专题08 函数的单调性（讲义）-2027年黑龙江省（春季高考）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年黑龙江省（春季高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年黑龙江省（春季高考） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题08 函数的单调性 【复习目标】 1. 理解函数单调性的概念，会用定义法证明函数的单调性. 2. 会判断所给函数的单调性，并会求函数的单调区间. 3. 掌握用函数的单调性求最大值和最小值的方法. 【考点1 函数的单调性】 1．增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： ①如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数。 ②如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 2．函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3．证明函数单调性的步骤 第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个自变量，且； 第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； 第三步：定号．判断差的正负或商与1的大小关系； 第四步：得出结论． 【即时训练】 1．若函数是减函数，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数为减函数，得出即可得解. 【详解】因为函数是减函数，所以，解得， 故选：. 2．下列函数中，在上单调递减的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】分析各选项函数的定义域及单调区间，即可判别. 【解析】选项A中，在定义域内单调递增，故错误. 选项B中，，函数在内单调递减，在内单调递增，故错误. 选项C中，，函数在定义域内单调递增，，故在定义域内单调递减，故在定义域内单调递增，故错误. 选项D中，定义域，函数在上单调递减，故正确. 故选：D 3．函数的图象如图所示，则此函数的增区间是（       ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象判断函数的增区间即可. 【解析】由函数的图象可知，此函数的增区间是. 故选：C． 4．已知二次函数在区间上是增函数，则a的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质列出不等式即可得解. 【详解】二次函数，图像为开口向上的抛物线， 对称轴为， 因为函数在区间上是增函数，所以，解得， 故选：. 5．下列函数在定义域内单调递减的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据常见函数的单调性判断即可. 【详解】对于A，的定义域为，在上单调递减，在上单调递增，故A错误；   对于B，在定义域上单调递减，故B正确；   对于C，在定义域上单调递增，故C错误；   对于D，在定义域上单调递增，故D错误. 故选：B. 6．下列函数中，是偶函数且在上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由函数的图像可知，为开口向上，顶点坐标为， 对称轴为y轴的抛物线，符合题意， 故选：B. 7．若偶函数在区间上是增函数，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的偶函数的性质和增函数的性质易得答案 【解析】函数为偶函数，则 又函数在区间上是增函数， 因为， 所以，即. 故选：D. 8．函数的单调区间为（       ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在单调递增，在单调递减 D．在单调递减，在单调递增 【答案】D 【解析】的对称轴为，开口向上， 所以在在单调递减，在单调递增， 故选：D. 9．奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】17 【解析】∵函数在上是增函数，在区间上的最大值为，最小值为， ，， 是奇函数，则， ， 故答案为：17． 10．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，． （1）求在R上的解析式； （2）判断的单调性，并解不等式． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意根据奇函数的定义以及当时，，可以求出当时的表达式，从而即可进一步求解. （2）首先根据时，单调递增，从而得到在上是单调增函数，再结合奇函数性质即可将表达式等价转换，解一元二次不等式即可得解. 【解析】解：（1）设，则，当时，， 因为，所以，即， 又，所以， 所以； （2）时，单调递增， 又因为函数是定义在R上的奇函数， 所以在上是单调增函数， 不等式可化为， 所以，即，解得或. 所以不等式的解集为或. 【考点2 函数的最值】 1．最大值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 2．最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥N； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝N．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值． 【即时训练】 1．已知函数，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质以及函数的大小判断即可. 【详解】函数， 由函数解析式可得，函数开口向上，对称轴为， 当时，函数取最小值，即最小， ， 所以. 故选：D. 2．已知函数，则的最大值为（       ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】因为在上单减，所以在上单减， 即在上单减， 所以f(x)的最大值为. 故选：D. 3．若函数在区间上的最大值是4，则实数的值为（       ） A．-1 B．1 C．3 D．1或3 【答案】B 【解析】当时，在区间上为增函数， 则当时，取得最大值，即，解得； 当时，在区间上为减函数， 则当时，取得最大值，即，解得舍去， 所以， 故选：B. 4．函数，则函数在区间内的值域为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质求解即可解得. 【详解】由题，函数， 函数对称轴为，且函数图像为开口向上的抛物线， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 则在区间内，函数的最大值为，最小值为， 故函数值域为. 故选：A. 5．函数的最小值是（       ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】C 【解析】∵，等号成立当且仅当， ∴函数的最小值是， 故选：C. 6．函数在区间上的最大值为（       ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【解析】因为函数在区间单调递减， 所以当x=0时取得最大值：， 故选：B. 7．已知函数在区间上的最大值为A，最小值为B，则A-B等于（       ） A． B． C．1 D．-1 【答案】A 【解析】函数在区间是减函数， 所以时有最大值为1，即A=1，时有最小值，即B=， 则， 故选：A. 8．若函数在区间上的最大值为6，则 ． 【答案】4 【解析】函数在区间上单调递增， 于是得，解得：， 故答案为：4. 9．已知函数. （1）若，求的值； （2）若，函数在上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) . (2). 【解析】解：（1）当时， （2）因为，函数在上是增函数， 所以，故， 则． 10．已知是二次函数，且，，． (1)求的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据待定系数法求解题中二次函数解析式即可； （2）根据二次函数在定区间上的单调性求解即可. 【解析】解：（1）设二次函数为，，由题意得 解得 所以函数． （2）函数，开口向下，对称轴， 即函数在单调递增，在单调递减， 所以， ． 1．（2024年·黑龙江省对口升学高考第6题）下列函数是减函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 2．（2023年·黑龙江省对口升学高考第6题）已知函数在区间上是增函数，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据函数的单调性即可判断. 【详解】解： ∵在区间上是增函数，且， ∴. 故选：. 3．（2022年·黑龙江省对口升学高考第6题）在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据一次函数，反比例函数，二次函数的性质结合单调性逐项判断即可得解. 【详解】选项，为一次函数，斜率为，所以为减函数，不是增函数，不符合题意； 选项，为反比例函数，，所以在为减函数，不是增函数，不符合题意； 选项，，当时，为减函数，不是增函数，不符合题意； 选项，对称轴为，图像为开口向下的抛物线，所以在上为增函数，符合题意， 故选：. 4．（2020年·黑龙江省对口升学高考第5题）下列属于增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据函数解析式判断函数单调性即可； 【详解】选项A，函数在和上分别单调递减，不是增函数，故错误； 选项B，对数函数在上单调递减，不是增函数，故错误； 选项C，指数函数在上单调递减，不是增函数，故错误； 选项D，根据幂函数的性质，幂函数的指数，函数在上单调递增，是增函数，故正确； 故选：D 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年黑龙江省（春季高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年黑龙江省（春季高考） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题08 函数的单调性 【复习目标】 1. 理解函数单调性的概念，会用定义法证明函数的单调性. 2. 会判断所给函数的单调性，并会求函数的单调区间. 3. 掌握用函数的单调性求最大值和最小值的方法. 【考点1 函数的单调性】 1．增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： ①如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数。 ②如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 2．函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3．证明函数单调性的步骤 第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个自变量，且； 第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； 第三步：定号．判断差的正负或商与1的大小关系； 第四步：得出结论． 【即时训练】 1．若函数是减函数，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 2．下列函数中，在上单调递减的为（ ） A. B. C. D. 3．函数的图象如图所示，则此函数的增区间是（       ）    A． B． C． D． 4．已知二次函数在区间上是增函数，则a的取值范围为（       ） A． B． C． D． 5．下列函数在定义域内单调递减的是（       ） A． B． C． D． 6．下列函数中，是偶函数且在上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 7．若偶函数在区间上是增函数，则（       ） A． B． C． D． 8．函数的单调区间为（       ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在单调递增，在单调递减 D．在单调递减，在单调递增 9．奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 10．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，． （1）求在R上的解析式； （2）判断的单调性，并解不等式． 【考点2 函数的最值】 1．最大值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 2．最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥N； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝N．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值． 【即时训练】 1．已知函数，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 2．已知函数，则的最大值为（       ） A． B． C．1 D．2 3．若函数在区间上的最大值是4，则实数的值为（       ） A．-1 B．1 C．3 D．1或3 4．函数，则函数在区间内的值域为（       ） A． B． C． D． 5．函数的最小值是（       ） A． B．0 C．1 D．3 6．函数在区间上的最大值为（       ） A．0 B．1 C．2 D．4 7．已知函数在区间上的最大值为A，最小值为B，则A-B等于（       ） A． B． C．1 D．-1 8．若函数在区间上的最大值为6，则 ． 9．已知函数. （1）若，求的值； （2）若，函数在上的最小值为，求实数的值. 10．已知是二次函数，且，，． (1)求的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值． 1．（2024年·黑龙江省对口升学高考第6题）下列函数是减函数的为（ ） A. B. C. D. 2．（2023年·黑龙江省对口升学高考第6题）已知函数在区间上是增函数，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3．（2022年·黑龙江省对口升学高考第6题）在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 4．（2020年·黑龙江省对口升学高考第5题）下列属于增函数的是（ ） A. B. C. 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