专题10 一次函数、二次函数及反比例函数（讲义）-2027年黑龙江省（春季高考）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年黑龙江省（春季高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年黑龙江省（春季高考） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 一次函数、二次函数及反比例函数 【复习目标】 1. 掌握一次函数、反比例函数和二次函数的概念、形式及图像性质. 2. 会利用一次函数、反比例函数和二次函数的图像和性质来解决问题. 【考点1 一次函数】 1．一次函数的定义 （1）一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。 （2）一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数。当b=0时，y=kx+b即y=kx，是正比例函数。所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。 2．一次函数的图象及其性质 （1）正比例函数的图象及性质：正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，称为直线y=kx。 y=kx 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0 三、一 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＜0 二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 （2）一次函数的图象及性质：一次函数y=kx+b(k、b是常数，k≠0)的图象是一条直线，称为直线y=kx+b。当k＞0时，直线y=kx+b从左向右上升，即y随着x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx+b从左向右下降，即y随着x的增大而减小。 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 三、二、一 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 三、四、一 k＜0，b＞0 二、一、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 【即时训练】 1．一次函数的图象经过的象限是（ ） A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、二、四 D．一、三、四 2．假设函数是增函数，则（ ） A． B． C． D． 3．已知一次函数不经过第一象限，则的取值范围是（ ） A．， B．， C．， D．， 4．函数在上是减函数，则（ ） A． B． C． D． 5．一次函数的图象如图所示，则m的取值范围是（ ） A． B． 且 C． D． 或 6．一辆旅游大巴从甲地开往乙地，出发时油箱中有油 50 升，行驶过程中每千米的耗油量为 0.1 升．设大巴行驶的路程为千米，油箱中的剩余油量为升，则与的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 7．已知点在一次函数的图像上，则的值为（ ） A． B． C． D． 8．已知关于x的一次函数的图象过点，且y随x的增大而增大，求m的值． 【考点2 二次函数】 1．二次函数的定义 一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 2．二次函数的图象及其性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 【即时训练】 1．抛物线，其中，与x轴有两个交点，则a的取值范围是（ ） A． B．或 C． D． 2．若二次函数的图像如图所示，则下列选项正确的是（ ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3．已知抛物线过，，三点，则，，大小关系是（ ） A． B． C． D． 4．函数的单调区间为（ ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在单调递增，在单调递减 D．在单调递减，在单调递增 5．若二次函数的单调减区间为，且函数图像经过点，则a，b的值分别是（ ） A．，16 B．16，8 C．8， D．， 6．已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数是定义在上的奇函数，且，求函数的表达式. 8．已知函数． (1)若函数有最小值0，求的解析式； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【考点3 反比例函数】 1．反比例函数的定义 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数， 2．反比例函数的图象及其性质 反比例函数的图像是有两个分支组成的曲线，当时，图像在一、三象限，在每个象限，随的增大而减小；当时，图像在二、四象限，在每个象限，随的增大而增大，如下图所示： 图像 经过象限 一、三 二、四 定义域 值域 单调性 单调减区间为 单调增区间为 【即时训练】 1．下列函数在上单调递减的是（ ） A． B． C． D． 2．下列属于反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 3．下列各点中，不在反比例函数图象上的是（ ） A． B． C． D． 4．反比例函数的图像位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．函数与在同一坐标系中的图像可能是（ ） A．B．C．D． 6．已知是反比例函数，且，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 7．函数的减区间是（ ） A． B． C．， D． 8．已知点、、在反比例函数的图象上，则的大小关系是 . 1．（2024年·黑龙江省对口升学高考第31题）小王要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长为(厘米)的边与这条边上的高之和为60(厘米),这个三角形的面积为(平方厘米). (1)写出与之间的函数关系式； (2)当为多少厘米时，这个三角形的面积最大？最大面积是多少平方厘米？ 2．（2023年·黑龙江省对口升学高考第31题）如图，计划用总长为43米的篱笆（图中虚线部分）围成一个矩形鸡舍，其中边是墙（墙足够长），中间共留两个1米的小门.设篱笆长为米. （1）的长为多少米?（用含的代数式表示） （2）若矩形鸡舍的面积为150平方米，求篱笆的长. 3．（2022年·黑龙江省对口升学高考第31题）用19米长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框， 长表示窗框的宽， (米). (铝合金条的宽度忽略不计) （1）求窗框的透光面积 S (平方米)与窗框的宽 x (米)之间的函数关系式； （2）如何设计才能使窗框的透光面积最大？最大面积为多少？ 4．（2021年·黑龙江省对口升学高考第15题）某公司打算用长24米的木板围成展室的隔板，墙厚可以忽略不计，有一面靠墙，如图所示． （1）请写出展室总面积与隔板边长的函数解析式和自变量的取值范围． （2）当隔板取多少时，展室总面积最大，最大为多少？ 5．（2020年·黑龙江省对口升学高考第31题）如果一个三角形的底边与该边上的高之和为4，求该三角形的面积关于高的函数解析式，以及当高为多少时，面积S最大?最大面积是多少? 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年黑龙江省（春季高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年黑龙江省（春季高考） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 一次函数、二次函数及反比例函数 【复习目标】 1. 掌握一次函数、反比例函数和二次函数的概念、形式及图像性质. 2. 会利用一次函数、反比例函数和二次函数的图像和性质来解决实际问题. 【考点1 一次函数】 1．一次函数的定义 （1）一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。 （2）一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数。当b=0时，y=kx+b即y=kx，是正比例函数。所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。 2．一次函数的图象及其性质 （1）正比例函数的图象及性质：正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，称为直线y=kx。 y=kx 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0 三、一 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＜0 二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 （2）一次函数的图象及性质：一次函数y=kx+b(k、b是常数，k≠0)的图象是一条直线，称为直线y=kx+b。当k＞0时，直线y=kx+b从左向右上升，即y随着x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx+b从左向右下降，即y随着x的增大而减小。 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 三、二、一 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 三、四、一 k＜0，b＞0 二、一、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 【即时训练】 1．一次函数的图象经过的象限是（ ） A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、二、四 D．一、三、四 【答案】C 【解析】∵，，， ∴函数图象经过一、二、四象限， 故选：C． 2．假设函数是增函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据一次函数的图像可知，当时，函数是增函数， 故选：A. 3．已知一次函数不经过第一象限，则的取值范围是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据一次函数的图像和性质即可求解. 【解析】因为一次函数不经过第一象限， 所以函数过二、四象限或者二、三、四象限， 根据一次函数的图像和性质可得，. 故选：A. 4．函数在上是减函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一次函数的性质即可得解. 【解析】因为函数在上是减函数， 则有，解得. 故选：B． 5．一次函数的图象如图所示，则m的取值范围是（ ） A． B． 且 C． D． 或 【答案】A 【解析】根据题意，一次函数的图象经过第一、二、四象限， 且，解得， 故选：A． 6．一辆旅游大巴从甲地开往乙地，出发时油箱中有油 50 升，行驶过程中每千米的耗油量为 0.1 升．设大巴行驶的路程为千米，油箱中的剩余油量为升，则与的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据剩余油量等于初始油量减去行驶路程所消耗的油量来确定函数关系. 【详解】行驶千米的耗油量升， 即剩余油量. 故选： A． 7．已知点在一次函数的图像上，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】把点的坐标代入一次函数中， 得，， ， 故选：C． 8．已知关于x的一次函数的图象过点，且y随x的增大而增大，求m的值． 【答案】2 【解析】解：∵关于x的一次函数的图象过点，且y随x的增大而增大， ∴，解得． 【考点2 二次函数】 1．二次函数的定义 一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 2．二次函数的图象及其性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 【即时训练】 1．抛物线，其中，与x轴有两个交点，则a的取值范围是（ ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为有两个不同的实根，从而利用判别式即可得解. 【解析】因为抛物线，其中，与x轴有两个交点， 所以有两个不同的实根， 则，解得或. 故选：B. 2．若二次函数的图像如图所示，则下列选项正确的是（ ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】根据数形结合及二次函数性质的综合运用求解即可. 【解析】因为二项函数开口向上，所以； 二次函数对称轴在轴右侧，所以，则； 因为二次函数与轴有两个交点，所以； 因为交点在轴两侧，所以，所以； 综上可知，. 故选：C. 3．已知抛物线过，，三点，则，，大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵函数的对称轴为y轴，开口向上， ∴距离对称轴越远函数值越大， ∵，，到y轴的距离依次为：2，0，1， ∴． 故选：C． 4．函数的单调区间为（ ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在单调递增，在单调递减 D．在单调递减，在单调递增 【答案】D 【分析】根据二次函数的单调性即可求解. 【解析】由题意得，二次函数的对称轴为，开口向上. 所以在单调递减，在单调递增， 故选：D. 5．若二次函数的单调减区间为，且函数图像经过点，则a，b的值分别是（ ） A．，16 B．16，8 C．8， D．， 【答案】A 【分析】根据单调减区间判断对称轴,过点联立方程组求出答案. 【解析】根据单调减区间判断对称轴,过点, 得出,所以,. 故选：A. 6．已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图像与性质即可求解. 【解析】由题意得，函数的图象的对称轴是. 因为抛物线的开口向上， 要使函数在上是增函数，则. 即a的取值范围为. 故选：D. 7．已知函数是定义在上的奇函数，且，求函数的表达式. 【答案】 【解析】解：由是奇函数，故有， 即 得，得； 由得，解得， 故. 8．已知函数． (1)若函数有最小值0，求的解析式； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先判断当时是否符合题意，当时，对称轴为，最小值为，代入中即可求出. （2）首先判断当时是否符合题意，当时，有求解不等式即可. 【解析】（1）已知， 当时，不符合题意，所以，函数为二次函数， 的对称轴为，故当时，有最小值0， 所以，解得， 所以． （2）当时，，此时成立， 当时，要使恒成立， 则，解得， 综上，a的取值范围是． 【考点3 反比例函数】 1．反比例函数的定义 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数， 2．反比例函数的图象及其性质 反比例函数的图像是有两个分支组成的曲线，当时，图像在一、三象限，在每个象限，随的增大而减小；当时，图像在二、四象限，在每个象限，随的增大而增大，如下图所示： 图像 经过象限 一、三 二、四 定义域 值域 单调性 单调减区间为 单调增区间为 【即时训练】 1．下列函数在上单调递减的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性依次判断各选项即可. 【解析】对于A，函数在区间上是增函数，故A不正确； 对于B，函数在区间上是减函数，故B正确； 对于C，函数在上是增函数，故C不正确； 对于D，函数在上是增函数，故D不正确. 故选：B． 2．下列属于反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A．由原式得到，符合反比例函数的定义，故本选项符合题意； B．该函数式表示与成正比例关系，故本选项不符合题意； C．该函数式不属于反比例函数，故本选项不符合题意； D．该函数式不属于反比例函数，故本选项不符合题意； 故选：A． 3．下列各点中，不在反比例函数图象上的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A选项中，当时，，故该选项不符合题意； B选项中，当时，，故该选项不符合题意； C选项中，当时，，故该选项符合题意； D选项中，当时，，故该选项不符合题意； 故选：C. 4．反比例函数的图像位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据反比例图像，判断图像位置即可. 【解析】对于反比例函数，由题意得，且， 根据反比例函数图像得：该反比例函数图像在第四象限， 故选：D. 5．函数与在同一坐标系中的图像可能是（ ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】分和两种情况，结合一次函数与反比例函数的性质进行讨论即可求得. 【解析】当时，反比例函数的图象在第一、三象限， 一次函数的斜率，在轴上的截距，图像经过第一、三、四象限，故A、C错误； 当时，反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数的斜率，在轴上的截距，图像经过第一、二、四象限，故B错误，D正确. 故选：D. 6．已知是反比例函数，且，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设， ∵，，∴， 故选：B. 7．函数的减区间是（ ） A． B． C．， D． 【答案】C 【分析】画出函数图像，根据函数图象即可判断减区间. 【解析】   由图象可知单调减区间为，， 又因为单调区间有多个单调区间要分开写，不能用并集符号“”连接，也不能用“或”连接． 故选：C. 8．已知点、、在反比例函数的图象上，则的大小关系是 . 【答案】 【解析】∵点、、在反比例函数的图象上， ∴， ， ∴， 故答案为：. 1．（2024年·黑龙江省对口升学高考第31题）小王要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长为(厘米)的边与这条边上的高之和为60(厘米),这个三角形的面积为(平方厘米). (1)写出与之间的函数关系式； (2)当为多少厘米时，这个三角形的面积最大？最大面积是多少平方厘米？ 【答案】（1） （2）当x=30厘米，最大面积为450平方厘米 【解析】解：（1）由题意可知： （2）当 故当x=30厘米，S最大，最大面积为450平方厘米。 2．（2023年·黑龙江省对口升学高考第31题）如图，计划用总长为43米的篱笆（图中虚线部分）围成一个矩形鸡舍，其中边是墙（墙足够长），中间共留两个1米的小门.设篱笆长为米. （1）的长为多少米?（用含的代数式表示） （2）若矩形鸡舍的面积为150平方米，求篱笆的长. 【答案】（1） （2）米或米 【分析】（1）根据矩形周长，利用已知列出代数式即可； （2）根据矩形面积列出含有的等式求解即可. 【小问1详解】 篱笆长为米， 则，则； 【小问2详解】 矩形鸡舍的面积为150平方米，长为米，米， 则，即，解得，， 则篱笆的长为米或米. 3．（2022年·黑龙江省对口升学高考第31题）用19米长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框， 长表示窗框的宽， (米). (铝合金条的宽度忽略不计) （1）求窗框的透光面积 S (平方米)与窗框的宽 x (米)之间的函数关系式； （2）如何设计才能使窗框的透光面积最大？最大面积为多少？ 【答案】（1） （2）当窗框的宽度为3.25米时，透光面积最大，最大透光面积为10.5625平方米. 【分析】（1）利用题目所给的条件将长与宽表示出来，即证明四边形BCHG、四边形DEGH、四边形ABEF是矩形，由图得出BC以及AC，从而利用面积计算公式进行求解即可. （2）根据（1）得出的关系式求出最值即可. 【小问1详解】 在矩形中，， 四边形是矩形， （米），, , 四边形是矩形，同理四边形是矩形. 设 则，, , 注：自变量x的取值范围是:，所以. 【小问2详解】 由（1）知 当, 故, 即当窗框的宽度为3.25米时，透光面积最大，最大透光面积为10.5625平方米. 4．（2021年·黑龙江省对口升学高考第15题）某公司打算用长24米的木板围成展室的隔板，墙厚可以忽略不计，有一面靠墙，如图所示． （1）请写出展室总面积与隔板边长的函数解析式和自变量的取值范围． （2）当隔板取多少时，展室总面积最大，最大为多少？ 【答案】（1） （2）取时，展室总面积最大，最大为 【分析】（1）根据题意表示与墙平行的边长，结合矩形的面积公式，即可求解； （2）根据二次函数的性质，利用配方法，即可求解. 【小问1详解】 由题意，当一边长为时，与墙平行的边长为， 则，解得， 所以展室总面积， 所以展室总面积与隔板边长的函数解析式为. 【小问2详解】 由（1）得， 所以 所以当时，S取到最大值，即， 即隔板取时，展室总面积最大，最大为． 5．（2020年·黑龙江省对口升学高考第31题）如果一个三角形的底边与该边上的高之和为4，求该三角形的面积关于高的函数解析式，以及当高为多少时，面积S最大?最大面积是多少? 【答案】，当时，面积S最大，最大面积是2． 【分析】根据三角形面积公式求解函数解析式即可，再由二次函数的性质即可求解最大值. 【详解】三角形的面积为，高为， 由已知得底边为， 面积， 故当时，面积S最大，最大面积是2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $