课时作业49　数列的综合应用(进阶课) -2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 该同步练习聚焦数列综合应用，分层设计从基础公式应用到复杂综合证明，梯度合理，有效巩固一轮复习知识，培养数学思维与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一知识点（等比数列求和）|以古代数学情境题（填空3）强化公式应用，培养数据意识| |中档层|综合应用（等差等比性质、跨知识结合）|通过勾股树情境（单选1）、复数结合（填空4）提升综合思维，发展运算能力| |拔高层|复杂综合（数列证明、多问递进）|以错位相减证明（解答5）、双数列综合（解答6）培养逻辑推理与创新意识|

课时作业(四十九)　数列的综合应用(进阶课) 一、单项选择题 1．(2026·攀枝花模拟)“勾股树”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．如图所示，以正方形ABCD的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，如此继续，若共得到127个正方形，且AB＝16，则这127个正方形中，最小的正方形的边长为(　　) A．1 B． C．2 D．2 二、多项选择题 2．(2025·丽江期末)设Sn是公比为q的等比数列{an}的前n项和，且S3，S9，S6成等差数列，则下列说法正确的有(　　) A．q3＝ B．a3，a9，a6成等差数列 C．S3，S6，S9成等比数列 D．S6，S12，S9成等差数列 三、填空题 3．(人教A版选择性必修第二册P55复习参考题4T4(2))我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯．”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有________盏灯． 4．(2025·桂林月考)若等差数列{an}中，a1＝(i为虚数单位)，前10项和S10＝45＋10i，则|a3|＝ ________． 四、解答题 5．(15分)(2026·南宁模拟)已知数列{an}是公比为2的等比数列，a3，a4，a5－8成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝，设数列{bn}的前n项和为Tn，求证：≤Tn＜2． 6．(15分)(2026·郑州模拟)已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，a2＝5，b1＝2，b2＝3，{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列． (1)求{an＋bn}和{an－bn}的通项公式； (2)求{an}和{bn}的通项公式； (3)求{an}的前n项和Sn． 课时作业(四十九) 1．C　[依题意，不同边长的正方形的个数构成以1为首项，2为公比的等比数列，所以1＋2＋22＋…＋2n-1＝127，即＝127，解得n＝7，即有7种不同边长的正方形．又正方形的边长构成以16为首项，为公比的等比数列．因此，最小的正方形的边长为16×＝2．故选C．] 2．BD　[由S3，S9，S6成等差数列，得2S9＝S3＋S6，得q≠1， ∴2×， ∴2q9＝q3＋q6，得2(q3)2－q3－1＝0， 故q3＝－或q3＝1(舍去)，故A错误； a3＋a6＝a3－a3＝a3，2a9＝2a3q6＝a3， ∴a3，a9，a6成等差数列，故B正确； S3＝，S6＝，S9＝， ∵，∴S3，S6，S9不成等比数列，故C错误； S12＝，S6＋S9＝，2S12＝， 满足S6＋S9＝2S12，可得S6，S12，S9成等差数列，故D正确．故选BD．] 3.3　[设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}是公比为2的等比数列， ∴S7＝＝381， 解得a1＝3．] 4．　[设等差数列{an}的公差为d， ∵a1＝＝i， 则前10项和为 S10＝10a1＋d＝10i＋45d＝45＋10i， 解得d＝1，a3＝a1＋2d＝2＋i， ∴|a3|＝．] 5．(1)解：由a3，a4，a5－8成等差数列，得2a4＝a3＋a5－8， ∴2a1×23＝a1×22＋a1×24－8， 解得a1＝2， ∴an＝2×2n-1＝2n． (2)证明：由(1)知，an＝2n， 则bn＝， ∴Tn＝＋…＋，① Tn＝＋…＋，② 两式作差，得Tn＝＋…＋ ＝＝1－． ∴Tn＝2－<2． 又bn＝>0，∴{Tn}是递增数列， ∴Tn≥T1＝≤Tn<2． 6．解：(1)由{an＋bn}是等比数列，且a1＋b1＝4，a2＋b2＝8， 则{an＋bn}的公比为＝2，首项为4，所以an＋bn＝2n+1， 因为a1－b1＝0，a2－b2＝2，且{an－bn}是等差数列， 则{an－bn}的公差为(a2－b2)－(a1－b1)＝2，首项为0，所以an－bn＝2n－2． (2)由(1)得 则 (3)由(2)知Sn＝(21＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n)－n＝－n＝2n+1＋． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $