25.2.4一元二次方程根与系数的关系（教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过解具体方程计算两根和与积引导学生观察规律，结合知识回顾的一般形式、解法、求根公式及判别式，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于“计算观察—猜想归纳—严谨证明—应用拓展”的探究过程，培养推理能力，通过代数式变形、参数问题等实例强化模型意识，课堂小结梳理思想方法与易错点。学生提升推理与应用能力，教师获得系统教学流程与丰富例题。

25.2降次----解一元二次方程 25.2.4 一元二次方程根与系数的关系 第二十五章 一 元 二 次 方 程 人教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 理解一元二次方程根与系数关系的推导过程，熟记韦达定理公式；掌握定理成立的前提条件（）；能不解方程，利用根系关系求两根和、两根积、含两根的代数式的值，能简单检验方程根的正确性、求解简单参数问题. 经历“计算观察—猜想归纳—严谨证明—应用拓展”的探究过程，提升从特殊到一般的归纳推理能力、代数逻辑证明能力，体会数形结合、整体代入的数学思想. 在自主探究与合作交流中感受数学规律的简洁性与统一性，培养严谨的数学思维习惯；通过定理的推导与应用，增强学习代数知识的兴趣，提升自主探究、合作解题的自信心. 知识回顾 01. 一元二次方程的一般形式是什么？ 答：一般形式为（其中 a ≠ 0，a、b、c 为常数）。 02. 我们学过哪些解一元二次方程的方法？ 答：常用的解法有直接开平方法、配方法、公式法以及因式分解法，每种方法都有其适用的场景。 03. 一元二次方程的求根公式是什么？ 答：求根公式为，是解一元二次方程最通用的方法。 知识回顾 问题：如何判断一元二次方程根的情况？ 我们可以利用一元二次方程根的判别式来判断， 即 Δ = b² - 4ac Δ > 0 方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点。 Δ = 0 方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有一个交点。 Δ < 0 方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点。 新知导入 任务挑战：请同学们快速解下列方程，求出两根 x₁, x₂，并计算两根之和 x₁+x₂ 与两根之积 x₁·x₂ 的值，看看能发现什么有趣的规律？ 方程 ①：x² - 5x + 6 = 0 解：因式分解得： (x-2)(x-3)=0， ∴x₁=2，x₂=3 两根之和： x₁+x₂ = 2 + 3 =5 两根之积： x₁·x₂ = 2 × 3 =6 方程 ②：x² + 3x - 4 = 0 解：因式分解得 (x+4)(x-1)=0， ∴x₁=－4，x₂=1 两根之和： x₁+x₂ = －4 + 1 =-3 两根之积： x₁·x₂ = (－4) × 1 =－4 方程 ③：2x² - 3x - 2 = 0 解：因式分解得 ： (2x+1)(x-2)=0， 故x₁=2，x₂= 两根之和： x₁+x₂ = 2 - = 两根之积： x₁·x₂ = 2 × (-) = -1 方程 (ax²+bx+c=0) 两根 x₁, x₂ 两根和 x₁+x₂ 两根积 x₁·x₂ x² - 5x + 6 = 0 2, 3 5 6 x² + 3x - 4 = 0 -4, 1 -3 -4 2x² - 3x - 2 = 0 2, -1 思考：观察每个方程的系数与两根之和、之积，你能找到它们之间的对应关系吗？ 新知导入 当二次项系数为1时， 两根和等于一次项系数的相反数，两根积等于常数项； 当二次项系数不为1时， 对比系数 b 与 a， c 与 a，两根和等于、两根积等于. 猜想 6 新知探究 探究点1 严谨推导，得出定理 活动 （1）猜想的规律是否适用于所有有实数根的一元二次方程？怎样进行推导.完成下列填空 对于一般形式一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时， 两根分别为：x1= ，x2= 。 两根之和： x1+x2= = = = . 两根之积： x1x2= = = = . 新知探究 探究点1 严谨推导，得出定理 归一归 一元二次方程根与系数的关系定理 核心前提：方程必须有实数根 即 根的判别式 Δ = b² - 4ac ≥ 0， 否则方程无实数根，定理不适用。 特殊形式 (当二次项系数 a=1 时) 方程简化为 x² + px + q = 0， x₁ + x₂ = -p ， x₁ · x₂ = q 一元二次方程 的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系： 两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数， 两根之积等于常数项与二次项系数的比. ， 新知探究 探究点1 严谨推导，得出定理 归一归 一元二次方程根与系数的关系定理 弗朗索瓦·韦达 (François Viète) 法国杰出数学家，“代数学之父”。他第一个有意识地、系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，推动了符号代数的发展。 一元二次方程根与系数的关系定理由发过数学家韦达发现的，这个定理又被成为韦达定理 新知探究 探究点2 理解定理，及时应用 练一练 1.判断下列说法是否正确. （1）方程 x² + 2x + 3 = 0 的两根和为 -2，两根积为 3。 （2）方程 2x² - 4x - 1 = 0 的两根和为 2，两根积为 。 ∵ Δ = 2² - 4×1×3 = -8 < 0， ∴方程没有实数根。 韦达定理描述的是实数根之间的关系，因此在此处不适用。 结论：错误 (×) —— 无实根，定理不适用 ∵Δ = (-4)² - 4×2×(-1) = 24 > 0， 方程有两个不相等的实数根。 代入韦达定理公式， x₁+x₂ = = = 2，x₁·x₂ = = 。 结论：正确 (√) —— 计算结果与定理一致 新知探究 探究点2 理解定理，及时应用 2.根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根的和与积: 一元二次方程 a b c x1+x2 x1x2 x2–6x–15=0 1 –6 –15 6 –15 3x2+7x–9=0 3 7 –9 – 4x2–5x+1=0 4 – 5 1 练一练 11 新知探究 探究点3 灵活运用 拓展提升 做一做 1.代数式变形求值 已知是方程的两根，不解方程，求下列代数式的值：（1） （2） 解：∵是方程的两根 ∴由一元二次方程根与系数关系定理得： ， ∴（1） (x1+x2)2 – 2x1x2 =4-2×2=0 （2）= 新知探究 探究点3 灵活运用 拓展提升 议一议 与一元二次方程有关的代数式的常见变形： x12 + x22 = (x1+x2)2 – 2x1x2 (x1 – x2)2 = (x1+x2)2 – 4x1x2 + = + = ｜x1–x2｜ = = x1x22 + x12x2 = x1x2(x1+x2) 新知探究 探究点3 灵活运用 拓展提升 做一做 2.参数解决综合问题 已知方程的两根之和为1，求m的值及两根之积。 解：根据根系关系得：-(m-2)=1，解得m=1； 把 m=1代入原方程得： =0 验证：∵， ∴方程有实数根； ∴x1x2= -2 典例分析 例1.已知关于x的方程有两实数根． (1)求k的取值范围; (2)设方程两实数根分别为：，，且，求实数k的值． （1）解：∵关于x的方程有两实数根， ∴ 解得：； 解得：， （经检验都是原方程的解）， ∵故． （2）解：∵方程两实数根分别为：，， ∴，， ∵ ∴ ∴ 典例分析 例2．若关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根． 解：设方程的另一个根为， 根据题意，得， 解得， ∴，方程的另一个根为． 典例分析 例3．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， (1)求的值 (2)求的值 (3)求的值 （1）解： ∵，是关于的一元二次方程 的两个不相等的实数根， ∴； （2）解： ∵，是关于的一元二次方程 的两个不相等的实数根， ∴； （3）解： ∵， ∴ ． 新知巩固 教材第16页 （1）x2–3x=15； （2）3x2+2=1–4x； 3.不解方程，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： 解：（1）方程化为 x2–3x–15=0， ∴ x1+x2 = – (–3) = 3， x1x2 = – 15. （2）方程化为 3x2+4x+1=0， ∴x1+x2 = – ， x1x2 = . （3）5x2–1=4x2–x； （4）2x2–x+2=3x+1. 解：（3）方程化为 x2+x–1=0， ∴ x1+x2 = –1， x1x2 = – 1. （4）方程化为 2x2–4x+1=0， ∴ x1+x2 = – = 2， x1x2 = . 拓展提升 1．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值． （1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 即的取值范围是； 拓展提升 1．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值． （2），， ， ， ，即， 解得或． ；．故的值为2． 真题感知 1．（2025•湖北）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是（　　） A．x1+x2＝﹣4 B．x1+x2＝3 C．x1x2＝4 D．x1x2＝3 D 解：根据一元二次方程根与系数的关系，x2﹣4x+3＝0， a＝1，b＝﹣4，c＝3， ∴x1+x24，x1•x23， 真题感知 2．（2025•绥化）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2025x+1＝0的两个根，则（m+1）（n+1）＝　　 ． 解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2025x+1＝0的两个根，由根于系数关系定理得： ∴m+n＝2025， mn＝1， ∴（m+1）（n+1） ＝mm+（m+n）+1 ＝1+2025+1 ＝2027， 2027 真题感知 3．（2025•眉山）已知方程x2﹣2x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，则（x1+1）（x2+1）的值为　　 ． 解：由题意，∵方程x2﹣2x﹣5＝0的两根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣5． ∴（x1+1）（x2+1） ＝x1x2+（x1+x2）+1 ＝﹣5+2+1＝﹣2． ﹣2 真题感知 4．（2025•广安）已知方程x2﹣5x﹣24＝0的两根分别为a和b，则代数式a2﹣4a+b的值为 　　 ． 解：∵方程x2﹣5x﹣24＝0中的两根分别为a、b， ∴a+b＝5，a2﹣5a﹣24＝0． ∴a2﹣5a＝24， ∴a2﹣4a+b＝a2﹣5a+a+b， ＝24+5， ＝29 29 真题感知 5．（2025•泸州）若一元二次方程2x2﹣6x﹣1＝0的两根为α，β，则2α2﹣3α+3β的值为　　 ． 解：将x＝α代入原方程得：2α2﹣6α﹣1＝0， ∴2α2﹣6α＝1． ∵一元二次方程2x2﹣6x﹣1＝0的两根为α，β， ∴α+β＝3， ∴2α2﹣3α+3β＝（2α2﹣6α）+3（α+β）＝1+3×3＝10． 10 真题感知 6．（2025•南充）设x1，x2是关于x的方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2的两根． （1）当x1＝﹣1时，求x2及m的值． （2）求证：（x1﹣1）（x2﹣1）≤0． （1）解： 把x1＝﹣1代入方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2， 得 m2＝6， ∴． ∴（x﹣1）（x﹣2）＝6， 即x2﹣3x﹣4＝0． ∴（x﹣4）（x+1）＝0． ∴x1＝﹣1，x2＝4． ∴． 真题感知 6．（2025•南充）设x1，x2是关于x的方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2的两根． （1）当x1＝﹣1时，求x2及m的值． （2）求证：（x1﹣1）（x2﹣1）≤0． （2）方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2可化为x2﹣3x+2﹣m2＝0． ∵Δ＝9﹣4（2﹣m2）＝4m2+1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． ∵方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2即x2﹣3x+2﹣m2＝0的两根为x1、x2， ∴x1+x2＝3，x1•x2＝2﹣m2． ∴（x1﹣1）（x2﹣1） = x1•x2－（ x1+x2 ）+1 ＝2﹣m2﹣3+1 ＝﹣m2． ∵m2≥0， ∴﹣m2≤0，即（x1﹣1）（x2﹣1）≤0． 知识与技能 （1）核心定理：对于， 当 时，方程两个实数根为 ， 则 ， ； （2）特殊形式：方程 ，则两根和为-p，两根积为q； （3）核心应用：不解方程求根系代数式的值、求方程参数、检验方程根的正确性. 课堂小结 思想方法 课堂小结 （1）特殊到一般：从具体方程猜想规律，再推导一般公式，是代数探究的核心方法； （2）整体代入：将复杂代数式变形为两根和、两根积的整体形式代入计算，简化运算； （3）转化思想：将陌生的代数式求值问题转化为熟悉的根系关系基础问题. 易 错 提 醒 课堂小结 （1）忽略前提条件：必须先判断 ，方程无实数根时，韦达定理不成立，严禁盲目套用公式； （2）符号错误：两根和公式是 ，容易遗漏负号，需重点关注一次项系数符号； （3）系数混淆：必须将方程化为一般形式后再找a、b、c，避免非一般形式下系数取值错误； （4）变形失误：代数式变形（完全平方、通分）时容易漏项、符号出错，变形后需及时检查. 课后练习 习题 25.2 教材p17页 7.求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： （1）x2–3x+2=10； （2）5x2+x–5=0； 解：（1）方程化为 x2–3x–8=0， ∴ x1+x2 = – (–3) = 3， x1x2 = – 8. （2）x1+x2 = – ， x1x2 = –1. （3）x2+x=5x+6； （4）7x2–5=x+8. （3）方程化为 x2–4x–6=0， ∴x1+x2 = – (–4) = 4， x1x2 = – 6. （4）方程化为 7x2–x–13=0， ∴x1+x2= ，x1x2 = – . 课后练习 习题 25.2 教材p18页 11.已知方程 2x2–6x+3=0 的两个根为 x1，x2，求下列式子的值： （1） + ； （2）x12+x22. 解：依题意有：x1+x2=3， x1x2= . （1） + = = 2 . （2） x12+x22 = (x1+x2)2–2x1x2=32 –2× = 6. 课后练习 习题 25.2 教材p18页 12. （1）因为 x3–8x2+19x–12=(x–1)(x–3)(x–4)，所以 1，3，4 是一元三次方程 x3–8x2+19x–12=0 的三个根，计算1+3+4，1×3+3×4+4×1，1×3×4 的值，它们与一元三次方程 x3–8x2+19x–12=0 的系数有什么关系？ 解：1+3+4=8，是该方程中二次项系数的绝对值； 1×3+3×4+4×1=19，是该方程中一次项系数的值； 1×3×4=12，是该方程中常数项的绝对值. （2）如果一元三次方程 ax3+bx2+cx+d=0 有三个实数根 x1，x2，x3，那么 ax3+bx2+cx+d 可以化为 a(x–x1)(x–x2)(x–x3).由此你能发现根 x1，x2，x3 与一元三次方程的系数之间的关系吗？ 解：∵ a(x–x1)(x–x2)(x–x3) =ax3–a(x1+x2+x3)x2+a(x1x2+x2x3+x1x3)x–ax1x2x3 =ax3+bx2+cx+d， ∴x1+x2+x3= – ， x1x2+x2x3+x1x3= ， x1x2x3= – . 课后练习 习题 25.2 教材p18页 谢谢聆听 $