题型一 规律探索&题型二 选填压轴题&题型三 阅读理解与新定义题-【真题分类卷】备战2026中考数学专题分类卷

20.解：(1)10010 补全条形统计图如图所示 人数 40 30 20 8 10 -105 篮球乒乓球舞蹈象棋手工与演讲与活动项目 剪纸口才 (2)150[提示]600× 25 =150(人)， 100 .估计有150人喜欢乒乓球运动. (3)列表如下： 甲 2 丙 丁 甲 (甲，乙)（甲，丙）（甲，丁） 乙（乙，甲） (乙，丙)（乙，丁） 丙（丙，甲）（丙，乙） (丙，丁) 丁（丁，甲）（丁，乙）（丁，丙） .共有12种等可能的结果，其中同时选中甲、乙两人的结 果有（甲，乙），（乙，甲），共2种， 、同时选中甲、乙两人的概率为26 21 第二部分 重难题型突破练 题型一规律探索 1.A2.D3101043=1+12 11 .11=444kk(k+1)k+1 2 2 5.解：(1)17=2×9-1，.192-172=8×9=72. (2)根据题意，得结论为(2n+1)2-(2n-1)2=8n. (3)(2n+1)2-(2n-1)2 =[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)] =(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1) =4n×2 =8n, .(2n+1)2-(2n-1)2=8n正确， 6.35或2437.31 &.解：(1)36120n(n+1) 2 [提示]由题知， 三角点阵中前1行的点数之和为1： 三角点阵中前2行的点数之和为1+2： 三角点阵中前3行的点数之和为1+2+3； 三角点阵中前4行的点数之和为1+2+3+4； ·三角点阵中前n行的点数之和为1+2+3++n=n(n+1) 2 当n=8时，n(n+1)-36, 2 即三角点阵中前8行的点数之和为36. 当n=15时，n(+1)=120, 2 即三角点阵中前15行的点数之和为120. (2)不能[提示]令m(nm+1)=500,得n(n+1)=1000. 2 3 解得n=-l±V400I 2 .:n为正整数， .三角点阵中前n行的点数之和不能为500. (3)由题知，前n排盆景的总数可表示为n(n+l). 令n(n+1)=420,解得n1=-21,n2=20. n为正整数，∴.n=20,即一共能摆放20排. 9.A10.D11.(1,3) 题型二选填压轴题 1.A2.C3.0.84.85.(1)B(2)1576.D7.D 8.49.23 5 10.√1311.6或8或9 12.解：(1)2[提示]由勾股定理，得PA=√2+1下=√2. (2)如图所示，点M,N即为所求 苏、 H \F M 作法：直线PA与射线BC的交点为M;如图，取圆与网格线 的交点D和E,连接DE:取格点F,连接AF,与DE相交于 点O:连接BO并延长，与AC相交于点G,与直线PA相交 于点H;连接CH并延长，与BA的延长线相交于点Q,与网 格线相交于点L,连接A,与网格线相交于点J;连接G,与 线段BA的延长线相交于点N,则点M,N即为所求 [提示]连接C0,如图.∠DAE=90°， .DE为⊙O的直径. ·AF为正方形的对角线，.∠DAF=∠EAF=45°， AF垂直平分线段DE, .点0为圆的圆心，0A=0C 又.AB=BC,OB=OB,∴.△AOB≌△COB(SSS), LAB0=∠CB0,.BG平分LABC, .点G为线段AC的中点 由网格可知点J为线段AI的中点， .GJ为△ACI的中位线 GJ∥Cl,点N为线段AQ的中点，∴.AQ=2AN. ,AB=BC,BH=BH,∠ABH=∠CBH, .△ABH≌△CBH(SAS), .AH=CH,∠BAH=∠BCH,∴.∠QAH=∠MCH. 又∠AHQ=∠CHM,∴.△AHQ≌△CHM(ASA), ∴AQ=CM,即CM=2AN. 延长BH交QM于点T,如图 D D AB=BC,AO=CM,.'.BO=BM .'∠QBH=∠MBH,∴.BT⊥QM,∴.∠OBA+∠AQM=90°. AM为圆的切线，.∠OAH=90°， .∠OAB+∠QAM=90°. .OA=OB,.∴.∠OBA=∠OAB,∴.∠QAM+∠OBA=90°， ∴∠QAM=∠AQM,.△AMQ为等腰三角形， .MW⊥AQ,.点M,N即为所求. 题型三阅读理解与新定义题 1.(5-0m2.或，3.19193782 41 4.解：(1)P1(-1,0)[提示]如图1，当A,N P 重合时，P,(-1,0)关于ON的对称点为 (0,-1),在线段AB上 0 ∴.P1(-1,0)是图W1的“映射点” B 在线段AB上找不到一点N,使P2(1,2)关于 ON的对称点在线段AB上， 图1 ∴P2(1,2)不是图W的“映射点” (2)依题意，正方形的顶点到0的距离为√+1产=√2， 当1：y=x+b上存在点P是图W2的“映射点”，则点0到 y=x+b的距离为2， 当y=x+b经过点D时，b的值最大 将D(-1,1)代入y=x+b得，1=-1+b,解得b=2, .b的最大值为2. (3)t的取值范围为-2≤t≤2 [提示]如图2,0N,0P'分别为⊙T的 切线. P为图W3的“映射点”， ∴.∠P'ON=∠PON. 又.∠P'ON=2∠TON, ∠TOW=90°-∠PON, ∴.设∠P0W=a,则∠T0N=90°-a, 图2 ∴.∠P'ON=∠P0N=2∠T0N=180°-2a, .∴.180°-2=，解得=60°， ∴.∠P0N=60°，∠T0N=30. .TN=1,∴.0T=2 当t减小时，P关于图W的“映射点”在图W,即⊙T的内 部，符合题意， ∴.t≤2； 当t<0时，根据对称性可得t≥-2， 综上所述，-2≤t≤2. 5.解：(1)①A360[提示]根据定义，可得当A在⊙0上时， 不存在都有∠PAQ≤∠MAN,即A不是⊙O的关联点： 当A在⊙0内部时，A是⊙0的关联点，过A的直径MW使 得⊙0的关联角度为180°； 当A在⊙O的外部时，A是⊙O的关联点，且AM,AN为⊙O 的切线时，∠MAN最大.如图1，A3是⊙0的关联点且其与 ⊙0的关联角度小于90°，41是⊙0的关联点且其与⊙0的 关联角度为180°，A2是⊙0的关联点且其与⊙0的关联角 度大于90° A3(2,0),⊙0的半径为1，NA3,MA 是⊙0的切线， .0M=1,0A3=2,∠0MA3=90°， 0M1 ∴sinMA30= 0A32, .∴.∠MA,0=30°，∴∠MA,N=60°， 即A3与⊙0的关联角度为60°. 图1 ②3[提示]根据定义，可得B,D均为⊙0外一点. .BD<1,⊙0的半径为1，.B0≥2 如图2，取点G(1,0),则∠0GB=90°， m=BG=√0B2-0G≥√2-1=3， B ∴m的最小值为3. D (2:的取值范周为3 ≤t<3或t>5 1A3 或t≤-1-√1i[提示]由(1)，可得 当A在⊙T内部时，A与⊙T的关联角 图2 度为180°；当A在⊙T的外部，且AM,AW为圆的切线时， 3 ∠MAN最大，且A距离圆心越近，∠MAN越大 当a=∠MAN=90°时. ∠TMA=∠TNA=90°，如图3， .四边形TMAN是矩形. TM=TN. .四边形TMAN是正方形， ∴.TA=√2TM=√2r, .当90°≤a<180°时，r<TA≤√2x 图3 点E(1,3),F(4,3),T(t,0),⊙T经过原点，线段EF上所 有的点都是⊙T的关联点，则r=It, .EF上距离T最近的点在tTA≤2t的圆环内. ①当EF和以T为圆心，半径为2t的 y↑EA 圆相切时，如图4， 3√2 .∴.TA=3=√2t,解得t= 2 ②当EF和以T为圆心，半径为t的圆 相切时，如图5， 图4 “t=3(不包含临界值)， ·当32≤1<3时，90≤a<180. 0 图5 图6 ③当E在半径为2t的圆上时，如图6， 设⊙T的半径为r,则t=-T, .32+(r+1)2=(2r)2, 解得r=1+√1I(不合题意的值已舍去)， ∴t≤-1-√1T时，此时90°≤a<180° ④当E在半径为t的圆上时，如图7， (A- .2=(t-1)2+32, 解得t=5(不包含临界值)， .t>5时，E,F都在⊙T内部，此时 a=180°. 综上所述，当90≤a≤180时，3)2与 图7 L≤t< 3或>5或t≤-1-√/I. 6解：(1)设√67=9-t,其中0<t<1, 所以(67)2=(9-t)2,所以67=81-18t+t2. 因为2比较小，将2忽略不计， 所以67≈81-186，所以1≈81-67_7 189 所以，67*9号-82 (2)用①的形式得出的√7的近似值的精确度更高.理由 如下： 因为8.18×8.18=66.9124,8.19×8.19=67.0761， √66.9124<√67<√67.0761， 所以8.18<67<8.19<8.22， 所以用①的形式得出的√7的近似值的精确度更高.第二部分 重难题型突破练 题型一规律探索 类型一 数与式变化规律 1.(2025·云南)按一定规律排列的代数式：a,3a,5a,7a,9a,…, 第n个代数式是 () A.(2n-1)aB.(2n+1)aC.(n+1)a D.2025a 2.新课标·数学文化（2024·扬州)1202年数学家斐波那契在《计 算之书》中记载了一列数：1,1,2,3,5，…，这一列数满足：从第三 个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和.则在这一列数的 前2024个数中，奇数的个数为 ( A.676 B.674 C.1348 D.1350 3.（2024·德州)观察下列等式： 1 S2=/1+1+1+/1+1 1 ，.1.1 S1=/1+1+ A 4N49 11 11 S3=1+1+ -+1+ 49 +/1+ 916 … 则S1。的值为 4.新素材·埃及分数(2025·成都)分子为1的真分数叫做“单位 分数”，也叫“埃及分数”.古埃及人在分数计算时总是将一个分 数诉分成几个单位分数之和，如}将拆分成两个单位 分数相加的形式为 ;一般地，对于任意奇数(k>2),将 拆分成两个不同单位分数相加的形式为 5.（2023·浙江)观察下面的等式：32-12=8×1,52-32=8×2,72-52= 8×3,92-72=8×4,… (1)写出192-172的结果 (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示， n为正整数)： (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的 66 类型二 图形变化规律 6.新素材·谢尔宾斯基地毯图案(2025·青海)如图是谢尔宾斯基 地毯图案的形成过程.按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形 的个数是 AA ② ③ ④ 7.（2025·武威)勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示 了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美.如 图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个 图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角 形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两 个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形…则第5个图形 中共有 个正方形 勾股树 第1个图形第2个图形第3个图形 8.（2024·凉山州)阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有 1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点，…，容易发现，三角 点阵中前4行的点数之和为10， (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为 ,前15行的 点数之和为 ,那么，前n行的点数之和为 (2)体验：三角点阵中前n行的点数之和 （填“能”或“不 能”)为500. (3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用 420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排 6盆…第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ ●●●● ●●●●●●● 类型三坐标变化规律 9.新考法·定义新函数(2025·内江)对于正整数x,规定函数 3x+1(x为奇数)， f(x)=了 在平面直角坐标系中，将点(m,n)中的 2(x为偶数). m,n分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标 (其中m,n均为正整数).例如，点(8,5)经过第1次运算得到点 (4,16),经过第2次运算得到点(2,8)，经过第3次运算得到点 (1,4),经过有限次运算后，必进入循环圈.按上述规定，将点(2， 1)经过第2025次运算后得到点是 () A.(2,1) B.(4,2) C.(1,2) D.(1,4) 10.(2024·武汉)如图，小好同学用计算机软件绘制函数y=x3- 3x2+3x-1的图象，发现它关于点(1,0)中心对称.若点A,(0.1, y1),A2(0.2,y2),A3(0.3,y3),…,A19(1.9,y19),A20(2,y20)都在 函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则 y1+y2+y3+…+y19+y20的值是 () A.-1 B.-0.729 C.0 D.1 A OBA1(A2)M元 第10题图 第11题图 11.(2024·龙东)如图，在平面直角坐标系中，正方形OMWP顶点 M的坐标为(3,0)，△OAB是等边三角形，点B坐标是(1,0)， △OAB在正方形OMNP内部紧靠正方形OMWP的边（方向为 O→M→N→P→O→M(→…)做无滑动滚动，第一次滚动后，点 A的对应点记为A1,A1的坐标是(2,0)；第二次滚动后，A1的对 应点记为A2,A2的坐标是(2,0)；第三次滚动后，A2的对应点记 为A,A3的坐标是 百》：如t术去…则m的坐标 是 题型二选填压轴题 类型一代数综合选填压轴题 1.(2025·河北)在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称 为整点.如图，正方形EFGH与正方形OABC的顶点均为整点.若 只将正方形EFGH平移，使其内部（不含边界）有且只有A,B,C 三个整点，则平移后点E的对应点坐标为 () B. 823 5’10 c(2 y 0.9 B 8 2 2 02560km/h) 第1题图 第2题图 2.(2025·河南)汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素， 在一定条件下，它会随车速的变化而变化.研究发现，某款轮胎的 摩擦系数与车速v(km/h)之间的函数关系如图所示.下列说法 中错误的是 A.汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9 B.当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C.要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于60km/h D.若车速从25km/h增大到60km/h,则这款轮胎的摩擦系数减 小0.04 3.（2025·福建)弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力 来测量物体质量的.胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力 F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即F=x, 其中k为常数，是弹簧的劲度系数：质量为m的物体重力为 mg,其中g为常数.如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹 簧的长度为6厘米.在其弹性限度内：当所挂物体的质量为 0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米 时，所挂物体的质量为 千克 4.新课标·数学文化(2025·浙江)【文化欣赏】我国南宋时期数学 家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘 方(a+b)”展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展 开式： (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4. ⊙ o tooo 亲oee⊙ 莱日四因四⊙ 果O国①⊕国O 桑⊙因用园用因⊙ 【应用体验】已知(x+2)4=x4+mx3+24x2+32x+16,则m的值 为 5.新课标·代数推理(2025·北京)某企业研发并生产了一种新设 备，计划分配给A,B,C,D四家经销商销售.当一家经销商将分配 到的台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位： 万元)与n的对应关系如下： n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 A 40 60 B 30 55 75 90 100 105 20 40 60 70 80 90 D 14 38 62 86 110 134 (1)如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销 商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利 润最大，应向经销商 分配2台设备.（填“A”“B”“C”或 “D”)》 (2)如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销 售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为 万元 类型二几何综合选填压轴题 6.（2025·兰州)如图，在正方形ABCD中，AB=2cm,对角线AC,BD 相交于点O,动点P从点O出发沿O→A→B方向以√2cm/s的速 度运动，同时点Q从点C出发沿C→D方向以1cm/s的速度运 动.当点Q到达点D时，P,Q同时停止运动.若运动时间为x(s), △CPQ的面积为y(cm),则点P分别在OA,AB上运动时，y与x 的函数关系分别是 () A.均为一次函数 B.一次函数，二次函数 C.均为二次函数 D.二次函数，一次函数 B B 第6题图 第7题图 第8题图 7.(2025·自贡)如图，正方形ABCD边长为6，以对角线BD为斜边 作Rt△BED,∠E=90°，点F在DE上，连接BF.若2BE=3DF,则 BF的最小值为 () A.6 B.6V2-√5 C.35 D.45-22 8.（2025·泸州)如图，梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD=10,⊙0与 梯形ABCD的各边都相切，且⊙O的面积为16π，则点B到CD的 距离为 9.（2025·贵州)如图，在矩形ABCD中，点E,F,M分别在AB,DC, AD边上，BE=2CF,FM分别交对角线BD、线段DE于点G,H,且 H是DE的中点.若CF=2,∠ABD=30°，则HG的长为 H 第9题图 第10题图 第12题图 10.(2025·连云港)如图，在菱形ABCD中，AC=4,BD=2,E为线段 AC上的动点，四边形DAEF为平行四边形，则BE+BF的最小值 为 11.(2025·绥化)在边长为7的等边三角形ABC中，点D在AB上， BD=2.点M是直线BC上的一个动点，连接MD,以MD为边在 MD的左侧作等边三角形MND,连接BN.当△BND为直角三角 形时，则CM的长是 12.（2025·天津)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点 P,A均在格点上 (1)线段PA的长为 (2)直线PA与△ABC的外接圆相切于点A,AB=BC.点M在射 线BC上，点N在线段BA的延长线上，满足CM=2AN,且MN与 射线BA垂直.请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 M,V,并简要说明点M,N的位置是如何找到的（不要求证明） 题型三 阅读理解与新定义题 类型一 新定义、新运算题 1.新定义·“黄金矩形”“黄金螺线”(2025·兰州)》 B 如图，黄金矩形ABCD中，AD2,以宽AB AB 5-1 为边在其内部作正方形ABFE,得到四边形 CDEF是黄金矩形.依此作法，四边形DEGH,四边形KEGL也是 黄金矩形.依次以点E,G,L为圆心作AF,FH,承，曲线AFHK叫 做“黄金螺线”.若AD=2,则“黄金螺线”AFHK的长为 (结果用π表示) 2.新定义·“反直角三角形”(2025·河南)定 义：有两个内角的差为90°的三角形叫做“反直 角三角形”.如图，在△ABC中，AB=AC=5,B BC=8,点P为边BC上一点，若△APC为“反直角三角形”，则BP 的长为 3.新定义·“十全数”(2025·重庆)我们规定：一个四位数M= abcd,若满足a+b=c+d=10,则称这个四位数为“十全数”.例如： 四位数1928，因为1+9=2+8=10，所以1928是“十全数”.按照 这个规定，最小的“十全数”是 ;一个“十全数”M=abcd, 将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位 909,C(M)=M+iM 置，得到-个新的数M'=dba,记F(M0）=M-M' 11 若4F(M)+C(M)+15与b+4均是整数，则满足条件的M的值是 13 17 4.(2025·兰州)在平面直角坐标系x0y中，对于图W上或内部有 一点N(不与原点O重合)，及平面内一点P,给出如下定义：若点 P关于直线ON的对称点P'在图W上或内部，则称点P是图W 的“映射点” (1)如图1，已知图W1:线段AB,A(-1,-1),B(1,-1).在P(-1, 0),P2(1,2)中 是图W的“映射点”. (2)如图2，已知图W2:正方形ABCD,A(-1,-1),B(1,-1),C(1, 1),D(1,1)若直线l:y=x+b上存在点P是图W2的“映射点”， 求b的最大值 (3)如图3，已知图W3:⊙T,圆心为T(0,t),半径为1.若x轴上存 在点P是图W,的“映射点”，请直接写出t的取值范围. ·P B 图1 图2 图3 5.（2025·北京)在平面直角坐标系x0y中，对于点A和⊙C给出如 下定义：若⊙C上存在两个不同的点M,N,对于⊙C上任意满足 AP=AQ的两个不同的点P,Q,都有∠PAQ≤∠MAN,则称点A是 ⊙C的关联点，称∠MAN的大小为点A与⊙C的关联角度.（本定 义中的角均指锐角、直角、钝角或平角) (1)如图，⊙0的半径为1. ①在点A2,0,4信0,4(2,0)中，点 是⊙0的关 联点且其与⊙0的关联角度小于90°，该点与⊙0的关联角度为 ②点B(1,m)在第一象限，若对于任意长度小于1的线段BD,BD 上所有的点都是⊙0的关联点，则m的最小值为 (2)已知点E(1,3),F(4,3),T(t,0),⊙T经过原点，线段EF上 所有的点都是⊙T的关联点，记这些点与⊙T的关联角度的最大 值为a.若90°≤α≤180°，直接写出t的取值范围. 类型二 阅读理解题 6.新课标·阅读理解与迁移（2025·浙江) 【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方 公式：(a±b)2=a2±2ab+b2近似计算 因为√6⑦=8+s, 算术平方根的方法 所以67=(8+s)2, 即67=64+16s+s2, 例如求√67的近似值. 因为s2比较小， 将s忽略不计， 因为64<67<81， 所以67≈64+16s, 即16s67-64, 所以8<√67<9， 得67-643 16 则√67可以设成以下两种形式： 6 故67≈8+3≈8.19 16 ①√67=8+s,其中0<s<1; ②67=9-t,其中0<t<1. 小明以①的形式求√67的近似值的过程如图. 【尝试探究】 (1)请用②的形式求√67的近似值（结果保留2位小数）. 【比较分析】 (2)你认为用哪一种形式得出的√67的近似值的精确度更高，请 说明理由.