第2章 一元二次方程（暑假单元自测）新九年级数学新教材北师大版

**基本信息** 北师大版初中数学一元二次方程单元卷，90分钟120分，覆盖选择、填空、解答题，含亚冬会吉祥物销售等真实情境题，适配暑假单元巩固，体现数学应用与思维发展。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|定义、解法、根的判别式|如第8题结合函数表判断根范围，发展几何直观| |填空|6/18|参数取值、配方变形|第16题新运算定义，培养创新意识| |解答|8/72|解方程、纠错、利润/增长率问题|24题亚冬会销售建模，体现模型意识与应用能力|

null 第2章 一元二次方程 单元自测卷 【新教材，北师大版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（本题3分）下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； B、未知数最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，将代入方程左边得：左边右边，是的根，符合题意； D、即，不是一元二次方程，不符合题意． 2．（本题3分）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．1，3 B．1， C．1， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，先将方程化为一元二次方程的一般形式，再根据一般形式的定义确定二次项系数和一次项系数由此求解即可． 【详解】解：将方程展开得：， ∴该方程的二次项系数为1，一次项系数为． 故选：C． 3．（本题3分）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将二次项系数化为1，再根据完全平方公式进行配方，计算后即可得到正确结果． 【详解】解：∵， ∴ ， ， ， 整理得． 4．（本题3分）一元二次方程的根的情况是(    ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，根的情况由判别式判断，当时方程有两个不相等的实数根，当时方程有两个相等的实数根，当时方程没有实数根，计算判别式的值即可判断根的情况． 【详解】解：∵对于一元二次方程，可得，， ∴． ∴该一元二次方程有两个相等的实数根． 5．（本题3分）若方程的两根分别为，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握韦达定理是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，可得出、的值，代入求值即可． 【详解】解：∵对于一元二次方程， 若方程两根为，， 则 ，， 本题方程为 ，可得 ，，， ∴ ，， ∴ . 6．（本题3分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根时，代入系数计算即可得到的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 计算得， 整理得， 解得， ∴的取值范围是． 7．（本题3分）下列方程中，是一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程需满足四个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断选项即可． 【详解】解：对于选项A：方程中是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，故A错误； 对于选项B：方程中未说明，当时，方程不是二次方程，故B错误； 对于选项C：整理，得，符合一元二次方程的定义，故C正确； 对于选项D：整理，得，未知数的最高次数为1，是一元一次方程，故D错误． 8．（本题3分）如表示代数式的部分值得情况．根据表中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程解的范围，理解题意是解决本题的关键． 通过观察代数式值的符号变化，利用函数连续性即可确定根所在区间． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴方程在和之间有一个正根， 即． 故选C． 9．（本题3分）如图1，点P从菱形的顶点A出发，沿着折线匀速运动，运动速度为1cm/s，图2是线段的长度y与时间x（s）之间的函数关系的图象（不妨设当点P与点A重合时，），则菱形的面积为（     ） A．12 B．6 C．5 D．2.5 【答案】B 【分析】根据图2得出，再利用菱形的性质求出另一条对角线的长度，从而求出菱形的面积． 【详解】解：连接，且相交于点O， 根据题意，结合图2可知，; ∵四边形是菱形， ， ， ， ． 10．（本题3分）如图，正方形绕点C逆时针旋转得到正方形，点B，A，D的对应点分别为G，F，E，连接．若，则边的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】连接，易得为等边三角形，再利用勾股定理求． 【详解】解：连接， 由旋转可知，， 为等边三角形， ， 在正方形中，， 则，解得． 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）若是关于x的一元二次方程，则k的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义得到未知数最高次数为2，二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，且， 解得：或，， ． 12．（本题3分）一元二次方程用配方法解可变形为______． 【答案】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先移项，再两边配上，写成完全平方公式即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ， ∴， 故答案为：． 13．（本题3分）已知一个关于的一元二次方程的两个根分别是和2，则这个关于的一元二次方程是__________． 【答案】（答案不唯一，合理即可） 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，即可构造出所求的一元二次方程． 【详解】设一元二次方程的两根为，， 根据根与系数的关系可得：，， 当二次项系数为时，一元二次方程的形式为， 即． 14．（本题3分）已知a是一元二次方程的一个根，则的值为_____________． 【答案】2 【分析】用a代替一元二次方程中的x，可得，把展开，化成，整体代入计算即可． 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 15．（本题3分）若关于的方程有实数根，则的值可以是__________（写出一个即可）． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式与根的关系是解题的关键，根据方程有实数根可得根的判别式大于等于0，求出的取值范围即可得到符合要求的的值． 【详解】解：因为关于的一元二次方程有实数根， 所以， 解得． 所以的值可以为0． 16．（本题3分）定义一种新运算：，若，则x的值为______． 【答案】 【分析】根据定义，列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得， ， ， ， 解得． 三、解答题（共72分） 17．（本题12分）解方程 (1)； (2)； (3)（配方法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法． （1）先移项，再提取公因式，因式分解即可求解； （2）将方程左边进行因式分解，化为，再解一元一次方程即可求解； （3）先移项得，再把方程两边都加上4得，左边配成完全平方式，然后利用直接开平方法求解． 【详解】（1）解：， ， ， ∴或， 解得：，； （2）解：， ， ∴或， 解得：，； （3）解：， ， ， ， ∴， ∴，． 18．（本题6分）小明在解方程时出现了错误，解答过程如下： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)小明解答过程开始出错的是_______； (2)写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)第三步 (2)见解析 【分析】（1）将方程化为一般形式，再根据公式法解一元二次方程的步骤进行判断即可； （2）运用公式法求解即可． 【详解】（1）解：小明的解答是从第三步开始出错的； （2）解：方程化为一般式为， ， ， ， ． 19．（本题6分）若关于x的方程有一根为，求方程的另一根及c值． 【答案】方程的另一根为3； 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 设方程的另一根为，根据即得，把代入已知方程得到关于c的一元一次方程，通过解该方程求得c的值即可． 【详解】解：设方程的另一根为， ∵关于x的方程有一根为， ∴， ∴， ∴方程的另一根为3； 将代入方程得， 解得． 20．（本题8分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的两个根为，且满足，求的值． 【答案】(1)且 (2)的值是1 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系和一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）根据判别式可得根据一元二次方程的定义可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系可得，则可得到方程解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：原方程有两个不相等的实数根， 整理得， ， ， 且； （2）解：由题意得，， ， 经检验，是方程的解，且符合题意， 故的值是1． 21．（本题9分）某商家推出一款玩具，成本为40元/个．当售价定为70元/个时，平均每天可售出60个．该商家决定采取降价措施以提升销量，试销一段时间后发现，该款玩具的单价每降2元，平均每天可多售出10个． (1)商家为了尽快减少库存，且希望平均每天盈利2160元．求每个玩具应降价多少元； (2)该商家平均每天能否获利2300元？请说明理由． 【答案】(1)每个玩具应降价12元 (2)商家平均每天不能获利2300元，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系建立方程求解． （1）设每个玩具应降价元，则降价后每个玩具的利润为元，销售量为个，再由利润等于每个玩具的利润乘以销售量建立方程求解，然后根据“为了尽快减少库存”进行舍解即可； （2）设每个玩具应降价元，则降价后每个玩具的利润为元，销售量为个，同上建立方程，再根据根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：设每个玩具应降价元，则降价后每个玩具的利润为元，销售量为个， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 因为要尽快减少库存， 所以销量应尽可能大，即， 答：每个玩具应降价12元； （2）解：该商家平均每天不能获利2300元，理由如下： 设每个玩具应降价元，则降价后每个玩具的利润为元， 销售量为个，由题意得：， 整理得：， ， 原方程无实数根， 该商家平均每天不能获利2300元． 22．（本题8分）课堂上老师设计了一种运算：．例如，． (1)已知x为非零实数，计算：； (2)将任意x的值代入进行运算，发现运算结果总是不超过12，请验证这个结论． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，同底数幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，合并同类项，以及配方法的应用． （1）根据新定义运算代入计算即可． （2）根据新定义运算可得，再进一步结合配方法证明即可 【详解】（1）解：； （2）证明： ， ∵， ∴， ∴， 即无论x为何值，运算结果都不超过12． 23．（本题9分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的两根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，韦达定理，代数式化简与方程求解，掌握韦达定理是解题关键． （1）根据一元二次方程有两个不相等实数根的条件，利用判别式求出的取值范围； （2）利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，代入已知等式得到关于的方程，再结合（1）的结果对解进行取舍． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，即，解得． 答：． （2）解：，是该方程的两个根， ，， ，即， ，整理得， 解得，， ， ． 答：． 24．（本题14分）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年11月份的销售量为256件，若2024年12月份和2025年1月份每月的销售量以相同的增长率增长，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了x元，请完成下列问题： (1)降价x元后的月销售量为 _________件；(用含x的式子表示) (2)试求2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率． (3)当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】(1)； (2)2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率为； (3)当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元． 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）该款吉祥物每降价元，月销售量就会增加件，设降价降了x元，则降价x元后的月销售量为件； （2）设每月销售量的增长率为m，根据“11月份的销售量为256件，2025年1月份的销售量为400件”列方程解答即可； （3）设降价降了x元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据月销售利润为元列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：降价x元后的月销售量为件． 故答案为：； （2）解：设2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率为m，根据题意，得 ， 解之，得，（不合题意，舍去） 答：2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率为． （3）解：根据题意得：， 解得：，． 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $