矩形， ∵ ， ∴ ， ∴四边形是矩形，③正确； 根据折叠可得， ∴，④正确； ⑤矩形的周长， 矩形 的周长， ∴四边形的周长不等于矩形 周长的一半，⑤错误； 故正确序号为 ①②③④； 【小问2详解】 解：∵ ， ， 由（1）可知 ， ∴由勾股定理得： ， 由折叠可得， ， ， ， ， ∴点 三点共线， ， 由（1）可知 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 中， ， ∴， 由（1）可知 ， 是 中点， ∴． 22. 已知：如图，在梯形 中， ，过点B作 ，垂足为点E，点G在边 上，连接、，对角线 与、分别交于点F、H，且． （1）求证：； （2）如果，且是与的比例中项，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据，得出，根据勾股定理和比例的性质，得出，证明，得出，根据，得出，即可求证； （2）根据是与的比例中项，，推出，则，根据，得出，进而得出，则，由（1）可得，则垂直平分 ， 垂直平分，即可求证． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，则， 根据比例的性质可得：, ∵ ， ∴， ∴, ∴，则， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴，则， ∴； 【小问2详解】 证明：∵是与的比例中项， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴垂直平分 ， ∵， ∴由内角和定理可得， ∴ ， ∴ 垂直平分， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法和性质． 23. 已知抛物线： （， ），其顶点为，且与轴交于点，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线． （1）当 时，①求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标． ②点在抛物线上，延长 至使得，若点落在抛物线上，求的坐标． （2）过点作直线垂直于轴，与抛物线的对称轴交于点 ，交抛物线于点（在对称轴右侧）、若 ，求的值． 【答案】（1）① ，；②或 （2） 【解析】 【分析】（1）①利用待定系数法求出抛物线解析式，进而可得顶点坐标； ②求出翻折后的抛物线顶点坐标为，则翻折后的抛物线解析式为 ，设，可证明点D为的中点，则，代入，解方程即可得到答案； （2）根据题意可得，则 ，，同理可得抛物线的解析式为： ，则 ，再由 ，联立求解即可． 【小问1详解】 解：①当 时，抛物线的解析式为， 把代入得， ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为 ， ∴顶点A的坐标为； ②∵翻折前抛物线顶点坐标为， ∴翻折后的抛物线顶点坐标为， ∵翻折前后两个抛物线的形状相同，但是开口方向相反， ∴翻折后的抛物线解析式为 ， 设， ∵， ∴点D为的中点， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴， ∵在抛物线的图象上， ∴ ， 解得 或， 当时， ， 当 时， ， ∴点D的坐标为或； 【小问2详解】 解：∵ 轴交对称轴于点M， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴， 同理可得抛物线的解析式为： ， ∵点Q在抛物线上， ∴ ，即 ①， 又点在抛物线上， ∴ ，即 ②， 把②代入①得 ， 解得：． 24. 已知 的直径，是半径上一点，弦 经过点． （1）如图 ，如果 ，且 ，求的长度； （2）如图 ，如果 ，那么的值是否随点位置的改变而发生变化？若保持不变，试求出这个不变的值．若发生变化，试说明理由； （3）连结 、 ，如果 ，且 ，求的值． 【答案】（1） （2）的值保持不变，值为 （3） 【解析】 【分析】（1）过点作 于点 ，连接，根据特殊角的直角三角形的性质得到 ，，根据勾股定理得到，继而得到答案． （2）过点作 于点 ，连接，根据垂径定理得到 ，根据 ， ，得到 ，即可得到答案． （3）连结 、 、 ，过点作 于点，过点作 于点 ，设 ，，令，则 ，通过证明 ，得到①，通过计算 得到②， ③，通过证明 ，得到④，将①②③代入④，消去参数和，即可解得 的值． 【小问1详解】 解：如图，过点作 于点 ，连接， ∵ 的直径， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴在中， ，， ∴在 中，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作 于点 ，连接， ∴ ， ∵在中， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴， ∴ ， ∴的值不随点位置改变，恒为 ； 【小问3详解】 解：如图，连结 、 、 ，过点作 于点，过点作 于点 ， 设 ，，令，则 ，， ∵ ， ∴ ， ∴，即 ，即，即①， ∵ ， ∴ ，是等腰三角形， ∴，， ∴，， ∴，即，即， ∴②， ③， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴，即，即④， 将①②③代入④，消去参数和，解得： ， ∵， ∴，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $