6.2.3 平面向量的坐标及其运算课件-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第二册

该高中数学课件聚焦平面向量的坐标表示、运算及共线条件，通过回顾平面向量基本定理导入新课，搭建从基底到正交基底再到坐标的学习支架，帮助学生衔接旧知与新知。 其亮点在于设置“尝试与发现”“思考一下”等环节，引导学生自主推导坐标运算公式和共线条件，体现数学抽象与逻辑推理能力。例题结合中点、平行四边形顶点等几何问题，培养应用意识，学生能提升探究能力，教师可借助清晰结构高效教学。

人教B版(2019)必修第一册 6.2.3 平面向量的坐标及其运算 第六章 平面向量初步 1 学习目标 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，体现数学抽象能力（重点） 会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算，体现逻辑推理能力（重点） 理解坐标表示的向量共线条件，体现数学抽象能力（重难点） 2 新课导入 上节课我们学习了平面向量基本定理，回想一下平面向量基本定理是什么？ 那么，通过前面学习的知识，如何表示向量的坐标？ 3 新课学习 向量垂直的概念 平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量a与b垂直，记作a⊥b. 规定：零向量与任意向量都垂直.  4 新课学习 正交基底的概念 从平面向量基本定理知道，给定平面内两个不共线的向量（即给定一组基底）后，平面内的任意一个向量都能用这两个向量表示，如果平面向量的基底{e1,e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量分解称为向量的正交分解. 5 新课学习 尝试与发现：如图所示，已知e1，e2是平面内两个相互垂直的单位向量，将图中的向量a与b都用e1，e2表示. e2 a b e1 可以看出，a=2e1+2e2，b=3e1-2e2. 6 新课学习 向量的坐标的概念 一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果 a=xe1+ye2， 则称(x,y)为向量a的坐标，记作a=(x,y).  上图中的a坐标为(2，2)，b的坐标为(3，-2). 7 新课学习 思考一下：在坐标上如何表示向量a的坐标？ 如图所示，在平面上指定一点O作为原点，以e1的方向为x轴的正方向，以e2的方向为y轴的正方向，以e1(或e2) 的模为单位长度建立平面直角坐标系. x y e1 e2 a b O 对于平面上任意一个向量a，如果我们把它的始点平移到原点O，那么a的终点对应的坐标就是向量a的坐标. a=(4，2)，b=(-3，-1). 特别地，e1=(1，0)，e2=(0，1). 8 新课学习 注意： 为了方便起见，以后谈到平面上向量的坐标时，总是默认为已经按照上述方式指定了单位向量e1，e2，并建立了平面直角坐标系；同时，谈到平面直角坐标系时，默认为已经指定了与x轴及y轴的正方向同向的两个单位向量. 如果平面上一点A的坐标为(x，y) (通常记为A(x，y)). 9 新课学习 求向量的坐标的方法 为了求出平面上向量的坐标，可以选择如下两种方法中的任何一种： (1) 将向量用单位向量e1，e2 表示出来； (2) 将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标． 10 新课学习 例1：如图所示，写出向量a，b的坐标. x y a b O 因为a的始点在原点，所以由a的终点坐标可知 a=(5，-1). 又因为b=-4e1+e2，所以b=(-4，1). 11 新课学习 尝试与发现：平面上的向量有了坐标以后，向量的相等以及运算与它们对应的坐标之间有什么关系？ 假设平面上有两个向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，也就是说 a=x1e1+y1e2，b=x2e1+y2e2， 则当a=b时，有x1e1+y1e2=x2e1+y2e2，由e1，e2是相互垂直的的单位向量可知x1=x2 且y1=y2；反之，结论也成立. 这就是说，平面上两个向量相等的充要条件是它们的坐标对应相等. 另外，因为 a+b=x1e1+y1e2+x2e1+y2e2=(x1+x2)e1+(y1+y2)e2， 所以 a+b=(x1+x2，y1+y2). 12 新课学习 尝试与发现：平面上的向量有了坐标以后，向量的相等以及运算与它们对应的坐标之间有什么关系？ 类似地，可以得出，如果u，v是两个实数，则 (1)ua+vb=(ux1+vx2 , uy1+vy2);  (2)ua-vb=(ux1-vx2 , uy1-vy2). 13 新课学习 例2：已知a=(-2，3)，b=(3，-3)，求下列向量的坐标： (1)a+b； a+b=(-2，3)＋(3，-3)=(-2+3，3-3)=(1，0). (2)2a-5b ； 2a-5b=2(-2，3)-5(3，-3)=(-4，6)-(15，-15)=(-19，21). (3) b. b= (3，-3)=(1，-1). 14 新课学习 向量的模的坐标求法 当a与e1，e2都不共线时，若a的始点在原点，则过a的终点分别作x轴与y轴的垂线，可以构造出一个边长分别为|x|与|y|的矩形，而|a|正好等于矩形的对角线长，因此 当a与e1或e2共线时，上述结论显然也成立. 15 新课学习 由已知可得 16 新课学习 思考一下：利用平面向量坐标的知识，如何计算平面直角坐标系内两点之间的距离公式和中点坐标公式？ 设A(x1,y1)，B(x2,y2) 为平面直角坐标系中的两点，则 所以 因此 所以 中点坐标公式 两点之间距离公式 17 新课学习 例4：已知A(-2,1)，B(1,3)，求线段AB的中点M与三等分点P、Q的坐标. x y O A P Q M B 显然 因为 类似地，有 18 新课学习 例5：已知平行四边形ABCD的三个顶点A(-2，1)，B (2，2)，C (3，4)，而且A，B，C，D按逆时针方向排列，求： (1)AB，AD； 不难看出 又因为AD=BC ，所以 19 新课学习 例5：已知平行四边形 ABCD 的三个顶点A(-2，1)，B (2，2)，C (3，4)，而且A，B，C，D按逆时针方向排列，求： (2)D点的坐标. 从而D(-1,3). 20 新课学习 思考一下：已知向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，且a∥b，求向量a，b 的坐标满足的条件. 当a∥b时： 如果a≠0 ，由共线向量基本定理可知存在λ，使得b=λa，即 (x2，y2)=λ(x1，y1)=(λx1，λy1)， 如果a=0，即(x1，y1)=(0,0)，x2y1=x1y2显然也成立. 如果x1≠ 0且y1≠0， 21 新课学习 思考一下：已知向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，且a∥b，求向量a，b 的坐标满足的条件. 从而(x2，y2)=λ(x1，y1)=(λx1，λy1)，即 b＝λa，因此 a∥b； 如果x1=0且y1≠0，则有x2=0，设 同样有(x2，y2)=λ(x1，y1)，即b=λa，因此a∥b； 如果x1≠0且y1=0，设 同样有b=λa，因此a∥b； 如果x1=0 且y1=0，则a=0，因此a∥b. 22 新课学习 两个向量平行的坐标表示 设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则 a∥b⇔x2 y1=x1 y2 23 新课学习 1×5=2×y 24 新课学习 例7：在平面直角坐标系中，已知A(-2，-3)，B(0，1)，C(2，5). 求证：A，B，C三点共线. 由已知得 因为2×8=4×4，所以 因此A，B，C 三点共线. 25 课堂练习 B 26 课堂练习 C 27 课堂练习 28 课堂练习 B 29 课堂练习 30 课堂练习 C 31 课堂练习 32 课堂练习 A 33 课堂练习 34 课堂练习 (-6,2) 35 课堂总结 1.正交基底的概念 2.向量的坐标的概念 3.向量的模的坐标求法 4.两个向量平行的坐标表示 36 谢 谢 观 看 37 如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数 ， ，使 . $