第20卷 对数及对数函数 -考点训练卷 2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 三阶递进式训练体系，聚焦对数及对数函数微目标拆解与综合应用，强化从概念到性质的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|10单选+5填空|对数定义、运算性质、定义域|从对数概念生成到运算规则推导| |性质应用|单选6-10+填空12-15|单调性、奇偶性、图像定点|性质与图像特征的关联应用| |综合解答|4解答题|方程、不等式、函数综合|性质应用到实际问题解决，体现运算能力与推理意识|

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年内蒙古自治区对口招生《数学考纲百套卷》 第20卷 对数及对数函数 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40 分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．若，则（   ） A．0 B．1 C． D． 2．若，则（   ） A．1 B． C． D． 3．（    ） A． B． C．2 D． 4．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．若，且有， ， 则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 7．如果，则有（   ） A． B． C． D． 8．函数且的图像必过一个定点，这个定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．函数  的定义域是（    ） A． B． C． D． 10．在同一平面直角坐标系中画出函数与的图象，可能是（    ）． A． B． C． D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．函数   的定义域为_______________. 12．已知对数函数的图像经过点和，则________． 13．已知对数函数的图像如图所示，则该函数在区间上的最大值为________. 14．已知对数函数（且）的图像经过点，则________． 15．已知对数函数在区间上的最大值比最小值大1，则________． 三、解答题:本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．已知二次函数． (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)若对于任意实数都有，求不等式的解集． 17．已知关于的方程，无实数根. (1)求实数的取值范围； (2)解不等式. 18．已知函数恒过定点 (1)求实数，的值； (2)若函数为偶函数，当时，，且点在函数的图像上.求的值. 19．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求函数的单调区间，并求最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年内蒙古自治区对口招生《数学考纲百套卷》 第20卷 对数及对数函数 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40 分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．若，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】由对数的运算法则可得，再根据指数幂的运算可得结果. 【详解】由可得，所以， 所以. 故选：D 2．若，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数式与对数式的转换，结合对数的运算性质即可求解. 【详解】由得， ，， ， 故选：A 3．（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据换底公式化简求解即可. 【详解】. 故选：D. 4．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的性质可求解. 【详解】不等式可化为：， 所以，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：B 5．若，且有， ， 则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，并借助于中间量0和1比大小即可. 【详解】因为指数函数在上单调递增，对数函数在上单调递增，且， 所以，，， 所以. 故选：B 6．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义及常见函数的单调性判断. 【详解】选项A：因为在上是增函数，所以在上是减函数，故A错误； 选项B：设，其定义域为，关于原点对称， 因为，所以不是奇函数，故B错误； 选项C：函数的定义域为，关于原点对称， 设，则，所以是奇函数， 函数中的系数为，所以在上是增函数，故C正确； 选项D：函数的定义域为，不关于原点对称， 所以不是奇函数，故D错误， 故选：C. 7．如果，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性求解. 【详解】因为对数函数在上单调递增，且， 所以. 故选：D. 8．函数且的图像必过一个定点，这个定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合对数函数的性质及对数函数恒过定点问题，即可求解. 【详解】因为函数且的图像必过一个定点， 令，则， 所以函数过定点. 故选：D. 9．函数  的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的性质即可求解. 【详解】已知函数， 根据对数函数的性质，， 则函数的定义域为， 故选：A 10．在同一平面直角坐标系中画出函数与的图象，可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数和对数函数的图象对进行分类讨论即可. 【详解】函数与， 当时，函数在上单调递增，且与轴的交点纵坐标在之间， 只有A选项符合题意，但不满足函数在上单调递减，故不成立； 当时，函数在上单调递增，且与轴的交点纵坐标大于，CD选项符合题意， 且函数在上单调递增，过定点， 故只有选项C，符合时两函数的图象. 故选：C. 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．函数   的定义域为_______________. 【答案】 【分析】根据函数有意义，则对数真数大于零，二次根式被开方数为非负数，以及分式分母不为零即可求解. 【详解】要使函数 有意义，则，解得. 即函数 定义域为. 故答案为：. 12．已知对数函数的图像经过点和，则________． 【答案】4 【分析】设出对数函数的解析式，代入求解即可. 【详解】设. 因为对数函数的图像经过点，所以，解得. 继而. 故答案为：4. 13．已知对数函数的图像如图所示，则该函数在区间上的最大值为________. 【答案】1 【分析】根据对数函数的性质即可求解. 【详解】如图所示，函数在区间上单调递增， 所以当时函数取最大值，所以函数在区间上的最大值为. 故答案为：1. 14．已知对数函数（且）的图像经过点，则________． 【答案】3 【分析】根据图像过点求出得到函数解析式，再代入求解即可. 【详解】因为对数函数（且）的图像经过点， 所以，即，解得（负值舍掉）， 则. 故答案为：3. 15．已知对数函数在区间上的最大值比最小值大1，则________． 【答案】2 【分析】根据对数函数的单调性，结合已知列出方程，求解即可得出答案. 由已知可得，函数在区间上单调递增. 又对数函数在区间上的最大值比最小值大1， 所以，，解得. 故答案为：2. 三、解答题:本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．已知二次函数． (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)若对于任意实数都有，求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次不等式恒成立问题的解法求解即可； （2）利用函数的对称性和对数函数的单调性分析求解即可. 【详解】（1）由题意得恒成立， 所以，解得：， 所以实数的取值范围是． （2）因为对于任意实数都有， 所以函数的对称轴方程为， 即，解得：， 因为不等式， 即， 则，解得：或， 所以不等式的解集为． 17．已知关于的方程，无实数根. (1)求实数的取值范围； (2)解不等式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程无实根，则判别式小于零求解即可； （2）根据对数函数的定义域以及单调性求解不等式即可. 【详解】（1）因为关于的方程，无实数根， 则，即，所以； （2）因为，所以对数函数在上为减函数. 所以原不等式等价于， 由可得或， 由可得， 解得或， 所以原不等式的解集为. 18．已知函数恒过定点 (1)求实数，的值； (2)若函数为偶函数，当时，，且点在函数的图像上.求的值. 【答案】(1)， (2)3 【分析】（1）利用对数函数恒过定点的性质求出、的值， （2）根据偶函数的性质和已知点求出函数的表达式，进而计算的值. 【详解】（1）函数（且） 令，即时，， 则该函数恒过定点， 又该函数恒过定点， ，. （2）当时，，且点在函数的图像上， ，则，得， 当时，， 为偶函数，则， . 19．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求函数的单调区间，并求最大值. 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为，最大值为 【分析】（1）根据对数的真数大于0列式求函数的定义域. （2）根据“同增异减”判断复合函数的单调区间，并根据单调性求函数的最大值. （1）由. 故所求函数的定义域为. （2）因为函数在上单调递增，在上单调递减， 且当时，，当时，取得最大值4. 又在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”的单调性的判断方法可知函数在上单调递增，在上单调递减， 函数的最大值为，当时取等号. 因此该函数的单调递增区间为，单调递减区间为，最大值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $