第17卷 函数的应用（教师讲解卷）-2027年湖北省技能高考《数学考点双析卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 以讲练结合为核心，聚焦函数应用的实际情境问题，通过图像识别、模型构建与最值求解，系统培养数学建模与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数应用|14题（含6单选+2多选+4填空+2解答）|图像识别（如龟兔赛跑路程时间图）、实际函数模型（一次/分段/二次函数）、数学建模（成本利润/阶梯水价）|从函数图像与单调性概念，到一次、二次、分段函数模型构建，再到生活与经济问题的应用，形成“概念-模型-应用”逻辑链条，培养用数学语言表达现实世界的能力。|

编写说明：2027年湖北省技能高考《数学考点双析卷》，严格依据最新的《湖北省技能高考文化综合考试大纲》，在参考历年职教高考数学真题的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 湖北省技能高考《数学考点双析卷》 第17卷 函数应用 教师讲解卷 1、 单项选择题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 1．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：兔子与乌龟赛跑，跑了一段时间后，领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，躺在路边睡了一觉，当他醒来后看到乌龟已经领先了，于是兔子马上以更快的速度去追，结果还是乌龟先到了终点.请根据故事选出符合的图像（表示路程，为时间）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图的斜率表示速度，结合题意即可求解. 【详解】由题意，跑了一段时间后，兔子领先乌龟，所以表示兔子的图象在表示乌龟的图象上方； 兔子躺在路边睡了一觉，此时表示兔子的图象与x轴平行； 兔子醒来后看到乌龟已经领先了，于是兔子马上以更快的速度去追，此时表示兔子的图象的线段比第一段时间内的线段更陡； 乌龟先到了终点，说明相同路程，乌龟花的时间更短. 故选：B. 2．下面4个图象分别表示小李第一周每天从家步行到学校的速度y（米/分）与时间x（分钟）的函数关系，在区间内为增函数的图象是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据增函数的图象性质易得答案. 【详解】因为区间内，增函数的图象从左到右看速度都会比之前时间变快， 只有B选项符合条件. 故选：B. 3．某药物代谢速率与时间满足 ​，残留量满足 ​．则时为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据时间t求出速率v，再求残留量Q. 【详解】因为药物代谢速率与时间满足 ， 当时，药物代谢速率， 又残留量满足 ，则． 故选：A. 4．某种药品在医院的售价（元）与购买数量（盒）成一次函数关系．当购买 5 盒时，售价为 100 元；当购买 10 盒时，售价为 180 元．则与的函数关系式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中所给数据求出函数的解析式即可. 【详解】设， 把，和，代入， 得到，解得，， 所以. 故选： A． 5．有一个装有水的容器，如图所示，容器内的水面高度是10，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（    ）    A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系 【答案】B 【分析】求出水面高度与对应的注水时间满足的函数关系式，即可判断. 【详解】设容器内的水面高度为，对应的注水时间为， 由题意可知，根据一次函数的定义可确定其为一次函数． 故选：B． 6．某快递公司收费规则：首重内元，续重每加2元（不足按计），寄送包裹需付（    ）. A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】首先计算出续重了多少个，再根据收费规则计算即可. 【详解】已知首重元，则续重为， 按计算，它是3个，收费元， 所以共元. 故选：B. 二、多项选择题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的或未选的得 0 分.） 7．某公司计划定制一批精美小礼品，准备在公司年终庆典大会上发给各位嘉宾，现有两个工厂可供选择，甲厂费用分为设计费和加工费两部分，先收取固定的设计费，再按礼品数量收取加工费，乙厂直接按礼品数量收取加工费，甲厂的总费用（千元），乙厂的总费用（千元）与礼品数量x（千个）的函数关系图象分别如图中甲､乙所示，则（    ） A．甲厂的费用与礼品数量x之间的函数关系式为 B．当礼品数量不超过2千个时，乙厂的加工费平均每个为1.5元 C．当礼品数量超过2千个时，乙厂的总费用与礼品数量x之间的函数关系式为 D．若该公司需定制的礼品数量为6千个，则该公司选择乙厂更节省费用 【答案】ABC 【分析】直接根据函数图像求得函数解析式，进而分析各个选项. 【详解】根据图像甲厂的费用与礼品数量满足的函数为一次函数，且过（0,1），（8,5）两点，所以甲厂的费用与礼品数量满足的函数关系为，故A正确； 当定制礼品数量不超过2千个时，乙厂的总费用与礼品数量x之间的函数关系式为，所以乙厂的加工费平均每个为元，故B正确； 易知当时，与之间的函数为一次函数，且过（2,3），（8,5），所以函数关系式为，故C正确； 当时，，，因为，所以定制礼品数量为6千个时，选择甲厂更节省费用，故D不正确. 故选：ABC. 8．已知在区间上的最小值为，则可能的取值为（    ） A． B．3 C． D．1 【答案】BC 【分析】对进行分类讨论，结合二次函数的性质得到方程，解得即可． 【详解】解：因为函数，函数的对称轴为，开口向上， 又在区间上的最小值为， 所以当时，，解得（舍去）或； 当，即时，，解得（舍去）或； 当，即时，． 综上，的取值集合为． 故选：BC． 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 9．某汽车油箱中存油，油从管道中匀速流出，分钟流尽，油箱中剩余量（）与流出时间（分钟）之间的函数关系式为________． 【答案】 【分析】先根据题意求出流速，然后再根据等量关系列关于的函数式即可. 【详解】根据题意得，流速为每分钟，则分钟可流出， 所以油箱剩余量与流出时间之间的函数关系式为， 又因为分钟流尽，考虑实际意义可得. 故答案为：. 10．某公司生产一种产品，固定成本为元，每生产一件产品，除了直接成本元外，还需额外支付与生产数量（件）成反比例的管理成本，管理成本.当时，.若平均成本为 ，则关于生产件产品函数关系是____. 【答案】， 【分析】根据题意，结合，将，代入，求得k的值，继而得到，结合题意表示出总成本，继而求解. 【详解】由题意，把，代入， 所以，解得，所以； 总成本， 平均成本，. 故答案为：，. 11．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m（件）与售价x（元/件）之间的关系满足一次函数：.若要使每天获得最大的销售利润，则该商品的售价应定为______元/件. 【答案】42 【分析】先建立二次函数，再利用配方法求出取得最大值时的销售定价． 【详解】设每天获得的销售利润为y元，则，， 所以当时，获得的销售利润最大，故该商品的售价应定为42元/件. 故答案为：42 12．已知长为4，宽为3的矩形，若长增加x，宽减少，则面积最大，此时x＝__________，面积S＝__________. 【答案】1　12 【详解】S＝(4＋x) ＝－＋x＋12＝－ (x2－2x)＋12＝－ (x－1)2＋. 当x＝1时，Smax＝,故填1, . 四、解答题（本大题共 2 小题，每小题 15 分，共 30 分） 13．向阳文具厂生产英雄牌中性笔的固定成本为300元，每生产一支该笔需增加投入2元，已知总收益满足函数，其中是英雄牌中性笔的每天产量. (1)将利润表示为每天产量的函数；（总收益总成本+利润） (2)当每天产量为何值时，该文具厂所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)； (2)当每天产量为78件时，该文具厂所获利润最大，最大利润为2742元. 【分析】（1）由总收益=总成本+利润，则，即可求解. （2）根据函数解析式分情况讨论，即可求解. 【详解】（1）向阳文具厂生产英雄牌中性笔的固定成本为300元， 每生产一支该笔需增加投入2元， 总收益满足函数， 利润； （2）， 当时，的对称轴为，函数的二次项系数为负， 当时，在时取得最大值，最大值为2742元， 当时，的一次项系数为负， 当时，， ， 当每天产量为78件时，该文具厂所获利润最大，最大利润为2742元. 14．二十大报告指出“坚持精准治污、科学治污、依法治污，持续深入打好蓝天、碧水、净土保卫战．统筹管理好水资源、水环境、水生态治理、推动重要江河湖库生态保护治理，基本消除城市黑臭水体．”每个公民都应该做好水资源保护、节约，为我国经济社会发展做好水资源支撑．为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表： 每户每月用水量 水价（元） 不超过的部分 3 超过但不超过的部分 6 超过的部分 9 (1)若某户居民每月支出的水费为y（元），每月的用水量为，求y与x之间的关系的函数关系式； (2)若某户居民本月的水费为元，求此户居民本月用水量是多少? 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据表中信息列出分段函数即可解得. （2）根据（1）得到的关系式进行判断即可解得. 【详解】（1）由表可知，当时，， 当时，， 当时，， 故所求函数关系式为. （2）由题，当用水量为时，水费为（元）， 当用水量为时，水费为（元）， 故用水量超过但不超过，此时水费为， 解得用水量，故该居民本月用水量为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖北省技能高考《数学考点双析卷》，严格依据最新的《湖北省技能高考文化综合考试大纲》，在参考历年职教高考数学真题的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 湖北省技能高考《数学考点双析卷》 第17卷 函数应用 教师讲解卷 1、 单项选择题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 1．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：兔子与乌龟赛跑，跑了一段时间后，领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，躺在路边睡了一觉，当他醒来后看到乌龟已经领先了，于是兔子马上以更快的速度去追，结果还是乌龟先到了终点.请根据故事选出符合的图像（表示路程，为时间）（    ） A． B． C． D． 2．下面4个图象分别表示小李第一周每天从家步行到学校的速度y（米/分）与时间x（分钟）的函数关系，在区间内为增函数的图象是（    ）. A． B． C． D． 3．某药物代谢速率与时间满足 ​，残留量满足 ​．则时为（    ）． A． B． C． D． 4．某种药品在医院的售价（元）与购买数量（盒）成一次函数关系．当购买 5 盒时，售价为 100 元；当购买 10 盒时，售价为 180 元．则与的函数关系式为（    ）． A． B． C． D． 5．有一个装有水的容器，如图所示，容器内的水面高度是10，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（    ）    A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系 6．某快递公司收费规则：首重内元，续重每加2元（不足按计），寄送包裹需付（    ）. A．元 B．元 C．元 D．元 二、多项选择题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的或未选的得 0 分.） 7．某公司计划定制一批精美小礼品，准备在公司年终庆典大会上发给各位嘉宾，现有两个工厂可供选择，甲厂费用分为设计费和加工费两部分，先收取固定的设计费，再按礼品数量收取加工费，乙厂直接按礼品数量收取加工费，甲厂的总费用（千元），乙厂的总费用（千元）与礼品数量x（千个）的函数关系图象分别如图中甲､乙所示，则（    ） A．甲厂的费用与礼品数量x之间的函数关系式为 B．当礼品数量不超过2千个时，乙厂的加工费平均每个为1.5元 C．当礼品数量超过2千个时，乙厂的总费用与礼品数量x之间的函数关系式为 D．若该公司需定制的礼品数量为6千个，则该公司选择乙厂更节省费用 8．已知在区间上的最小值为，则可能的取值为（    ） A． B．3 C． D．1 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 9．某汽车油箱中存油，油从管道中匀速流出，分钟流尽，油箱中剩余量（）与流出时间（分钟）之间的函数关系式为________． 10．某公司生产一种产品，固定成本为元，每生产一件产品，除了直接成本元外，还需额外支付与生产数量（件）成反比例的管理成本，管理成本.当时，.若平均成本为 ，则关于生产件产品函数关系是____. 11．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m（件）与售价x（元/件）之间的关系满足一次函数：.若要使每天获得最大的销售利润，则该商品的售价应定为______元/件. 12．已知长为4，宽为3的矩形，若长增加x，宽减少，则面积最大，此时x＝__________，面积S＝__________. 四、解答题（本大题共 2 小题，每小题 15 分，共 30 分） 13．向阳文具厂生产英雄牌中性笔的固定成本为300元，每生产一支该笔需增加投入2元，已知总收益满足函数，其中是英雄牌中性笔的每天产量. (1)将利润表示为每天产量的函数；（总收益总成本+利润） (2)当每天产量为何值时，该文具厂所获利润最大？最大利润为多少元？ 14．二十大报告指出“坚持精准治污、科学治污、依法治污，持续深入打好蓝天、碧水、净土保卫战．统筹管理好水资源、水环境、水生态治理、推动重要江河湖库生态保护治理，基本消除城市黑臭水体．”每个公民都应该做好水资源保护、节约，为我国经济社会发展做好水资源支撑．为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表： 每户每月用水量 水价（元） 不超过的部分 3 超过但不超过的部分 6 超过的部分 9 (1)若某户居民每月支出的水费为y（元），每月的用水量为，求y与x之间的关系的函数关系式； (2)若某户居民本月的水费为元，求此户居民本月用水量是多少? 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $