专题10 一次函数、二次函数及反比例函数（练习）-2027年黑龙江省（春季高考）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 以支架式教学构建一次函数、二次函数及反比例函数的体系化复习，通过挖空讲解、分层训练实现从概念到应用的进阶，培养模型意识与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-5、填空7-8|辨析定义域、单调性等概念|从函数定义到图像性质的生成| |性质应用|选择6、13-18、填空9-10、19-22|结合图像分析单调性、最值|性质推导与几何直观的关联| |综合应用|解答11-12、23-24|证明单调性、求解析式|概念到推理的逻辑链条| |高考真题|5道|实际问题建模求最值|数学语言表达现实问题的应用|

编写说明：2027年黑龙江省（春季高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年黑龙江省（春季高考） 《数学一轮讲练测》练习 专题10 一次函数、二次函数及反比例函数 一、选择题 1．下列函数中，在内为减函数的是（    ） A． B． C． D． 2．函数与轴交点的纵坐标为（    ） A． B．4 C．0 D．1 3．对于函数y＝4x，下列说法正确的是（ ） A．当x＞0时，y随x的增大而减小 B．当x＜0时，y随x的增大而减小 C．y随x的增大而减小 D．y随x的增大而增大 4．设函数，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5．关于反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A．y随x增大而增大 B．图象分别在第二、四象限 C．该反比例函数图象与坐标轴无交点 D．图象经过点 6．不等式的解集为，则函数的图像大致为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．函数的图象与轴、轴围成的三角形面积为 . 8．函数在区间的取值范围是 . 9．在平面直角坐标系中，某反比例函数的图象经过点和点，则的值为 . 10．一个水库的水位在最近内持续上涨，水位高度与时间之间的函数关系式为，每小时水位上升的高度是 m． 三、解答题 11．一次函数且. （1）求的值； （2）证明在上单调递增. 12．已知二次函数的图像经过点，求a、b、c的值. 13．下列函数中，在定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ） A． B． C． D． 14．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值随x的增大而增大，则一次函数y＝x+k的图象经过（ ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 15．已知二次函数，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 16．在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点则的值为（ ） A．1 B．-1 C．-6 D．6 17．关于函数，下列叙述错误的是（       ） A．函数的最大值是1 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数的单调递减区间是 D．函数图象过点 18．已知函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 19．在画一次函数的图象时，小雯同学列表如下，其中“”表示的数为 . 20．已知二次函数的图像与x轴相交于和，则这个二次函数的对称轴是 . 21．在平面直角坐标系中，函数的图像与函数交于点，则 . 22．若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围为 . 三、解答题 23．若二次函数的图像位于x轴下方，与x轴不相交，求k的取值范围. 24．已知函数，关于成正比，关于成反比，且，.求： （1）函数的解析式及其定义域； （2）的值. 1．（2024年·黑龙江省对口升学高考第31题）小王要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长为(厘米)的边与这条边上的高之和为60(厘米),这个三角形的面积为(平方厘米). (1)写出与之间的函数关系式； (2)当为多少厘米时，这个三角形的面积最大？最大面积是多少平方厘米？ 2．（2023年·黑龙江省对口升学高考第31题）如图，计划用总长为43米的篱笆（图中虚线部分）围成一个矩形鸡舍，其中边是墙（墙足够长），中间共留两个1米的小门.设篱笆长为米. （1）的长为多少米?（用含的代数式表示） （2）若矩形鸡舍的面积为150平方米，求篱笆的长. 3．（2022年·黑龙江省对口升学高考第31题）用19米长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框， 长表示窗框的宽， (米). (铝合金条的宽度忽略不计) （1）求窗框的透光面积 S (平方米)与窗框的宽 x (米)之间的函数关系式； （2）如何设计才能使窗框的透光面积最大？最大面积为多少？ 4．（2021年·黑龙江省对口升学高考第15题）某公司打算用长24米的木板围成展室的隔板，墙厚可以忽略不计，有一面靠墙，如图所示． （1）请写出展室总面积与隔板边长的函数解析式和自变量的取值范围． （2）当隔板取多少时，展室总面积最大，最大为多少？ 5．（2020年·黑龙江省对口升学高考第31题）如果一个三角形的底边与该边上的高之和为4，求该三角形的面积关于高的函数解析式，以及当高为多少时，面积S最大?最大面积是多少? 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年黑龙江省（春季高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年黑龙江省（春季高考） 《数学一轮讲练测》练习 专题10 一次函数、二次函数及反比例函数 一、选择题 1．下列函数中，在内为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐一分析函数的单调性即可求解． 【详解】对A选项分析在上单调递减，上单调递增； 对B选项分析在内为减函数； 对C选项分析在内为增函数； 对D选项分析在和上单调递增； 只有B符合题意． 故选：B． 2．函数与轴交点的纵坐标为（    ） A． B．4 C．0 D．1 【答案】B 【分析】令即可得解. 【详解】函数，令，则， 所以函数与轴交点的纵坐标为， 故选：. 3．对于函数y＝4x，下列说法正确的是（ ） A．当x＞0时，y随x的增大而减小 B．当x＜0时，y随x的增大而减小 C．y随x的增大而减小 D．y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】在函数y＝4x中，k＝4＞0，所以y随x的增大而增大． 故选：D． 4．设函数，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】函数是一个开口向上，对称轴为的抛物线， 做出函数在范围内的图像可知，函数在处取得最大值，， 在处取得最小值，，所以的取值范围是， 故选：C. 5．关于反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A．y随x增大而增大 B．图象分别在第二、四象限 C．该反比例函数图象与坐标轴无交点 D．图象经过点 【答案】A 【解析】，∵，∴图象过二、四象限，在每一个象限内，y随x增大而增大； ∵，∴反比例函数图象与坐标轴无交点； ∵，∴图象经过点； 综上，选项B、C、D正确，不符合题意；选项A错误，符合题意； 故选：A． 6．不等式的解集为，则函数的图像大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解集，一元二次方程的解求出的关系，然后再判断二次函数的图像. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，所以. 所以二次函数， 图像开口向下，与轴的交点横坐标为和， 故选：C. 二、填空题 7．函数的图象与轴、轴围成的三角形面积为 . 【答案】6 【解析】∵当时，，解得，∴函数图象与x轴的交点坐标为； 当时，，∴函数图象与y轴的交点坐标为； ∴函数图象与两坐标轴围成的图形的面积为， 故答案为：6． 8．函数在区间的取值范围是 . 【答案】 【分析】先由二次函数的对称轴在区间内，可知内包含二次函数的顶点，由此求出在区间的最小值，再分别求出两个端点值，找出二次函数在内的最大值，由此得出函数在区间的取值范围. 【详解】由于的对称轴为轴，可知在内的最小值为. 因为当时，，当时，. 所以在内，的最大值为. 所以函数在区间的取值范围是. 故答案为：. 9．在平面直角坐标系中，某反比例函数的图象经过点和点，则的值为 . 【答案】 【解析】设反比例函数的解析式是， ∵反比例函数经过点，∴，即， ∵反比例函数经过点，∴， 故答案为： 10．一个水库的水位在最近内持续上涨，水位高度与时间之间的函数关系式为，每小时水位上升的高度是 m． 【答案】/ 【分析】分别求出当和时对应函数值，即可得出结论. 【详解】已知， 当时，， 当时，， 每小时水位上升的高度是， 故答案为：． 三、解答题 11．一次函数且. （1）求的值； （2）证明在上单调递增. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】解：（1）一次函数且， 则，则. （2）证明：由（1）得，在上任取，，令， 则 ，，， 在上是单调递增函数． 12．已知二次函数的图像经过点，求a、b、c的值. 【答案】 【分析】将点代入解析式即可求参数值. 【详解】因为的图像经过点， 所以，则， 故，则，解得. 13．下列函数中，在定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数的定义域，代入，判断奇偶性；然后根据函数的形式，判断得出单调性，即可得出答案. 【解析】对于A项，设，定义域为R， 且，所以为奇函数. 当时，在上单调递增，且； 当时，在上单调递增，且. 所以，在定义域上为增函数.故A项正确； 对于B项，设，定义域为R， 且，所以，不是奇函数.故B项错误； 对于C项，设，定义域为R， 且，所以，为偶函数，不是奇函数.故C项错误； 对于D项，设，定义域为， 且，所以为奇函数. 又在上单调递减，上单调递减，故D项错误. 故选：A. 14．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值随x的增大而增大，则一次函数y＝x+k的图象经过（ ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】A 【解析】∵正比例函数y＝kx的函数值y随x的增大而增大，∴k＞0， ∵b＝k＞0，∴一次函数y＝x+k的图象经过一、二、三象限， 故选：A． 15．已知二次函数，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的对称性与单调性比较大小即可. 【解析】由二次函数， 可知，图像开口向上，有最小值. 且，对称轴为， 所以有当时，为最小值. 又有与关于对称， 所以. 且在为单调递增函数. 所以. 即. 故选：A. 16．在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点则的值为（ ） A．1 B．-1 C．-6 D．6 【答案】B 【解析】在第二象限，在第一象限，且点、、在三个不同象限， 又点的横坐标为，在第三象限， 反比例函数的图象经过其中两点， ，两点在该反比例函数图象上， ，解得， 故选：． 17．关于函数，下列叙述错误的是（       ） A．函数的最大值是1 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数的单调递减区间是 D．函数图象过点 【答案】C 【分析】利用二次函数的对称轴、最值、单调区间可判断. 【解析】函数为二次函数，图象为抛物线，， 函数开口向下，所以函数最大值为. ，A选项正确； 函数图象对称轴为，B选项正确； 函数开口向下，函数的单调递减区间是，C选项错误； 将点代入可值，等式成立，D选项正确； 故选：C. 18．已知函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合函数解析式，分类讨论和两种情况，结合一次函数和二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】因为， 当时，在上单调递减，故在内也单调递减，满足题意； 当时，因为函数在区间内单调递减， 所以或，即或， 解得或． 综上所述，实数的取值范围是． 故选：A. 二、填空题 19．在画一次函数的图象时，小雯同学列表如下，其中“”表示的数为 . 【答案】 【解析】有表格可知：直线过点，则：， 解得：，∴， 当时，， ∴“”表示的数为：， 故答案为：． 20．已知二次函数的图像与x轴相交于和，则这个二次函数的对称轴是 . 【答案】 【分析】利用二次函数图像关于对称轴对称的性质即可求解. 【解析】二次函数的图像关于对称轴对称， 即对称轴经过和的中点， 则对称轴为:. 故答案为：. 21．在平面直角坐标系中，函数的图像与函数交于点，则 . 【答案】 【分析】把点代入函数中，求出点A，再把A点带入中，即可求出. 【解析】把点代入函数中，得，故点A为）， 把A点带入中，得，解得，故. 故答案为：. 22．若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】按和分类讨论，分别由一次函数和二次函数的单调性分析即可. 【解析】函数在区间上为减函数， 当时，满足题意； 当时，由题可得，解得， 综上， 故答案为： 三、解答题 23．若二次函数的图像位于x轴下方，与x轴不相交，求k的取值范围. 【答案】 【分析】根据二次函数与二次方程的关系求解即可. 【详解】若二次函数的图像位于x轴下方，与x轴不相交， 则说明方程无解， 即，解得， 所以k的取值范围为. 24．已知函数，关于成正比，关于成反比，且，.求： （1）函数的解析式及其定义域； （2）的值. 【答案】（1），定义域是； （2） 【解析】解：（1）设（，且）， （，且）， 由于，， 所以，， 所以，定义域为 （2）由（1）得，. 1．（2024年·黑龙江省对口升学高考第31题）小王要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长为(厘米)的边与这条边上的高之和为60(厘米),这个三角形的面积为(平方厘米). (1)写出与之间的函数关系式； (2)当为多少厘米时，这个三角形的面积最大？最大面积是多少平方厘米？ 【答案】（1） （2）当x=30厘米，最大面积为450平方厘米 【解析】解：（1）由题意可知： （2）当 故当x=30厘米，S最大，最大面积为450平方厘米。 2．（2023年·黑龙江省对口升学高考第31题）如图，计划用总长为43米的篱笆（图中虚线部分）围成一个矩形鸡舍，其中边是墙（墙足够长），中间共留两个1米的小门.设篱笆长为米. （1）的长为多少米?（用含的代数式表示） （2）若矩形鸡舍的面积为150平方米，求篱笆的长. 【答案】（1） （2）米或米 【分析】（1）根据矩形周长，利用已知列出代数式即可； （2）根据矩形面积列出含有的等式求解即可. 【小问1详解】 篱笆长为米， 则，则； 【小问2详解】 矩形鸡舍的面积为150平方米，长为米，米， 则，即，解得，， 则篱笆的长为米或米. 3．（2022年·黑龙江省对口升学高考第31题）用19米长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框， 长表示窗框的宽， (米). (铝合金条的宽度忽略不计) （1）求窗框的透光面积 S (平方米)与窗框的宽 x (米)之间的函数关系式； （2）如何设计才能使窗框的透光面积最大？最大面积为多少？ 【答案】（1） （2）当窗框的宽度为3.25米时，透光面积最大，最大透光面积为10.5625平方米. 【分析】（1）利用题目所给的条件将长与宽表示出来，即证明四边形BCHG、四边形DEGH、四边形ABEF是矩形，由图得出BC以及AC，从而利用面积计算公式进行求解即可. （2）根据（1）得出的关系式求出最值即可. 【小问1详解】 在矩形中，， 四边形是矩形， （米），, , 四边形是矩形，同理四边形是矩形. 设 则，, , 注：自变量x的取值范围是:，所以. 【小问2详解】 由（1）知 当, 故, 即当窗框的宽度为3.25米时，透光面积最大，最大透光面积为10.5625平方米. 4．（2021年·黑龙江省对口升学高考第15题）某公司打算用长24米的木板围成展室的隔板，墙厚可以忽略不计，有一面靠墙，如图所示． （1）请写出展室总面积与隔板边长的函数解析式和自变量的取值范围． （2）当隔板取多少时，展室总面积最大，最大为多少？ 【答案】（1） （2）取时，展室总面积最大，最大为 【分析】（1）根据题意表示与墙平行的边长，结合矩形的面积公式，即可求解； （2）根据二次函数的性质，利用配方法，即可求解. 【小问1详解】 由题意，当一边长为时，与墙平行的边长为， 则，解得， 所以展室总面积， 所以展室总面积与隔板边长的函数解析式为. 【小问2详解】 由（1）得， 所以 所以当时，S取到最大值，即， 即隔板取时，展室总面积最大，最大为． 5．（2020年·黑龙江省对口升学高考第31题）如果一个三角形的底边与该边上的高之和为4，求该三角形的面积关于高的函数解析式，以及当高为多少时，面积S最大?最大面积是多少? 【答案】，当时，面积S最大，最大面积是2． 【分析】根据三角形面积公式求解函数解析式即可，再由二次函数的性质即可求解最大值. 【详解】三角形的面积为，高为， 由已知得底边为， 面积， 故当时，面积S最大，最大面积是2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $