专题09 函数的奇偶性（讲义）-2027年黑龙江省（春季高考）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年黑龙江省（春季高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年黑龙江省（春季高考） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题09 函数的奇偶性 【复习目标】 1. 理解函数奇偶性的概念，并会判断函数的奇偶性. 2. 掌握奇偶函数的图像性质，会用其解决有关问题. 【考点1 函数奇偶性的判断】 1.函数奇函数的定义 一般地，设函数的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且，那么函数就叫做奇函数. 2.函数偶函数的定义 一般地，设函数的定义域为D，如果，都有-x∈D，且，那么函数就叫做偶函数. 3.用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）先求定义域，看是否关于原点对称; （2）再判断与的关系; （3）若，则是偶函数; （4）若则是奇函数. 4．奇、偶函数的图象特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 5．具有奇偶性函数的定义域的特点 具有奇偶性函数的定义域关于原点对称，即“定义域关于原点对称”是“一个函数具有奇偶性”的必要不充分条件． 6．函数奇偶性与单调性之间的关系 (1)若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数； (2)若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数． 7．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上) 奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. 【即时训练】 1．下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 2．已知定义在上的偶函数在上是减函数，则（       ） A． B． C． D． 3．设定义域在上的函数,则是（    ） A．增函数 B．减函数 C．既是增函数又是减函数 D．以上都不是 4．已知是奇函数，且，则下列答案正确的是（   ） A． B． C． D．的值不能确定 5．函数（    ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 6．下列函数中，是偶函数且在上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 7．已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，若，则（       ） A．5 B． C．3 D． 8．设函数 其图象关于（ ） A.原点对称 B.直线 y=对称 C. 轴对称 D. y轴对称 9．若函数是定义在上的偶函数，则该函数的最大值为（       ） A．10 B．5 C．3 D．2 10．求证函数为奇函数． 【考点2 函数奇偶性的运用】 1.利用函数奇偶性求函数值 方法：找到已知点与未知点的对称关系，带入奇偶性公式 2.利用函数奇偶性求解析式 已知一侧解析式，求另一侧 方法：设x在未知区间，利用-x在已知区间，结合奇偶性推导 3.含参数的解析式，利用奇偶性求参数 方法：代入奇偶性定义，整理等式后对比系数求参数 【即时训练】 1．设函数为定义在上的偶函数，则（    ） A．0 B．7 C．0或7 D．-3 2．函数是R上的奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 3．已知在上是偶函数，当时，，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．在上为增函数 4．已知函数满足.则等于（    ） A．2 B． C． D．3 5．已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，若，则（       ） A． B．2 C． D．1 6．已知函数是定义在上周期为4的奇函数，当时，，则（       ） A．1 B．-1 C．0 D．2 7．若函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则使得的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数满足，当时，，当时， （   ） A． B． C． D． 9．已知函数为偶函数，则（       ） A． B． C． D． 10．已知奇函数在定义域内是增函数，且满足求实数的取值范围. 1．（2024年·黑龙江省对口升学高考第5题）下列函数是奇函数的为（ ） A. B. C. D. 2．（2023年·黑龙江省对口升学高考第5题）下列函数为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 3．（2022年·黑龙江省对口升学高考第5题）已知函数是偶函数，则是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数 4．（2021年·黑龙江省对口升学高考第4题）下列函数是奇函数是（ ） A. B. C. D. 5．（2020年·黑龙江省对口升学高考第5题）下列属于偶函数的是（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年黑龙江省（春季高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年黑龙江省（春季高考） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题09 函数的奇偶性 【复习目标】 1. 理解函数奇偶性的概念，并会判断函数的奇偶性. 2. 掌握奇偶函数的图像性质，会用其解决有关问题. 【考点1 函数奇偶性的判断】 1.函数奇函数的定义 一般地，设函数的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且，那么函数就叫做奇函数. 2.函数偶函数的定义 一般地，设函数的定义域为D，如果，都有-x∈D，且，那么函数就叫做偶函数. 3.用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）先求定义域，看是否关于原点对称; （2）再判断与的关系; （3）若，则是偶函数; （4）若则是奇函数. 4．奇、偶函数的图象特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 5．具有奇偶性函数的定义域的特点 具有奇偶性函数的定义域关于原点对称，即“定义域关于原点对称”是“一个函数具有奇偶性”的必要不充分条件． 6．函数奇偶性与单调性之间的关系 (1)若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数； (2)若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数． 7．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上) 奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. 【即时训练】 1．下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义和函数的单调性即可求解. 【详解】函数和是上的奇函数，故A，C选项错误； 函数是上的偶函数，但在上单调递减，故B选项错误； 函数是上的偶函数，在上单调递增，故D选项正确. 故选：D. 2．已知定义在上的偶函数在上是减函数，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得解. 【解析】因为函数是定义在上的偶函数，所以， 所以； 因为函数是定义在上的偶函数， 所以函数的图像关于轴对称， 又因为在上是减函数， 所以函数在上是增函数； 因为， 所以， 即， 故选：． 3．设定义域在上的函数,则是（    ） A．增函数 B．减函数 C．既是增函数又是减函数 D．以上都不是 【答案】A 【分析】由函数奇偶性单调性即可得解. 【详解】的定义域为. . 所以为奇函数,图像关于原点对称. 在上任取两点且. . 所以在上为增函数. 因为为奇函数,所以在上为增函数. 故选:. 4．已知是奇函数，且，则下列答案正确的是（   ） A． B． C． D．的值不能确定 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性求函数值. 【详解】是奇函数，且，则. 故选：B 5．函数（    ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 【答案】A 【分析】根据奇偶函数的定义判断选项. 【详解】由，定义域为， 又， 所以函数是奇函数不是偶函数. 故选：A 6．下列函数中，是偶函数且在上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由函数的图像可知，为开口向上，顶点坐标为， 对称轴为y轴的抛物线，符合题意， 故选：B. 7．已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，若，则（       ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】由得：， 因为分别是定义在上的奇函数和偶函数， 所以 ， 故可解得：， 故选：B. 8．设函数 其图象关于（ ） A.原点对称 B.直线 y=对称 C. 轴对称 D. y轴对称 【答案】 D 【解析】 故函数为偶函数， 图象关于y轴对称． 故选：D． 9．若函数是定义在上的偶函数，则该函数的最大值为（       ） A．10 B．5 C．3 D．2 【答案】B 【解析】函数是定义在上的偶函数， 所以，且，所以， 所以， 所以， 故选：B. 10．求证函数为奇函数． 【答案】证明见解析 【分析】利用奇函数的定义即：定义域关于原点对称且满足，再结合指数幂的运算法则，即可证明. 【解析】证明：对于函数，由分母不为0得，解得， 即该函数的定义域为. 对于任意都有，故定义域关于原点对称. 又∵ ∴函数是奇函数 【考点2 函数奇偶性的运用】 1.利用函数奇偶性求函数值 方法：找到已知点与未知点的对称关系，带入奇偶性公式 2.利用函数奇偶性求解析式 已知一侧解析式，求另一侧 方法：设x在未知区间，利用-x在已知区间，结合奇偶性推导 3.含参数的解析式，利用奇偶性求参数 方法：代入奇偶性定义，整理等式后对比系数求参数 【即时训练】 1．设函数为定义在上的偶函数，则（    ） A．0 B．7 C．0或7 D．-3 【答案】B 【分析】由偶函数的定义域关于原点对称可求出m，即可写出函数的解析式，令代入解析式即可得解. 【详解】由偶函数的定义域关于原点对称知，解得，则， 所以. 故选：B 2．函数是R上的奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性即可求解. 【详解】解：由题意得： 当时，， 函数是R上的奇函数，故 故选：C 3．已知在上是偶函数，当时，，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．在上为增函数 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】在上是偶函数，当时， 所以，故错误；，故正确； ，故错误； 当时，，为增函数，因为函数在上是偶函数，图像关于轴对称， 所以当时，函数为减函数，故错误， 故选：. 4．已知函数满足.则等于（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】先根据函数奇偶性的定义，得函数为奇函数，再根据奇函数的性质求解. 【详解】由函数，可得函数定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数为奇函数. 因为，所以. 故选：C 5．已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，若，则（       ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【解析】由奇函数的性质可知   a=2， ， 故选：D. 6．已知函数是定义在上周期为4的奇函数，当时，，则（       ） A．1 B．-1 C．0 D．2 【答案】A 【解析】函数是定义在上周期为4的奇函数, , 又, 所以， 故选：A. 7．若函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则使得的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的性质和函数的单调性，即可求解． 【详解】函数是定义在上的偶函数，在上是增函数， 在上是减函数， ，在上是减函数， 当时，使得的的取值范围是， 函数是定义在上的偶函数，， ， ，在上是增函数， 当时，使得的的取值范围是， 综上可得使得的的取值范围是. 故选：C． 8．已知函数满足，当时，，当时， （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设时，代入再结合函数是奇函数得出函数的解析式即可. 【详解】当时，， 又． 故选：C 9．已知函数为偶函数，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知得，当时，则，即，， ∵为偶函数，∴，即， ∴，，∴， 故选：. 10．已知奇函数在定义域内是增函数，且满足求实数的取值范围. 【答案】 【分析】 依据函数的单调性与奇偶性求解. 【详解】由，即， 因为是奇函数，所以， 则 ， 又因为在定义域内是增函数， 所以， 即，解得， 所以实数的取值范围为. 1．（2024年·黑龙江省对口升学高考第5题）下列函数是奇函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 2．（2023年·黑龙江省对口升学高考第5题）下列函数为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】利用奇偶性的定义判断即可. 【详解】对于A，定义域为，关于原点对称， ，则为奇函数，故A正确； 对于B，定义域为，关于原点对称， ，则不是奇函数，故B错误； 对于C，定义域为，关于原点对称， ，则不是奇函数，故C错误； 对于D，定义域为，关于原点对称， ，则不是奇函数，故D错误. 故选：A. 3．（2022年·黑龙江省对口升学高考第5题）已知函数是偶函数，则是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数 【答案】A 【分析】因为函数为偶函数，得，再判断即可. 【详解】是偶函数， 所以， 所以， 则， ， 所以是奇函数. 故选:A. 4．（2021年·黑龙江省对口升学高考第4题）下列函数是奇函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据奇函数的定义，即可判断求解. 【详解】因为函数的定义域是实数集R，关于原点对称， 又， 所以该函数是偶函数，不是奇函数，故选项A不符合题意； 因为函数的定义域是实数集R，关于原点对称， 又， 所以该函数是奇函数，故选项B符合题意； 因为函数， 所以函数的对称轴是， 所以该函数是非奇非偶函数，故选项C不符合题意； 因为函数，定义域是实数集R，关于原点对称， 又， 所以该函数是偶函数，不是奇函数，故选项D不符合题意； 故选：B. 5．（2020年·黑龙江省对口升学高考第5题）下列属于偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性的定义判断即可. 【详解】A.，函数的定义域为R，定义域关于原点对称， ，故不是偶函数； B. ，函数的定义域为R，定义域关于原点对称， ，故不是偶函数； C. ，函数的定义域为R，定义域关于原点对称， ，故是偶函数； D.，定义域为定义域不关于原点对称，故不是偶函数； 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $