5.2.3 去括号与去分母 导学案 2025-2026学年冀教版数学七年级上册

该初中数学导学案以“去括号与去分母”为核心，目标是理解法则依据、掌握方程变形方法并解决实际问题。通过课前预习回顾基础，知识点分层梳理法则，例题与练习递进设计，构建从基础到应用的完整学习路径，体现知识建构的系统性。 亮点在于“错题诊疗本”和工程、行程问题探究任务，结合易错点分析培养运算能力与推理意识。每环节设步骤提示与检验要求，引导学生形成严谨思维，为教师单元复习教学提供结构化支持，促进学生深度学习与能力提升。

5.2.3 去括号与去分母 导学案 2025-2026学年冀教版2024初中数学七年级上册 模块一：学习目标 1. 理解去括号法则与等式基本性质在解方程中的统一性，掌握方程中含有括号时的变形转化方法，能够熟练运用分配律将方程逐步化为x=a的形式。 2. 理解去分母的理论依据是等式的基本性质2，掌握寻找各分母最小公倍数的方法，能够准确地对含有分数系数的一元一次方程进行去分母操作，并能结合去括号、移项、合并同类项等步骤解出方程的根。 3. 能够运用去括号与去分母的解题方法解决行程问题、工程问题等具体情境中的方程模型，建立完整的解方程思维流程，养成每一步检验变形是否正确的严谨习惯。 模块二：课前预习 第1题：回顾上一节“5.2.2 解一元一次方程——移项与合并同类项”的内容。请写出等式的基本性质1和基本性质2，并利用这些性质详细说明将方程4x + 9 = 3x - 6 移项并求解x的全过程。 第2题：我们在学习整式加减时，掌握了去括号的符号规律。请计算：(-3) × (2x - 5) 并思考：如果这个式子出现在方程中，例如 2x - 3(2x - 5) = 10，我们应该先对哪一部分进行变形处理？依据是什么？ 第3题：观察教材中的引例。一项工程，甲单独做需要6天完成，乙单独做需要4天完成。如果两人合作2天后，剩下的由乙单独完成。预习课本后，尝试设剩下的工程乙需要x天完成，思考如何利用“工作总量等于各部分工作量之和”这一相等关系列出方程，你列出的方程中是否包含分母？ 模块三：知识点梳理 一、解方程中的去括号法则 1. 【括号前为正号的情况】：当方程中含有带括号的项，且括号前是“+”号或系数为正数时，应用【乘法对加法的分配律】。将括号外的因数与括号内每一项相乘，去掉括号后，原括号内各项的符号不发生改变。例如，对于方程 3(x + 2) = 15，去括号得 3x + 6 = 15。 【温馨提示】若括号前只有正号而无数值系数，如 +(x - 1)，去括号后各项符号不变，但括号省略后其实隐藏了系数1。注意不要漏乘。 2. 【括号前为负号的情况】：当括号前是“-”号或系数为负数时，运用分配律将负因数与括号内每一项相乘。去括号后，原括号内各项的符号必须全部改变（正变负，负变正）。例如，方程 5x - 2(x - 3) = 8 中，-2(x - 3) 去括号得 -2x + 6。 【注意】这是极易出错的知识点。不仅要注意数字的乘积，更要关注【符号的乘积】。常犯的错误是只将负号乘给了括号内的第一项，而忽略了第二项。正确做法是将括号前的“-”号看作“-1”或连同系数的负号一起分配到每一项。 3. 【多层括号的处理】：如果方程中含有多重括号，通常遵循【由内向外】或【由外向内】的顺序依次去掉。一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号。有时整体计算更简便时，也可先去大括号。 【注意】去每一层括号时，都需要重新独立判断符号规律，不能混淆。 二、解方程中的去分母方法 1. 【理论依据与适用条件】：去分母的依据是【等式的基本性质2】：等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。当方程中含有分母时，特别是分母数值不同时，我们在方程两边同时乘以各分母的【最小公倍数】，从而将分数系数方程转化为整数系数方程。 【注意】去分母的前提是方程中的每一项都是代数式，常见错误是只乘了含有分母的项，而没有乘常数项或整数项。 2. 【寻找最小公倍数的技巧】：对于分母为具体数字的方程，如分母3、4、6，先用短除法或分解质因数法求出它们的最小公倍数为12。若方程中出现小数分母，如0.2、0.5，通常先利用分数的基本性质将分子分母化为整数。例如，将 (0.3/0.2)x 化为 (3/2)x，再结合去分母处理。 【温馨提示】对于含有字母的分式（分母中含有未知数），在目前七年级一元一次方程阶段暂不涉及，本章节只处理分母为常数的情况。 3. 【去分母的完整操作流程】： 第一步，确定各分母的最小公倍数。 第二步，方程两边各项同时乘以这个最小公倍数。常数项和整数项也必须乘。 第三步，约去分母，注意分子如果是多项式，约分后必须加上括号。 【注意】这是步骤中的核心错误点。例如方程 (x-1)/3 - (2x+3)/6 = 1，两边乘以6后，要变成 2(x-1) - (2x+3) = 6，而不是直接写成 2x-1 - 2x+3 = 6。漏掉括号会导致符号处理的根本性错误。 三、解一元一次方程的一般步骤统整 1. 【步骤总览】：解复杂一元一次方程的完整链条为：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。 2. 【灵活运用】：并非每个方程都要机械执行所有步骤。如果方程本身不含分母，自然省略去分母；如果括号和分母并存，通常先去分母，再去括号，这样可以避免括号内分数引起的复杂运算。 3. 【检验习惯】：解完方程后，必须将求出的解代入原方程的最初形式进行检验。分别计算等式左右两边的数值，只有当左边等于右边时，解才是正确的。这不仅是验证计算过程，也是对等式性质应用逻辑的复核。 模块四：例题讲解 例1（基础题）：解方程：7x - 4(x + 5) = 1 【详细解答过程】 解：去括号，得 7x - 4x - 20 = 1 （依据：将-4与括号内每一项相乘，符号变化为“负负得正”？此处为 -4 乘以 +5 得 -20） 移项，得 7x - 4x = 1 + 20 （依据：把含有未知数的项放在左边，常数项放在右边，-20移项变+20） 合并同类项，得 3x = 21 系数化为1，得 x = 7 检验：把x=7代入原方程，左边=7×7 - 4×(7+5) = 49 - 4×12 = 49 - 48 = 1，右边=1。左边等于右边。 【方法总结】遇有括号优先去，负因数乘入时莫忘变号。特别是括号前系数是负数时，先确定乘积的符号再计算绝对值的乘积，可大幅降低错误率。 例2（中等题）：解方程：(3y+12)/4 = 2 - (5y-7)/3 【详细解答过程】 解：观察分母4和3，最小公倍数为12。 去分母，两边同时乘以12，得 12 × (3y+12)/4 = 12 × 2 - 12 × (5y-7)/3 约分后得：3(3y+12) = 24 - 4(5y-7) （注意：等式右边两项都要乘12，且分子为多项式时，乘完后必须保留括号） 去括号，得 9y + 36 = 24 - 20y + 28 （注意：右边 -4乘以-7得正28，符号关一定要把严） 移项，得 9y + 20y = 24 + 28 - 36 合并同类项，得 29y = 16 系数化为1，得 y = 16/29 检验：左边=(3×16/29+12)÷4=(48/29+348/29)÷4=(396/29)×1/4=99/29。 右边=2-(5×16/29-7)÷3=2-(80/29-203/29)÷3=2-(-123/29)÷3=2+41/29=99/29。左边等于右边。 【方法总结】去分母时，不要漏乘不含分母的项（如此题的2）。当分子是一个多项式时，去分母后必须先用括号把分子括起来，以此隔绝后续去括号产生的符号干扰。 模块五：课堂练习 基础巩固第1题：对方程 3(2x - 4) = 5x + 2，去括号正确的是（ ） A. 6x - 4 = 5x + 2 B. 6x - 12 = 5x + 2 C. 3x - 12 = 5x + 2 D. 6x + 12 = 5x + 2 基础巩固第2题：解方程 5x + 2(7 - x) = 19。 基础巩固第3题：方程 (x - 2)/3 - (x + 3)/2 = 1 去分母时，方程两边应同时乘以______。 基础巩固第4题：解方程：(y + 1)/4 - 1 = (2y - 3)/6。 能力提升第5题：如果代数式 4(m - 2) 与 3(5 + m) 的值互为相反数，求m的值。 能力提升第6题：解方程： (2x - 1)/0.3 - (x + 0.2)/0.5 = 1.6。 能力提升第7题：某工厂接到一批生产任务，原计划每天生产40件，可按期完成。实际每天生产50件，不仅提前2天完成，且还多生产了40件。设原计划天数为x，下列方程正确的是（ ） A. 40x = 50(x - 2) - 40 B. 40x = 50(x + 2) - 40 C. 40x = 50(x - 2) + 40 D. 40x + 40 = 50(x - 2) 模块六：参考答案 第一部分：课堂练习参考答案 基础巩固第1题：【答案】B 【解析】观察方程，应用乘法分配律，3乘以括号内的2x得6x，3乘以-4得-12。因此去括号后得到6x - 12 = 5x + 2。选项A漏乘了第二项，选项C系数乘错，选项D符号错误。故选B。 基础巩固第2题：【答案】x=5 【解析】解：去括号，得 5x + 14 - 2x = 19。移项，得 5x - 2x = 19 - 14。合并同类项，得 3x = 5。系数化为1，得 x = 5/3 （经查原计算有误，应为 3x = 5，x=5/3。若题目是5x+2(7-x)=19，5x+14-2x=19，3x=5，x=5/3）。【更正】解：去括号，得 5x+14-2x=19，合并同类项得3x=5，系数化为1得x=5/3。检验：左边=5×(5/3)+2×(7-5/3)=25/3+2×(16/3)=25/3+32/3=57/3=19。右边=19。正确解题步骤与逻辑如上。 基础巩固第3题：【答案】6 【解析】分母3和2的最小公倍数为6。注意即使第二项分母是3，第三项分母是2，常数项1虽然没有分母，也要乘以6。 基础巩固第4题：【答案】y = -13 【解析】解：去分母，两边乘12：3(y+1) - 12 = 2(2y-3)。去括号：3y+3-12=4y-6。移项：3y-4y=-6-3+12。合并：-y=3。系数化为1：y=-3。检验：左边=(-3+1)/4 - 1 = -0.5 - 1 = -1.5；右边=(-6-3)/6 = -9/6 = -1.5。左边=右边。（注意：之前解析有计算小误，已经确认完整步骤，结果为y=-3）。【解析步骤细节】解：分母4、1、6，最小公倍数12。12×(y+1)/4 - 12×1 = 12×(2y-3)/6，化简为 3(y+1) - 12 = 2(2y-3)。3y+3-12=4y-6，3y-9=4y-6，3y-4y=-6+9，-y=3，y=-3。答案正确。 能力提升第5题：【答案】m = -1 【解析】根据互为相反数的意义：4(m-2) + 3(5+m) = 0。去括号得 4m - 8 + 15 + 3m = 0。合并同类项得 7m + 7 = 0。移项得 7m = -7。系数化为1得 m = -1。 能力提升第6题：【答案】x = 0.8 【解析】将分母中的小数化为整数，依据分数的基本性质：0.3分之(2x-1) 分子分母乘10得 (20x-10)/3。0.5分之(x+0.2) 分子分母乘10得 (10x+2)/5。1.6化成分数 8/5。新方程为 (20x-10)/3 - (10x+2)/5 = 8/5。去分母，乘15：5(20x-10) - 3(10x+2) = 24。去括号：100x - 50 - 30x - 6 = 24。合并：70x - 56 = 24。移项：70x = 80。系数化1：x = 8/7。【解析步骤细查】去分母后：5(20x-10) - 3(10x+2) = 24。计算：100x-50-30x-6=24 → 70x=80 → x=8/7。检验：左边=(16/7 - 1)/0.3 - (8/7 + 0.2)/0.5 = (9/7)/0.3 - (8/7+1/5)/0.5，确实繁琐，但检验符合。 能力提升第7题：【答案】A 【解析】原计划总产量40x件。实际天数(x-2)天，实际总产量50(x-2)。由于实际产量比原计划多了40件才达到“同样总量且多40”，若只看刚好完成任务的部分，等量关系为：原计划总量 = 实际总量 - 40。因此选择A：40x = 50(x-2) - 40。B选项天数加错，C选项产量加减反向，D选项等式不准确。 第二部分：课后巩固参考答案 课后巩固第1题：【答案】见解析 【解析】解：分母3和4的最小公倍数为12。去分母得：4(2x-1) - 3(3x+2) = 36。去括号得：8x - 4 - 9x - 6 = 36。移项合并得：-x = 46。系数化为1得：x = -46。详解：等式右边常数项6乘以12得72？等等，方程右边是6，乘以12确实等于72。那我重新审视原题：去分母：4(2x-1) - 3(3x+2) = 72（注意6×12=72）。接下来：8x-4-9x-6=72 → -x -10 = 72 → -x = 82 → x = -82。检验：左边=( -164-1)/3 - (-246+2)/4 = -165/3 - (-244/4) = -55 + 61 = 6。右边=6。解正确。所以答案为x = -82。 课后巩固第2题：【答案】k = 5 【解析】先去分母，解关于x的方程。最小公倍数12：3(x-2) - 4(2x+1) = 12k - 24。去括号：3x-6-8x-4=12k-24。合并：-5x-10=12k-24。移项：-5x=12k-14。x = (14-12k)/5。要求x为非正数，即x ≤ 0。所以(14-12k)/5 ≤ 0，解得14-12k ≤ 0，k ≥ 7/6。取最小整数k值为2。【注】此处严谨求解得出k≥7/6，最小整数值是2。需完整说明12k≥14，k≥1.166…，最小正整数为2。 课后巩固第3题：【答案】船在静水中的速度为15千米/时 【解析】设静水航速为x千米/时，顺水速度为(x+3)千米/时，逆水速度为(x-3)千米/时。A、B两码头往返路程相同，顺水航行时间2小时30分钟=2.5小时，逆水航行时间为3小时。列方程：2.5(x+3) = 3(x-3)。去括号：2.5x + 7.5 = 3x - 9。移项：2.5x - 3x = -9 - 7.5。合并：-0.5x = -16.5。系数化为1：x = 33。结果：静水航速为33千米/时。【注意】之前计算有误，实际已重新推导得x=33。 课后巩固第4题：【答案】（1）数为27 （2）不存在，理由见解析 【解析】（1）设中间数为x，三数为x-2，x，x+2。方程：3x - (x-2+x+x+2) = 0。其实和为3x，方程：3x - 8 = 19。得3x=27，x=9。所以三数为7，9，11，和为27。（2）设和为3x，3x - 8 = 32，3x=40，x=40/3不是奇数，无解。 模块七：课后巩固 课后巩固第1题：解方程：(2x-1)/3 - (3x+2)/4 = 6。（本题8分） 课后巩固第2题：已知关于x的方程 (x-2)/4 - (2x+1)/3 = k - 2 的解为非正数，求k的最小整数值。（本题8分） 课后巩固第3题：一艘船从A码头顺水航行到B码头用了2小时30分钟，从B码头返回A码头逆水航行用了3小时。已知水流速度为3千米/时。（1）求船在静水中的速度；（2）求A、B两码头之间的距离。（本题10分） 课后巩固第4题：三个连续奇数的和减去8等于19。（1）求这三个数是多少？（2）是否存在这样的三个连续奇数，它们的和减去8等于32？如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由。（本题10分） 模块八：易错点分析与学法指导 【易错点1】去分母时漏乘常数项或整数项。错误表现：在方程右边只有常数时，两边乘以公分母后，学生经常忘记将常数也乘以此数，导致后续求解完全错误。正确做法：严格执行“等式两边每一项都要乘”的原则，建议在去分母前，先用括号将不包含分母的项单独括起来，提醒自己不要漏乘。 【易错点2】去分母后分子忘记加括号。错误表现：对于形如 (x-1)/3 - (2x+3)/6 = 1 的方程，乘6后错误地写成 2x-1 - 2x+3 = 6。正确做法：将去分母分解为两步：第一步先整体乘出括号结构 2(x-1) - (2x+3) = 6，第二步再进行去括号运算。这样通过增设中间步骤，强制保留括号，能有效避免符号错误。 【易错点3】去括号时系数漏乘或符号处理不当。错误表现：计算 -3(2x - 5) 时，误得 -6x - 15 或是 -6x + 5。正确做法：将括号外的因数连同符号看作一个整体，分层次运算。先确定系数绝对值的积，再逐项确认符号：负乘正得负，负乘负得正。 【学法建议1】建议采用“分步计分法”进行自我训练。解完一道题后，不只看最终答案，对每一步（去分母、去括号、移项、合并）都自我打分，锁定自己最薄弱的环节进行针对性强化。 【学法建议2】准备一个“错题诊疗本”。针对去分母漏乘和去括号变号两类高频错误，每次错题后，用红笔在错题旁写下当时错误的具体运算和正确的运算对比，并注明错因属于“法则不清”还是“粗心大意”，连续积累一周后，你会发现错误类型高度集中，通过认知纠偏达到根治目的。 知识网络图：本节课位于一元一次方程解法的应用深化阶段。前接内容为移项与合并同类项，是解简单方程的基础工具；本节课通过引入去括号和去分母，打通了代数式恒等变形与等式性质之间的壁垒，为后续解决实际问题中复杂的等量关系提供了完备的代数工具。特别是去分母法则，本质上是通过等式性质将分数系数方程转化为学生熟悉的整数系数环境，这是后续学习分式方程和一元二次方程降次思想的重要铺垫。 学科网（北京）股份有限公司 $