重难突破2 动态平衡 平衡中的临界与极值问题-【优学精研】2027年高考物理一轮总复习学用Word（提升版）

该高中物理学案聚焦动态平衡与平衡中的临界极值高考重难专题，按“动态平衡问题解析—临界极值问题突破”架构知识体系，整合解析法、图解法等核心方法，通过改编题和递进式问题设计，引导学生自主梳理三力平衡动态分析流程，构建系统解题框架。 亮点在于以科学思维培养为核心的自主学习支持，如设置“尝试解答”自测诊断环节，配套矢量三角形法、辅助圆法等方法指导任务单，结合江西、山东等地模拟真题演练。学生可通过错题归因自主提升，教师能依据学情数据实施精准教学，有效培养科学推理与模型建构能力，助力高效备考。

重难突破2　动态平衡　平衡中的临界与极值问题 1.学会运用解析法、图解法等分析处理动态平衡问题。 2.会分析平衡中的临界与极值问题，并会相关计算。 突破点一　动态平衡问题 　　 　〔人教版必修第一册P81·T5改编〕如图，用轻质柔软的细线将一质量为m的小球悬挂于天花板上的O点，在外力F、重力G和细线拉力FT的作用下处于平衡状态。初始时F水平，细线与竖直方向夹角为θ，与F的夹角为α。 （1）保持F水平，缓慢增大θ角，分析外力F和细线拉力FT如何变化？ （2）保持小球位置及θ角不变，逆时针缓慢转动外力F直至竖直状态，分析外力F如何变化？ （3）保持α角不变，缓慢增大θ角，直至细线水平，分析外力F如何变化？ 三力动态平衡问题的分析方法 1.解决动态平衡问题的方法 矢量三角形法： 一个力（F1）恒定，另一个力（F2）方向不变，第三个力（F3）大小、方向均变化。F3方向的变化引起F2、F3大小变化 若F1与F2不垂直，F3⊥F2时，F3有最小值，F3min＝F1sin θ 相似三角形法： 一力恒定，另两力方向均变化，力的矢量三角形与边长已知的三角形相似，对应边成比例关系 ＝＝ 辅助圆法（或正弦定理法）： 一力恒定，另外两力方向均变化，但两力夹角保持不变，可做出动态图，其中恒力为圆的一条弦，其他两力大小随位置变化 正弦定理＝＝ 2.分析动态平衡问题的流程 〔多选〕（2025·江西九江三模）图甲是工人在高层安装空调时吊运室外机的场景，简化图如图乙所示。一名工人在高处控制绳子P，另一名工人站在水平地面上拉住另一根绳子Q。在吊运的过程中，地面上的工人在缓慢后退时缓慢放绳，空调外机M缓慢竖直上升，绳子Q与竖直方向的夹角β保持不变，绳子质量忽略不计，则（　　） A.绳子P上的拉力不断变大 B.绳子Q上的拉力先变小后变大 C.地面工人所受的支持力不断变小 D.地面工人所受的摩擦力先变大后变小 尝试解答 （2025·山东聊城二模）如图甲所示，警用钢叉是一种常用的防暴器械，其前端为半圆形的叉头，后端为握柄。如图乙所示，现将钢叉竖直放置，半圆环的圆心为O，小球a套在半圆环上，小球b套在竖直杆上，两者之间用一轻弹簧连接。初始时小球b在外力作用下静止在竖直杆上，此时小球a静止在离半圆环最低点较近处。现使小球b缓慢上移少许，两小球均可视为质点，不计一切摩擦，在移动过程中弹簧始终在弹性限度内，则半圆环对小球a的弹力（　　） A.一直增大 B.一直减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大 尝试解答 （2026·重庆沙坪坝期中）某中学为增强学生体魄，组织学生进行多种体育锻炼。在某次锻炼过程中，一学生将铅球置于两手之间，其中两手之间夹角为60°。保持两手之间夹角不变，将右手由图示位置缓慢旋转60°至水平位置。不计一切摩擦，则在转动过程中，下列说法正确的是（　　） A.右手对铅球的弹力增加 B.右手对铅球的弹力先增加后减小 C.左手对铅球的弹力增加 D.左手对铅球的弹力先增加后减小 尝试解答 突破点二　平衡中的临界、极值问题 　　 1.临界、极值问题特征 （1）临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。 常见的临界状态有： ①由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 ②绳子恰好绷紧，拉力F＝0。 ③刚好离开接触面，支持力FN＝0。 （2）极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值。 2.解决临界和极值问题的三种方法 物理 分析法 根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值 数学 分析法 通过对问题的分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系（画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值） 极限法 正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理量推向极大或极小 （2026·江西景德镇期中）单手抓球的难易程度和手的大小、手指与球间的动摩擦因数有关。将其简化成如图乙所示，手指与球心在同一竖直面内，手指接触点1、2的连线水平且相距为L，截面半径为R＝3 cm，两接触点与圆心的连线与水平方向的夹角均为θ，手指和球间的动摩擦因数为μ＝0.75，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，能保持球始终静止，则L不能小于（　　） A.3.6 cm　 B.4 cm 　C.4.8 cm　 D.5.4 cm 尝试解答 （2026·四川泸州期中）如图所示，质量M＝2 kg的木块A套在水平杆上，并用轻绳将木块与质量m＝ kg的小球B相连。今用与水平方向成α＝30°角的力F＝10 N，拉着小球带动木块一起向右匀速运动，运动中A、B相对位置保持不变，g取10 m/s2求： （1）木块与水平杆间的弹力； （2）运动过程中轻绳与水平方向的夹角θ； （3）当α的正切函数值为多大时，使小球和木块一起向右匀速运动的拉力最小？ 尝试解答 全反力和摩擦角巧解四力平衡 1.全反力：接触面对物体的摩擦力Ff与支持力FN的合力，用FR表示。 2.摩擦角：全反力与支持力的最大夹角称为摩擦角，用φ表示。如果近似认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则有tan φ＝＝μ。根据静摩擦力Ff≤μFN，可以确定FR的范围。 　适用情境：物体受四个力平衡，其中一个力为弹力，一个力为滑动摩擦力，将支持力与摩擦力合成为全反力，化四为三。本方法常常应用到求解除弹力、摩擦力和重力外的第四个力的大小、方向，有时也会应用到对动摩擦因数的求解。 （2026·河北邯郸模拟预测）我国明代综合性科技巨著《天工开物》“五金”篇中提到为了将矿石从矿坑中运出，工人们会搭建简易的斜面通道，这是古代劳动人民智慧的结晶。如图所示，若斜面的倾角为15°，方形矿石与斜面间的动摩擦因数为，重力加速度为g。现用轻绳拉着质量为m的矿石沿斜面匀速上滑，所需的拉力最小值为（　　） A.mg B.mg C.mg D.mg 提示：完成课后作业　第二章　重难突破2 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难突破2　动态平衡　平衡中的临界与极值问题 突破点一 　提示：（1）保持F水平，由平衡条件得FT＝，F＝Gtan θ，缓慢增大θ角，则cos θ逐渐减小，tan θ逐渐增大，则FT、F都逐渐增大。 （2）对小球受力分析，小球受重力G、外力F和细线拉力FT作用，作出矢量图，如图甲所示 保持小球位置及θ角不变，逆时针缓慢转动外力F直至 竖直状态，由图甲可知，外力F先减小后增大。 （3）保持α角不变，增大θ角，直至细线水平，细线和F的方向都逆时针转动，如图乙所示，由图乙可知，细线的拉力FT水平时，外力F最大，则外力F逐渐增大。 【例1】　AC　对空调外机进行受力分析如图甲所示，空调外机分别受到绳P、Q的拉力F1、F2和自身的重力mg的作用而平衡， 将这三个力构成矢量三角形如图乙所示，由图乙可知，地面上的工人在缓慢后退并缓慢放绳的过程中，β不变，α逐渐增大，F1、F2均增大，故A正确，B错误； 对地面上工人进行受力分析如图丙所示，该工人受到重力G、地面的支持力FN、绳Q的拉力F2'以及地面的摩擦力Ff四个力的作用处于平衡状态，竖直方向，根据平衡条件得FN＋F2'cos β＝G，水平方向，根据平衡条件得Ff＝F2'sin β，其中β不变，绳子Q的拉力F2'增大，所以该工人受到的支持力FN减小，摩擦力Ff增大，故C正确，D错误。 【例2】　A　 对a球受力分析，如图所示，由几何关系可知，力的矢量三角形与△aOb相似，则有＝，在小球b缓慢上移过程中，Ob逐渐减小，Oa保持不变，则半圆环对小球a的弹力一直增大。故选A。 【例3】　B　方法一（辅助圆法）：以铅球为研究对象，其受重力G、右手对铅球的弹力F1和左手对铅球的弹力F2，受力分析如图甲所示，缓慢旋转过程中铅球处于平衡状态，作出辅助圆，在右手由图示位置沿顺时针方向缓慢旋转60°至水平位置过程中，力的三角形变化如图甲所示，则F1先增大后减小，F2一直减小，故B正确。 方法二（正弦定理法）：以铅球为研究对象，受力分析如图乙所示，缓慢旋转过程中铅球处于平衡状态，将三力平移后构成一首尾相连的三角形，两手之间夹角保持60°不变，右手由图示位置缓慢旋转的角度设为θ，根据正弦定理有＝＝，右手由图示位置沿顺时针方向缓慢旋转60°至水平位置过程中，θ由0°变为60°，sin（60°＋θ）先变大再变小，则F1先增大后减小，sin（60°－θ）一直变小，则F2一直减小，故B正确。 突破点二 【例4】　C　 对球两接触点受力分析如图所示，设球质量为m，球保持静止，则有Nsin θ＋mg＜μNcos θ，即Nsin θ＜μNcos θ，可得μ＞tan θ，由图可知cos θ＝，联立可得μ＞，解得L＞4.8 cm，故选C。 【例5】　（1）25 N　（2）30°　（3） 解析：（1）对A、B组成的整体进行分析，根据平衡条件 FN＋Fsin 30°＝（M＋m）g 解得FN＝25 N。 （2）对B进行受力分析 设轻绳对B的拉力为T，由平衡条件可得 Fcos 30°＝Tcos θ Fsin 30°＋Tsin θ＝mg 解得T＝10 N， tan θ＝ 即θ＝30°。 （3）方法一（三角函数法）：对A进行受力分析，由平衡条件有T'sin θ＋Mg＝FN，T'cos θ＝μFN 又T'＝T 解得μ＝ 对A、B组成的整体进行受力分析，由平衡条件有 Fsin α＋FN＝（M＋m）g Fcos α＝μFN 解得F＝ 令sin β＝，cos β＝，即tan β＝ 则F＝＝ 显然，当α＋β＝90°时，F有最小值，则 tan α＝μ＝。 方法二（“摩擦角”法）：对A、B组成的整体，受力分析如图所示 设FN与Ff的合力与FN方向的夹角为θ，则tan θ＝＝μ， 再设FN与Ff的合力为F'。 如图所示，当拉力F与F'垂直时有最小值，即tan α＝tan θ＝μ＝。 强化训练 　A　 对矿石受力分析如图，将FN与Ff合成，设其合力方向与FN成α夹角，易知tan α＝＝，得α＝30°，分别作出FN、FN与Ff合力的反向延长线，可知重力与FN的反向延长线夹角与斜面倾角相等，即β＝15°，由几何关系得，过重力的下端点作FN与Ff合力反向延长线的垂线，即为所需的拉力最小值，Tmin＝mgsin（α＋β），得Tmin＝mg。故选A。 学科网（北京）股份有限公司 $