课时作业72 列联表与独立性检验-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 高中数学一轮复习列联表与独立性检验专项训练，以问题情境为载体，系统构建“概念理解-数据处理-检验应用”的方法体系，强化数据意识与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|2单|χ²值意义与临界值判断，零假设设定|从实际问题抽象列联表，通过χ²统计量建立变量关联判断标准| |数据处理|2填+1单|列联表数据补充（合计与分项关系），χ²公式应用|基于分类变量数据构建完整列联表，推导χ²计算原理| |综合应用|1多+1解答|独立性检验完整流程（假设-计算-结论）|结合生活情境（成绩/疾病/锻炼），体现模型观念，培养用数学语言解释现实问题的能力|

课时作业(七十二)　列联表与独立性检验 一、单项选择题 1．(人教A版选择性必修第三册P134练习T4改编)某学习小组通过随机调查，利用2×2列联表和χ2统计量研究数学成绩优秀是否与性别有关．计算得χ2＝6.748，经查阅临界值表知χ2≥6.635＝x0.01，则下列判断正确的是(　　) A．每100个数学成绩优秀的人中就会有1名是女生 B．若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是0.01 C．依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“数学成绩优秀与性别无关” D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关” 2．根据分类变量Ⅰ与Ⅱ的统计数据，计算得到χ2＝2.954，则(　　) A．变量Ⅰ与Ⅱ相关 B．变量Ⅰ与Ⅱ相关，这个结论犯错误的概率不超过0.1 C．变量Ⅰ与Ⅱ不相关 D．变量Ⅰ与Ⅱ不相关，这个结论犯错误的概率不超过0.1 3．(2026·湛江模拟)某养老院有110名老人，经过一年的跟踪调查，过去的一年中他们是否患过某流行疾病和性别的相关数据如下表所示： 单位：人 性别 是否患过某流行疾病 合计 患过该疾病 未患过该疾病 男 a＝20 b a＋b 女 c d＝50 c＋d 合计 a＋c 80 110 下列说法错误的是(　　) A．> B．χ2>6.635 C．根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为是否患过该流行疾病与性别有关联 D．根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分的证据推断是否患过该流行疾病与性别有关联 二、多项选择题 4．(2025·大同期中)可用于推断两个分类变量之间是否有关联的是(　　) A．散点图 B．等高堆积条形图 C．列联表 D．χ2独立性检验 5．(2025·上饶月考)为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，随机抽取了300名学生，对他们是否经常锻炼的情况进行了调查，调查发现经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍，绘制其等高堆积条形图，如图所示，则(　　) A．参与调查的男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多 B．从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为 C．依据α＝0.1的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.1 D．假设调查人数为600人，经常锻炼人数与不经常锻炼人数的比例不变，统计得到的等高堆积条形图也不变，依据α＝0.05的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.05 三、填空题 6．(2025·酒泉期末)下面是一个2×2列联表： x y 合计 y1 y2 x1 a 21 70 x2 5 c 30 合计 b d 100 则由上表可得a＋c＝ ________． 7．(2025·孝感期末)为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得如表所示的数据： 单位：人 性别 疗效 合计 无效 有效 男性患者 15 35 50 女性患者 6 44 50 合计 21 79 100 零假设为H0：服用此药的效果与患者的性别无关，则χ2≈________(小数点后保留3位有效数字)，从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的概率不大于________． 四、解答题 8．(13分)(2025·临沂期末)为了普及安全教育，某学校随机抽取男生、女生各100名进行安全知识测试，根据200名同学的测试成绩得知，该校有85%的同学成绩超过90分，具体情况如表格： 单位：人 性别 了解安全知识的程度 得分不超过90分 得分超过90分 男生 10 λ 女生 t μ (1)求λ，μ，t； (2)根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否推断该校男生和女生了解安全知识的程度与性别有关？ 课时作业(七十二) 1．D　[因为χ2＝6.748>6.635＝x0.01，所以依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“数学成绩优秀与性别有关”，即在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学成绩优秀与性别有关，所以ABC错误．故选D．] 2．B　[零假设为 H0：变量Ⅰ与Ⅱ不相关． 因为χ2＝2.954>2.706＝x0.1，依据小概率值α＝0.1的χ2独立性检验，推断H0不成立，即认为变量Ⅰ与Ⅱ相关，这个推断犯错误的概率不超过0.1．故选B．] 3．D　[根据列联表中的数据可求得b＝30，c＝10． 对于A，代入计算可得，正确； 对于B，χ2＝ ≈7.486>6.635，可得B正确； 对于C，D，结合附表数值以及独立性检验的实际意义，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为是否患过该流行疾病与性别有关联，即C正确，D错误．] 4．BCD　[散点图不适用于推断两个分类变量之间是否有关联，所以A选项错误； 而等高堆积条形图、列联表、χ2独立性检验适用于推断两个分类变量之间是否有关联，所以BCD选项正确． 故选BCD．] 5．ABD　[随机抽取了300名学生，则经常锻炼人数为200，不经常锻炼人数为100． 对于选项A，由等高堆积条形图知，男生中经常锻炼的人数为200×50%＝100，不经常锻炼的人数为100×60%＝60，∴A正确； 对于选项B，由等高堆积条形图知，女生中经常锻炼的人数为200×50%＝100，不经常锻炼的人数为100×40%＝40， ∴从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为，∴B正确； 对于选项C，由题意可得列联表如下： 单位：人 性别 锻炼情况 合计 不经常 经常 女生 40 100 140 男生 60 100 160 合计 100 200 300 ∵χ2＝ ≈2.679<2.706＝x0.1， ∴依据α＝0.1的独立性检验，不能认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，∴C错误； 对于选项D，2×2列联表如下： 单位：人 性别 锻炼情况 合计 不经常 经常 女生 80 200 280 男生 120 200 320 合计 200 400 600 ∴χ2＝≈5.357>3.841＝x0.05， ∴依据α＝0.05的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.05，∴D正确． 故选ABD．] 6.74　[由题意知a＋21＝70，c＋5＝30， 可得a＝49，c＝25， 所以a＋c＝74．] 7.4．882　0.05　[根据题意可知， χ2＝≈4.882>3.841 ＝x0.05， 根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为服用此药的效果与患者的性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05．] 8．解：(1)根据题意可知， 该校成绩超过90分的人数为200×85%＝170， 成绩没有超过90分的人数为200－170＝30， 因此λ＝90，μ＝80，t＝20． (2)零假设为 H0：该校男生和女生了解安全知识的程度与性别无关． 因为χ2＝≈3.92<6.635＝x0.01， 根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立， 所以不能推断该校男生和女生了解安全知识的程度与性别有关． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $