2.4 幂函数与二次函数（精讲）-备战2027年高考数学一轮复习精讲精练（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦幂函数与二次函数核心考点，涵盖定义、图象、性质、解析式及闭区间最值等内容，按“知识复习—典型例题”逻辑架构，通过考点系统梳理、解题方法指导、真题模拟训练，帮助学生构建知识网络，突破函数性质应用等难点。 资料以分层典例设计为特色，13个典例覆盖求解析式、参数求解、单调性应用等高考高频考法，结合幂函数图象判断培养数学思维，二次函数最值问题训练数学语言表达。设置基础到综合的递进练习，配合即时方法总结，高效提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

2.4 幂函数与二次函数（精讲） 第一部分：知识复习 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数． (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数. 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 方程 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 [常用结论] 二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，x∈[m，n]． (1)当－≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n)； (2)当m＜－≤时，最小值为f，最大值为f(n)； (3)当＜－≤n时，最小值为f，最大值为f(m)； (4)当－＞n时，最小值为f(n)，最大值为f(m)． 第二部分：典型例题 典例一：求幂函数的解析式 1．（上海市宝山区2026-2026学年高三上学期6月期末教学质量监测数学试题）幂函数的图象过点，则实数____________． 2．（25-26高三上·河北唐山·期中）已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 3．（25-26高三上·贵州毕节·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则___________. 4．（2026·上海闵行·二模）已知，若是幂函数，且，则______. 典例二：根据幂函数求参数值 5．（25-26高二下·宁夏银川·期中）已知幂函数在上单调递增，则实数_____． 6．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）已知幂函数在区间上单调递增，则___________． 7．（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 8．（25-26高三上·湖北十堰·阶段检测）已知幂函数，则（    ） A．8 B．2 C．4 D． 9．（25-26高三上·湖北黄石·阶段检测）已知幂函数在单调递增，则（    ） A． B．0 C．1 D． 10．（25-26高三上·河北衡水·期中）已知幂函数在上单调递减，若正数a，b满足，则的最小值为（   ） A．16 B．12 C．8 D．4 典例三：幂函数的值域 11．（2026·安徽合肥·模拟预测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高三上·江苏常州·期末）（多选）幂函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是奇函数 C． D．函数的值域为 13．（25-26高三上·天津北辰·阶段检测）若“，”是假命题，则a的最大值是________． 14．（25-26高三上·上海浦东新·阶段检测）函数，的值域为__________. 15．（25-26高二下·辽宁抚顺·阶段检测）已知函数，且． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 16．（25-26高三上·湖南·阶段检测）已知函数． (1)求的解析式； (2)若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围． 典例四：幂函数图象的判断及应用 17．（2026·上海·模拟预测）已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________． 18．（25-26高二·全国·暑假作业）若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高三上·浙江杭州·期中）幂函数的图象经过（    ），且在第一象限内（    ） A．第一、二象限    单调递减 B．第一、三象限    单调递减 C．第一、二象限    单调递增 D．第一、三象限    单调递增 20．（25-26高三上·广西玉林·期末）幂函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 典例五：幂函数图象过定点问题 21．（25-26高三下·上海徐汇·阶段检测）已知集合，任取，则函数的图像过点的概率为____________. 22．（25-26高三上·陕西安康·期中）函数的图象过定点______. 23．（25-26高三上·四川遂宁·期末）（多选）下列四个选项中，正确的选项为（   ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为空集 C．幂函数的图象都经过点 D．函数的定义域为 24．（25-26高三上·山西·阶段检测）已知函数（为常数）的图象恒过定点，则___________． 典例六：判断幂函数的单调性 25．（2026·云南玉溪·模拟预测）以下哪个函数既是奇函数，又是增函数（     ） A． B． C． D． 26．（2026·湖南株洲·模拟预测）（多选）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高三上·江苏连云港·期末）函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 28．（25-26高三上·山西晋中·期中）函数的单调递减区间为__________. 典例七：利用幂函数单调性求参数 29．（2026高三·全国·专题练习）已知函数在上是增函数，在上是减函数，那么最小的正整数________. 30．（2026·安徽合肥·模拟预测）“”是“函数为幂函数，且在上单调递减”的__________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 31．（25-26高三上·河南新乡·期中）已知，函数在上单调函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高三上·广东中山·阶段检测）（多选）下列说法不正确的有（   ） A．若幂函数过点，则 B．函数是幂函数 C．若幂函数在上单调递减，则 D．幂函数的图象都经过点和 典例八：由幂函数单调性解不等式 33．（25-26高三上·云南·开学考试）已知函数． (1)证明：，，，； (2)求不等式的解集． 34．（25-26高三上·河北唐山·阶段检测）设是幂函数，若，则的取值范围是______． 35．（25-26高三上·陕西西安·期末）已知幂函数的图象关于轴对称. (1)求实数的值； (2)若关于不等式成立，求实数的取值范围； (3)设满足对都有，试比较与的大小. 36．（25-26高三上·江苏连云港·期末）已知幂函数的图象过点，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 37．（25-26高三上·安徽芜湖·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高三上·河北沧州·期末）已知幂函数在上单调递减． (1)求的解析式； (2)若命题：，为假命题，求实数的取值范围； (3)求不等式的解集． 典例九：幂函数的奇偶性 39．（2026·北京·三模）已知幂函数，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．是奇函数 D．的值域为 40．（25-26高三上·福建泉州·期中）若函数为幂函数，则函数在定义域内为（ ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 41．（2026·四川广安·模拟预测）若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是（     ） A． B．2 C． D．3 42．（25-26高二下·北京·期中）下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是（    ） A． B． C． D． 典例十：判断二次函数的单调性和求解单调区 43．（26-27高三·全国·暑假作业）（多选）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 44．（25-26高三上·浙江杭州·期中）已知，则函数在下列区间内单调递增的是（   ） A． B． C． D． 45．（25-26高三上·广东广州·期中）下列函数中，在上单调递减的是（     ） A． B． C． D． 46．（25-26高三上·安徽铜陵·期末）函数的单调递增区间是__________． 典例十一：已知二次函数单调区间求参数值或范围 47．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 48．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数． (1)若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围； (2)若函数在上的最大值为1，求实数a的值． 49．（2026·甘肃金昌·三模）已知，，若函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 50．（25-26高三上·河北唐山·期中）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 典例十二：与二次函数相关的复合函数问题 51．（25-26高二下·天津河西·阶段检测）函数的单调递增区间是_____． 52．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）已知函数，若函数在时取得最小值，则（   ） A． B． C． D． 53．（25-26高三上·河北·期末）已知函数． (1)当时，求在上的最大值； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 54．（25-26高三上·全国·期末）已知 为实常数，求函数的最小值． 典例十三：根据二次函数的最值或值域求参数 55．（25-26高二下·山西晋中·阶段检测）若函数在区间上的值域为，则的最大值为_____． 56．（25-26高三上·河北唐山·期中）已知函数在区间上是单调函数． (1)求实数的所有取值组成的集合； (2)试写出在区间上的最大值． 57．（25-26高三上·天津西青·期末）已知函数. (1)求不等式的解集； (2)记函数在时的最小值为.求最小值的函数表达式. 58．（25-26高三上·山东济南·期中）已知函数 (1)当时，求不等式的解集； (2)设函数在上的最小值为，求的表达式. 59．（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知幂函数在上单调递增. (1)求的值及函数的解析式； (2)设函数在区间上的最小值为5，求实数的值. 60．（25-26高三上·天津·期中）已知一元二次函数的对称轴为， 且满足，. (1)求的解析式; (2)若在区间上单调，求实数m的取值范围； (3)用来表示在区间上的最小值，，求的表达式. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4 幂函数与二次函数（精讲） 第一部分：知识复习 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数． (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数. 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 方程 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 [常用结论] 二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，x∈[m，n]． (1)当－≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n)； (2)当m＜－≤时，最小值为f，最大值为f(n)； (3)当＜－≤n时，最小值为f，最大值为f(m)； (4)当－＞n时，最小值为f(n)，最大值为f(m)． 第二部分：典型例题 典例一：求幂函数的解析式 1．（上海市宝山区2026-2026学年高三上学期6月期末教学质量监测数学试题）幂函数的图象过点，则实数____________． 【答案】 【分析】将已知点的坐标代入幂函数解析式，结合指数运算性质求解实数的值 【详解】已知幂函数的图像过点，因此该点坐标满足函数解析式，将，代入得： ， 根据根式与分数指数幂的转换规则，，因此等式可改写为： ， 由于底数且，指数函数在上单调递调，同底数幂相等时指数相等，因此可得. 2．（25-26高三上·河北唐山·期中）已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 【答案】D 【详解】由题意得，，则，则. 3．（25-26高三上·贵州毕节·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则___________. 【答案】/ 【分析】根据幂函数图象上的点求出解析式，利用解析式求值即可. 【详解】为幂函数， 可设， ，解得：， ， . 4．（2026·上海闵行·二模）已知，若是幂函数，且，则______. 【答案】 【分析】先根据幂函数的定义求出参数，再利用已知函数值求出幂指数得到完整解析式，最后代入计算得到的值. 【详解】已知，且是幂函数： 根据幂函数的定义，可得，解得； 将条件代入得，解得，即函数解析式为； 将代入解析式得. 典例二：根据幂函数求参数值 5．（25-26高二下·宁夏银川·期中）已知幂函数在上单调递增，则实数_____． 【答案】6 【详解】由题意得，，解得，. 6．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）已知幂函数在区间上单调递增，则___________． 【答案】2 【分析】根据幂函数的定义和性质列式求解即可. 【详解】因为幂函数在区间上单调递增， 则，解得. 7．（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义及单调性即可求解． 【详解】由于为幂函数，所以，解得或， 又函数在上单调递减， 所以，即 故当时符合条件． 8．（25-26高三上·湖北十堰·阶段检测）已知幂函数，则（    ） A．8 B．2 C．4 D． 【答案】A 【详解】由幂函数的定义，知，解得，所以，则. 9．（25-26高三上·湖北黄石·阶段检测）已知幂函数在单调递增，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【详解】因为幂函数 在单调递增，所以，解得： 10．（25-26高三上·河北衡水·期中）已知幂函数在上单调递减，若正数a，b满足，则的最小值为（   ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】D 【分析】先根据幂函数的定义与单调性求出参数的值，再利用“乘1法”结合基本不等式求的最小值. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或． 因为在上单调递减，所以，则， 所以，则，且，， 所以， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为4． 典例三：幂函数的值域 11．（2026·安徽合肥·模拟预测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出在上的值域以及在上的值域可得答案. 【详解】因在上单调递增，则时，， 又在上单调递增，则时，， 则的值域为，故A正确． 12．（25-26高三上·江苏常州·期末）（多选）幂函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是奇函数 C． D．函数的值域为 【答案】AD 【分析】由题意，结合幂函数的概念，可求得，代入函数解析式，根据幂函数的图像性质，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，由幂函数定义可知，系数，解得或， 又因为，所以，故A正确； 对于B选项，当时，，其定义域为， 且满足，所以函数是偶函数，故B错误； 对于C选项，由可知，，， 所以，故C错误； 对于D选项，函数的值域为，故D正确. 13．（25-26高三上·天津北辰·阶段检测）若“，”是假命题，则a的最大值是________． 【答案】 【分析】根据存在量词命题的否定为真命题可得“”，再分离参数即可得到答案. 【详解】因为“”为假命题， 所以它的否定“”为真命题， 所以对恒成立， 当时，， 即，所以. 即实数的最大值为. 故答案为： 14．（25-26高三上·上海浦东新·阶段检测）函数，的值域为__________. 【答案】 【分析】根据基本初等函数性质，判断函数单调性，判断函数值域. 【详解】可知和在上都单调递增， 则在上都单调递增， 所以函数在上的最小值为，最大值为，则函数值域为. 故答案为：. 15．（25-26高二下·辽宁抚顺·阶段检测）已知函数，且． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题目条件代入即可求得，从而求出，即可求出的解析式. （2）由（1）可知，，由二次函数求值域即可求出函数在上的值域. 【详解】（1）因为，所以， 整理得，即或（舍去）， 则，故． （2）由（1）可知，． 因为，所以，，所以． 故在上的值域为． 16．（25-26高三上·湖南·阶段检测）已知函数． (1)求的解析式； (2)若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，则，进而根据换元法求解即可； （2）结合函数的单调性得，进而将问题转化为对任意，不等式恒成立，再求解恒成立问题即可. 【详解】（1）解：令，则， 则， 故． （2）解：由（1）可得． 因为函数和函数均在上单调递增， 所以在上单调递增． 故． 对任意，，不等式恒成立， 即对任意，不等式恒成立， 则解得或． 故的取值范围是． 典例四：幂函数图象的判断及应用 17．（2026·上海·模拟预测）已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________． 【答案】 【详解】由图象知，时，在第一象限单调递减，故排除， 图象关于轴对称，故函数是偶函数， 时，，定义域为，满足，是偶函数； 时，，定义域为，满足，是奇函数； ． 18．（25-26高二·全国·暑假作业）若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由所给图象结合幂函数单调性判断即可得. 【详解】当时，在上单调递增， 且时，当增大时，图象越来越平缓，所以； 当时，在上单调递减， 不妨令，根据题图可得，所以； 综上可得. 19．（25-26高三上·浙江杭州·期中）幂函数的图象经过（    ），且在第一象限内（    ） A．第一、二象限    单调递减 B．第一、三象限    单调递减 C．第一、二象限    单调递增 D．第一、三象限    单调递增 【答案】C 【详解】幂函数的定义域为，由，得函数是偶函数， 其图象关于轴对称，又，则该函数图象在轴及上方， 而，则函数在上单调递增， 所以幂函数的图象经过第一、二象限，且在第一象限内单调递增. 20．（25-26高三上·广西玉林·期末）幂函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析给定幂函数的性质，再结合图象特征判断即可. 【详解】幂函数的定义域为，图象不过原点，排除AB； 函数是偶函数，图象关于轴对称，在上单调递减，排除D，C符合. 故选：C 典例五：幂函数图象过定点问题 21．（25-26高三下·上海徐汇·阶段检测）已知集合，任取，则函数的图像过点的概率为____________. 【答案】 【分析】先统计集合A的元素总个数，再逐一判断每个元素作为幂指数时幂函数是否过点，统计符合条件的元素个数后用古典概型公式计算概率. 【详解】验证当取不同值时函数是否满足， 当时，，满足条件； 当时，，不满足； 当时，的定义域为，不在定义域内，不满足； 当时，，满足条件； 当时，，不满足。 计算概率：符合条件的共2个，由古典概型公式得所求概率. 22．（25-26高三上·陕西安康·期中）函数的图象过定点______. 【答案】 【详解】由，解得，代入函数，可得， 所以函数图象恒过定点. 23．（25-26高三上·四川遂宁·期末）（多选）下列四个选项中，正确的选项为（   ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为空集 C．幂函数的图象都经过点 D．函数的定义域为 【答案】AB 【分析】对于A，直接解不等式即可判断；对于B，根据一元二次不等式的求解即可；对于C，易知幂函数，不经过；对于D，求出定义域即可判断 【详解】对于A，，解得，故A正确； 对于B，，，即不等式的解集为空集，故B正确； 对于C，幂函数，不经过，故C错误； 对于D，，解得且， 即函数的定义域为，故D错误． 故选：AB． 24．（25-26高三上·山西·阶段检测）已知函数（为常数）的图象恒过定点，则___________． 【答案】3 【分析】根据幂函数过定点得的图象过定点，进而得 【详解】令，则，故的图象过定点， 故，． 故答案为：3． 典例六：判断幂函数的单调性 25．（2026·云南玉溪·模拟预测）以下哪个函数既是奇函数，又是增函数（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，因为和都是定义在上的增函数，所以是增函数， 又，所以为奇函数，A符合； 对于B，由反比例函数性质可知，在定义域内不单调，B不符合； 对于C，由对勾函数性质可知，在定义域内不单调，C不符合； 对于D，因为，所以，所以是偶函数， 由幂函数性质可知，函数在上单调递增，在上单调递减，D不符合． 26．（2026·湖南株洲·模拟预测）（多选）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先依据奇函数定义判断各函数的奇偶性，排除奇偶性不符的选项，再验证剩余函数的单调性，选出同时满足两个条件的选项 【详解】对选项A：，满足，是偶函数，且在上单调递增，上单调递减，不符合要求，故A错误； 对选项B：设，满足，是奇函数，且在上单调递增，故B正确； 对选项C：设，满足，是奇函数，其斜率，故在上单调递增，故C正确； 对选项D：，满足且，是非奇非偶函数，不符合要求，故D错误。 27．（25-26高三上·江苏连云港·期末）函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】对于函数， 令，解得，所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为. 故选：C 28．（25-26高三上·山西晋中·期中）函数的单调递减区间为__________. 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法，可求得定义域，根据复合函数单调性的求法，分析求解，即可得答案. 【详解】由题意， 令，可得，解得， 因为为开口向下，对称轴为的抛物线， 所以的减区间为， 因为在上单调递增， 由复合函数单调性“同增异减”的原则，可得的减区间为. 故答案为： 典例七：利用幂函数单调性求参数 29．（2026高三·全国·专题练习）已知函数在上是增函数，在上是减函数，那么最小的正整数________. 【答案】 【详解】因为函数在上是减函数，故，故， 当时，在上是减函数，因为它为奇函数，则在上也是减函数，不满足； 当时，在上是增函数，在上是减函数，满足题意. 30．（2026·安徽合肥·模拟预测）“”是“函数为幂函数，且在上单调递减”的__________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要 【详解】当为幂函数时，解得或， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减. 所以 “”是“为幂函数，且在上单调递减”的充分不必要条件． 31．（25-26高三上·河南新乡·期中）已知，函数在上单调函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的单调性，分段考虑单调性，再考虑分段点的函数值大小即得. 【详解】对于，，若，由幂函数性质易得函数在上单调递增， 当时，因函数在上单调递减，故在上单调递增， 时，总有在上单调递增. 对于，因函数在上单调递减， 由题意需使在上单调递减，即． 依题意，需使，解得， 故实数a的取值范围是． 故选：C． 32．（25-26高三上·广东中山·阶段检测）（多选）下列说法不正确的有（   ） A．若幂函数过点，则 B．函数是幂函数 C．若幂函数在上单调递减，则 D．幂函数的图象都经过点和 【答案】BCD 【详解】对于A，设，将点代入，则，，则，故A正确； 对于B，因为，所以不是幂函数，故B错误； 对于C，因为幂函数在上单调递减， 所以解得，故C错误； 对于D，幂函数的图象不经过也不经过，故D错误. 典例八：由幂函数单调性解不等式 33．（25-26高三上·云南·开学考试）已知函数． (1)证明：，，，； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过作差法结合幂函数性质证明； （2）利用奇偶性与单调性解不等式. 【详解】（1） ， 因为且，根据均值不等式， 且，所以分子，分母， 故，即． （2）函数的定义域为，关于原点对称， 因为，所以是奇函数， 又因为幂函数的指数，所以在上单调递减，根据奇函数的性质，在上也单调递减， 由得， 因为是奇函数，所以，则不等式变为， 由于在和上均单调递减，需分情况讨论： 当且时，即，由单调性得，解得，结合得； 当且时，即且，无解； 当与异号时： 且，即，此时，不等式不成立； 且，即，此时，不等式成立； 综上，不等式的解集为． 34．（25-26高三上·河北唐山·阶段检测）设是幂函数，若，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义求出的值，得到函数解析式，结合函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得，所以． 易知是增函数. 因为，所以，解得． 故答案为：. 35．（25-26高三上·陕西西安·期末）已知幂函数的图象关于轴对称. (1)求实数的值； (2)若关于不等式成立，求实数的取值范围； (3)设满足对都有，试比较与的大小. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）利用幂函数的定义可得出关于的等式，解出的值，再结合函数奇偶性的定义检验即可； （2）令，分析该函数的单调性与奇偶性，由所求不等式得，即，可得出关于的不等式，解之即可； （3）分析可知的图象关于直线对称，可得，可得出，分析函数的单调性，对的取值进行分类讨论，比较、的单调性，即可得出与的大小关系. 【详解】（1）因为函数为幂函数，所以，解得或， 当时，函数为奇函数，不符合题意， 当时，函数为偶函数，符合题意. 故. （2）令，则该函数的定义域为，且该函数在上单调递增， 对任意的，，即函数为偶函数， 由可得，即， 故，两边平方并化简得，解得， 故原不等式的解集为. （3）因，对都有， 所以函数的图象关于直线对称，所以，可得，即， 所以，故函数的图象开口向上， 所以函数的减区间为，增区间为， 当时，，，且，故， 此时； 当时，，此时； 当时，，，且，故， 此时. 36．（25-26高三上·江苏连云港·期末）已知幂函数的图象过点，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意求得，再根据其单调性和奇偶性求解. 【详解】设幂函数， 因为的图象过点， 所以，解得， 所以且在上是增函数，奇函数， 又， 所以， 所以，解得， 故选：B 37．（25-26高三上·安徽芜湖·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇偶性定义和幂函数性质得在上单调递增，并将所求不等式化为，利用单调性可得自变量大小关系，进而求得结果. 【详解】的定义域为，， 为定义在上的奇函数； 由幂函数性质知：在上单调递增； 由得：， ，解得：，不等式的解集为. 故选：D. 38．（25-26高三上·河北沧州·期末）已知幂函数在上单调递减． (1)求的解析式； (2)若命题：，为假命题，求实数的取值范围； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质求解即可. （2）根据原命题为假，则其否定为真即可求解； （3）分类讨论的正负，根据单调性求解即可. 【详解】（1）因为是幂函数，根据幂函数定义，则，系数为1， 所以，即或， 又因为函数在单调递减，所以，所以. 代入得：. （2）因为原命题是假命题，所以其否定为真. 即：. 由（1）可知，，所以， 代入得：， 要小于函数在上的最小值. 易得，在单调递增， 所以最小值在时取到：， 所以. （3）因为，定义域为，函数在和上均单调递减， 当，即时，由可得， 解得，则此时； 当，即时，由可得， 解得，则此时； 当，即时，恒成立， 当时，，无解， 综上：不等式的解集为 典例九：幂函数的奇偶性 39．（2026·北京·三模）已知幂函数，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．是奇函数 D．的值域为 【答案】D 【分析】根据分数指数幂的运算规则、函数奇偶性定义、幂函数的单调性与值域，逐一判断各选项正误 【详解】对于A选项：由分数指数幂的运算得，而，二者不相等，故A错误； 对于B选项：由是偶函数得，又幂函数在上单调递增， 且，故，即，B错误； 对于C选项：的定义域为，对任意，有， 故是偶函数，C错误； 对于D选项： 对任意，，因此，值域为，D正确 . 40．（25-26高三上·福建泉州·期中）若函数为幂函数，则函数在定义域内为（ ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 【答案】C 【详解】函数为幂函数，，得， ，定义域为， ，故在定义域内为奇函数，故D选项错误，C选项正确； 根据幂函数的性质知在，上单调递减，但在其整个定义域上不具有单调性，故选项A，B错误. 41．（2026·四川广安·模拟预测）若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是（     ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据幂函数的图像性质，运用排除法即可求解. 【详解】因为幂函数在上单调递减，所以，故排除B、D项； 又因为幂函数是奇函数，而幂函数是偶函数，排除A项， 所以若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是. 42．（25-26高二下·北京·期中）下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对A，因为和都是定义在上的增函数，所以是增函数， 又，所以为奇函数，正确； 对B，由反比例函数性质可知，在定义域内不单调，错误； 对C，由对勾函数性质可知，在定义域内不单调，错误； 对D，因为，所以，所以是偶函数， 由幂函数性质可知，函数在上单调递增，在上单调递减，错误. 典例十：判断二次函数的单调性和求解单调区 43．（26-27高三·全国·暑假作业）（多选）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】分情况讨论，当时，；当时，，再在直角坐标系中分别画出对应图象即可求解. 【详解】由题意可知：函数 当时，； 当时，. 画出函数图象： 所以函数的单调递减区间为、. 44．（25-26高三上·浙江杭州·期中）已知，则函数在下列区间内单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质即可确定答案. 【详解】由于的图象的对称轴为，且开口向上， 故在上单调递增，在上单调递减， 故只有C选项符合题意. 45．（25-26高三上·广东广州·期中）下列函数中，在上单调递减的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，当时，单调递增，也单调递增， 因此在上单调递增，故A错误； 对于B，因为 是开口向下的二次函数，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减，故B错误； 对于C，由于 是对勾函数， 则在上单调递减，在上单调递增，故Ｃ错误； 对于D，由于 是幂函数，幂指数， 根据幂函数性质，幂指数为负时，函数在上单调递减，故D正确. 46．（25-26高三上·安徽铜陵·期末）函数的单调递增区间是__________． 【答案】 【分析】根据复合函数单调性的求法，结合对数函数及二次函数的单调性，分析求解，即可得答案. 【详解】令，解得或，即的定义域为， 因为为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递减，在单调递增， 又在上单调递减， 由复合函数单调性“同增异减”的原则， 得的单调递增区间是. 故答案为： 典例十一：已知二次函数单调区间求参数值或范围 47．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数定义域与复合函数单调性计算即可得. 【详解】令， 由题意知，在上单调递减，且在上恒成立. 所以，解得. a的取值范围是. 48．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数． (1)若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围； (2)若函数在上的最大值为1，求实数a的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据二次函数的对称轴范围求解； （2）对实数a的取值范围进行分类讨论，分析二次函数在上的单调性，结合已知条件可得出实数a的等式，即可解得实数a的值. 【详解】（1）因为图象的对称轴为． 又因为在上不单调，所以，解得． 即实数a的取值范围为． （2）由于区间的中点为， ①当，即时，， 所以，即，满足题意； ②当，即时，， 所以，即，满足题意． 综上可知，或． 49．（2026·甘肃金昌·三模）已知，，若函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数在两段函数上分别单调递减及分界处函数值大小，列出不等式求解即可. 【详解】由在上单调递减知； 由在上单调递减知： 当，即满足题意； 当，，所以， 由在上单调递减，得，所以， 综上，a的取值范围是. 50．（25-26高三上·河北唐山·期中）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数即可求解. 【详解】由题意得：， 又在上是增函数，所以，即. 典例十二：与二次函数相关的复合函数问题 51．（25-26高二下·天津河西·阶段检测）函数的单调递增区间是_____． 【答案】 【详解】由，得或， 所以函数的定义域为， 令，则原函数为， 在上单调递减， 在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为． 52．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）已知函数，若函数在时取得最小值，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数性质及对数运算性质计算求解. 【详解】 因此当时函数取最小值，故 53．（25-26高三上·河北·期末）已知函数． (1)当时，求在上的最大值； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法令，利用二次函数最值的求法可得答案； （2）将不等式转化成一元二次不等式恒成立问题，分离变量可得答案. 【详解】（1）当 时，。 令 ，由 得 ， 则 ，， 为开口向上的二次函数，对称轴 ， ， ， 由，得， 所以 在上 的最大值为 . （2）不等式可化为， 令 ，则：，即， 因 ，两边同除以 ，得， 原不等式恒成立等价于 因为，由基本不等式，当且仅当 时取等， 所以，所以 可得 . 因此实数 的取值范围为 . 54．（25-26高三上·全国·期末）已知 为实常数，求函数的最小值． 【答案】 【分析】令，由，知，把原函数转化为关于的二次函数求解． 【详解】令，由，知． 化为， 其对称轴方程为． 因此该二次函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当 时，有最小值． 典例十三：根据二次函数的最值或值域求参数 55．（25-26高二下·山西晋中·阶段检测）若函数在区间上的值域为，则的最大值为_____． 【答案】 【详解】函数，当时，取得最小值，， ，解得或， 已知函数在区间上的值域为，则 区间必包含，且区间端点值不超过， 取最大值时，取最小值，取最大值，此时． 56．（25-26高三上·河北唐山·期中）已知函数在区间上是单调函数． (1)求实数的所有取值组成的集合； (2)试写出在区间上的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的性质列出不等式，进而求解即可； （2）结合（1），根据二次函数的对称轴讨论在上的单调性，分别求出其最大值，再写成分段函数的形式即可． 【详解】（1）由函数为开口向上的二次函数，且其对称轴为， 又在区间上是单调函数，所以或，解得或， 所以实数的所有取值组成的集合． （2）结合（1）， 当时，则函数在上单调递增， 所以； 当时，则函数在上单调递减， 所以． 综上所述，． 57．（25-26高三上·天津西青·期末）已知函数. (1)求不等式的解集； (2)记函数在时的最小值为.求最小值的函数表达式. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）不等式化为，讨论三种情况，分别利用一元二次不等式的解法求解即可； （2）令，转化为求在区间上的最小值，分三种情况讨论对称轴的位置，分别利用二次函数的单调性即可求的函数表达式. 【详解】（1）即：， 不等式化为： 的根为 当时，，解得：或.不等式的解集为 当时，代入得，解得：.不等式的解集为 当时，，解得：：或.不等式的解集为 综上： 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 （2） 令，即求在区间上的最小值. 当时，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线 ①当时，即当时， 函数在区间上单调递增， 当有最小值 ②当时，即当时， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 有最小值 ③时，即当， 函数在区间上单调递减， 当有最小值 综上： 58．（25-26高三上·山东济南·期中）已知函数 (1)当时，求不等式的解集； (2)设函数在上的最小值为，求的表达式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解即可； （2）求得一元二次函数的对称轴，分，和三种情况可求得函数在上的最小值的表达式. 【详解】（1）当时，不等式等价于， ，解得或， ∴不等式的解集为. （2）开口向上，对称轴为， ①当时，即时，， ②当时，即时，， ③当时，即时，， 综上所述，. 59．（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知幂函数在上单调递增. (1)求的值及函数的解析式； (2)设函数在区间上的最小值为5，求实数的值. 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）利用幂函数的定义和性质求解. （2）利用二次函数的图像和性质求解，分别按照对称轴在区间的左中右讨论求解. 【详解】（1）因为是幂函数，所以. 解得或. 当时，，在上单调递减，不合题意，舍去. 当时，，在上单调递增，符合题意. 所以，. （2）已知， 其图象是开口向上的抛物线，对称轴为. ， ①当，即时，在上单调递增， 则，解得，不满足，舍去； ②当，即时，在处取得最小值， 即， 整理得，解得，因，故； ③当，即时，在上单调递减， 则，解得，不满足，舍去. 综上可得，. 60．（25-26高三上·天津·期中）已知一元二次函数的对称轴为， 且满足，. (1)求的解析式; (2)若在区间上单调，求实数m的取值范围； (3)用来表示在区间上的最小值，，求的表达式. 【答案】(1)； (2)或； (3). 【分析】（1）根据二次函数对称轴设出解析式，再利用待定系数法求解. （2）由（1）求出的单调区间，再利用包含关系列式求出范围. （3）按对称轴与给定区间的关系，借助二次函数单调性求出最小值即得的表达式. 【详解】（1）由一元二次函数的对称轴为，设， 由，得，解得，则， 所以的解析式为. （2）由（1）得函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 由在区间上单调，得或， 则或，解得或， 所以实数m的取值范围是或. （3）函数， 当时，在上单调递增，； 当，即时，在上单调递减，； 当时，， 所以的表达式为. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $