重庆市2025-2026学年高一下学期联考数学试卷

数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六、七章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.15-4i= A.41 B.3 C.√35 D.1 2.已知向量a,b满足a+b=(-1,3),a-b=(5,1),则 A.a=(3,1) B.a=(2,1) C.b=(2,2) D.b=(-3,1) 3.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a:b:c=2:6:7,则△ABC中最大角的 余弦值为 A-号 C-3 8 - 4.在△ABC中，D为AB的中点，点E满足AE=2EC,则DE A-Bi+号BC B日Bi+号BC C耐+试 D-名B+号C 5.在复平面内，若复数1和x2对应的点分别是(1,2)和(1，-3)，则产= 之2 A-2+2 R-名-2 C-zi D-8-2 6.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,B=45°，若满足条件的△ABC是唯 一的，则b的值不可能是 A.√2 B.√3 C.2 D.3 7.已知码头B在码头A的正北方向，两码头相距100海里，在码头A测得海上某渔船C位于 北偏东15°方向，在码头B测得渔船C位于北偏东45°方向，在码头A还测得另一艘货船D 位于南偏东45°方向，且货船D到码头A的距离为50W2海里.若欲在货船D与渔船C之间 增设一条补给航线，则补给航线CD的长为 A.50√3海里 B.50√6海里 C.50√7海里 D.50√/14海里 【高一数学第1页（共4页）】 8.如图，以MN为直径的半圆内切于等腰直角三角形ABC,BA=BC=2,A小 M P是△ABC所在平面内一点，则PM·PN的最小值为 A.-2 B.-1 C.-7 D.0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列有关复数之的叙述，正确的是 A.若x=十i3,则x=1+i B.若x=i十3，则x的虚部为一1 C.若之满足z2∈R,则之∈R D若=1，则=1 10.已知a,b,a十b均为单位向量，则 A.(a+b)(a-b) Ba,b)=号 C向量a-b在向量a上的投影向量为多0 D.a十b1的最小值为号 11.在△ABC中，∠ABC的角平分线BD交AC于点D,BA=2BC,O为△ABC的外心，则 A.OA+OB+OC=0 B.AD=2DC C.励=}Bi+d D.2Cos∠ABD3 BD BA 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量a=(m,4),b=(-1,3),若a/%,则m=▲ 13.若|z1一4一3i=2,之2为实数，则|z1一之2的最小值为 ▲ 14.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3B+C=元，则分的取值范围 为▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别是（一1,0），(0,2)，(2,5). (1)求顶点D的坐标； (2)求AB与BD的夹角的余弦值 【高一数学第2页（共4页）】 16.(15分) (1)已知复数之=(1一i)(1十mi)在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围. (2)已知m∈R,方程x2+(2m十2i)x十3十mi=0是否存在纯虚数根？若存在，求m的值； 若不存在，请说明理由. 17.(15分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且3c一b=3 a cos B. (1)求sinA; (2)若c-b=2 a,证明：△ABC是直角三角形. 【高一数学第3页（共4页）】 18.(17分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos B=2 bcos A. (I)若B=至，求anC, (②)求等的最大位： (3)当取得最大值时，求c0sA的值。 19.(17分) 在梯形ABCD中，AB=2CD=12,∠DAB=60°，AD=CB,AB∥CD,AE=2EB,C京= 2FD. (1)用AB,AD表示A】 (2)设M是线段EF上一点，且Ai=A店+mAd, (i)求AM: (iⅱ)若G为AB的中点，H为线段GD上一个动点，求AH·MH的最小值. 【高一数学第4页（共4页）】 数学参考答案 1.A|5-4i=√/25+16=/41. 2.D由a十b=(-1,3),a-b=(5,1),得a=(2,2),b=(-3,1). 3.C由a:b:c=2:6:7,可设a=2x,b=6x,c=7x,则△ABC中的最大角为C,故cosC =a2+b2-c23 2ab 8 4ADE-Di+A位-赋+号d-号耐+号成-)=-酥+号成 5.A由题意得复数1=1+2i,2=1-3i,所以9=十2-1+2)1+30=-5十5i=-1 之2-1-3i(1-3i)(1+3i)10 2 √2 6.B由正弦定理可知，sin Asin B’可得sinA=asin B 2× b 2√2 b =6,当sinA=1或b≥a 时，满足条件的△ABC是唯一的，故b=√2或b≥2. 7.D如图所示，∠BAC=15°，∠ABC=135°，∠ACB=45°-15°=30°，∠CAD= 75°+45°=120°. 在△AC巾.由n2盟CB-n之C解得AC=10wE#昆， AC 在△ACD中，CD=√/AC2+AD-2AC·ADcos,∠CAD=50/14海里. 8.B设O为MN的中点，连接OP(图略).易知OM=1,所以PM·PV=(Pò+A OMi)·(Pò+ON)=P02-O≥-1. 9.BD对于A,之=i+3=一1-i,则之=一1十i,故A错误； D 对于B,之=2十3=一1一i,则之的虚部为一1，故B正确； 对于C,取z=i,则z2=一1∈R,但z=iR,故C错误； 对于D,设e=a+bi(a,6∈k),由1=1得v后+6=1，所以a2+62=1,=a十6- 1a+8--架=1a-b1=v+=1,故D正确 a-bi|」 10.AC(a+b)·(a-b)=a2-b2=1-1=0,A正确；由a十b|=1,可得(a十b)2=a2+2a· 6+=1.即a6=一名oma6=日治=一号故a6)=经：B错误：向量a-b在 向量a上的投影向量为a一b)·a。 lale "a=3 =2a,C正确；设a=0A,ab=-O,则|a十b1= 五矿，所以a十的最小值为点A到直线OB的距离，故最小值为，D错误， 【高一数学·参考答案第1页（共4页）】 11.BCD若OA+O店+OC=0,则O为△ABC的重心，A错误. AB CD 在△4BD中，由正弦定理得nAQD一sADB@,同理在△BCD中，sCBD一一 sin∠CDB②.因为BD是∠ABC的角平分线，所以∠ABD=∠CBD,则sim∠ABD= BC sin∠CBD. 又m∠AD8=如∠CDB,所以D÷@得品-铝=2所以前=成.励=号耐+ 号，BC均正确， 因为SAE=SAD+SAn,所以号BA·BCsn∠ABC=号BA·BDsin∠ABD+BC· BDsin∠CBD,sin∠ABC_sin∠ABD sin∠CBD BD BC BA 因为∠ABC=2∠ABD=2∠CBD,所 以2∠ABD∠ABD-2ABD+ABD,即2@ABD=3 BD BA BA BD一BAD正确， 12号 因为a么，所以一4=m,即m=一青 13.1z1一4一3=2，表示复数x1在复平面内对应的点在以(4,3)为圆心，2为半径的圆上.因 为2为实数，所以x2在复平面内对应的点在x轴上，所以之1一2|的最小值为3一2=1， 14.(W2,W3)因为3B+C=π=A+B+C,所以A=2B,则sinA=sin2B=2 sin Bcos B, 则号=2cosB. 0<B<受 因为△ABC为锐角三角形，所以0<2B<受， 解得<B<牙， 0<-3B<受， 则cn BE(号，受).所以号的取值范周为反，同。 15.解：(1)设顶点D的坐标为(x,y). 因为A(-1,0),B(0,2),C(2,5),所以AB=(1,2),DC=(2-x,5-y).…1分 又AB=DC,所以(1,2)=(2-x,5-y),…3分 1=2-工'解得 x=1, 2=5-y, …4分 y=3, 所以顶点D的坐标为(1,3). 6分 (2)由(1)知BD=(1,1),|BD|=√+1下=√2，…8分 【高一数学·参考答案第2页（共4页）】 |AB|=W12十22=5，…9分 所以AB.BD=1X1十2X1=3,… …11分 所以cos(A正，B丽)=A店.B时 3310 AB1IBD1√5X√210 13分 16.解：(1)x=(1-i)(1+mi)=1十m+(m-1)i,… 2分 1+m>0, 所以 …5分 m-1<0, 解得一1<m<1,即m的取值范围为（一1,1）.… …7分 (2)设x=bi(b∈R)是方程的一个纯虚数根，所以(bi)2+(2m+2i)bi十3+mi=0,即一b2一 2b+3+(2mb+m)i=0, …10分 2mb十m=0, 所以 12分 -b2-2b+3=0, 解得m=0,b=1或-3. 故当m=0时，方程x2十(2m十2i)x十3十mi=0存在纯虚数根.…15分 17.(1)解：由3c一b=3 acos B及正弦定理，得3sinC-sinB=3 sin Acos B.…1分 因为C=π一(A十B),所以sinC=sin(A十B),…2分 所以3sin(A十B)-3 sin Ace0sB=sinB,…3分 所以3c0 s Asin B=sinB.…4分 因为B∈(0，)，所以sinB≠0，所以cosA=号 5分 因为A∈(0，)，所以siA=√1-co3A=2y2 3· …7分 (2)证明：由余弦定理可知，a2=62+c2-2 bccos A=b2+c2_26c …9分 3 因为c-6= 2a,所以2(c-b)2=b2+c2- ?,化简可得3b2-10bc+3c2=(36-c)(b 3c)=0.…11分 因为c-6= 2Q>0,所以c=3b,a=2(c-b)=22b,…13分 所以a2十b2-c2=8b2十b2-9b2=0,即△ABC是直角三角形.…15分 18.解：(1)由acos B=2 bcos A,可得sin Acos B=2 sin Bcos A,故tanA=2tanB.…2分 因为B=不，所以anB=1,则tanA=2, …3分 故tanC=tan[x-(A十B)]=-tan(A+B)=-tanA+tanB 1+2 1-tan Atan B1-1×2 =3.…5分 2bc 4,cos B=a'te262 (2)由余弦定理可知，cosA=十c2-a 2ac 6分 由acos B=2 bcosA,可得a.a2+c2- -=2b·1 b2+c2-a2 2ac 2bc …8分 【高一数学·参考答案第3页（共4页）】 化简可得3a2=3b2十c2,…9分 bc bc a +号 当且仅当(=，56时，等号成立，即的最大值为 2bc·3 …12分 （3)由(2)知当答取得最大值时c=3b,k=5a2,即a=2b,…15分 cos A= b+c2-a2= 2bc 3 0。。0004**44.7 19.解：(1A-AD+D=日A+Aò. 2分 (2)(1)因为M是线段EF上一点，所以Ai=A+(1-X)A-子A花+(1-A)(日A A)=(6+2)）A+(1-X0Ad.…4分 1+入=5 易知AD=6.又Ai=多A花+mA立，所以6十22'解得m 2, …6分 1-λ=m, 即AM=Ai+号Aò， 则1A=(A+号Aò)=距A+店，A市+A市=49. 所以AM1=7.… …9分 (i)因为H为线段GD上一个动点，所以可设A=AG+1-)AD=号A+(1-)AD, ∈[0,1]，… 11分 所以Mi=Ai-i=+(1-x-(+号A)=(号一-)+（号）心， …12分 所以A.M=[台A弦+1-ò]·[（台-）A+(2-)ò] …13分 =号（登-2）+(-+名-)a.+1-(名-) 2.…14分 =36r-4r+3=36(-)-. 15分 当a=时A.M有最小值- …17分 【高一数学·参考答案第4页（共4页）】